Работа с одаренными детьми по математике.

Арифметическая задача на делимость

Задача 1. Полученное число делится на 27?

Какую цифру нужно приписать к числу 97 справа и слева, чтобы полученное число делилось на 27?
Удвоенная неизвестная цифра дополняет сумму известных цифр числа до величины, кратной 9-ти.

Сумма известных чисел - четная (16). Удвоенная неизвестная цифра (a) - также четная величина.
Следовательно, сумма цифр искомого числа - четная и равна 18-ти. (2a меньше или равна 18 и сумма цифр искомого числа не больше 34-х).

Итак, a = 1, искомое число - 1971.

Задача 2. Сколько натуральных чисел ?

Сколько существует натуральных чисел, меньших 1000, которые не делятся ни на 5 ни на 7?
Среди 999 чисел, меньших 1000,
199 чисел кратны 5 : [999 : 5] = 199 *.

В этом же интервале имеются 142 числа, кратных 7 : [999 : 7] = 142* .

Среди 142 чисел, кратных 7, имеются числа, которые делятся также и на 5, то есть кратные 35.

Всего таких чисел 28: [999 : 35]= 28* .

Эти 28 чисел уже учтены в числе 199, найденном ранее.

Поэтому количество чисел, меньших 1000, которые делятся либо на 5, либо на 7, равно 199 + 142 - 28 = 313.

В рассматриваемом интервале остается 999 - 313 = 686 чисел,
которые не делятся ни на 5, ни на 7.

* [N] - целая часть числа N . Например, [13,45] = 13.

Литература

1. Анстази А. Психологическое тестирование. – М.: Педагогика, 1982
2. Гильбух Ю.З. Внимание: одаренные дети. – М, 1991.
3. Беляева Н., Савенков А. И. Одаренные дети в обычной школе // Народное образование. – 1999.– № 9.
4. Больных Е. М., Икрин Г. В., Пиянзина О. П. Личностно-ориентированное образование и развитие одаренности: Научно-методическое пособие.–Екатеринбург: Объединение «Дворец молодежи», 2002.
5. Вьюжек Т.Логические тесты, игра и упражнения. – М.: Ихд-во ЭКСМО-Пресс, 2001
6. Давыдова Г. А. Дорога в будущее. О современных теориях креативности и одаренности // Психологический журнал. – 1999.- № 3.
7. Матюшкин А. М. Концепции творческой одаренности // Вопросы психологии – 1989.–№ 6 .
8. Одаренные дети: Пер с англ./ Общ. ред. Г. В. Бурменской и В. М. Слуцкого В.М. – М.: «Прогресс», 1991
9. Одаренные дети / Под ред. Г.В. Бурменской, В.М. Слуцкого. – М., 1991. Психология одаренности детей и подростков / Под ред. Н.C Лейтеса. – М., 2000.
10. Одаренный ребенок / Под ред. О.М. Дьяченко. - М., 1997.
11. Психологическая энциклопедия. 2-е изд./Под ред. Р. Корсини, А. Ауэрбаха. – СПб.: Питер, 2003.
12. Рогов Е. И. Настольная книга практического психолога. М.: «Владос» – 1996.
13. Савенков. А.И. Одаренные дети в школе и дома. – М., 2000.
14. Словарь практического психолога/Сост. Головин С. Ю. – Минск: Харвест, – 1998.
15. Степанов В. Р. Психология одаренности детей и подростков // Вопросы психологии. – 2000.–№ 3
16. Шумакова Н.Б. Обучение и развитие одаренных детей. - М., 2004.
17. Internet

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ ПО МАТЕМАТИКЕ

Н.Х. Агаханов, О.К. Подлипский

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

по разработке заданий для школьного и муниципального этапов всероссийской олимпиады школьников по математике

в 2010/2011 учебном году

Москва 2010

Введение

Настоящие методические рекомендации подготовлены центральной предметно-методической комиссией по математике и направлены в помощь соответствующим методическим комиссиям при составлении заданий школьного и муниципального этапов всероссийской олимпиады школьников по математике в субъектах Российской Федерации.

Методические материалы содержат требования к структуре и содержанию олимпиадных задач, рекомендуемые источники информации для подготовки заданий.

Методические рекомендации для школьного и муниципального этапов всероссийской олимпиады школьников по математике в 2010/2011 утверждены на заседании центральной предметно-методической комиссии по математике (протокол № 2 от 21 мая 2010).

Председатель центральной                                                                           Н.Х. Агаханов

предметно-методической комиссии

по математике

Общие принципы

формирования комплектов олимпиадных заданий по математике

1.                      Нарастание сложности заданий от первого к последнему. При этом их трудность должна быть такой, чтобы с первыми заданиями могли успешно справиться большинство участников Олимпиады.

2.                      Олимпиадные задания школьного и муниципального этапов составляются на основе программ по математике для общеобразовательных учебных учреждений.

3.                      Тематическое разнообразие заданий: в комплект должны входить задачи по геометрии, алгебре, комбинаторике, в младших классах – по арифметике, логические задачи; в старших классах желательно включение задач по теории чисел, тригонометрии, стереометрии, математическому анализу. При этом допустимо и даже рекомендуется включение в варианты задач, объединяющих различные разделы школьной математики. В качестве сложных задач возможно включение в вариант задач, использующих материал, изучаемый на факультативных занятиях.

4.                      Обязательная новизна задач для участников олимпиады. В случае, когда задания выбираются из печатных изданий или из сети Интернет, методическая комиссия соответствующего этапа должна использовать источники, по возможности не известные участникам. Недопустимо составление комплекта заданий одной олимпиады на основе одного (единственного) источника.

5.                      Недопустимость включения в задания задач по разделам математики, не изученным по всем базовым учебникам по алгебре и геометрии в соответствующем классе к моменту проведения олимпиады.

Школьный этап Олимпиады

Школьный этап Олимпиады проводится для учащихся 5-11 классов. Вариант должен содержать 4-5 задач разной сложности. Рекомендуется подготовка заданий для школьного этапа Олимпиады муниципальными предметно-методическими комиссиями по математике.

Ниже приводятся темы, которые рекомендуется использовать при составлении вариантов заданий текущего учебного года. Важно отметить, что в силу специфики регионов и различий в степени доступности участникам олимпиады тех или иных источников задач, сложности в составлении (подборе) задач предлагаемой тематики необходимой для данной территории трудности, предметно-методические комиссии могут менять рекомендуемую тематику заданий.

Рекомендуемая тематика заданий школьного этапа Олимпиады

2010/2011 учебного года

(порядок заданий в варианте не обязан соответствовать приведенному в рекомендациях)

5 класс

Числовые ребусы. Задачи на разрезание, переливания, взвешивания. Логические или текстовые задачи.

6 класс

Числовые ребусы. Задачи на составление уравнения. Свойства геометрических фигур. Логические или текстовые задачи. Четность.

7 класс

Числовые ребусы. Задачи на составление уравнения. Делимость натуральных чисел. Задачи на переливания, взвешивания. Логические задачи.

8 класс

Преобразование алгебраических выражений. Построение графиков функций.

Основные элементы треугольника. Делимость натуральных чисел. Логические задачи.

9 класс

Делимость. Квадратный трехчлен и его свойства. Преобразования алгебраических выражений. Основные элементы треугольника. Логические (комбинаторные) задачи.

Муниципальный этап Олимпиады

Муниципальный этап Олимпиады проводится для учащихся 7-11 классов (по решению регионального оргкомитета возможно проведение муниципального этапа также для учащихся 6 классов). Вариант должен содержать 4-5 задач разной сложности. Рекомендуется подготовка заданий для муниципального этапа Олимпиады региональными предметно-методическими комиссиями по математике.

Ниже приводятся темы, которые рекомендуется использовать при составлении вариантов заданий текущего учебного года. Важно отметить, что в силу специфики регионов и различий в степени доступности участникам олимпиады тех или иных источников задач, сложности в составлении (подборе) задач предлагаемой тематики необходимой для данной территории трудности, предметно-методические комиссии могут менять рекомендуемую тематику заданий.

Рекомендуемая тематика заданий муниципального этапа Олимпиады 2010/2011 учебного года

(порядок заданий в варианте не обязан соответствовать

приведенному в рекомендациях)

7 класс

Задачи на проценты. Четность. Фигуры (площадь, разрезания). Построение примеров. Логические задачи.

8 класс

Делимость натуральных чисел. Признаки делимости. Признаки равенства треугольников. Преобразование алгебраических выражений. Логические задачи.

9 класс

Координатная плоскость. Неравенства. Задачи на составление уравнений или систем уравнений. Подобие фигур. Комбинаторные задачи

Рекомендуемая литература для факультативной работы и подготовки заданий школьного и муниципального этапов всероссийской олимпиады школьников по математике

Журналы: «Квант», «Математика в школе»

Книги и методические пособия:

Агаханов Н.Х., Богданов И.И., Кожевников П.А., Подлипский О.К., Терешин Д.А. Математика. Всероссийские олимпиады. Вып. 1. – М.: Просвещение, 2008.

Агаханов Н.Х.,  Подлипский О.К. Математика. Всероссийские олимпиады. Вып. 2. – М.: Просвещение, 2009.

Агаханов Н.Х.,  Подлипский О.К.  Математика. Районные олимпиады. 6-11 класс. – М.: Просвещение, 2010.

Агаханов Н.Х., Богданов И.И., Кожевников П.А., Подлипский О.К., Терешин Д.А. Математика. Областные олимпиады. 8-11 класс. – М.: Просвещение, 2010.

Гальперин Г.А., Толпыго А.К. Московские математические олимпиады. – М.: Просвещение, 1986.

Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В. Ленинградские математические кружки. – Киров: Аса, 1994.

Горбачев Н.В. Сборник олимпиадных задач по математике. – М.: МЦНМО, 2005.

Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. Изд. 5-е испр. и доп. – М.: МЦНМО, 2006. 

Федоров Р.М., Канель-Белов А.Я., Ковальджи А.К., Ященко И.В. Московские математические олимпиады 1993-2005 г. / Под ред. В.М. Тихомирова. – М.: МЦНМО, 2006.

Интернет-ресурс: http://www.problems.ru/

Олимпиадные задачи на чётность

( Четность и нечетность). Ответы.

Задача 1: 
Можно ли разменять 25 рублей при помощи десяти купюр достоинством в 1, 3 и 5 рублей?
Решение:
Ответ: Нет

Задача 2: 
Петя купил общую тетрадь объемом 96 листов и пронумеровал все ее страницы по порядку числами от 1 до 192. Вася вырвал из этой тетради 25 листов и сложил все 50 чисел, которые на них написаны. Могло ли у него получиться 1990?
Решение:
На каждом листе сумма номеров страниц нечетна, а сумма 25 нечетных чисел – нечетна.

Задача 3: 
Произведение 22 целых чисел равно 1. Докажите, что их сумма не равна нулю.
Решение:
Среди этих чисел – четное число «минус единиц», а для того, чтобы сумма равнялась нулю, их должно быть ровно 11.

Задача 4: 
Можно ли составить магический квадрат из первых 36 простых чисел?
Решение:
Среди этих чисел одно (2) – четное, а остальные – нечетные. Поэтому в той строке, где стоит двойка, сумма чисел нечетна, а в других – четна.

Задача 5: 
В ряд выписаны числа от 1 до 10. Можно ли расставить между ними знаки « + » и « – » так, чтобы значение полученного выражения было равно нулю?
Замечание: учтите, что отрицательные числа также бывают четными и нечетными.
Решение:
В самом деле, сумма чисел от 1 до 10 равна 55, и изменяя в ней знаки, мы меняем все выражение на четное число.

Задача 6: 
Кузнечик прыгает по прямой, причем в первый раз он прыгнул на 1 см в какую-то сторону, во второй раз – на 2 см и так далее. Докажите, что после 1985 прыжков он не может оказаться там, где начинал.
Решение:
Указание: Сумма 1 + 2 + … + 1985 нечетна.

Задача 7: 
На доске написаны числа 1, 2, 3, …, 1984, 1985. Разрешается стереть с доски любые два числа и вместо них записать модуль их разности. В конце концов на доске останется одно число. Может ли оно равняться нулю?
Решение:
Проверьте, что при указанных операциях четность суммы всех написанных на доске чисел не меняется.

Задача 8: 
Можно ли покрыть шахматную доску доминошками 1 × 2 так, чтобы свободными остались только клетки a1 и h8?
Решение:
Каждая доминошка покрывает одно черное и одно белое поле, а при выкидывании полей a1 и h8 черных полей остается на 2 меньше, чем белых.

Задача 9: 
К 17-значному числу прибавили число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Докажите, что хотя бы одна цифра полученной суммы четна.
Решение:
Разберите два случая: сумма первой и последней цифр числа меньше 10, и сумма первой и последней цифр числа не меньше 10. Если допустить, что все цифры суммы – нечетны, то в первом случае не должно быть ни одного переноса в разрядах (что, очевидно, приводит к противоречию), а во втором случае наличие переноса при движении справа налево или слева направо чередуется с отсутствием переноса, и в результате мы получим, что цифра суммы в девятом разряде обязательно четна.

