Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Научные работы / Работа по теме "Фазовый портрет!

Работа по теме "Фазовый портрет!

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Оглавление




























Введение.

Данная курсовая работа по предмету «Дифференциальные уравнения» рассчитана на умение применять полученные теоретические и практические навыки для решения задачи

Цель работы:

Решить поставленную задачу, применяя теорию и практику.

Глава 1. Теория.

Теорема Гробмана – Хартмана.

Пусть O – грубая неподвижная точка некоторого диффеоморфизма T . Тогда существуют окрестности U1 и U2 точки O, в которых диффеоморфизм T и его линейная часть топологически сопряжены.

В случае негрубой неподвижной точки подобное утверждение неверно. Это легко показать, если матрица A линейного отображения

= Ax

имеет мультипликаторы, равные 1 по модулю. Здесь можно добавить в правую часть нелинейный член g(x) так, что новое отображение

= Ax + g(x)

не будет топологически сопряжено со своей линейной частью.

Например, одномерное отображение

= x + x2

имеет только одну неподвижную точку O (см. рис. 3.4.2), тогда как все точки

являются неподвижными точками для соответствующего линеаризованного

отображения


hello_html_79320cc.gif

Рис. 1. Ступенчатая функция Ламерея. График функции f(x) = x + x2 касается

биссектрисы в неподвижной точке типа седло-узел


Рассмотрим другой пример: отображение

= x + x3 ,

имеющее устойчивую неподвижную точку O (см. рис. 3.4.3), не сопряжено с линейным отображением

= x ,

для которого все точки (кроме O) периодические с периодом 2.


hello_html_m73961011.gif

Рис. 2. Спираль Ламерея отображения x = x + x3. Вне начала координат

производные отображения меньше 1 по абсолютной величине; неподвижная точка является устойчивой


В качестве следующего примера рассмотрим линейное отображение, имеющее неподвижную точку с парой комплексно сопряженных мультипликаторов e±:

= x cos ω y sin ω ,

= x sin ω + y cosω .

Все траектории лежат на инвариантных окружностях, расположенных симметрично относительно точки O(0, 0). Это отображение не сопряжено с отображением

= x cos ω y sin ω x(x2 + y2) cosω ,

= x sin ω + y cos ω y(x2 + y2) cosω ,

траектории которого стремятся к точке O по спиралям.

В том случае, когда все мультипликаторы неподвижной точки O диффеоморфизма T меньше 1 по абсолютной величине, все положительные полутраектории стремятся к O. Если все мультипликаторы лежат вне единичной окружности, отрицательная полутраектория точки из малой окрестности точки O стремится к неподвижной точке. При положительных итерациях отображения T все траектории (кроме самой точки) покидают окрестность неподвижной точки.[1]

В случае седла, т. е. когда есть мультипликаторы как внутри, так и вне

единичной окружности, неподвижная точка имеет (локально) устойчивое

инвариантное многообразие Wsloc и неустойчивое инвариантное многообразие Wuloc, которые являются образами инвариантных подпространств s и u соответствующей линеаризованной системы относительно гомеоморфизма η, устанавливающего топологическую сопряженность. Следовательно, положительная полутраектория любой точки в многообразии Wsloc лежит в нем полностью и стремится к седловой точке O. С другой стороны, отрицательная полутраектория произвольной точки в многообразии Wuloc лежит полностью в Wuloc и стремится к O. Размерность устойчивого (неустойчивого) многообразия равна числу мультипликаторов, лежащих внутри (вне) единичной окружности. Траектории точек, не лежащих в Wsloc Wuloc, проходят мимо седла.

Очевидно, если один диффеоморфизм в окрестности седловой неподвижной точки сопряжен другому в окрестности другой неподвижной точки, то размерности устойчивых (неустойчивых) многообразий обеих этих

седловых точек должны быть равны (для сохранения общности, полагаем,

что Wu = {} и dimWu = 0 в случае устойчивой неподвижной точки; и Ws = {}, dimWs = 0 в случае, когда точка вполне неустойчива). Однако, в отличие от случая грубых положений равновесия, не только одни лишь размерности устойчивого и неустойчивого многообразий являются инвариантами относительно локальной топологической сопряженности.

Чтобы найти другие инварианты, заметим, что теорема Гробмана –Хартмана допускает следующее обобщение:

В некоторой окрестности начала координат линейное невырожденное отображение, не имеющее мультипликаторов на единичной окружности, топологически сопряжено с любым достаточно близким отображением.

Из этого, в частности, вытекает то, что любые два близкие линейные

отображения топологически сопряжены. Таким образом, для двух произвольных матриц A0 и A1, отображения

и

будут топологически сопряжены, если можно построить такое семейство

матриц A(s), непрерывно зависящее от параметра s [0, 1], что A(0) = A0 и

A(1) = A1, при условии, что все матрицы A(s) являются невырожденными

и не имеют собственных значений на единичной окружности.[2]

Глава 2. Практика

Формулировка задачи.

Найти траектории для уравнения при . Нарисовать фазовый портрет в каждом из случаев.

Решение.

Заменим уравнение системой уравнений

;

Найдем неподвижные точки. Для этого решим систему

;

Заметим что неподвижная точка будет в случае , т. к.

, следовательно неподвижная точка в случае имеет координаты

Рассмотрим систему для каждого случая.

  1. .

Определим вид точки. Для этого построим якобиан


Посчитаем его для нашей неподвижной точки


Решим уравнение



Полученные значения показывают, что наша неподвижная точка – седло, неустойчивое.

Найдем уравнение траектории



;

;

;



;

;


  1. .



;

;


Используемая литература.

  1. Оболенский А.Ю. Лекции по качественной теории дифференциальных уравнений. Учебно – методическое пособие. Для студентов математических специальностей вузов.

  2. Тураев Д. В., Чуа Л., Шильников Л. П., Шильников А. Л. Методы качественной теории в нелинейной динамике. — Москва-Ижевск:Институт компьютерных исследований, 2003, 428 стр.





Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Автор
Дата добавления 12.06.2016
Раздел Математика
Подраздел Научные работы
Просмотров53
Номер материала ДБ-119307
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх