Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Научные работы / Работа МАН "Геометрия скрипки"

Работа МАН "Геометрия скрипки"

  • Математика

Документы в архиве:

816.54 КБ ГЕОМЕТРИЯ СКРИПКИ.pptx
917.83 КБ Геометрия скрипки.docx
67.16 КБ спираль Бернули.xlsx
51.71 КБ спираль Корню.xlsx

Название документа ГЕОМЕТРИЯ СКРИПКИ.pptx

ГЕОМЕТРИЯ СКРИПКИ Выполнила: Исмаилова Адиле Заировна ученица 10 класса МОУ «...
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ: Любой музыкальный инструмент, в том числе и скрипка, являе...
ЦЕЛЬ РАБОТЫ: изучить параметры скрипки, рассчитать погрешности моей скрипки и...
ЗАДАЧИ: рассчитать параметры золотой скрипки. в электронной программе построи...
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ «ЗОЛОТАЯ СКРИПКА» I.Делим отрезок АВ. ОА=218,7(14,35)мм ОВ...
II.Разделили отрезок ОВ в золотом сечении. Построили перпендикулярную прямую...
Соединили точки С и В, а также точки С1 и В. Через точку О построили перпенди...
III.Нашли точку D как пересечение прямой, проходящей через точки А и F и отре...
IV.Через точки С и F1 провели прямую до пересечения с прямой, проходящей чере...
Ширина верхнего овала: CC1= 167,24(83,62)мм Ширина нижнего овала: EE1= 206,5...
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ «РАСЧЁТ СПИРАЛИ КОРНЮ» СПИРАЛЬ КОРНЮ (по имени М. А. Корню...
Вычисления кривой корню произведем на компьютере в электронных таблицах. Вычи...
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ «РАСЧЁТ СПИРАЛИ БЕРНУЛЛИ» Логарифмическая спираль или спир...
РЕЗУЛЬТАТЫ: правила золотого сечения идеальной «Золотой скрипки» и сравнивает...
1 из 14

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 ГЕОМЕТРИЯ СКРИПКИ Выполнила: Исмаилова Адиле Заировна ученица 10 класса МОУ «
Описание слайда:

ГЕОМЕТРИЯ СКРИПКИ Выполнила: Исмаилова Адиле Заировна ученица 10 класса МОУ «Охотской ОШ»

№ слайда 2 АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ: Любой музыкальный инструмент, в том числе и скрипка, являе
Описание слайда:

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ: Любой музыкальный инструмент, в том числе и скрипка, является искусственным объектом, на который отложили свой отпечаток многие природные явления и формы. Произведения человека сходны с произведениями природы потому, что процесс образования первых сходен с процессом совершенствования природы.

№ слайда 3 ЦЕЛЬ РАБОТЫ: изучить параметры скрипки, рассчитать погрешности моей скрипки и
Описание слайда:

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: изучить параметры скрипки, рассчитать погрешности моей скрипки и скрипки великих конструкторов.

№ слайда 4 ЗАДАЧИ: рассчитать параметры золотой скрипки. в электронной программе построи
Описание слайда:

ЗАДАЧИ: рассчитать параметры золотой скрипки. в электронной программе построить кривые.

№ слайда 5 ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ «ЗОЛОТАЯ СКРИПКА» I.Делим отрезок АВ. ОА=218,7(14,35)мм ОВ
Описание слайда:

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ «ЗОЛОТАЯ СКРИПКА» I.Делим отрезок АВ. ОА=218,7(14,35)мм ОВ=354-218,7=135,3 (67,65)мм

№ слайда 6 II.Разделили отрезок ОВ в золотом сечении. Построили перпендикулярную прямую
Описание слайда:

II.Разделили отрезок ОВ в золотом сечении. Построили перпендикулярную прямую к отрезку АВ через точку А. Отложили на этой прямой от точки А в обе стороны отрезки (АС и АС1). АС=АС1=ОВ*0,618=АВ*0,6183=83,62(41,80)мм.

№ слайда 7 Соединили точки С и В, а также точки С1 и В. Через точку О построили перпенди
Описание слайда:

Соединили точки С и В, а также точки С1 и В. Через точку О построили перпендикулярный отрезок FF1 до пересечения с отрезками ВС и ВС1 . FF1 =АВ*2(0,618)5=63,82(31,91)мм.

