Работа с нетиповыми задачами в начальной школе.

Работа с нетиповыми задачами.

Текстовые задачи являются важным разделом практически каждого курса математики. Не является исключением и система Л.В. Занкова. Однако подход к работе с задачами 

в ней существенно другой.  Занковская система целостно, по всем дидактическим принципам отличается от общепринятого начального обучения: обучение на высоком уровне  трудности,  изучение материала быстрым темпом, ведущей роли теоретических знаний, осознание процесса учения школьниками,  работы над развитием всех учащихся, как слабых так и сильных.

Главной задачей  обучения по системе Занкова ставится общее развитие учащихся, которое понимается как развитие ума, воли, чувств школьников и как надежная основа усвоения ими знаний, умений и навыков.

Так, если в традиционной программе основной целью  является овладение решением задач определенных типов, то в системе, направленной на общее развитие школьников, осуществляется подход к тому, что можно назвать истинным умением решать задачи, которое выражается прежде всего в решении задач без соотнесения их со знакомыми, ранее отработанными типами, а на основе распутывания той ситуации, которая отражена в данной конкретной задаче, и перевода ее на язык математических отношений. Такой подход становится возможным только тогда, когда у учеников в достаточной степени сформированы такие важные мыслительные операции, как анализ, синтез, сравнение, обобщение, выделение главного и т.д. Это требование приводит к значительному отсрочиванию начала работы с задачами.

Так, в четырехлетней начальной школе работа с задачами начинается только во втором классе, первый же год обучения занимает подготовительный к этому важному шагу период. Для формирования истинного умения решать задачи ученики прежде всего должны научиться работать с текстом: определить, является ли предложенный текст задачей, выделить в нем основные признаки этого вида заданий и ее составные элементы, установить между ними связи, определить количество действий, необходимых для получения ответа на вопрос задачи, выбирать действия и их порядок, обосновав свой выбор. Именно эти вопросы образуют одну из основных линий работы с задачами в данной системе.

Вторая линия посвящена различным преобразованиям текста задачи и наблюдениям за теми изменениями в ее решении, которые возникают в результате этих преобразований. Сюда входят: дополнения текстов, не являющихся задачами, до задачи; изменение любого из элементов задачи, представление одной и той же задачи в разных формулировках, упрощение и усложнение исходной задачи; поиск особых случаев изменения исходных данных, приводящих к упрощению решения; установление задач, которые можно решить при помощи уже решенной задачи, что в дальнейшем становится основой классификации задач по сходству математических отношений, заложенных в них (особенно ценными в этой ситуации являются случаи, когда найденные задачи не идентичны по фабуле).

Ирэн  Ильинична Аргинская  считает,  что «…  школа должна формировать у детей  истинное  умение решать задачи,  которое заключается  в способности решить любую задачу, доступного для данного возраста  уровня  трудности, если в ней отсутствуют незнакомые понятия и если для решения не требуется выполнить незнакомые операции…»  Поэтому задачи в программе И.И.Аргинской  рассматриваются как средство организации интенсивной умственной деятельности, т.е. реализуют развивающую функцию.

Реализация этой функции возможна при следующих условиях:

- в задачах должны быть отражены сложные, не «самоочевидные» ситуации, поэтому предлагаются трудные, сложные задачи;

- для рассмотрения сложной ситуации учащимся необходимо овладеть такими умениями, которые позволяют решить задачу определенной степени сложности (общие умения).

Одна из основных целей в работе с задачами в программе И.И.Аргинской – формирование понятия «задача», т.е. усвоение существенных признаков понятия. Понятие и термин «задача» вводится позднее  по сравнению с традиционной программой, т.к.:

-необходимо, чтобы каждый ребенок научился читать;

- уровень развития мышления ребенка должен быть таков, чтобы ребенок смог осмыслить текст и перевести его в знакомую модель;

- учащиеся должны усвоить смысл действия сложения и вычитания;

- у учащихся должен быть накоплен опыт работы с текстом математического содержания.

Одним из средств, позволяющих реализовать развивающую функцию решению задач,  является организация работы учащихся с нетиповыми задачами.

