Работа к НПК начальных классов "Системы счисления"

• 1 слайд

  Системы счисления.
  Двоичная система счисления и основные арифметические действия в ней.
  Гайсин Радимир
  4 А класс
  

• 2 слайд

  Введение
  Цель:
  познакомиться с различными системами счисления, узнать, для чего нужна двоичная система счисления и научиться выполнять основные арифметические действия в ней.
  Задачи:
  изучить литературу о различных системах счисления,
  выяснить почему в компьютерах информация представляется в двоичной системе счисления и чем она удобна,
  где еще используется двоичная система счисления.
  
  2
  

• 3 слайд

  История возникновения системы счисления
  3
  Человек пользовался окружавшими его предметами как инструментами счета
  Появление первой самой простой «счетной машиной»
  

• 4 слайд

  Системы счисления
  Люди не могли обозначать числа так, как им вздумается – их должны понимать другие люди. появляется система счисления – способ записи чисел, представление чисел с помощью знаков.
  4
  СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
  Непозиционные
  Позиционные
  Древнеегипетская
  Римская
  Древних майя
  Вавилонская
  Двенадцатеричная
  Двоичная
  Десятичная
  

• 5 слайд

  Непозиционные
  системы счисления
  5
  Древнеегипетская система счисления
  - 1205
  

• 6 слайд

  Непозиционные
  системы счисления
  Римская система счисления
  
  6
  Предполагаемое происхождение цифр
  Использование букв латинского алфавита
  I – 1, V – 5, X - 10, L – 50,
  C – 100, D – 500, M – 1000.
  
  264 – CCLXIV
  Римская система счисления в наше время
  номера глав в книгах, указание века,
  числа на циферблате часов
  

• 7 слайд

  Непозиционные
  системы счисления
  Недостатки непозиционной системы счисления
  
  Постоянная  потребность введения
  новых знаков для записи больших
  чисел.
  
  Сложность в выполнении
  арифметических операций,
  так как нет алгоритмов их
  выполнения.
  
  7
  

• 8 слайд

  Двадцатеричная система Древних майя
  
  8
  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
  
  
  
  Сначала использовали иероглифические символы.
  Затем они стали записывать в виде точек и тире.
  Точка означала единицы данного порядка, тире – пятерки.
  Позиционные
  системы счисления
  

• 9 слайд

  Вавилонская  система счисления
  
  9
  Числа в этой системе счисления составлялись из знаков двух видов:
  - обозначение единиц, - обозначение десятков.
  - 3
  - 20
  - 52
  Вавилонская система счисления в наше время
  одна минута = 60 секунд, один час = 60 минут
  Числа больше 60 записывались по разрядам, с пробелами
  - 302
  Позиционные
  системы счисления
  

• 10 слайд

  10
  Двенадцатеричная система счисления
  Возникла в древнем Шумере
  
  Гипотезы возникновения:
  • для счета использовались Фаланги пальцев
  до 12 считали сидя, загибая 10 пальцев руки и 2 ноги.
  Позиционные
  системы счисления
  Двенадцатеричная система счисления в наше время
  1 год – 12 месяцев, чайные и столовые сервизы на 12 персон, в Англии в системе мер (1 фут = 12 дюймам).
  

• 11 слайд

  11
  Позиционные
  системы счисления
  Десятичная система счисления
  «Изобретена» индусами;
  в Европу ее занесли арабы в VIII веке нашей эры.
  Ненаучная гипотеза происхождения
  Количество углов соответствует числовому значению цифры: 0 – углов нет, 1 – один угол, 2 – два угла и т.д.
  «Вес» цифры определяется ее позицией.
  

• 12 слайд

  Позиционные
  системы счисления
  12
  Двоичная система счисления
  В записи числа участвуют только две цифры 0 и 1,
  а число 2 представляет собой уже единицу следующего разряда.
  
  100010 – 11111010002
  
  
  Используется в различных областях техники
  1 – включено, 0 – выключено
  Недостаток
  Быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел
  

• 13 слайд

  Правила перехода из одной системы счисления в другую
  13
  Разделить десятичное число на 2.
  Получится частное и остаток.
  Частное опять разделить на 2.
  Получится частное и остаток.
  Выполнять деление до тех пор,
  пока последнее частное
  не станет меньшим 2.
  Записать последнее частное
  и все остатки в обратном порядке.
  
  Полученное число и будет двоичной записью
  исходного десятичного числа.
  2310 = 101112
  Правило перехода из десятичной с.с. в двоичную
  

• 14 слайд

  Правила перехода из двоичной системы счисления в десятичную
  14
  Правило перехода из двоичной с.с. в десятичную
  
  Вклад единицы на первом месте справа есть число 1,
  на втором – 2, на третьем – 4, на четвертом – 8 и т.д. Вклады нулей равны нулю.
  
  
  1 0 1 1 12 = 16 + 4 + 2 + 1 = 2310
  
  16 8 4 2 1
  

• 15 слайд

  Перевод из десятичной системы счисления в двоичную
  
  15
  

• 16 слайд

  
  Перевод из двоичной системы счисления в десятичную
  
  
  
  16
  

• 17 слайд

  Основные арифметические действия
  Сложение
  
  17
  Вычитание
  
  

• 18 слайд

  Основные арифметические действия
  Умножение
  
  18
  

• 19 слайд

  Основные арифметические действия
  Деление
  
  19
  

• 20 слайд

  Заключение
  Главное достоинство двоичной системы –
  простота алгоритмов сложения, вычитания, умножения и деления.
  Двоичная система счисления наиболее проста и удобна для автоматизации.
  Из любой системы счисления можно перейти к двоичному коду.
  Почти во всех компьютерах используют либо непосредственно двоичную систему счисления, либо двоичное кодирование какой-либо другой системы счисления.
  20
  

• 21 слайд

  Двоичная система имеет и недостатки
  
  ею пользуются только в компьютерах для внутренней и внешней работы;
  быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел.
  
  21
  Заключение
  

• 22 слайд

  Спасибо за внимание!
  22
  

Содержание

Введение ………………………………………………………………………...……………….2

Глава 1. Теоретическая часть………………………………………………………..………….3        

           1.1. История возникновения системы счисления……………………………………....3

           1.2. Непозиционные системы счисления…………………………………………….....4

           1.3. Позиционные системы счисления……………………………………………….....6

           1.4. Правила перехода из одной системы счисления в другую ……………………....9

           1.5. Основные арифметические действия в двоичной системе счисления……...…....9

Глава 2. Практическая часть…………………………………………………………………...12

2.1. Перевод из одной системы счисления в другую…………………………….……12

2.2. Основные арифметические действия……………………………………………...13

Заключение……………………………………………………………………………………...17

Литература……………………………………………………………………………………....18

Введение

…«Все есть число»

Так говорили пифагорейцы, подчеркивая необычайно важную роль чисел в практической деятельности. Современный человек каждый день запоми­нает номера машин и телефонов, в магазине подсчитывает стоимость поку­пок, ведет семейный бюджет и т.д. Числа, цифры... они с нами везде.

Люди всегда считали и записывали числа, даже пять тысяч лет назад. Но записывали они их совершенно по-другому, по другим правилам. Но в лю­бом случае число изображалось с помощью одного или нескольких симво­лов, которые называются цифрами.

С того момента, как я себя помню, мне были всегда интересны числа и действия с ними. Позднее я понял, что очень люблю предмет математики, и свою будущую профессиональную деятельность я свяжу с ней и с компьютерами. Я мечтаю стать математиком- программистом.

Данную тему я выбрал, потому что мне стало любопытно, кто стоит у истоков двоичной системы счисления, как давно и где ее начали применять, почему двоичная система счисления сохранилась до наших дней.

Перед собой поставил следующую цель:

познакомиться с различными системами счисления, узнать, для чего нужна двоичная система счисления и научиться  выполнять основные  арифметические действия в ней.

Для достижения поставленной цели поставил следующие задачи:

·       изучить литературу о различных системах счисления,

·       выяснить почему в компьютерах информация представляется в двоичной системе счисления и чем она удобна,

·       где еще используется двоичная система счисления.

Глава 1. Теоретическая часть

1.1.          История возникновения системы счисления.

