Оглавление
Введение. 2
Цель работы: 2
Глава 1. Теория. 2
Глава 2. Практика. 6
Используемая
литература. 8
Данная курсовая работа по предмету
«Дифференциальные уравнения» рассчитана на умение применять полученные
теоретические и практические навыки для решения задачи
Решить
поставленную задачу, применяя теорию и практику.
Теорема Гробмана –
Хартмана.
Пусть O – грубая
неподвижная точка некоторого диффеоморфизма T . Тогда
существуют окрестности U1 и U2 точки O, в которых диффеоморфизм T и его
линейная часть топологически сопряжены.
В
случае негрубой неподвижной точки подобное утверждение неверно. Это легко показать,
если матрица A линейного отображения
= Ax
имеет мультипликаторы,
равные 1 по модулю. Здесь можно добавить в правую часть нелинейный член g(x) так, что новое отображение
= Ax + g(x)
не будет топологически
сопряжено со своей линейной частью.
Например,
одномерное отображение
= x + x2
имеет только одну
неподвижную точку O (см. рис. 3.4.2), тогда как все точки
являются неподвижными
точками для соответствующего линеаризованного
отображения
Рис. 1. Ступенчатая
функция Ламерея. График функции f(x) = x + x2 касается
биссектрисы в
неподвижной точке типа седло-узел
Рассмотрим
другой пример: отображение
= −x + x3 ,
имеющее устойчивую
неподвижную точку O (см. рис. 3.4.3), не сопряжено с линейным отображением
= x ,
для которого все точки
(кроме O) периодические с периодом 2.
Рис. 2. Спираль Ламерея
отображения x = −x + x3. Вне начала координат
производные отображения
меньше 1 по абсолютной величине; неподвижная точка является устойчивой
В
качестве следующего примера рассмотрим линейное отображение, имеющее
неподвижную точку с парой комплексно сопряженных мультипликаторов e±iω:
= x cos ω − y sin ω ,
= x sin ω + y cosω .
Все
траектории лежат на инвариантных окружностях, расположенных симметрично
относительно точки O(0, 0). Это отображение не сопряжено с отображением
= x cos ω − y sin ω − x(x2 + y2) cosω ,
= x sin ω + y cos ω − y(x2 + y2) cosω ,
траектории которого
стремятся к точке O по спиралям.
В
том случае, когда все мультипликаторы неподвижной точки O диффеоморфизма T меньше 1 по абсолютной
величине, все положительные полутраектории стремятся к O. Если все
мультипликаторы лежат вне единичной окружности, отрицательная полутраектория
точки из малой окрестности точки O стремится к неподвижной точке. При положительных итерациях
отображения T все траектории (кроме самой точки) покидают окрестность
неподвижной точки.[1]
В
случае седла, т. е. когда есть мультипликаторы как внутри, так и вне
единичной окружности,
неподвижная точка имеет (локально) устойчивое
инвариантное
многообразие Wsloc и неустойчивое инвариантное многообразие Wuloc, которые
являются образами инвариантных подпространств s и u соответствующей
линеаризованной системы относительно гомеоморфизма η, устанавливающего
топологическую сопряженность. Следовательно, положительная полутраектория любой
точки в многообразии Wsloc лежит в нем полностью и стремится к седловой точке O. С другой стороны,
отрицательная полутраектория произвольной точки в многообразии Wuloc лежит полностью
в Wuloc и стремится к O. Размерность устойчивого (неустойчивого) многообразия равна
числу мультипликаторов, лежащих внутри (вне) единичной окружности. Траектории
точек, не лежащих в Wsloc ∪ Wuloc, проходят
мимо седла.
Очевидно,
если один диффеоморфизм в окрестности седловой неподвижной точки сопряжен
другому в окрестности другой неподвижной точки, то размерности устойчивых
(неустойчивых) многообразий обеих этих
седловых точек должны
быть равны (для сохранения общности, полагаем,
что Wu = {∅} и dimWu = 0 в случае устойчивой
неподвижной точки; и Ws = {∅}, dimWs = 0 в случае, когда точка вполне неустойчива). Однако, в отличие
от случая грубых положений равновесия, не только одни лишь
размерности устойчивого и неустойчивого многообразий являются инвариантами
относительно локальной топологической сопряженности.
Чтобы
найти другие инварианты, заметим, что теорема Гробмана –Хартмана допускает
следующее обобщение:
В некоторой окрестности начала координат линейное невырожденное
отображение, не имеющее мультипликаторов на единичной окружности, топологически
сопряжено с любым достаточно близким отображением.
Из
этого, в частности, вытекает то, что любые два близкие линейные
отображения
топологически сопряжены. Таким образом, для двух произвольных матриц A0 и A1, отображения
и
будут топологически
сопряжены, если можно построить такое семейство
матриц A(s), непрерывно зависящее от
параметра s ∈ [0, 1], что A(0) = A0 и
A(1) = A1, при условии, что все
матрицы A(s) являются невырожденными
и не имеют собственных значений на единичной окружности.[2]
Формулировка задачи.
Найти траектории для уравнения при .
Нарисовать фазовый портрет в каждом из случаев.
Решение.
Заменим
уравнение системой уравнений
;
Найдем
неподвижные точки. Для этого решим систему
;
Заметим
что неподвижная точка будет в случае , т. к.
, следовательно
неподвижная точка в случае имеет координаты
Рассмотрим
систему для каждого случая.
1.
.
Определим
вид точки. Для этого построим якобиан
Посчитаем
его для нашей неподвижной точки
Решим
уравнение
Полученные
значения показывают, что наша неподвижная точка – седло, неустойчивое.
Найдем
уравнение траектории
;
;
;
2.
;
;
3.
.
;
;
1.
Оболенский А.Ю. Лекции по качественной
теории дифференциальных уравнений. Учебно – методическое пособие. Для студентов
математических специальностей вузов.
2.
Тураев Д. В., Чуа Л., Шильников Л. П.,
Шильников А. Л. Методы качественной теории в нелинейной динамике. —
Москва-Ижевск:Институт компьютерных исследований, 2003, 428 стр.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.