Активное введение в  программе Занкова нетиповых  (нестандартных) задач, специфически направленных на развитие мышления, памяти, внимания, воображения и других важных психических  функций  является одним из основных мотивов.

Нетиповые (нестандартные) задачи – это задачи, для получения ответа в которых  арифметические действия или не выполняются вообще, или выполняются в минимальном количестве.

К ним относятся:

-с недостающими и избыточными данными;

-с противоречивыми условием и вопросом;

Возникает необходимость работать над частями такой задачи: условием и вопросом, позже это данное и искомое, смысловым содержанием  текста, преобразуя текст в задачи разного вида: простую или составную задачу.

- логические задачи (не требуют арифметических действий);

-комбинаторные.

Рассмотрим особенности организации деятельности учащихся при работе с комбинаторными задачами.

Комбинаторика – это область математики, в которой изучаются вопросы, связанные с выбором из некоторого множества подмножеств, обладающих теми или иными свойствами, и упорядочением множества.

Рассмотрим примеры нетиповых задач.

Отсутствует вопрос.

Аргинская И.И., ИвановскаяЕ.И., М(2).

№138

На елку повесили 28 шаров. 10 из них с рисунками.

№263.

На блюдо положили 19 яблок, 16 груш, а слив столько, сколько яблок и груш вместе.

Вместо вопроса повествовательное предложение.

№ 265.Днем в гараже было 19 машин. Когда вечером вернулись остальные машины, их стало 57. Найди количество машин,  вернувшихся в гараж.

№ 397.Во время игры ребята построились в 6 рядов по 7 человек в каждом ряду. Найди общее количество участников игры, если к ней присоединились еще 9 человек.

Логические упражнения, готовящие к решению логических задач.

Аргинская, Бененсон, Итина М(1, 2ч)

№11.Найди закономерность и заполни пустые места в таблице.

(Сравнивают количество грибов слева и справа от домино и количество кружков на домино)

№67.Найди закономерность и нарисуй пропущенные ветки.

(Сравнивают количество плодов и листиков на ветках.)

№34 М(1, 4ч) Нарисуй недостающий зонтик и впиши недостающие числа.

(Геом. фигуры, форма зонтиков, результат действия)

Комбинаторные.

Аргинская, Ивановская М(2).

№129. 1)  К числу 5 добавь два однозначных числа так, чтобы с этими тремя числами можно было составить верные равенства.

2)  Напиши как можно больше таких троек.

3)    Задание имеет 7 решений. Найди все.

№115.

1)    Раньше в нашей стране были такие монеты:

1 коп., 2 коп., 3 коп., 5 коп.

Теперь их собирают коллекционеры.

2)    Прочитай и реши задачу.

Маше подарили для коллекции монеты, всего на 6 копеек. Сколько и каких монет ей могли подарить?

3)    Сколько разных решений ты получил?

У задачи 8 разных решений. Попробуй найти их все.

Включение комбинаторных задач в начальный курс математики оказывает положительное влияние на развитие младших школьников. Решение таких задач дает возможность расширить знания учащихся о самой задаче, например, о количестве и характере результата (задача может иметь не только одно, но и несколько решений- ответов или не иметь решения), о процессе решения (чтобы решить задачу, необязательно выполнять какие- либо арифметические действия), подготовить к решению жизненных практических проблем, научить принимать оптимальные в данной ситуации решения, организовать элементарную исследовательскую и творческую деятельность учащихся.

Кроме того, целенаправленное обучение решению комбинаторных задач способствует развитию такого качества мышления, как вариативность. Под вариативностью мышления подразумевается направленность мыслительной деятельности ученика на поиск различных решений задачи в случае, когда нет специального указания на это. В действующих учебниках  недостаточно КЗ для достижения выше перечисленных  целей. Т.к. их число незначительно и используются задачи только некоторых видов, предлагаю КЗ, которые можно использовать в работе.

Учащиеся также знакомятся с новым методом решения задач. На комбинаторных задачах идет обучение методу перебора, который можно в дальнейшем использовать и для решения другого типа задач.