Никто  не  знает,  как  появилось  число,  как  первобытный  человек  начал

считать.  Однако  десятки  тысяч  лет  назад  первобытный  человек  собирал  плоды

деревьев, ходил на охоту, ловить рыбу, научился делать каменный топор и нож. И

ему  приходилось  считать  различные  предметы. 

Сначала люди различали просто один предмет или много. Прошло очень много времени, прежде чем появилось число два. Счет парами очень удобен, и не случайно у некоторых племен Австралии и Полинезии до самого последнего времени были только два числительных: один и два. А все числа, большие двух, получали названия в виде сочетаний этих двух числительных. Например: три – один и два; четыре – два и два; пять – два, два и один и т. д.

В самой древней нумерации употреблялся лишь знак "|" для единицы, и каждое число записывалось повторением символа единицы столько раз, сколько единиц содержится в этом числе. Сложение в такой нумерации сводилось к приписыванию единиц, а вычитание - к их вычеркиванию.

С усложнением хозяйственной деятельности человек пользовался окружавшими его предметами как инструментами счёта: он делал зарубки на палках и на деревьях, завязывал узлы на верёвках, складывали камешки.

Постепенно  возникла необходимость  отвечать  на  жизненно  важные  вопросы:  по  сколько  плодов достанется  каждому,  чтобы  хватило  всем;  сколько  расходовать  сегодня,  чтобы оставить  про  запас;  сколько  надо  сделать  ножей  и  т.п.  таким  образом,  сам  незамечая, человек начал считать и вычислять.

Пальцы  всегда  при  нас,  поэтому  первоначально  человек  стал  считать  по

пальцам. Таким образом, наиболее древней и простой «счетной машиной» издавна

являются пальцы рук и ног.

 

Несколько  десятков  лет    назад  учёные-археологи  обнаружили  стойбище древних людей. В  нём они  нашли волчью  кость, на которой 30  тысяч лет тому назад  какой-то  охотник  нанёс  55  зарубок.  Видно,  что,  делая  эти  зарубки,  он считал по пальцам. Узор на кости состоял из 11 групп, по 5 зарубок в каждой. При этом первые 5 групп он отделил от остальных длинной чертой. Позднее в Сибири и других районах были найдены сделанные в ту далекую эпоху каменного века (каменные)  орудия  и  украшения,  на  которых  тоже  были  черточки  и  точки, сгруппированные по 3, по 5, или по 7.

Люди  не могли  обозначать числа так, как им вздумается - их должны понимать другие люди. Поэтому появилась необходимость в использовании определенных правил обозначении и записи чисел. Так появилась система счисления - способ записи чисел, представление чисел с помощью  знаков.

Вот у обитателей одного из Малазийских островов, обозначения чисел выглядило следующим образом: 1 = “маленький палец правой руки”, 2 = “безымянный палец”, 3 = “средний палец”, 4 = “указательный палец”, 5 = “большой палец”, 6 = “кисть”, 7 = “локоть”, 8 = “плечо”, 9= “ухо”, 10 = “правый глаз”, 11 = “левый глаз, 12 = “нос”, 13 = “рот”, 14 = “левое ухо”      и т. д.

С операциями сложения и вычитания люди имели дело задолго до того, как числа получили имена. Когда несколько групп сборщиков кореньев или рыболовов складывали в одно место свою добычу, они выполняли операцию сложения.

С операцией умножения люди познакомились, когда стали сеять хлеб и увидели, что собранный урожай в несколько раз больше, чем количество посеянных семян.

Когда добытое мясо животных или собранные орехи делили поровну между всеми "ртами", выполнялась операция деления.

Система счисления -  способ записи чисел, представление чисел с помощью  знаков.

Путем длительного развития человечество пришло к двум видам систем счисления: позиционной и не позиционной.

1.2.          Непозиционные системы счисления

Непозиционные   системы счисления возникли раньше позиционных, поэтому рассмотрим сначала непозиционные системы счисления.

         В непозиционных системах счисления смысл каждого символа не зависит от того места, на котором он стоит. Примерами  такой системы счисления являются

·       Древнеегипетская десятичная система.