№ слайда 8 III.Нашли точку D как пересечение прямой, проходящей через точки А и F и отре
Описание слайда:

III.Нашли точку D как пересечение прямой, проходящей через точки А и F и отрезка ЕЕ1. Аналогично нашли точку D1. ВЕ=ВЕ1=АВ*2(0,618)4 =103,27(51,63)мм.

№ слайда 9 IV.Через точки С и F1 провели прямую до пересечения с прямой, проходящей чере
Описание слайда:

IV.Через точки С и F1 провели прямую до пересечения с прямой, проходящей через точку В и перпендикулярной отрезку АВ. Получили точку Е1 . Точка Е определяется аналогично. Получили отрезки С1Е и СЕ1 . BD=АВ*(0,618)4=52,74(26,37)мм. Геометрическая константа построена.

№ слайда 10 Ширина верхнего овала: CC1= 167,24(83,62)мм Ширина нижнего овала: EE1= 206,5
Описание слайда:

Ширина верхнего овала: CC1= 167,24(83,62)мм Ширина нижнего овала: EE1= 206,54(103,27)мм Ширина средней части: RR1= 109,38(54,69)мм V.Сравним полученные результаты вычислений с реальными размерами скрипки(в мм):   Расчетная Моя скрипка Никола Амати Длина 354 354 354 Ширина верхнего овала 167,24 168 167 Ширина нижнего овала 206,54 214 206 Ширина средней части 109,38 114 109

№ слайда 11 ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ «РАСЧЁТ СПИРАЛИ КОРНЮ» СПИРАЛЬ КОРНЮ (по имени М. А. Корню
Описание слайда:

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ «РАСЧЁТ СПИРАЛИ КОРНЮ» СПИРАЛЬ КОРНЮ (по имени М. А. Корню, М. А. Соrnu) (клотоида) - кривая, состоит из двух симметричных ветвей, бесконечное число раз обвивающихся вокруг "фокусов" F и   и неограниченно приближающихся к ним. кривая, у которой кривизна изменяется линейно как функция длины дуги.

№ слайда 12 Вычисления кривой корню произведем на компьютере в электронных таблицах. Вычи
Описание слайда:

Вычисления кривой корню произведем на компьютере в электронных таблицах. Вычисления проводили по данным формулам:

№ слайда 13 ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ «РАСЧЁТ СПИРАЛИ БЕРНУЛЛИ» Логарифмическая спираль или спир
Описание слайда:

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ «РАСЧЁТ СПИРАЛИ БЕРНУЛЛИ» Логарифмическая спираль или спираль Бернулли — особый вид спирали, часто встречающийся в природе .

№ слайда 14 РЕЗУЛЬТАТЫ: правила золотого сечения идеальной «Золотой скрипки» и сравнивает
Описание слайда:

РЕЗУЛЬТАТЫ: правила золотого сечения идеальной «Золотой скрипки» и сравнивается с ней скрипка мастера Николо Амати и скрипка промышленного производства. Отклонения составляют 3,5-4,5% по основным геометрическим размерам. проведению вычислений геометрических кривых клотоиды (спирали Корню) и спирали Бернулли которые целенаправленно применяли великие мастера, как неких шаблонов, для вычерчивания контуров инструмента.

Название документа Геометрия скрипки.docx

Поделитесь материалом с коллегами:

Министерство образования, науки и молодежи

Республики Крым

Малая академия наук Крыма «Искатель»



Отделение: математика

Секция: прикладная математика


Работу выполнил:

Исмаилова Адиле Заировна,

ученица 10 класса МУЗ «Охотская общеобразовательной школы I-III ступеней» Нижнегорского района



Научный руководитель:

Исмаилов Заир Сурияевич

учитель математики МУЗ «Охотская общеобразовательной школы I-III ступеней» Нижнегорского района






Геометрия скрипки

































с. Охотское – 2015

ТЕЗИСЫ.