Задача 10: 
В народной дружине 100 человек и каждый вечер трое из них идут на дежурство. Может ли через некоторое время оказаться так, что каждый с каждым дежурил ровно один раз?
Решение:
Так как на каждом дежурстве, в котором участвует данный человек, он дежурит с двумя другими, то всех остальных можно разбить на пары. Однако 99 – нечетное число.

Задача 11: 
На прямой отмечено 45 точек, лежащих вне отрезка AB. Докажите, что сумма расстояний от этих точек до точки A не равна сумме расстояний от этих точек до точки B.
Решение:
Для любой точки X, лежащей вне AB, имеем AX – BX = ± AB. Если предположить, что суммы расстояний равны, то мы получим, что выражение ± AB ± AB ± … ± AB, в котором участвует 45 слагаемых, равно нулю. Но это невозможно.

Задача12: 
По кругу расставлено 9 чисел – 4 единицы и 5 нулей. Каждую секунду над числами проделывают следующую операцию: между соседними числами ставят ноль, если они различны, и единицу, если они равны; после этого старые числа стирают. Могут ли через некоторое время все числа стать одинаковыми?
Решение:
Ясно, что комбинация из девяти единиц раньше, чем девять нулей, получиться не может. Если же получилось девять нулей, то на предыдущем ходу нули и единицы должны были чередоваться, что невозможно, так как их всего нечетное количество.

Задача 13: 
25 мальчиков и 25 девочек сидят за круглым столом. Докажите, что у кого-то из сидящих за столом оба соседа – мальчики.
Решение:
Проведем наше доказательство от противного. Занумеруем всех сидящих за столом по порядку, начиная с какого-то места. Если на k-м месте сидит мальчик, то ясно, что на (k – 2)-м и на (k + 2)-м местах сидят девочки. Но поскольку мальчиков и девочек поровну, то и для любой девочки, сидящей на n-м месте, верно, что на (n – 2)-м и на (n + 2)-м местах сидят мальчики. Если мы теперь рассмотрим только тех 25 человек, которые сидят на «четных» местах, то получим, что среди них мальчики и девочки чередуются, если обходить стол в каком-то направлении. Но 25 – нечетное число.

Задача 14: 
Улитка ползет по плоскости с постоянной скоростью, каждые 15 минут поворачивая под прямым углом. Докажите, что вернуться в исходную точку она сможет лишь через целое число часов.
Решение:
Ясно, что количество a участков, на которых улитка ползла вверх или вниз, равно количеству участков, на которых она ползла вправо или влево. Осталось только заметить, что a – четно.

Задача 15: 

Три кузнечика играют на прямой в чехарду. Каждый раз один из них прыгает через другого (но не через двух сразу!). Могут ли они после 1991 прыжка оказаться на прежних местах?
Решение:
Обозначим кузнечиков A, B и C. Назовем расстановки кузнечиков ABC, BCA и CAB (слева направо) – правильными, а ACB, BAC и CBA – неправильными. Легко видеть, что при любом прыжке тип расстановки меняется.


Задача 16: 
Есть 101 монета, из которых 50 фальшивых, отличающихся по весу на 1 грамм от настоящих. Петя взял одну монету и за одно взвешивание на весах со стрелкой, показывающей разность весов на чашках, хочет определить фальшивая ли она. Сможет ли он это сделать?

Решение:
Нужно отложить данную монету в сторону, а затем разделить остальные 100 монет на две кучки по 50 монет, и сравнить веса этих кучек. Если они отличаются на четное число грамм, то интересующая нас монета настоящая. Если же разность весов нечетна, то монета фальшивая.


Задача 17: 
Можно ли выписать в ряд по одному разу цифры от 1 до 9 так, чтобы между единицей и двойкой, двойкой и тройкой, …, восьмеркой и девяткой было нечетное число цифр?


Решение:

В противном случае все цифры в ряду стояли бы на местах одной и той же четности.

МОУ «Блюментальская основная общеобразовательная школа»
Описание опыта работы с одарёнными и способными детьми
учителя математики Родиной А.К.

Нельзя кого-либо изменить,
передавая ему готовый опыт.
Можно лишь создать атмосферу,
способствующую развитию человека

   К.Роджерс

В  школе реализуется программа «Одарённые дети». Работая в этом направлении с 2009 года, создала свою систему. При всех существующих трудностях в сфере общего основного образования для меня открываются новые возможности для развития личности учащегося, и одаренной личности.
Принципы моей педагогической деятельности в работе  с одаренны­ми детьми:
· принцип максимального разнообразия предоставленных возможностей для развития личности;
· принцип возрастания роли внеурочной деятельности;
· принцип индивидуализации и дифференциации обучения;
· принцип создания условий для совместной работы учащихся при минимальном участии учителя;
· принцип свободы выбора учащимся дополнительных образова­тельных услуг, помощи, наставничества.
Направления, формы и методы работы с одаренными детьми.
В качестве основных направлений работы с одаренными детьми выделяю:
а) систему преемственных связей среды и методов развития детей при переходе в среднее звено из начальной школы;
б) создание условий для индиви­дуализации обучения одаренных детей в основной школе;
в) систему дополнительного образования, предназначенную для удовлетворения постоян­но изменяющихся индивидуальных социокуль­турных и образовательных потребностей одаренных детей и позволяющую обеспечить выявление, поддержку и развитие их способностей в рамках внешкольной деятельности.
Работа над проблемой
1. Изучение методик, концепций и исследований отечественных и зарубежных психологов.

 2. Накопить методический материал для самообразования по данному вопросу
          Основной смысл работы состоит в том, чтобы собрать предварительную информацию о ребенке, поступающем в 5 класс. В моём варианте эта информация собирается из  основных источников – это учитель начальных классов, родители, врачи и сами дети. В практике - посещение занятий в начальной школе, с целью наблюдения за способностями каждого ребёнка, беседы с учителями. Подробно изучать медицинские карты с заключениями врачей.
            Успешность работы с одаренными детьми во многом зависит и от того, как организована работа с этой категорией учащихся в начальной школе.
         Я, начиная с 5 класса,  провожу конкурсы, викторины, интеллектуальные игры, где каждый ученик может показать  свои способности. С первой четверти, проводятся классные олимпиады по математике, в октябре – школьные, в ноябре районные.        Имею опыт проведения внеурочных интеллектуальных мероприятий, в частности, недели математики, которая проходит в школе ежегодно. Информационно-техническое оснащение школы в сочетании с современными информационными технологиями позволяет совместными усилиями образовательного учреждения, учреждений дополнительного образования, семьи расширить охват одарённых детей новыми направлениями творческого досуга. Дети и родители учатся составлять презентации, занимаются поиском информации по подготовке рефератов в Интернете.
Урочную и внеурочную деятельность строю таким образом, чтобы учащийся мог проявить свои возможности в самых разных сферах деятельности. В работе с одарёнными детьми использую следующие формы:
-предметные недели;
-олимпиады (разных уровней)
-конкурсы (Всероссийские, региональные, муниципальные, школьные)
-фестиваль наук; интеллектуальные ринги; марафон знаний;
-НПК;

Система работы с одарёнными детьми

Современному обществу требуется личность творчески мыслящая, способная к принятию нестандартных решений, самостоятельному пополнению знаний. В соответствии с этим мы должны разработать и начать реализовывать систему планомерных и целенаправленных действий, обеспечивающих оптимальное развитие одарённых детей.