·       Римская система счисления

Древнеегипетская система счисления

Древнеегипетская система счисления возникла  примерно  в третьем тысячелетии до нашей эры. Древние египтяне придумали свою числовую систему, в которой для обозначения чисел 1, 10, 100 и т.д. использовались специальные значки — иероглифы.

Числа в египетской системе счисления записывались как комбинации этих цифр, в которых каждая из них повторялась не более девяти раз.

	1	Как и большинство людей для счета небольшого количества предметов Египтяне использовали палочки.
	5	Если палочек нужно изобразить несколько, то их изображали в два ряда, причем в нижнем должно быть столько же палочек, сколько и в верхнем, или на одну больше.
	10	Такими путами египтяне связывали коров.
	30	Если нужно изобразить несколько десятков, то иероглиф повторяли нужное количество раз. Тоже самое относится и к остальным иероглифам.
	100	Это мерная веревка, которой измеряли земельные участки после разлива Нила.
	1 000	Вы когда-нибудь видели цветущий лотос? Если нет, то вам никогда не понять, почему Египтяне присвоили такое значение изображению этого цветка.
	10 000	"В больших числах будь внимателен!" - говорит поднятый вверх указательный палец.
	100 000	Это головастик. Обычный лягушачий головастик.
	1 000 000	Увидев такое число обычный человек очень удивится и возденет руки к небу. Это и изображает этот иероглиф.
	10 000 000	Египтяне поклонялись Амону Ра, богу Солнца, и, наверное, поэтому самое большое свое число они изобразили в виде восходящего солнца.

Все остальные чис­ла составлялись из основных с помощью сложения. При записи числа иероглифы единицы, десятка, сотни и т. д. писались столько раз, сколько в этом числе единиц соответствующего разряда

   - 1205

Римская система счисления

Это, наверное, самая известная система, после «арабской», она возникла более двух с половиной тысяч лет назад в Древнем Риме.

Предполагаемое происхождение римских цифр

       

Для  записи чисел используются буквы латинского алфавита. При этом буква I всегда означает единицу, буква — V пять, X — десять, L — пятьдесят, C — сто, D — пятьсот, M — тысячу и т.д.    Например, число 264 записывается в виде CCLXIV.

 Числа в этой системе, так же как и у нас записывались слева направо, от больших к меньшим. Например, XI = 11, XII = 12, XIII = 13, но следующее число уже особенное, так как такое число «XIIII» писать не удобно, римляне придумали сокращения, они стали писать так XIV = 14, т.е. 10+5-1 = 14. Т.е. если цифра с меньшим значением записывалась перед цифрой с большим значением, то происходило ее вычитание. Так же записывалось число 9 = IX. И кроме этого нельзя было писать четыре одинаковые цифры подряд, например, «XXXX» = XL (50-10) = 40.

Римскими цифрами  пользовались  очень долго.  Еще 200 лет назад в деловых бумагах числа должны были обозначаться римскими цифрами  (считалось, что обычные арабские цифры легко подделать).

С нею мы достаточно часто сталкиваемся в повседневной жизни. Это номера глав в книгах, указание века, числа на циферблате часов, и т. д.

Непозиционные системы счисления имеют ряд существенных недостатков:

1.    Существует постоянная  потребность введения новых знаков для записи больших чисел.

2.   Сложно выполнять арифметические операции, так как не существует алгоритмов их выполнения.

Но мы до сих пор пользуемся элементами непозиционной системы счисления в обыденной речи, в частности, мы говорим сто, а не десять десятков (древнеегипетская сисстема счисления), тысяча, миллион, миллиард, триллион.

Далее рассмотрим позиционные системы счисления.

1.3.          Позиционные системы счисления

В позиционных системах счисления смысл каждого символа зависит от того места, на котором он стоит.

Изобретение позиционной нумерации приписывается шумерам и вавилонянам; развита была такая нумерация индусами и имела неоценимые последствия в истории человеческой цивилизации.

Примерами  такой системы счисления являются

·       Двадцатеричная система Древних майя

·       Вавилонская  шестидесятеричная система счисления

·       Двенадцатеричная система счисления

·       Десятичная система счисления

·       Двоичная система счисления

Двадцатеричная система Древних майя

Сам человек был для древних майя той идеальной математической моделью, которую они и взяли за единицу счета. Действительно, что может быть естественней и проще, коль скоро сама природа «расчленила» эту единицу «счета» на 20 единиц второго порядка по числу пальцев на руках и ногах?