КЗ можно решать различными методами. Условно разделим их на «формальные» и «неформальные». При «формальном» методе решения нужно определить характер выбора, выбрать соответствующую формулу или комбинаторное правило (имеется ввиду правило суммы и произведения, подставить числа и вычислить результат.

Результат- это количество возможных вариантов, сами же варианты в этом случае не образовываются.

При «неформальном» методе решения на первый план выходит сам процесс составления различных вариантов и главное уже не сколько, а какие варианты могут получиться. К «неформальным» мы относим метод перебора. Причины, по которым был выбран именно этот метод:

- метод перебора доступен младшим школьникам,

- он позволяет накапливать опыт практического решения конкретных задач, что служит основой для введения в дальнейшем комбинаторных принципов и формул,

- в жизни человеку приходится не только определять число возможных вариантов, но и непосредственно составлять все эти варианты, а, владея приемами систематического перебора, это можно сделать более рационально.

Итак, рассмотрим такие комбинаторные задачи, решение которых можно осуществлять методом перебора. Среди них  задачи разные по сложности осуществления перебора. Поэтому признаку мы разделили их на три группы:

Задачи, в которых нужно произвести полный перебор всех возможных вариантов:

Расставляя знаки «+» и «-» между данными числами 9...2...4, составь все возможные выражения.

Проводится полный перебор вариантов:

два знака в выражении могут быть одинаковыми, тогда получаем 9 + 2 + 4,9-2-4.

два знака могут быть разными, тогда получаем 9 + 2-4, 9-2 + 4. (За­тем можно предложить детям найти значения составленных выражений.)

Задачи, в которых использовать прием полного перебора не целесо­образно и нужно сразу исключить некоторые варианты, не рассматривая их (т. е. осуществить сокращенный перебор).

Учитель говорит, что он нарисовал в ряд 4 фигуры: большой и маленький­ квадраты, большой и маленький круги так, что на первом месте находится­ круг и одинаковые по форме фигуры не стоят рядом, и предлагает учени­кам отгадать, в какой последовательности расставлены эти фигуры.

Всего существует 24 различных расположения этих фигур. И составлять их все, а потом выбирать соответствующие данному условию не целесоо­бразно, поэтому проводится сокращенный перебор: на первом месте может стоять маленький круг, тогда большой круг может быть только на третьем ме­сте, при этом большой и маленький квадраты можно поставить двумя спосо­бами — на второе и четвертое место .

Аналогичное рассуждение проводится, если на первом месте стоит большой круг, и также составляются два варианта .

Составляя эти варианты, ученики находят тот, который был задуман учи­телем.

Задачи, в которых операция перебора производится несколько раз и по отношению к разного рода объектам.

Три компаньона одной фирмы хранят ценные бумаги в сейфе, на кото­ром 3 замка. Компаньоны хотят распределить между собой ключи от замков так, чтобы сейф мог открываться только в присутствии хотя бы двух компа­ньона, но не одного. Как это можно сделать?

Сначала перебираются все возможные случаи распределения ключей. Каждому компаньону можно дать по одному ключу или по два разных ключа, или по три. Предположим, что у каждого компаньона по одному ключу. Тогда, если придут любые двое из них, то они не смогут открыть сейф.

Предположим, что у каждого компаньона по три разных ключа. Тогда сейф сможет открыть один компаньон, а это не соответствует условию.

Дадим каждому компаньону по два разных ключа. Первому — 1 и 2 ключи, второму — 1 и 3 ключи, третьему — 2 и 3 ключи. (Осуществляется выбор из трех типов ключей по два ключа). Проверим, когда придут любые два компа­ньона, смогут ли они открыть сейф. Рассматриваются все возможные случаи.

Могут прийти первый и второй компаньоны, у них будут все ключи (1 и 2, 1 и 3 ключи). Могут прийти первый и третий компаньоны, у них также будут все ключи (1 и 2, 2 и 3). Наконец, могут прийти второй и третий компаньоны, у них тоже будут все ключи (1 и 3, 2 и 3).

Таким образом, чтобы найти ответ в этой задаче, нужно выполнить опе­рацию перебора несколько раз.