                                                              1

Работа с одарёнными детьми должна начинаться с работы над собой, с повышения своего профессионального уровня. Вести  работу по созданию банка олимпиадных задач, систематизированных по темам, с соответствующими методическими рекомендациями. Необходимо что бы  в школе были элективные курсы в старших классах, кружок по математике в среднем звене, следует качественно разрабатывать содержание, совершенствовать методику их проведения.

                                                             2

Второе важнейшее направление-это работа с родителями. В полной ли мере они информированы о сути проблемы, которую мы сейчас обсуждаем? Все наши силы направлены на работу с родителями слабых учеников. И это, конечно же, тоже важная часть нашей работы. Но родители именно способных учеников могут стать нашими первыми помощниками и единомышленниками, если дать им чёткие рекомендации: как сделать так, чтобы начальный интерес к математике не угас, чтобы настроить детей на упорный труд, в какие моменты необходим контроль и т.д.

                                                             3

Третье важнейшее направление- это работа с детьми. Для этого использовать наглядную агитацию: стенды с фотографиями наших лучших математиков, с материалами о наших бывших выпускниках, достигших успехов в дальнейшей учёбе и работе благодаря глубоким знаниям по математике, полученным в нашей школе и т.д.

Система подготовки к изучению математики должна начинаться с начального звена, причём на этом этапе она должна носить массовый характер, так как основной целью здесь является привитие начального интереса к математике. В 5-6 классах целесообразно введение спецкурса «Методы решения олимпиадных задач»(34ч. в год) В 7-8 классах – постепенный переход на групповые формы работы и в 9-11 классах, когда уже в целом устойчивый интерес к предмету сформирован, можно переходить на индивидуально- групповые формы работы.

Можно устраивать многоборье, сочетающее задания по математике, физике, черчению; марафон, с чествованием победителя и торжественным вручением приза и т.д.

Работа должна быть продолжена и после окончания учебного года. У нас есть для этого замечательная возможность: пришкольный лагерь Можно создать отряд «Юный математик», проводить с ребятами из этого отряда занятия по математике, используя при этом и игровые формы. Только при этом важно понимать, что результат будет при условии высокого качества всех таких мероприятий.

Необходимо продумать и систему стимулирования таких учеников.

Учитель математики первой категории,

ГУ «Луговская средняя общеобразовательная школа»

Кудайбергенова Гуля Мунтаевна

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ ПО МАТЕМАТИКЕ

Н.Х. Агаханов, О.К. Подлипский

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

по разработке требований к проведению школьного и муниципального этапов всероссийской олимпиады школьников по математике в 2010/2011 учебном году

Москва 2010

Требования к проведению школьного этапа всероссийской олимпиады школьников по математике в 2010/2011 учебном году

В требования обязательно включение следующих позиций:

1. Классы, для которых проводится школьный этап Олимпиады (для учащихся 5-11 классов).

2. Сроки проведения (с 1октября по 15 ноября).

3. Продолжительность олимпиады (рекомендуемое время проведения олимпиады: для 5-6 классов – 1,5 астрономических часа, для 7-8 классов – 2 астрономических часа, для 9-11 классов 2,5 астрономических часа).

4. Порядок формирования жюри Олимпиады (из ведущих учителей школы, возможно приглашение представителей других школ, методистов муниципальных органов управления образования).

5. Характер и структура заданий Олимпиады:

А) Олимпиада не должна носить характер контрольной работы, в задания включаются задачи, выявляющие способности школьника, а не объем его знаний;

Б) недопустимо включение задач, использующих темы, изучаемые по программе в более поздний период, в старших классах;

В) вариант должен содержать задачи различной сложности. Желательно, чтобы задания охватывали большинство разделов школьной математики, изученных к моменту проведения Олимпиады;

Г) задания для каждой параллели должны включать 4-5 задач;

Д) задания для учащихся 5-7 классов должны включать задачи, не требующие большого объема объяснений или вычислений (в этом возрасте учащиеся не обладают достаточной математической культурой);

Е) олимпиадные задания не должны носить характер задач стандартной или углубленной школьной программы (задачи с параметрами, вычисление объемов фигур и т.п.);

Ж) задачи в задании желательно располагать в порядке возрастания сложности;

З) первые две (самые легкие) задачи варианта должны быть доступны большинству участников;

И) рекомендуется подготовка заданий для школьного этапа Олимпиады муниципальными предметно-методическими комиссиями по математике.

6. Требования к проверке работ:

А) Олимпиада не является контрольной работой и недопустимо снижение оценок по задачам за неаккуратно записанные решения, исправления в работе. В то же время обязательным является снижение оценок за математические, особенно логические ошибки;

Б) объективность и непринятие к учету школьных оценок по математике (возможны случаи, когда потенциально, с точки зрения математических способностей, более способный учащийся хуже успевает на уроках математики).

7. Требования к порядку проведения Олимпиады:

А) задания каждой возрастной параллели составляются в одном варианте, поэтому участники должны сидеть по одному за столом (партой);

Б) участники выполняют задания на стандартных двойных листах в клетку, либо в ученических тетрадях в клетку;

В) во время туров участникам запрещается пользоваться справочной литературой, электронными вычислительными средствами или средствами связи;

Г) задания Олимпиады записываются перед ее началом на доску, либо тиражируются в количестве, соответствующем количеству участников Олимпиады.

Требования к проведению муниципального этапа всероссийской олимпиады школьников по математике в 2010/2011 учебном году

В требования обязательно включение следующих позиций:

1. Классы, для которых проводится муниципальный этап Олимпиады (для учащихся 7-11 классов). По решению оргкомитета регионального этапа Олимпиады допустимо также проведение Олимпиады для учащихся 6 классов.

2. Сроки проведения (ноябрь-декабрь).

3. Продолжительность Олимпиады – 4 астрономических часа (для учащихся параллели 6 класса – 3 астрономических часа).

4. Порядок формирования жюри Олимпиады (из ведущих учителей школ муниципального образования, методистов муниципальных и региональных органов управлений образования, преподавателей, студентов и аспирантов вузов региона).