Работа посвящена закономерностям, которые описываются языком математики. Прослеживаются в конструкции скрипки, ее геометрических размерах изгибах ее корпуса. Проверяется соответствие правилу золотого сечения скрипки промышленного производства. Проведено вычисление геометрических кривых спирали Корню и спирали Бернулли которые используются скрипичными мастерами при конструировании инструмента.

































СОДЕРЖАНИЕ.

  1. Введение. ……………………………………………………………… - 4

  2. История создания скрипки ………………………………………….. - 6

  3. Конструкция скрипки. ………………………………………………. - 8

  4. Золотая скрипка. …………………………………………………….. - 10

  5. Скрипка и геометрические кривые. ………………………………... - 13

  6. Заключение …………………………………………………………... - 18

  7. Литература. ………………………………………………………….. - 19







































ВВЕДЕНИЕ

Вопрос о математических предпосылках прекрасного, о роли математики (в частности геометрии) в искусстве волновал еще древних греков. Истоки такого интереса можно найти и у древних вавилонян. Можно даже предположить, что математика и искусство возникли почти одновременно в связи с религиозно-философскими исканиями человека, и что между математикой и искусством существуют весьма тесные и многообразные связи.

Роль математики в раскрытии секретов искусства прослеживается в творчестве таких гигантов, как Витрувий, Альбрехт Дюрер, Леонардо да Винчи или Томас Гобс. Важное место геометрия занимала в творчестве не только художников и архитекторов, но и, конечно же, в творчестве выдающихся скрипичных мастеров. К сожалению, в отличие от первых, скрипичные мастера не оставили нам каких-либо теоретических положений, применительно к своему творчеству.

Если говорить о геометрии скрипки, то возникает вопрос: Что ставить в основу ее конструирования - эстетическое начало (красота, изящество) или физическое (акустика, механика)? Пограничная полоса между научным и художественным творчеством оказалась довольно непроходимой для взаимного освоения, ибо по обе ее стороны лежат два разных мира - мир научных понятий и мир художественных образов. Геометрия, призванная построить мост между этими двумя мирами, с трудом прокладывает путь в области инструментоведения. Многочисленные распространенные приемы геометрического анализа струнных инструментов, созданных великими мастерами, не имеют никакого акустического обоснования, да и эстетическая целесообразность таких методов вызывает сомнение. Различные части скрипки вычерчиваются циркулем простым подбором радиусов, что, скорее, похоже на копирование, чем на поиск логических закономерностей.

Конечно, и архитекторы, и инженеры во все времена при построении чертежа использовали циркуль и линейку. В этом нет ничего удивительного, так как в основном в конструкциях используются прямые линии и дуги окружностей. Но, например, при конструировании летательных аппаратов, скоростных автомобилей или радаров циркуль не поможет. Существуют и другие технические конструкции, которые вычерчиваются не циркулем, а при помощи какой-нибудь математической кривой. Нашей задачей является нахождение такой кривой, которая подходила бы к требованиям скрипичного конструирования, а именно: она должна быть изящна и в большей мере соответствовать причудливым изгибам инструмента, отвечать критериям акустики и механики.



































ёИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ СКРИПКИ

Прародителями скрипки: арабский ребараб, казахский кобыз, испанская фи́дель, британская кротта, слияние которых и образовало виолу отсюда итальянское название скрипки violino. В качестве народного инструмента скрипка особенно широкое распространение получила в Польше, Украине, Румынии, Истрии и Далмации (ныне Югославии). В середине ХVI века на севере Италии сложилась современная конструкция скрипки. Изготовлением скрипки занимались мастера работы которых звучат и сейчас.hello_html_m7eaf9c64.jpg

Гаспар Бартолометти да Сало – один из ранних брешианских мастеров, чьи скрипки, сохранились до наших дней, Хотя его первые скрипки датируются 1562 годом, что не позволяет ему считаться зачинателем скрипичного строительства в Италии, он по праву остался в истории как основатель брешианской скрипичной школы.

Ама́ти  — итальянское семейство из Кремоны, занимавшееся изготовлением струнных смычковых инструментов, преимущественно скрипок. Скрипки Амати имеют приятный, чистый, нежный, хотя и не сильный, тон; скрипки эти небольшого размера, красиво отделаны, сверху и снизу значительно выгнуты, вследствие чего не имеют широкого и звучного тона. Основатель фабрики кремонских скрипок Андре́а Ама́ти (наз. просто «Амати») происходил из древнего рода, жившего в Кремоне в XVI веке; сыновья его Анто́нио и Джирола́мо продолжали дело отца.