Комбинаторные задачи, решаемые методом перебора, подобраны  так, чтобы совокупность этих задач удовлетворяла принципу полноты. Включались основные виды комбинаторных задач: на упорядочение элемен­тов множества, на выбор подмножеств и их упорядочение, на выбор под­множеств. Разнообразные задачи в каждой группе  получались благодаря варьированию числа объектов, самих объектов, наличия дополнительных условий, повторяющихся элементов, способов упорядочения (слева напра­во, сверху вниз, по кругу и т. д.).

Наряду с описанными задачами существуют и обратные комбинаторные задачи, например: «В одном очень маленьком городе всего 10 различных маршрутов трамвая. Чтобы жители города вечером могли издалека опреде­лить номер трамвая, было решено сделать различные цветные огоньки для каждого маршрута. Но десяти стекол различных цветов не нашли. Стекла оказались только четырех цветов: красного, синего, желтого и зеленого. Как же можно выполнить задуманное?»

Эта задача также решается методом перебора. Сначала учащиеся про­буют обозначить каждый маршрут, используя по два разноцветных огонька:

кс                        кж     кз      сж        сз     жз

ск                        жк        зк    жс        зс     зж

Но варианты первого и второго рядов, расположенные друг под другом, можно перепутать, поэтому нужно взять только 6 этих обозначений, а осталь­ные 4 маршрута обозначить одним огоньком, например, так:

1 -й — кс, 2-й — кж, 3-й — кз, 4-й — сж, 5-й — сз, 6-й — жз, 7-й — к, 8-й — с, 9-й — ж, 10-й — з.

При подборе задач нужно учитывать также психологические особенности младших школьников. Исходя из того, что у детей данного возраста еще со­храняется тесная связь мышления с практическими действиями, система задач составляется таким образом, чтобы обеспечить постепенный переход от манипуляции с предметами к действиям в уме.

Преобразования можно производить реально или идеально (мысленно), с реальными предметами или знаково-символическими объектами, с опо­рой на запись или без нее. Мы идем от реальных преобразований с реальны­ми предметами с опорой на запись к идеальным преобразованиям знаково-символических объектов с опорой на запись (возможно выполнение и без опоры на запись, но добиваться этого от детей нецелесообразно).

Приведу некоторые примеры.

1. В воскресенье трое друзей (Маша, Саша, Дима) решили пойти в парк. Они пришли к аттракциону «Автодром». По правилам на одну машину садятся двое: водитель и пассажир. Чтобы никому не было обидно, ребята решили: каждый должен побывать водителем и каждый должен покататься одинако­вое число раз. Какое решение они нашли?

Ответ: составляются следующие пары: Маша — Саша, Саша — Дима, Дима — Маша (имя водителя подчеркнуто).

В данной задаче есть возможность прийти к решению, разыгрывая сцен­ку с детьми и выполняя таким образом реальные преобразования с реальны­ми объектами.

2. Переставляя только числа, составь все возможные выражения: 10 + 8-9.

Ответ: 10 + 9-8,8 + 9-10, 8 + 10-9, 9 + 8-10,9+10-8.

Решая эту задачу, ученики выполняют мысленно преобразования со знаково-символическими объектами.

При подборе задач нужно обращать внимание на тематику и форму представ­ления этих задач, чтобы КЗ не выглядели искусственными, а были понятны и интересны детям, вызывали у них положительные эмоции.

Методики работы над КЗ  имеет свою специфику на отдельных этапах, выделяемых в обучении.

Методика обучения решению комбинаторных задач строится с учетом психологических особенностей детей младшего школьного возраста и на­правлена на развитие мышления. Способы действий не даются «в готовом виде», а дети сами приходят к их «открытию», накапливая опыт. Рассмотре­ние разнообразных комбинаторных задач и различных возможностей их решения (разный ход рассуждений, средства организации перебора, спо­собы обозначения объектов) обеспечивает ученику выбор путей и средств решения в соответствии с его индивидуальными особенностями.

Как показал наш опыт работы с нетиповыми задачами, их решения всегда вызывают у учащихся интерес, обладает развивающим потенциалом и способствует прежде всего развитию вариативности мышления, гибкости, формированию умения находить нестандартные способы решения.