5. Характер и структуру заданий Олимпиады:

А) Олимпиада не должна носить характер контрольной работы, в задания включаются задачи, выявляющие способности школьника, а не объем его знаний;

Б) недопустимо включение в задания задач, использующих темы, изучаемые по программе в более поздний период, в старших классах;

В) вариант должен содержать задачи разной сложности. Желательно, чтобы задания охватывали большинство разделов школьной математики, изученных к моменту проведения Олимпиады;

Г) задания для каждой параллели должны включать 4-5 задач;

Д) задания для учащихся 7 (6) классов должны включать задачи, не требующие большого объема объяснений или вычислений (в этом возрасте учащиеся не обладают достаточной математической культурой);

Е) олимпиадные задания не должны носить характер задач стандартной или углубленной школьной программы (задачи с параметрами, вычисление объемов фигур и т.п.);

Ж) задачи в задании необходимо располагать в порядке возрастания сложности;

З) первые задачи варианта должны быть доступна большинству участников;

И) рекомендуется подготовка заданий для муниципального этапа Олимпиады региональными предметно-методическими комиссиями по математике.

6. Требования к проверке работ:А) Олимпиада не является контрольной работой и недопустимо снижение оценок по задачам за неаккуратно записанные решения, исправления в работе. В то же время обязательным является снижение оценок за математические, особенно логические ошибки;

Б) для объективности проведения Олимпиады обязательной является шифровка работ, проводимая членами оргкомитета олимпиады;

В) решение каждой задачи оценивается Жюри в соответствии с критериями и методикой оценки, разработанной центральной предметно-методической комиссией:

Баллы	Правильность (ошибочность) решения.
7	Полное верное решение.
6-7	Верное решение, но имеются небольшие недочеты, в целом не влияющие на решение.
5-6	Решение в целом верное. Однако решение содержит ошибки, либо пропущены случаи, не влияющие на логику рассуждений.
3-4	Верно рассмотрен один из существенных случаев.
2	Доказаны вспомогательные утверждения, помогающие в решении задачи.
0-1	Рассмотрены отдельные случаи при отсутствии правильного решения.
0	Решение неверное, продвижения отсутствуют.
0	Решение отсутствует.

Г) Жюри рассматривает записи решений, приведенные в чистовике. Черновик рассматривается только в случае ошибочного переноса записей из черновика в чистовик;

Д) каждая работа должна быть оценена двумя членами Жюри. В случае расхождения их оценок вопрос об окончательном определении баллов, выставляемых за решение указанной задачи, определяется председателем Жюри или назначенным им старшим по классу;

Е) результаты проверки всех работ участников Олимпиады члены Жюри заносят в итоговую таблицу.

7. Требования к порядку проведения Олимпиады:

А) задания каждой возрастной параллели составляются в одном варианте, поэтому участники должны сидеть по одному за столом (партой);

Б) участники выполняют задания в ученических тетрадях в клетку;

В) во время туров участникам запрещается пользоваться справочной литературой, электронными вычислительными средствами или средствами связи;

Г) задания Олимпиады тиражируются в количестве, соответствующем количеству участников Олимпиады;

Д) перед началом тура участник заполняет обложку тетради, указывая на ней свои данные. Категорически запрещается делать какие-либо записи, указывающие на авторство работы, во внутренней части тетради (на белых листах).

Е) участники выполняют работы ручками с синими или фиолетовыми чернилами. Запрещается использование для записи решений ручек с красными или зелеными чернилами;

8. Требования к порядку шифрования работ.

А) шифрование и дешифрование работ муниципального этапа осуществляется представителем Оргкомитета, назначаемым председателем Оргкомитета или его заместителем;

Б) после окончания тура работы участников Олимпиады отдельно по каждому классу передаются на шифровку. На обложке каждой тетради пишется соответствующий шифр, указывающий № класса и № работы (6–01, 6-02,…, 11–01, 11-02,…), который дублируется на первой (белой) странице работы. После этого обложка тетради снимается. Все страницы работы, содержащие указание на авторство этой работы, при шифровке изымаются и проверке не подлежат;

В) дешифровка работ осуществляется после окончания проверки и определения победителей и призеров Олимпиады по соответствующему классу;

9. Требования по порядку определения победителей и призеров Олимпиады.

Определение победителей и призеров Олимпиады производится в соответствии с Положением о всероссийской олимпиаде школьников (Приказ Минобрнауки РФ от 02 декабря 2009 года № 695).

Председатель центральной                                                              Н.Х. Агаханов

предметно-методической комиссии

по математике

Психологическая памятка для учителя

в работе с одаренными детьми.