Анто́нио Великий Страдива́ри — знаменитый мастер струнных инструментов, ученик Николо Амати. Сохранилось около 720 инструментов его работы. Считается, что Антонио Страдивари родился в 1644 году, хотя точная дата его рождения не зарегистрирована. Он родился в Кремоне. Его родителями были Алессандро Страдивари и Анна Морони. Полагают, что с 1667 по 1679 годы он служил бесплатным учеником у Николо Амати, то есть выполнял черновую работу. Он старательно улучшал работы Амати, добиваясь певучести и гибкости голосов у своих инструментов; изменял их форму на более изогнутую; занимался украшением инструментов. Общепризнанно, что самые его лучшие инструменты были изготовлены с 1698 по 1725 годы (а наилучшие в 1715 году), в том числе превышая по качеству инструменты, изготовленные впоследствии с 1725 по 1730 годы.

Современниками: Андреа Амати, Гаспаро да Сало и Джованни Маджини. Эти трое мастеров считаются создателями первых скрипок современного типа. Самой знаменитой скрипкой считается скрипка Страдивари стоимость которой оценивается в несколько миллионов долларовhello_html_5ee45971.jpg

.hello_html_m495945a6.jpg



КОНСТРУКЦИЯ СКРИПКИ

Для вычисления золотых пропорций скрипки прежде всего нам нужно изучить её конструкцию. Конструкция скрипки представлена на рис. Инструмент состоит из следующих частей: корпус (1), шейка с головкой (2), подставка (3), струнодержатель, или подгриф (4), колки (5), гриф (6), верхний порожек (7). Корпус, имеющий сложную фигурную форму, состоит из рамки (8) и приклеенных к ней верхней (9) и нижней (10) дек.. Верхнюю деку изготавливают из цельного куска ели (реже – из двух склеенных половинок). На верхней деке находятся эфы (11) – звуковые отверстия длиной 76-78 мм, формой напоминающие латинскую букву f. Нижняя дека бывает цельной или состоящей из двух частей. Ее делают из явора (также называемого белым кленом). Кроме того, в корпусе имеется еще два очень важных элемента: —душка (12) — еловая палочка цилиндрической формы, которая устанавливается под правой (высокочастотной) ногой подставки. Точное место установки душки подбирается эмпирически и оказывает сильное влияние на звук (например, чем ближе душка стоит к подставке, тем сильнее и резче звук, для его «смягчения» душку немного смещают к подгрифу). Душка касается верхней и нижней деки и придает им дополнительные жесткость и напряжение (она их подпирает); кроме того, она служит для передачи вибрации от верхней деки к нижней. Диаметр душки у скрипок обычно составляет 5-7 мм, держится она только на трении; — пружина (13) — ребро жесткости на верхней деке под левой (низкочастотной) ногой подставки. Это брусок из дерева (плотной мелкослойной ели), который укрепляет верхнюю деку и служит для передачи вибраций от подставки. Он приклеивается в несколько напряженной изогнутой форме, концы чуть отстоят от верхней деки. Обычно он имеет наибольшую высоту в середине с постепенным понижением к краям. Общая длина пружины обычно равна 0,75 L (L — длина корпуса): у старинных итальянских скрипок ее длина 241-254 мм, толщина 5 мм, высота в центре — 6-8 мм.hello_html_m5adc3f70.jpg

hello_html_69496c1b.jpg

Рис.2 Поперечный разрез скрипки (вид пружины и душки)















ЗОЛОТАЯ СКРИПКА

  hello_html_1c734bca.jpg

Рассчитаем и построем идеальную скрипку исходя из начальных размеров моей скрипки использую принцип золотого сечения. AB=354мм(177мм) (построение произведем в масштабе 1:2)

Рис.1 деление отрезка АВ так, что длина меньшего отрезка ОВ относится к большему отрезку АО, как отрезок АО относится к длине всего отрезка АВ. То есть ОВ:АО= АО:АВ=Ф.hello_html_m7c270ff4.jpg

