Инфоурок Математика Научные работыРабота по теме "Фазовый портрет!

Работа по теме "Фазовый портрет!

Скачать материал

Оглавление

Введение. 2

Цель работы: 2

Глава 1. Теория. 2

Глава 2. Практика. 6

Используемая литература. 8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение.

Данная курсовая работа по предмету «Дифференциальные уравнения» рассчитана на умение применять полученные теоретические и практические навыки для решения задачи

Цель работы:

Решить поставленную задачу, применяя теорию и практику.

Глава 1. Теория.

Теорема Гробмана – Хартмана.

Пусть O – грубая неподвижная точка некоторого диффеоморфизма T . Тогда существуют окрестности U1 и U2 точки O, в которых диффеоморфизм T и его линейная часть топологически сопряжены.

В случае негрубой неподвижной точки подобное утверждение неверно. Это легко показать, если матрица A линейного отображения

= Ax

имеет мультипликаторы, равные 1 по модулю. Здесь можно добавить в правую часть нелинейный член g(x) так, что новое отображение

= Ax + g(x)

не будет топологически сопряжено со своей линейной частью.

         Например, одномерное отображение

= x + x2

имеет только одну неподвижную точку O (см. рис. 3.4.2), тогда как все точки

являются неподвижными точками для соответствующего линеаризованного

отображения

Рис. 1. Ступенчатая функция Ламерея. График функции f(x) = x + x2 касается

биссектрисы в неподвижной точке типа седло-узел

 

Рассмотрим другой пример: отображение

 = x + x3 ,

имеющее устойчивую неподвижную точку O (см. рис. 3.4.3), не сопряжено с линейным отображением

 = x ,

для которого все точки (кроме O) периодические с периодом 2.

 

Рис. 2. Спираль Ламерея отображения x = x + x3. Вне начала координат

производные отображения меньше 1 по абсолютной величине; неподвижная точка является устойчивой

 

В качестве следующего примера рассмотрим линейное отображение, имеющее неподвижную точку с парой комплексно сопряженных мультипликаторов e±:

 = x cos ω y sin ω ,

 = x sin ω + y cosω .

Все траектории лежат на инвариантных окружностях, расположенных симметрично относительно точки O(0, 0). Это отображение не сопряжено с отображением

 = x cos ω y sin ω x(x2 + y2) cosω ,

 = x sin ω + y cos ω y(x2 + y2) cosω ,

траектории которого стремятся к точке O по спиралям.

В том случае, когда все мультипликаторы неподвижной точки O диффеоморфизма T меньше 1 по абсолютной величине, все положительные полутраектории стремятся к O. Если все мультипликаторы лежат вне единичной окружности, отрицательная полутраектория точки из малой окрестности точки O стремится к неподвижной точке. При положительных  итерациях отображения T все траектории (кроме самой точки) покидают окрестность неподвижной точки.[1]

В случае седла, т. е. когда есть мультипликаторы как внутри, так и вне

единичной окружности, неподвижная точка имеет (локально) устойчивое

инвариантное многообразие Wsloc и неустойчивое инвариантное многообразие  Wuloc, которые являются образами инвариантных подпространств s и u соответствующей линеаризованной системы относительно гомеоморфизма η, устанавливающего топологическую сопряженность. Следовательно, положительная полутраектория любой точки в многообразии Wsloc лежит в нем полностью и стремится к седловой точке O. С другой стороны, отрицательная полутраектория произвольной точки в многообразии Wuloc лежит полностью в Wuloc и стремится к O. Размерность устойчивого (неустойчивого) многообразия равна числу мультипликаторов, лежащих внутри (вне) единичной окружности. Траектории точек, не лежащих в Wsloc Wuloc, проходят мимо седла.