• Поверьте, работа с одаренным учеником оставит в вашей педагогической деятельности неизгладимый след. Но помните, что это будет испытанием на прочность вашей личности, вашего самоуважения и в очень большой степени вашего терпения. В такой работе расти и меняться должен не только ваш удивительный воспитанник, но и вы сами.
• У одаренного ученика, как правило, очень высокая самооценка. Но в то же время именно у таких детей самооценка бывает крайне противоречивой — постоянные переходы от сознания своих особенностей, возможностей до полного самоотрицания. Но одаренному ребенку нужна устойчиво высокая самооценка, именно в ней такой ребенок и черпает силу для своего каждодневного напряженного труда. Педагог, работающий с этими детьми, должен преодолеть сложившееся бытовое представление о вреде "зазнайства" и не только разрушать такую самооценку, но, наоборот, в минуты его отчаяния внушать, что он обладает незаурядными возможностями. Важно твердо верить, что этому ребенку дано понять и совершить такое, что другим недостижимо.
• Уважайте и обсуждайте любую даже, на первый взгляд, бредовую идею, предложенную учеником. По выражению Нильса Бора, именно "сумасшедшие" идеи сделали современную физику. Если возрастает количество вопросов, на которые вы не знаете ответа или тратите на их выяснение слишком много времени, то лучше обратитесь к администрации, чтобы этому ученику подобрали другого преподавателя, иначе у вас будут накапливаться (ведь он у вас не единственный) усталость, нехватка времени, раздражение. Все это приведет к печальному результату: ученик может разочароваться в вас. Вероятно, все, что вы могли сделать - сделано. Ему нужен другой преподаватель.
• Это, конечно, не значит, что одаренным детям нужны только всезнающие учителя, "ходячие энциклопедии". Даже самый подготовленный педагог имеет право чего-то не знать - всегда есть пространство для развития у любого образованного человека. Важно, как педагог реагирует на свое незнание. Если с достоинством и без "закомплексованности", да при этом хорошо владеет навыками работы со справочной и любой другой подсобной литературой - такой педагог находка для одаренного ребенка.
• Не переживайте и не обижайтесь на то, что, несмотря на все приложенные усилия, ваш предмет и вы сами — не самые любимые у этого ученика. Не ожидайте и особой благодарности от одаренного ученика за то, что вы затратили на него гораздо больше времени и труда, чем на других; скорее всего, он посчитает это за норму и даже может не заметить этого, хотя, сразу оговорюсь, одаренные дети - благодарные ученики.
•  
• Учитель всегда должен помнить, что одаренному ученику необходима серьезная умственная нагрузка: если обучение будет легким, пустым, ученик, как ни странно, быстро устанет. А вот от трудной деятельности, тем более лежащей в сфере жизнеопределяющих интересов, ребенок никогда не устает. Его мозг должен быть постоянно в работе. Самостоятельность мышления, вопросы к учителю, а потом и самому себе - обязательные составные части успешных уроков. Одаренные ученики – трудоголики, особенно когда они увлечены какой-либо идеей. Они способны с головой уходить в интересующую их сферу и полностью игнорировать все, что к ней не относится.
• Психологи отмечают, что при своих необычайно высоких способностях одаренные дети часто с трудом приобретают школьные умения и навыки. Так называемая школьная или академическая одаренность, ничего общего не имеет с интеллектуальной и тем более творческой одаренностью. По-настоящему одаренные дети редко обладают школьной одаренностью, поэтому среди них почти никогда не бывает отличников и медалистов. Школьные отметки для них не самоцель, и воздействовать на них плохими отметками и можно разве только в начальных классах. Их можно обидеть, унизить, но подтолкнуть к действию оценками почти невозможно. А вот сложная, пусть даже неразрешимая задача вполне может их "завести". Учитель может пользоваться этой их особенностью.
• Все одаренные дети обладают невероятной способностью "поглощать" знания, обожают словари, энциклопедии, справочники, первоисточники. И учителю следует быть не столько преподавателем своего предмета, сколько вводить таких детей в науку. Основной упор в работе с такими детьми следует делать на самообучении. Способность одаренного ребенка к самостоятельному обучению необычно высока. Учитель должен знать: непрерывное самообучение должно стать его собственной устойчивой характеристической чертой.
• В соответствии с интересами ученика определяется его творческая тема, требующая от него придумывания, самостоятельного выдвижения идей и их реализации. Работая над увлекающей его идеей, школьник удовлетворит свое любопытство, свой "исследовательский инстинкт". Научным руководителем темы может быть школьный учитель, так и человек со стороны (например, научный работник). Зная творческую тему ученика, многие преподаватели будут приспосабливать к ней свой предмет.
• От учителя одаренных детей больше всего требуются качества личностные, душевные, а вовсе не только и не столько интеллектуальный или даже методический "багаж". Учитель, решившийся на такую самоотверженную работу, достоин уважения и поддержки. По словам В.Эфроимсона, такая работа возможна только "в коллективе, слитом в единое целое напряженным творческим порывом, группой исключительно даровитых людей, с умами взволнованными и напряженными, объединенными общей целью и беззаветным руководителем".

Логические задачи Логические задачи – это своеобразная "гимнастика для ума", средство для утоления естественной для каждого мыс­лящего человека потребности испытывать и упражнять силу собственного разума. В разделе представлен ряд занимательных задач из области математики, физики, естествознания, полюбившиеся многим задачи на взвешивание, задачи на нестандартное логическое мышление и многое другое.

Кувшинки на пруду

На поверхности пруда плавает одна кувшинка, которая постоянно делится и разрастается. Таким образом, каждый день площадь, которую занимают кувшинки, увеличивается в два раза. Через месяц покрытой оказывается вся поверхность пруда. За сколько времени покроется кувшинками вся поверхность пруда, если изначально на поверхности будут плавать две кувшинки? Две кувшинки покроют озеро за месяц минус один день.

Сумма чисел

В XIX веке один учитель задал своим ученикам вычислить сумму всех целых чисел от единицы до ста. Компьютеров и калькуляторов тогда еще не было, и ученики принялись добросовестно складывать числа. И только один ученик нашел правильный ответ всего за несколько секунд. Им оказался Карл Фридрих Гаусс - будущий великий математик. Как он это сделал? Он выделил 49 пар чисел: 99 и 1, 98 и 2, 97 и 3 ... 51 и 49. В сумме каждая пара чисел равнялась ста, и оставалось два непарных числа 50 и 100. Следовательно, 49х100+50+100=5050.

Притягательные игрушки

В детской больнице юные пациенты очень любили иг­рать с очаровательными плюшевыми мишками, которые были там. К сожалению, детям они так сильно нравились, что мишки стали исчезать: малолетние па­циенты уносили их домой. Как руководство больницы решило эту проблему? Всем мишкам сделали повязки и говорили маленьким детям, что миш­кам нужно оставаться в больнице, чтобы вылечиться. Дети с грустью, но с сочувствием соглашались.

Король и премьер-министр

Один король хотел сместить своего премьер-министра, но при этом не хотел его слишком обидеть. Он позвал премьер-министра к себе, положил при нем два листка бумаги в портфель и сказал: "На одном листке я напи­сал "Уходите", а на втором — "Останьтесь". Листок, который вы вытащите, решит вашу судьбу". Премьер-министр догадался, что на обоих листках было написано "Уходите". Как же, однако, умудрился он при этих условиях сохранить свое место? Премьер-министр вытащил листок бумаги и, не глядя на него, скатал из него шарик — и проглотил. Поскольку на оставшемся листке стояло "Уходите", то королю пришлось признать, что на проглоченном листке значилось "Останьтесь".

Кто изображен на портрете?

Один джентльмен, показывая своему другу портрет, нарисованный по его заказу одним художником, сказал: "У меня нет ни сестер, ни братьев, но отец этого человека был сыном моего отца". Кто был изображен на портрете? На портрете изображен сын этого джентльмена.

Пожар на острове

Человек находится на острове. Из-за долгой засухи трава и кусты на острове сильно пересохли. Внезапно на одном конце острова возник пожар, и ветер погнал огонь в сторону человека. Спастись в море чело­век не может, так как в море у самого берега плавает множество акул. Берегов без растительности на острове нет. Как человеку спастись? Человеку нужно зажечь огонь на подветренной от себя стороне и не­много отойти навстречу основному пожару. Ветер погонит огонь, зажженный человеком, к подветренному концу острова. Когда этот участок выгорит, человек смо­жет вернуться на него и спокойно ждать, пока основной пожар дой­дет до этого участка и погаснет, так как гореть уже будет нечему.