Φ=0,618 (золотая пропорция) ОА=218,7(14,35)мм ОВ=354-218,7=135,3 (67,65)мм

Рис. 2. Разделим отрезок ОВ в золотом сечении. Построим перпендикулярную прямую к отрезку АВ через точку А. Отложим на этой прямой от точки А в обе стороны отрезки (АС и АС1), равные большей части поделенного отрезка ОВ. Длины их равны АС=АС1=ОВ*0,618=АВ*0,6183=83,62(41,80)мм.hello_html_272589cf.jpg

Рис. 3. Соединим точки С и В, а также точки С1 и В. Через точку О построим перпендикулярный отрезок FF1 до пересечения с отрезками ВС и ВС1 . Его длина равна FF1 =АВ*2(0,618)5=63,82(31,91)мм.

Рис. 4. Через точки С и F1 проведем прямую до пересечения с прямой, проходящей через точку В и перпендикулярной отрезку АВ. Получим точку Е1 . Точка Е определяется аналогично. Получим отрезки С1Е и СЕ1 . Длина отрезка ВЕ находится из подобия треугольников С1ВЕ и C1FF1.hello_html_69170f0c.jpg

ВЕ=ВЕ1=АВ*2(0,618)4 =103,27(51,63)мм.


Рис. 5. Находим точку D как пересечение прямой, проходящей через точки А и F и отрезка ЕЕ1. Аналогично находим точку D1. Из подобия треугольников ABD и AOF вычисляем длину отрезка BD.hello_html_6dfb0e62.jpg

BD=АВ*(0,618)4=52,74(26,37)мм.

Геометрическая константа построена.

Для полного завершения проведём дополнительные вспомогательные линии смотри рис.6

Тогда:

Ширина верхнего овала: CC1= 167,24(83,62)ммhello_html_672cb023.jpg

Ширина нижнего овала: EE1= 206,54(103,27)мм

Ширина средней части: RR1= 109,38(54,69)мм

Сравним полученные результаты вычислений с реальными размерами скрипки(в мм):

Расчетная

Моя скрипка

Никола Амати

Длина

354

354

354

Ширина верхнего овала

167,24

168

167

Ширина нижнего овала

206,54

214

206

Ширина средней части

109,38

114

109







 Аналогичное сравнение размеров ряда скрипок всемирно известных мастеров с расчетными величинами на основе геометрической константы приведены в таблице 2 .



hello_html_69dbcb03.jpg

Из таблицы 1 видим что размеры скрипки изготовленная Николо Амати создана с минимальными погрешностями. А в скрипке промышленного производства имеются значительные отклонения от правила золотого сечения.

Ширина нижнего овала 206,54 - 214 = -7,46 ошибка 3,6%.

Ширина средней части 109,38- 114= -4,16 ошибка 4,2%.













СКРИПКА И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ.

Любой музыкальный инструмент, в том числе и скрипка, является искусственным объектом, на который отложили свой отпечаток многие природные явления и формы. Произведения человека сходны с произведениями природы потому, что процесс образования первых сходен с процессом совершенствования природы. Абстрактное осмысление единства природных, естественных объектов с объектами искусственными, созданными руками и волей человека, приводит к мысли, что все искусственные объекты как бы выкристаллизовались из материала природы под воздействием сознательной деятельности человека. Другими словами, искусственное есть результат преобразования естественного.

Между естественными и искусственными объектами существует и принципиальное различие. Если первые являются непосредственно данными, они есть и созданы природой в процессе длительной эволюции, то созданию искусственных объектов предшествует конструирование или проектирование.

Проектирование скрипки это теоретическая стадия. Основываясь на уже известных фактах, мы представляем вашему вниманию математические модел скрипки, которая, я думаю, будет отвечать всем требованиям скрипичного конструирования. Для вычерчивания контурных кривых скрипки используют шаблоны кривых. Наиболее подходящие для этого геометрические кривые клотоида и спираль Бернулли.

