РАБОТА ПО ТЕМЕ: "ТЕОРЕМА ПИКА"

Министерство образования, науки и молодежи Республики Крым

Малая академия наук «Искатель»

Отделение: математика

Секция: математика

ТЕОРЕМА ПИКА

Работу выполнил:

Давиденко Роман Юрьевич,

ученик 9 -Б класса

муниципального бюджетного общеобразовательного учреждения «Нижнегорская школа-гимназия»

Нижнегорского района

Республики Крым

Научный руководитель:

Коробка Олег Иванович,

учитель математики

муниципального бюджетного общеобразовательного учреждения «Нижнегорская школа-гимназия»

Нижнегорского района

Республики Крым

пгт. Нижнегорский – 2017

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………………………………3

ГЛАВА 1. ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА

1.1    Историческая справка……………………………………………………………...5

2.2 ИССЛЕДОВАНИЕ ФОРМУЛЫ ПИКА.

2.1 Решетки. Узлы…………………………………………………………………7

2.2. Доказательство формулы Пика………………………………………….......8

ГЛАВА 3. ПРИМЕНЕНИЕ ФОРМУЛЫ ПИКА

3.1 Исследование площадей многоугольников, изображенных на клетчатой бумаге………………………………………………………………………………10

3.2 Геометрические задачи с практическим содержанием……………………..13

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.……………………………………………………………….......14

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ.………………………………….15

ВВЕДЕНИЕ

Увлечение математикой часто начинается с размышления над какой-то задачей. Так при изучении темы «Площади многоугольников» учителем были предложены задачи на нахождение площади многоугольника на клетчатой бумаге. Возникли вопросы: в чём заключается особенность таких задач, существуют ли специальные методы и приёмы решения задач на клетчатой бумаге. Я решил исследовать задачи на клетчатой бумаге, связанные с нахождением площади изображённой фигуры. Решения таких задач оригинальны, красивы и часто решаются проще и быстрее, чем аналитическим путем.

Казалось бы, что увлекательного можно найти на клетчатой плоскости, то есть, на бесконечном листке бумаги, расчерченном на одинаковые квадратики? Оказывается, задачи, связанные с бумагой в клеточку, достаточно разнообразны.

Так и была определена тема для исследования.

Актуальность данного исследования состоит в том, что усвоение формулы может помочь школьникам, быстро и легко решать задачи на вычисление площади различных фигур на клетчатой бумаге. Задачи на бумаге в клетку помогают, как можно раньше формировать геометрические представления у школьников на разнообразном материале. При решении задач на клетчатой бумаге нам не понадобится знание основ планиметрии, а будут нужны именно смекалка, геометрическое воображение и достаточно простые геометрические сведения, которые известны всем.

Цель исследования:проверить формулу Пика для вычисления площадей геометрических фигур в сравнении с формулами геометрии.

Для достижения поставленной цели предусматривается решение следующих задач:

 1)Отобрать материал для исследования, выбрать главную, интересную, понятную информацию.

2)Проанализировать и систематизировать полученную информацию

3)Сделать выводы по результатам работы.

4)Подобрать наиболее интересные, наглядные примеры.

Объект исследования: формула Пика.

Предмет исследования: применение формулы Пика при решении задач, на нахождение площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге.

РАЗДЕЛ 1

ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА

1.1 Историческая справка

         Георг Александр Пик родился в 1859 году в еврейской семье. До одиннадцати лет Георг получал образование дома (с ним занимался отец), затем он пошел в четвертый класс гимназии. В 1875 г. он сдал выпускные экзамены и поступил в университетв Вене. Уже в следующем году он опубликовал свою первую работу по математике, ему было всего лишь семнадцать лет. Он изучал математику и физику, окончил в 1879 г. университет, получив возможность преподавать оба эти предмета. В 1877 году Лео Кёнигсбергер, который занял кафедру в венском университете, стал руководителем Пика, и 16 апреля 1880 г. Пик защитил докторскую диссертацию “О классе абелевых интегралов”. Вторым экзаменатором на защите был Эмиль Вейра.

         После получения докторской степени Пик был назначен помощником Эрнста Маха в пражском университете Карла-Фердинанда. Пик теперь хотел читать лекции в Праге, и для того чтобы получить на это право, он должен был написать специальную работу. Сделал это он достаточно быстро, после чего в 1881 году получил право читать лекции в Праге.

         За исключением академического 1884-85 года, который Пик провел в Лейпцигском университете, учась у Кляйна, он оставался в Праге до конца своей карьеры. В 1888 г. он был назначен экстраординарным профессором математики, затем — ординарным профессором (полным профессором) в 1892 году в немецком университете в Праге. Круг его математических интересов был чрезвычайно широк, и 67 его работ посвящены многим темам, таким как линейная алгебра, теория инвариантов, интегральное исчисление, теория потенциала, функциональный анализ и геометрия. Тем не менее более половины его работ связаны с функциями комплексного переменного, дифференциальными уравнениями и дифференциальной геометрией. Такие термины как матрица Пика, интерполяция Пика — Неванлинны, и лемма Шварца — Пика используются иногда и сегодня. Он больше всего известен, однако, своей теоремой Пика, которая появилась в его восьмистраничной работе 1899 года GeometrischeszurZahlenlehre, опубликованной в Праге в Sitzungber, Lotos, NaturwissenZeitschrift.

         Теорема Пика справедлива для многоугольников с вершинами в узлах целочисленной решетки. На плоскости образуется решетка двумя системами параллельных равноотстоящих прямых. Эти прямые называются основными целочисленными прямыми, а точки их пересечения называются узлами решетки. Прямая, соединяющая два узла решетки, называется целочисленной прямой. Обратите внимание, что основные целочисленные прямые являются целочисленными линиями, но есть также много других целочисленных линий. Многоугольник, ребра которого лежат на целочисленных прямых, называется целочисленным многоугольником. Теорема Пика утверждает, что площадь целочисленного многоугольника равна В +  - 1, где В — число узлов решетки внутри многоугольника, а Г — число узлов решетки на границе многоугольника. Этот результат оставался незамеченным в течение некоторого времени после того, как Пик его опубликовал, однако в 1969 г. Штейнгауз включил его в свой знаменитый “Математический калейдоскоп”. С этого времени теорема Пика привлекла довольно большое внимание и начала вызывать восхищение своей простотой и элегантностью.

РАЗДЕЛ 2

ИССЛЕДОВАНИЕ ФОРМУЛЫ ПИКА

            2.1. Решетки. Узлы.

         При решении задач на клетчатой бумаге необходимы понятия решетки и узла. 

         Клетчатая бумага (точнее — ее узлы), на которой мы часто предпочитаем рисовать и чертить, является одним из важнейших примеров точечной решетки на плоскости.Рассмотрим на плоскости два семейства параллельных прямых, разбивающих плоскость на равные квадраты

(рис. 1). Любой из этих квадратов называется фундаментальным квадратом или квадратом, порождающим решетку. Множество всех точек пересечения этих прямых называется точечной решеткой или просто решеткой, а сами точки –             рисунок 1

узлами решетки.Чтобы оценить площадьмногоугольника на клетчатой бумаге (Рис.1), достаточно подсчитать, сколько клеток покрываетэтот многоугольник (площадь          клетки принимаем за единицу).А также, площадь любого многоугольника, нарисованного на клетчатой бумаге,легкопосчитать, представив её как сумму или разность площадей прямоугольных треугольников и прямоугольников, стороны которых идут по линиям сетки, проходящим через вершины нарисованного треугольника. Чтобы вычислить площадь многоугольника, изображенного на рисунке, необходимо достроить его до прямоугольника ABCD, вычислить площадь прямоугольника ABCD, найти площадь заштрихованной фигуры как сумму площадей треугольников и прямоугольников её составляющих, вычесть её из площади прямоугольника. И хотя многоугольник и выглядит достаточно просто, для вычисления его площади нам придется потрудиться. А если бы многоугольник выглядел более причудливо, как на следующих рисунках? 

Оказывается, площади многоугольников, вершины которых расположены в узлах решетки, можно вычислять гораздо проще: есть формула, связывающая их площадь с количеством узлов, лежащих внутри и на границе многоугольника. Эта замечательная и простая формула называется формулой Пика: S = В +  - 1, где S – площадь многоугольника, В – число узлов решетки, расположенных строго внутри многоугольника, Г – число узлов решетки, расположенных на его границе, включая вершины. Будем рассматривать только такие многоугольники, все вершины которых лежат в узлах решетки.

2.2 Доказательство формулы Пика

Пусть В – число узлов решетки, расположенных строго внутри многоугольника, Г – число узлов решетки, расположенных на его границе, включая вершины,   — его площадь. Тогда справедлива формула Пика:S = B + – 1. 

Пример 1. Вычислить площадь многоугольника, изображенного на клетчатой бумаге по формуле Пика.

S = B +  – 1.                 В = 14, Г = 8, S = 14 +  - 1= 17  кв.ед.

рисунок 2

Покажу справедливость формулы Пика.

Сначала рассмотрим, что формула Пика верна для единичного квадрата.

рисунок 3

Действительно, в этом случае имеем: В=0, Г=4  и 

S=0+ – 1=1. Фундаментальный квадрат порождает решетку, то есть решетку можно построить следующим образом. Отметим вершины квадрата. Затем сдвинем его параллельно одной из его сторон на длину этой стороны и отметим две вновь полученные вершины.