         Древние майя записывали цифровые знаки, не горизонтально, а вертикально, снизу вверх, как бы возводя некую этажерку из цифр. На первой полке стояли единицы, на второй — двадцатки и т. д.

Сначала майя использовали для обозначения чисел иероглифические символы:

      1          2            3          4           5           6         7             8          9        10

  

Затем они стали записывать свои цифровые знаки в виде точек и тире, причем, точка всегда означала единицы данного порядка, а тире — пятерки.

К числу таких систем относится современная десятичная система счисления, возникновение которой связано со счётом на пальцах. В средневековой Европе она появилась через итальянских купцов, в свою очередь заимствовавших её у мусульман.

Вавилонская  шестидесятеричная система счисления

В древнем Вавилоне примерно во II тысячелетие до нашей эры была такая система счисления - числа менее 60 обозначались с помощью двух знаков: для единицы, и для десятка. Они имели клинообразный вид, так как вавилоняне писали на глиняных табличках палочками треугольной формы. Эти знаки повторялись нужное число раз, например

- 3; - 20; - 32;  - 59

Числа больше 60 записывались по разрядам, с небольшими пробелами между ними:

Так записывается число 302, то есть 5*60+2.

Шестидесятеричная запись чисел не получила широкого распространения за пределами вавилонского царства, но мы применяем ее до сих пор при измерении времени. Например, одна минута = 60 секунд, один час = 60 минут.

Двенадцатеричная система счисления

Двенадцатеричная система счисления возникла в древнем Шумере. Предполагается, что такая система возникала исходя из количества фаланг пальцев на руке при подсчёте их большим пальцем той же руки. Фаланги пальцев использовались как простейшие счёты (текущее состояние счёта засекалось большим пальцем), вместо загибания пальцев, принятого в европейской цивилизации.

Некоторые народы Нигерии и Тибета используют двенадцатеричную систему счисления в настоящее время.

Так же существует гипотеза, что до 12 считали сидя, загибая не только 10 пальцев рук, но и 2 ноги. 

Нередко  мы и сейчас сталкиваемся с двенадцатеричной системой счисления: чайные и столовые сервизы на 12 персон, комплект носовых платков — 12 штук. Время считается тоже в этой системе 12 месяцев, 24 часа в сутках,12-летний цикл в названиях года по китайскому календарю, в Англии в системе мер (1 фут = 12 дюймам).

Десятичная система счисления

Десятичная нумерация "изобретена" индусами; в Европу ее занесли арабы, вторгшиеся в Испанию в VIII в. нашей эры. Арабская нумерация распространилась по всей Европе, и, будучи проще и удобнее остальных систем счисления, быстро их вытеснила. До сих пор наши цифры принято называть арабскими.

Арабы принесли к нам способ записи чисел, которым мы сейчас пользуемся, из  Индии.  Однако  в  самой  Индии  до  последнего  времени  цифры  выглядели совсем не так, как в Европе. А  цифры,  которыми  сейчас  пользуются  арабы,  тоже  не  очень  похожи  на европейские.

Одна  из  ненаучных  гипотез  происхождения  начертания  современных арабских цифр. Количество углов соответствует числовому значению цифры: 0 – углов нет, 1 – один угол, 2 –  два угла и т.д.

 

Говорят также, что эти цифры представляют собой коэффициенты разложения заданного числа по степеням 10, а само число 10 называют основанием системы счисления. «Вес» цифры  в десятичной записи числа определяется ее позицией: чем дальше отстоит данная позиция от крайнего правого разряда единиц, тем большую «солидность» и «вес» она имеет. Поэтому принятая система записи чисел называется десятичной позиционной системой счисления.

Двоичная система счисления

Наименьшее из чисел, которое можно взять за основание системы счисления, — это число два. Соответствующая этому основанию система, называемая двоичной, — одна из самых старых.

Представление информации в двоичной системе использовалось человеком с давних времен. Так, жители островов Полинезии передавали необходимую информацию при помощи барабанов: чередование звонких и глухих ударов.