СПИРАЛЬ КОРНЮ (по имени М. А. Корню, М. А. Соrnu) (клотоида) - кривая, состоит из двух симметричных ветвей, бесконечное число раз обвивающихся вокруг "фокусов" F и hello_html_m5eba50dd.jpg и неограниченно приближающихся к ним. кривая, у которой кривизна изменяется линейно как функция длины дуги. hello_html_ma3387d4.png

Уравнения в параметрической. форме имеет вид интегралов Френеля :

hello_html_m2e6692d8.jpg



"фокусы" hello_html_m74e7021e.jpg и hello_html_53bcc374.jpg -асимптотические точки кривой; hello_html_72e9bc12.jpg

hello_html_m4c6ec008.pnghello_html_43e967d.png

Вычисления кривой корню произведем на компьютере в электронных таблицах.

hello_html_m7020aea0.png

Расчет № 1

N=0 ÷20

X=0÷4












Логhello_html_54d6f0cd.pngарифмическая спираль или спираль Бернулли — особый вид спирали, часто встречающийся в природе .В полярных координатах кривая может быть записана как

либо hello_html_2b7a58d5.png,

где hello_html_m42eb6b9c.png — угол отклонения точки от нуля, r — радиус-вектор точки, a — коэффициент, отвечающий за расстояние между витками, b — коэффициент, отвечающий за густоту витков.

В параметрической форме может быть записана как

hello_html_6789381e.pnghello_html_7ae8abee.png

где a, b — действительные числа, t — аналог hello_html_m42eb6b9c.png в выражении в полярный координатах

Расчет №2hello_html_m3b1812f9.png

а = 3,8

в = 0,4
















Расчет №2hello_html_6922cb95.png

а = 3,65

в=1,5











Результатами вычислений можно познакомится в приложении.

Как уже выше отмечалось по данным строениям можно изготовить шаблоны и лекала необходимые при изготовления деталей скрипки.

К примеру Посмотрим на рисунки где изображен анализ скрипичной головки(рис 2), эфы(рис) и дна (рис3) скрипки А.Страдивари 1715 года, видно, размеры кривых их взаимное положение потребует достаточно большого объема вычислений.

В конструкции скрипки чаще всего используются не полные кривые а их фрагменты, или комбинации.hello_html_m6197ae41.jpghello_html_m4ab8ae2c.jpg

hello_html_m4255e9b0.jpg





















































ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Данную работу можно разбить на две части:

-в первой проводится вычисление на основе правила золотого сечения идеальной «Золотой скрипки» и сравнивается с ней скрипка мастера Николо Амати и скрипка промышленного производства. Отклонения составляют 3,5-4,5% по основным геометрическим размерам.

Вторая часть работы посвящена проведению вычислений геометрических кривых клотоиды (спирали Корню) и спирали Бернулли которые целенаправленно применяли великие мастера, как неких шаблонов, для вычерчивания контуров инструмента.

Конечно же А.Страдивари, ни другие мастера не использовали математический аппарат для вычерчивания кривых. Они использовали другие способы построений. Этот вывод подтверждается тем, что при таком многообразии кривых, выполненных Страдивари, все они очень близко и точно повторяют расчетные значения.























ЛИТЕРАТУРА

  1. Бронштейн И Н Семендяев К А «Справочник по математике» Издательство «Наука» 1986 г.

  2. Вирченко П.А., Ляшко И.И., Швецов К.И. Графики функций. - Киев: Наук. думка, 1979. 320 с.



Интернет ресурсы:

  1. http://samlib.ru/editors/m/muratow_s_w/bass_bar.shtml Муратов С В The Art of the Violin Design"«Геометрия скрипки»

  2. http://www.goldformula.ru/index.php?issue_id=34 - Скрипка и золотое сечение.

  3. ru.wikipedia.org - Электронная энциклопедия.









20

Краткое описание документа:

Научная работа выполненная для МАН "Искатель" (Крым) учеником 10 класса. Рассматриваются вопросы связанные с формой и размерами скрипки. Проведены расчеты в электронных таблицах кривых: "спирали Бернулли" и "спирали Корню". В архиве кроме текста работы прилагается презентация (использованная при защите) и файлы электронных таблиц с расчетами математических кривых.

Автор
Дата добавления 16.11.2016
Раздел Математика
Подраздел Научные работы
Просмотров17
Номер материала ДБ-358679
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх