Работа на уроке "Задачи про выбор шаров из урны", 10-11 класс

Задачи про выбор шаров из урны или корзины.

В корзине находится K белых и (N – K) чёрных шаров, всего N шаров. Из неё наудачу вынимают n шаров. Найти вероятность того, что будет выбрано ровно k белых и (n – k) чёрных шаров.

Искомая вероятность находится по формуле: ,

где С – число сочетаний.

Примечание:

1)       число сочетаний из n объектов по k находят по формуле:

2)      n! – факториал натурального числа n, равен произведению всех натуральных чисел от 1 до n. То есть n! = 1· 2 · 3·…· (n – 1)· n.

Примеры решений задач о выборе шаров.

Задача 1.

В урне 9 белых и 6 чёрных шаров. Наудачу отобраны 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них окажется ровно 3 белых шара.

Решение:

Выпишем значения параметров: K = 9 белых, N – K = 6 чёрных шаров, всего N = 9 + 6 = 15 шаров. Выбираем n = 5 шаров, из них k = 3  белых и n – k = 5 – 3 = 2  чёрных.

Находим три сочетания:

А теперь вероятность:

Ответ: 0,42.

Задача 2.

В корзине 6 белых и 7 красных шаров. Какова вероятность вытащить наудачу оба белых шара?

Решение:

Здесь шары не белые и чёрные, а белые и красные. Но на ход решения и ответ это не влияет.

Выпишем значения параметров: K = 6 белых, N – K = 7 красных шаров, всего N = 6 + 7 = 13 шаров. Выбираем n = 2 шара, из них k = 2  белых и n – k = 2 – 2 = 0 красных.

Находим три сочетания:

А теперь вероятность:

Ответ: 0,192.

Задача 3.

В урне лежат 6 белых и 5 чёрных шаров. Из урны достали 2 шара. Какова вероятность, что они одного цвета?

Решение:

Введём искомое событие А = (Выбранные шары одного цвета).

Представим событие А в виде суммы двух несовместных событий:

А = А₁ + А₂ , где

А₁ = (Выбранные шары белого цвета),

А₂ = (Выбранные шары чёрного цвета),

Выпишем значения параметров: K = 6 белых, N – K = 5 чёрных шаров, всего N = 6 + 5 = 11 шаров.

Для события А₁:

Выбираем n = 2 шара, из них k = 2  белых и n – k = 2 – 2 = 0 чёрных.

Находим вероятность:

Для события А₂:

Выбираем n = 2 шара, из них k = 0 белых и n – k = 2 чёрных.

Находим вероятность:

Найдём вероятность искомого события А = (Выбранные шары одного цвета):

Ответ: 0,455.

Решение задач о выборе шаров. Вариант 1.

№1°. А) В урне 4 красных и 6 черных шаров. Наудачу отобраны 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них окажется ровно 2 черных шара.

Б) В урне 7 белых и 8 черных шаров. Наудачу отобраны 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них окажется ровно 3 белых шара.

№2. В урне 7 белых и 8 черных шаров. Какова вероятность вытащить наудачу 3 черных шара?

№3^*. В корзине лежат 7 белых и 8 черных шаров. Из корзины достали 3 шара. Какова вероятность, что они одного цвета?

Решение задач о выборе шаров. Вариант 2.

№1°. А) В урне 6 белых и 4 черных шаров. Наудачу отобраны 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них окажется ровно 2 белых шара.

Б) В урне 5 белых и 10 красных шаров. Наудачу отобраны 6 шаров. Найти вероятность того, что среди них окажется ровно 4 красных шара.

№2. В урне 5 белых и 10 красных шаров. Какова вероятность вытащить наудачу 4 белых шара?

№3^*. В корзине лежат 5 белых и 10 красных шаров. Из корзины достали 4 шара. Какова вероятность, что они одного цвета?