Двоичная система счисления была описана математиками и философами ещё до появления компьютеров (XVII — XIX вв.). Позже двоичная система была забыта, и только в 1936 – 1938 годах американский инженер и математик Клод Шеннон нашёл замечательные применения двоичной системы при конструировании электронных схем.

Примером двоичного устройства служит обычная электрическая лампочка. Она может находиться в одном из двух состояний: включена (состояние 1) или выключена (состояние 0).

Некоторый недостаток двоичной системы состоит в том, что поскольку основание системы мало, для записи даже не очень больших чисел приходятся использовать много знаков. Например, число 1000 записывается в двоичной системе в виде    1111101000,  т. е. с помощью десяти цифр.

Однако этот ее недостаток, часто окупается рядом преимуществ. Удобство этой системы — в ее необычайной простоте. В двоичной системе участвуют только две цифры 0 и 1, а число 2 представляет собой уже единицу следующего разряда. Весьма просто выглядят и правила действия над числами, записанными в двоичной системе.

Все это послужило причиной того, что двоичная система получила широкое распространение в различных областях техники, в особенности в современных вычислительных машинах.

Компьютеры используют двоичную систему потому, что она имеет ряд преимуществ перед другими системами:

  - для ее реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями (есть ток — нет тока, намагничен — не намагничен и т.п.), а не, например, с десятью, — как в десятичной

 - представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво;

 - двоичная арифметика намного проще десятичной.

Двоичная система, удобная для компьютеров, для человека неудобна из-за ее громоздкости и непривычной записи.
Перевод чисел из десятичной системы в двоичную и наоборот выполняет машина.

Принцип работы машины можно продемонстрировать с помощью арифметических действий.

1.4.          Правила перехода из одной системы счисления в другую.

Правила перехода из десятичной системы счисления в двоичную.

Разделить десятичное число на 2. Получится частное и остаток.

Частное опять разделить на 2. Получится частное и остаток.

Выполнять деление до тех пор, пока последнее частное не станет меньшим 2.

Записать последнее частное и все остатки в обратном порядке. Полученное число и будет двоичной записью исходного десятичного числа.

 23₁₀ = 10111₂

Правила перехода из двоичной системы счисления в десятичную.

В двоичной системе вклад единицы на первом месте справа есть число 1, на втором –  2, на третьем – 4, на четвертом – 8 и так далее. Вклады нулей, понятно, равны нулю независимо от их позиций.

Получаем такое правило:

Для перевода из двоичной системы в десятичную нужно над каждой двоичной цифрой записать вес ее позиции и сложить числа, записанные над единицами.

Так, например, для числа 10111₂ получаем:

16    8     4      2      1

1   0   1   1   1₂  = 16 + 4 + 2 + 1 = 23₁₀

1.5.           Основные арифметические действия в двоичной системе счисления.

Двоичную арифметику разработал в 1697 г известный немецкий математик Готфрид Лейбниц (1646-1716). Лейбниц настолько был восхищен этим своим открытием, что в его честь он выпустил специальную медаль, на которой были даны двоичные изображения начального ряда натуральных чисел – и, возможно, это был тот редкий случай в истории науки, когда именно математическое открытие было удостоено такой высокой почести.

Лейбниц, однако, не рекомендовал двоичную нумерацию для практических вычислений вместо десятичной системы, но подчеркивал, что «вычисление с помощью двоек, то есть 0 и 1, в вознаграждение его длиннот, является для науки основным и порождает новые открытия, которые оказываются полезными впоследствии, даже в практике чисел, а особенно в геометрии: причиной чего служит то обстоятельство, что при сведении чисел к простейшим началам, каковы 0 и 1, всюду выявляется чудесный порядок».

Простейшие математические вычисления:

Сложение двоичных чисел.

Способ сложения «столбиком» как для десятичного числа. То есть, сложение выполняется поразрядно, начиная с младшей цифры. Если при сложении двух цифр получается СУММА больше девяти, то записывается цифра = СУММА–10, а 1 добавляется к старшему разряду. Так и с двоичным числом. Складываем поразрядно, начиная с младшей цифры. Если получается больше 10₂, то записывается 0 и 1 добавляется к старшему разряду (запоминаем).

Правила сложения:

0 + 1 = 1;

1 + 0 = 1;

1 + 1 = 10.

      1  1

  10011

⁺10001

100100

Первый разряд: 1 + 1 = 10. Записываем 0, а 1 запоминаем.

Второй разряд: 1 + 0 + 1(запомненная единица) =10. Записываем 0,а 1 запоминаем.

Третий разряд: 0 + 0 + 1(запомненная единица) = 1. Записываем 1.

Четвертый разряд: 0 + 0 = 0. Записываем 0.

Пятый разряд: 1 + 1 = 10. Записываем 0 и добавляем шестым разрядом 1. 

 Вычитание двоичных чисел.

         Вычитать числа будем также столбиком и общее правило тоже, что и для десятичных чисел, вычитание выполняется поразрядно и если в разряде не хватает единицы, то она занимается в старшем.

Правила вычитания:

1 – 0 = 1

10 – 1 = 1

   . .

_1101

    110

    111

Первый разряд: 1 – 0 = 1. Записываем 1.

Второй разряд: 0 – 1(занимаем 1 у старшего разряда, получаем 10 – 1) = 1. Записываем 1.

Третий разряд:  0 – 1(занимаем 1 у старшего разряда, получаем 10 – 1) = 1. Записываем 1.

Умножение двоичных чисел.

Операция умножения двоичных чисел сводится к умножению множимого на каждый разряд множителя с последующим сдвигом и суммированием полученных произведений, аналогично умножению в десятичной системе.

Правила умножения

1 * 1 = 1

1 * 0 = 0

0 * 1 = 0

0 * 0 = 0

      _×1101

         101

      ₊1101

   1101   

 1000001

Деление двоичных чисел.

Выполняется подобно операции деления в десятичной системе.

Правила деления

1 : 1 = 1

0 : 1 = 0

_10101 111

    111    11

    _111

      111

          0

Глава 2. Практическая часть

    2.1. Перевод из одной системы счисления в другую

Перевод из десятичной системы счисления в двоичную

- 7 2 2 6 3 6 2 - 1 2 2 1 8 2 1 2 1 6 1 8 9 2 0 1 6 0 8 4 2 0 1 4 2 2 0 2 1 0

- 2 4 2 2 1 2 2 - 4 1 2 6 2 4 0 6 3 2 0 0 2 1 1

- 4 3 2 4 2 1 2 - 3 2 1 0 2 2 1 1 0 5 2 1 0 0 4 2 2 1 1 2 1 0

  Перевод из двоичной системы счисления в десятичную

- 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 - 1 1 0 1 - 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 7 3

     2.2. Основные арифметические действия

Сложение

В десятичной системе счисления	В двоичной системе счисления
Пример 1 + 4 2 2 3 6 5	+ 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1
Пример 2 + 5 7 1 9 7 6	+ 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0
Пример 3 + 5 2 1 4 6 6	+ 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0
Пример 4 + 5 1 2 8 3 2 5 4 8 3 8 2	+ 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0

Вычитание

В десятичной системе счисления	В двоичной системе счисления
Пример 1 - 5 4 2 0 3 4	- 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0
Пример 2 - 4 1 2 1 2 0	- 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0
Пример 3 - 9 8 2 4 7 4	- 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0
Пример 4 - 6 6 2 9 3 7	- 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1
Пример 5 - 1 1 2 5 1 2 1 2 3 9 1 2 8	- 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0

Умножение

В десятичной системе счисления	В двоичной системе счисления
Пример 1 × 2 6 3 7 8	× 1 1 0 1 0 1 1 + 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0
Пример 2 × 2 3 5 1 1 5	× 1 0 1 1 1 1 0 1 + 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1
Пример 3 × 2 7 2 1 + 2 7 5 4 5 6 7	× 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 + 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1
Пример 4 × 7 9 2 9 + 7 1 1 1 5 8 2 2 9 1	× 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 + 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1
Пример 5 × 4 5 2 1 1 2 7 3 1 6 4 7 + 9 0 4 2 4 5 2 1 5 7 4 1 6 7	× 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 + 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1