Фальшивая монета

На столе лежат девять монет. Одна из них — фаль­шивая. Как при помощи двух взвешиваний можно найти фальшивую монету? (Фальшивая монета легче настоящих.) Первое взвешивание: на каждую чашку весов кла­дем по три монеты. Если весы уравновешены, то для вто­рого взвешивания берутся две из трех оставшихся монет. Если фальшивая монета на весах, то ясно, на какой она чашке весов. Если же весы уравновешены, то фальши­вой является оставшаяся не взвешенная монета. Если при первом взвешивании одна из чашек переве­шивает другую, то фальшивая монета находится среди монет, вес которых оказывается меньше. Тогда вторым взвешиванием устанавливаем, какая из монет фальши­вая.

Необычное предложение

Что необычного в предложении "The quick brown fox jumps over the lazy dog"? (Перевод: быстрая коричневая лиса перепрыгнула через ленивую собаку). Это предложение содержит все буквы английского алфавита.

Назадачливый рыбак

Один рыбак купил себе новую удочку длиной 5 футов. Домой ему приходиться добираться общественным транспортом, в котором правилами запрещено перевозить предметы длиной более 4-х футов. Как необходимо упаковать удочку, чтобы проехать в общественном транспорте не нарушая правил? Удочку необходимо упаковать в коробку длиной 4 фута и шириной 3 фута (расположить по диагонали коробки).

Переправа через реку

Отец с двумя сыновьями отправился в поход. На их пути встретилась река, у берега которой находился плот. Он выдерживает на воде или отца, или двух сыновей. Как переправиться на другой берег отцу и сыновьям? Вначале переправляются оба сына. Один из сыновей возвращается обратно к отцу. Отец перебирается на противоположный берег к сыну. Отец остается на берегу, а сын переправляется на исходный берег за братом, после чего они оба переправляются к отцу.

Взвешивание крупы

Имеется 9 кг крупы и чашечные весы с гирями в 50 г и 200 г. Попробуйте в три приема отвесить 2 кг этой крупы. Нужно развесить крупу на две равные части по 4,5 кг; затем развесить одну из этих частей еще раз пополам, то есть по 2,25 кг, и от одной из этих частей отнять при помощи двух имеющихся гирь 250 г. Таким образом, Вы получите вес в 2 кг.

Новые таблички

В одном городе построили новый район из 100 домов. Мастера по изготовлению табличек изготовили и привезли пачку новых табличек с нумерацией домов от 1 до 100. Сосчитайте количество всех цифр 9 встречающихся в этих табличках (цифры 9 и 6 являются разными цифрами). Правильный ответ - 20 девяток.

День Рождения

Позавчера Пете было 17 лет. В следующем году ему будет 20 лет. Как такое может быть? Если нынешний день 1 января, а День Рождения у Пети 31 декабря. Позавчера (30 декабря) ему было еще 17 лет, вчера (31 декабря) исполнилось 18 лет, в нынешнем году исполнится 19 лет, а в следующем году - 20 лет.

Провисающая веревка

С какой силой надо натягивать веревку, чтобы она не провисала? Как бы сильно веревка ни была натянута, она неизбежно будет провисать. Сила тяжести, вызывающая провисание, направлена отвесно, натяжение же веревки не имеет верти­кального направления. Такие две силы ни при каких усло­виях не могут уравновеситься, то есть их равнодействующая не может равняться нулю. Эта равнодействующая и вы­зывает провисание веревки. Никаким усилием, как бы велико оно ни было, нельзя на­тянуть веревку строго прямолинейно (кроме случая, когда она направлена отвесно).

Сколько страниц в книге?

При издании книги потребовалось 2 775 цифр того, чтобы пронумеровать ее страницы. Сколько стра­ниц в книге? На первые 9 страниц требуется 9 цифр. С 10-й по 99-ю страницу (90 страниц) требуется 90х2=180 цифр. С 100-й по 999-ю страницу (900 страниц) требуется 900х3=2700 цифр (по 300 цифр на каждую сотню страниц с трехзначной нумерацией). Следовательно, на 999 страниц необходимо 2700+180+9=2889 цифр. Мы перебрали (2889-2775)/3=38 страниц. Итого: 999-38=961 страница была в книге.

Находчивый таможенник

Служащему таможни, где производился контроль от­правляемых за границу товаров, показались подозри­тельными пластмассовые кегельные шары одной из фирм. Они весили столько же, сколько деревянные того же размера. Шары не были массивными, но стенки были повсюду одинаково тверды. Служащий подумал, что внутри каждого шара имеется полость, где можно спрятать контрабандные товары. И, действительно, при помощи очень простого опыта без применения особой аппаратуры таможенник установил, что в одном из 12 шаров спрятана контрабанда. Когда шар вскрыли, там оказалось брильянтовое украшение. Как удалось обнаружить этот шар? Таможенник опустил шары в ведро с водой. Один из шаров неустойчиво покачивался на поверхности — центр тяжести его находился не в центре шара. Именно в этом шаре были спрятаны драгоценности.

Два взрыва

Почему при взрыве парового котла, давление пара в кото­ром составляет всего лишь 10—15 атмосфер, могут произойти большие разрушения, в то время как при разрыве цилиндра гидравлического пресса, давление в котором превышает не­сколько сотен атмосфер, значительных разрушений не проис­ходит? Ответ к задаче >>

Ключи и замки

Имеется три ключа от трех чемоданов с различны­ми замками. Каждый ключ подходит только к одному чемодану. Достаточно ли трех проб, чтобы подобрать ключи к каждому из них? Достаточно. Обозначим ключи буквами А, В, С, а замки М, К, Р. Тогда первая проба может дать, например, такой результат: ключ А не подходит к замку М. Это означает, что он подходит к замку К или к замку Р. Вторая проба: ключ В не подходит к замку М. Тогда ясно, что: а) ключ В подходит к замку К или к замку Р; б) к замку М подходит ключ С. Третья проба ставит все на свои места: если к замку К не подходит ключ А, то к нему подходит ключ В, а ключ А подходит к замку Р. Если же первая проба дает результат такой, что ключ А подходит к замку М, то тогда достаточно второй про­бы, чтобы установить, какой из оставшихся ключей к какому замку подходит.

Стеклянные шары

Имеются: два одинаковых стеклянных шара и один 100 этажный дом. Известно что: шары начинают разбиваться при ударе о землю, падая с определенного этажа. Как определить минимальное количество сбрасываний шаров с различных этажей, за которые можно найти этот самый этаж? Первый шар сбрасываем (пока на разобьется) с 14-го, 27-го 39-го, 50-го, 60-го, 69-го, 77-го, 84-го, 90-го, 100-го этажей. Если, например шар разбился при сбрасывании с 69-го этажа, то вторым шаром производим сбрасывания с этажей располагающихся в интервале между 60-м и 69-м этажами. В этом и любом другом случае, минимальное количество сбрасываний шаров будет равняться 14-ти.