Очевидно, если один диффеоморфизм в окрестности седловой неподвижной точки сопряжен другому в окрестности другой неподвижной точки, то размерности устойчивых (неустойчивых) многообразий обеих этих

седловых точек должны быть равны (для сохранения общности, полагаем,

что Wu = {} и dimWu = 0 в случае устойчивой неподвижной точки; и Ws = {}, dimWs = 0 в случае, когда точка вполне неустойчива). Однако, в отличие от случая грубых положений равновесия, не только одни лишь размерности устойчивого и неустойчивого многообразий являются инвариантами относительно локальной топологической сопряженности.

Чтобы найти другие инварианты, заметим, что теорема Гробмана –Хартмана допускает следующее обобщение:

В некоторой окрестности начала координат линейное невырожденное отображение, не имеющее мультипликаторов на единичной окружности, топологически сопряжено с любым достаточно близким отображением.

Из этого, в частности, вытекает то, что любые два близкие линейные

отображения топологически сопряжены. Таким образом, для двух произвольных матриц A0 и A1, отображения

   и 

будут топологически сопряжены, если можно построить такое семейство

матриц A(s), непрерывно зависящее от параметра s [0, 1], что A(0) = A0 и

A(1) = A1, при условии, что все матрицы A(s) являются невырожденными

и не имеют собственных значений на единичной окружности.[2]

Глава 2. Практика

Формулировка задачи.

Найти траектории для уравнения    при . Нарисовать фазовый портрет в каждом из случаев.

Решение.

Заменим уравнение  системой уравнений

  ;

Найдем неподвижные точки. Для этого решим систему

  ;

Заметим что неподвижная точка будет в случае  , т. к.

 , следовательно неподвижная точка  в случае   имеет координаты

Рассмотрим систему для каждого случая.

1.   .

Определим вид точки. Для этого построим якобиан

Посчитаем его для нашей неподвижной точки

Решим уравнение

Полученные значения показывают, что наша неподвижная точка – седло, неустойчивое.

Найдем уравнение траектории

;

;

 ;

2.  

;

;

3.   .

;

;

Используемая литература.

1.     Оболенский А.Ю. Лекции по качественной теории дифференциальных уравнений. Учебно – методическое пособие. Для студентов математических специальностей вузов.

2.     Тураев Д. В., Чуа Л., Шильников Л. П., Шильников А. Л. Методы качественной теории в нелинейной динамике. — Москва-Ижевск:Институт компьютерных исследований, 2003, 428 стр.

 

 

 

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Работа по теме "Фазовый портрет!"

Методические разработки к Вашему уроку:

Получите новую специальность за 2 месяца

Специалист по автотранспорту

Получите профессию

Интернет-маркетолог

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 625 539 материалов в базе

Скачать материал

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 12.06.2016 578
    • DOCX 56.7 кбайт
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Куликов Александр Юрьевич. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    Куликов Александр Юрьевич
    Куликов Александр Юрьевич
    • На сайте: 8 лет и 4 месяца
    • Подписчики: 25
    • Всего просмотров: 110745
    • Всего материалов: 41

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой

Курс профессиональной переподготовки

Экскурсовод

Экскурсовод (гид)

500/1000 ч.

Подать заявку О курсе

Курс повышения квалификации

Система работы учителя математики по подготовке учащихся основной школы к математическим конкурсам и олимпиадам в рамках обновленного ФГОС ООО

36/72 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 93 человека из 40 регионов

Курс повышения квалификации

Ментальная арифметика: отрицательные числа, дроби, возведение в квадрат, извлечение квадратного корня

36 ч. — 144 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 112 человек из 42 регионов

Курс повышения квалификации

Реализация межпредметных связей при обучении математике в системе основного и среднего общего образования

36 ч. — 144 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 22 человека из 15 регионов

Мини-курс

Готовимся к ЕГЭ по литературе

3 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Здоровьесбережение и физическое развитие школьников

3 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Стратегии маркетинга и продаж в B2B

8 ч.

1180 руб. 590 руб.
Подать заявку О курсе
Сейчас в эфире

Восстановительные и медиативные практики в профилактике кибербуллинга

Перейти к трансляции