рисунок 4

         Если этот процесс продолжать сначала в одном направлении до длины a, а затем полученную полоску сдвинем параллельно себе в направлении другой стороны квадрата на длину этой стороны до длины b, то получим решетку.Причем, число узлов решетки,

лежащих, внутри решетки,В = (а-1)(b-1), а число узлов решетки, расположенных на его границе,Г = 2a + 2b.

ГЛАВА 3

ПРИМЕНЕНИЕ ФОРМУЛЫ ПИКА

3.1 Исследование площадей многоугольников, изображенных на  клетчатой                        бумаге.

1) Найдём площадь треугольника:

  рисунок 5

Отметим узлы:

 рисунок 6

1 клетка = 1 см

Г = 15 (обозначены желтым)

В = 34 (обозначены синим)

S = 34 +   – 1 = 40,5 см².

2) Найдём площадь параллелограмма:

 рисунок 7

Отметим узлы:

     рисунок 8

Г = 18 (обозначены желтым)

В = 20 (обозначены синим)

S = 20 +  – 1 = 28 см².

3) Найдём площадь трапеции:

 рисунок 9

Отметим узлы:

  рисунок 10

Г = 24 (обозначены желтым)

В = 25 (обозначены синим)

S = 25 +  – 1 = 36 см².

Понятно, что находить площадь трапеции, параллелограмма, треугольника проще и быстрее по соответствующим формулам площадей этих фигур. Но можно  это делать и по формуле Пика. 

А вот когда дан многоугольник, у которого пять и более углов эта формула работает хорошо.

4)Найдём площадь многоугольника,изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см  1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

 рисунок 11

Решение.

Ѕ=28+ – 1 =37см².

Ответ:37 см².

3.2. Геометрические задачи с практическим содержанием.

Поможет нам формула Пика и для решения геометрических задач с практическим содержанием.

Задача 1. Найдите площадь лесного массива (в м²), изображённого на плане с квадратной сеткой 1 × 1(см) в масштабе 1 см – 200 м.

Решение. Найдём S площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге по формуле Пика:

S = B +  – 1. В = 8, Г = 7. S = 8 +  –1 = 10,5 см².

рисунок 12                    1 см² - 200² м²; S = 40000 · 10,5 = 420 000 м².

Ответ: 420 000 м²

Задача 2. Найдите площадь поля (в м²), изображённого на плане с квадратной сеткой 1 × 1(см) в масштабе 1 см – 200 м. 

рисунок 13

Решение. Найдём S площадь изображенного четырёхугольникапо формуле Пика: S = B +  – 1. В = 7, Г = 4. S = 7 +  – 1 = 8 см².

1 см² - 200² м²; S = 40000 · 8 = 320 000 м².

Ответ: 320 000 м²

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе написания работы мною изучены литература и Интернет–ресурсы о многоугольниках и их площадях.

         В результате моей работы я расширил свои знания о решении задач на клетчатой бумаге, определил для себя классификацию исследуемых задач.

Анализ решений и эксперимент по определению затраченного времени показал, что применение формулы даёт возможность решать задачи на нахождение площади многоугольника, более рационально. Это позволяет экономить время при решении задач на ЕГЭ или ОГЭ по математике.

Нахождение площади различных фигур, изображённых на клетчатой бумаге, позволило сделать вывод, что использование формулы Пика для вычисления площади кругового сектора и кольца  нецелесообразно, так как она даёт приближённый результат, и, что формула Пика не применяется для решения задач в пространстве, поэтому в свою работу я не включал задач такого типа.

Так же в работе были найдены площади различных территорий по формуле Пика. Можно сделать вывод: использование формулы для нахождения площади различных территорий возможно, но результаты получаются приблизительными.

Я пришёл к выводу, что тема, которая меня заинтересовала, достаточно многогранна, задачи на клетчатой бумаге многообразны, методы и приёмы их решения также разнообразны, нопри помощи формулы Пика рассмотренные мною задачи решаются за минуту.  Поэтому я рекомендую выпускникам данный способ запомнить.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Атанасян Л. С., В.Ф. Бутузов, С.Б.Кадомцев и др.Геометрия .7-9 классы.М. :Просвещение ,2010.

2. Жарковская Н. М., Рисс Е. А. Геометрия клетчатой бумаги. Формула Пика // Математика, 2009, № 17, с. 24-25.

3.Задачи открытого банка заданий по математике ФИПИ, 2010 – 2016[Электронный ресурс]// Режим доступа: http://85.142.162.126/os/xmodules/qprint/index.php?proj=DE0E276E497AB3784C3FC4CC20248DC0,http://www.fipi.ru/content/otkrytyy-bank-zadaniy-ege.

4. Решу ОГЭ, решу ЕГЭ [Электронный ресурс]// Режим доступа:https://math-oge.sdamgia.ru/, https://ege.sdamgia.ru/.

5. Wikipedia[Электронный ресурс]// Режим доступа:https://ru.wikipedia.org.