Деление

В десятичной системе счисления	В двоичной системе счисления
Пример 1 36:4=9	- 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 - 1 0 0 1 0 0 0
Пример 2 15:5=3	- 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 - 1 0 1 1 0 1 0
Пример 3 49:7=7	- 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 - 1 0 1 0 1 1 1 - 1 1 1 1 1 1 0
Пример 4 - 1 6 5 1 5 1 5 - 1 5 1 5 0	- 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 - 1 0 1 1 0 1 1 1 1 - 1 1 1 1 1 1 1 1 0
Пример 5 - 3 7 7 5 2 1 2 1 3 6 3 3 1 2 - 1 4 5 1 2 1 - 2 4 2 2 4 2 0

-	1	0	0	1	0	0	1	1	0	1	1	1	1	0	0	0	1	1	1	1	0	0	1
		1	1	1	1	0	0	1									1	0	0	1	1	1	0	0	0
			-	1	1	0	1	0	0	1	1
					1	1	1	1	0	0	1
				-	1	0	1	1	0	1	0	1
						1	1	1	1	0	0	1
						-	1	1	1	1	0	0	1
							1	1	1	1	0	0	1
													0

Заключение

В ходе изучения данной темы я познакомился с историей возникновения систем счисления и  выяснил, что двоичная система счисления намного старше электронных машин. Двоичной системой счисления люди интересуются давно. Эта система была описана знаменитым немецким ученым Лейбницем, который считал двоичную систему счисления простой, удобной, красивой. Даже по его просьбе была выбита медаль в честь этой «диадической» системы (так называли тогда  двоичную систему счисления).

Я рассмотрел правила выполнения арифметических действий над двоичными числами, научился выполнять основные арифметические действия в двоичной системе счисления и понял, что главное достоинство двоичной системы – простота алгоритмов сложения, вычитания, умножения и деления. В таблице умножения совсем не требуется ничего запоминать: ведь любое число, умноженное на нуль, равно нулю, а умноженное на единицу равно самому себе. Таблица деления сводится к двум равенствам 0:1 = 0, 1:1 = 1, благодаря чему деление столбиком многозначных двоичных чисел делается гораздо проще, чем в десятичной системе и, по существу, сводится к многократному вычитанию.

Двоичная система счисления наиболее проста и удобна для автоматизации.

Наличие в системе всего лишь двух символов упрощает их преобразование в электрические сигналы.

Из любой системы счисления можно перейти к двоичному коду.

Почти во всех компьютерах используют либо непосредственно двоичную систему счисления, либо двоичное кодирование какой-либо другой системы счисления.

Но двоичная система имеет и недостатки:

- ею пользуются только в компьютерах для внутренней и внешней работы;

- быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел.

Литература

·        Г.Б. Поляк «Занимательные задачи» Учпедгиз 1948 г.

·        Г.Н. Берман «Число и наука о нём» ОГИЗ Гостехиздат 1949 г.

·        И. Депман «Рассказы о математике» Детгиз. Ленинград 1954 г.

·        М.Я. Выгодский «Справочник по Элементарной математике» Издательство «Наука» Москва 1965 г.

·        С. Б. Гашков Системы счисления и их применение. — М.: МЦНМО, 2004. — (Библиотека «Математическое просвещение»).

·        Депман И.Я. Виленкин Н.Я За страницами учебника математики. Пособие для учащихся 5-6 классов средней школы М. «Просвещение» 1989г.

·         "Российское предпринимательство" Журнал по экономике. Статья Кузьмищева В.А «О системах счисления»

·        С. В. Фомин Системы счисления. — М.: Наука, 1987. — 48 с. — (Популярные лекции по математике). Шестаков А.П. Введение в информатику. Пермский университет. Пермь. 1999

·        Яглом И., «Системы счисления», Квант, № 6, 1970.

         

Муниципальное общеобразовательное учреждение

Средняя общеобразовательная школа № 172

Гайсин Радимир. 4 класс «А»

Тема: «Системы счисления. Двоичная система счисления

и основные арифметические действия в ней.

                                                                                                  Секция: «Математика»

                                                                                      Волкова Елена Олеговна

                                                                                                   Учитель высшей

                                                                                                    квалификационной категории

г.Новосибирск

Приложение