Остывший кофе

Вы собрались попить кофе с молоком, и успели налить в стакан только кофе. Но вас просят отлучиться на несколько минут. Что надо сделать, чтобы при вашем возвращении кофе был горя­чее: налить в него молоко сразу перед уходом или после, когда вы вернетесь, и почему? Скорость охлаждения пропорциональна разности темпера­тур нагретого тела и окружающего воздуха. Поэтому следует сразу несколько охладить кофе, влив в него молоко, чтобы дальнейшее остывание происходило медленнее.

Математическая олимпиада

 в 5  классе.

Обучение математике – это обучение решению задач. Задачи школьного курса можно условно разделить на два вида: стандартные и нестандартные. Большинство школьных задач стандартное, т.е. знание определенного алгоритма, с помощью которого можно решить данный тип задач. Но не все задачи стандартные, некоторые из них трудно отнести к какому-либо определенному типу. Встречая такие задачи на математических олимпиадах или на вступительных экзаменах в вузы, ученики не знают, что делать, объясняя это тем, что «таких задач они в школе не решали».

Поэтому важно, чтобы к окончанию школы у школьников имелся достаточный опыт решения задач, когда требуется проявить творческую оригинальность и уметь выработать собственный метод их решения.

Как организовать обучение решению нестандартных задач таким образом, чтобы ученик смог успешно преодолеть неизбежные трудности? Как помочь ученику приобрести необходимый опыт? Я предлагаю один из возможных способов – годовой конкурс решения задач.

 1.Организация конкурса

Конкурс решения задач – это внутриклассная олимпиада, проходящая в течение всего учебного года, по следующей системе. Каждую неделю ученики решают дома по пять задач. Итоги олимпиады подводятся постоянно, первое время – каждую неделю, затем – по результатам месяца, четверти, полугодия, учебного года. Итоги конкурса заносятся в ведомость. Приведу образец такой ведомости.

№№	Фамилия	1	2	3	4	5	6	7	Итоги	Доп.	Оценка
1 2 3

За верное решение задачи ставится 1 балл, за неполное или даже неверное, но содержащее интересные мысли решение, -0,5 балла.

 2.Запись решения

Решать конкурсные задачи учащиеся должны в специальной тетради – по одной задаче на странице. Условие задачи переписывается обязательно. Каждую  неделю очередные пять задач разбираются на одном из уроков, после чего все найденные решения ученики записывают в тетрадь.

В этой тетради могут записываться и другие интересные задачи

В результате в конце учебного года у каждого школьника имеется собственный сборник нестандартных задач по математике с решениями, содержащий не менее 150 задач.

                                         3. Подбор задач

При подборах задач следует придерживаться таких принципов:

а) в каждой группе из пяти задач должно быть две-три , решение которых доступно большинству школьников.

б) задачи располагаются группами так, что в каждой серии имеются такие, которые можно решить, опираясь на ранее решенные задачи.

в) однотипные задачи включается на протяжении длительного времени, что приводит к глубокому усвоению материала.

Решить     50      задач.

1.1  Из трех монет одна фальшивая, она легче остальных. За сколько взвешиваний на чашечных весах без гирь можно определить, какая именно монета фальшивая.

1.2  . Заяц Степан меняет кочан капусты на морковку. У зайца Пети не хватает семи морковок, а у зайчихи Маши – одной морковки. Но их также не хватило, чтобы получить кочан капусты. На сколько морковок меняет Степан кочан капусты?

1.3  . Сумма двух чисел равна 179. Одно из них больше другого на 61. Найдите эти числа.

1.4  . Расстояние между двумя машинами, едущими по шоссе, 200 км. Первая машина двигается со скоростью 60 км/ч, вторая – 80 км/ч. Чему будет равно расстояние между ними через 1 ч?

1.5  . Разрежьте фигуру на две равные части:

            2.1. Для покупки восьми воздушных шариков у Тани не хватает 200р. Если она купит пять шариков, то у нее останется 1000р. Сколько денег было у Тани? Сколько стоит один шарик?

      2.2. В мешке 24 кг гвоздей. Как, имея только чашечные весы без гирь, отмерить 9кг гвоздей?

      2.3. Восстановите пример: 6*5*- *8*4= 2856.

      2.4. Сумма двух чисел равна 213. Одно из них меньше другого на 37. Найдите эти числа.

      2.5. Разрежьте фигуру на три равные части:

3.1. Запишите все числа, на которые число 24 делится без остатка.

      3.2. Чашка и блюдце вместе стоят  2500р., а 4 чашки 3 блюдца стоят 8870 р. Найдите цену чашки и блюдца.

      3.3. Из девяти монет одна фальшивая, она легче остальных. Как за два взвешивания на чашечных весах без гирь определить, какая именно монета фальшивая?

      3.4. Расставьте скобки всеми возможными способами, выберите наибольший и наименьший результаты: 100 – 20 * 3 + 2.

      3.5. Задумано число, к нему прибавлено 1, сумма умножена на 2, произведение разделено на 3 и от результата отнято 4. Получилось 6. Какое число задумано?

      4.1. Один биолог открыл удивительную разновидность амеб. Каждая из них через  1 мин делилась на две. Биолог кладет в пробирку амебу, и ровно через час она оказывается заполненной амебами. Сколько времени потребуется, чтобы вся пробирка заполнилась амебами, если ее в начале положить не одну, а две амебы?

     4.2. Если из одной стопки тетрадей переложить в другую 10 штук, то тетрадей в стопках будет поровну. На сколько больше тетрадей было в первой стопке, чем во второй?

      4.3. Чтобы заполнить коробку карандашами, Маше не хватает 2 карандашей, Коле – 34, а Васе – 35 карандашей. Дети сложили свои карандаши, но все равно не заполнили коробку. Сколько карандашей вмещает коробка?

      4.4. Расстояние между Атосом и Арамисом, едущими верхом по дороге, равно 20 лье. За 1 ч Атос проезжает 4 лье, а Арамис – 5 лье. Какое расстояние будет между ними через 1 ч?

 4.5. Разделите фигуру на три равные фигуры:

       5.1. Запишите все числа, на которые число 72 делится без остатка.

       5.2. Из трех монет одна фальшивая, но неизвестно, легче она или тяжелее остальных. За сколько взвешиваний на чашечных весах без гирь можно определить, какая именно монета фальшивая и легче или тяжелее она остальных?

      5.3. Расставьте скобки всеми возможными способами и выберите наибольший и наименьший результаты: 60 + 40/ 4 – 2.

      5.4. Известно, что 60 листов книги имеют толщину 1 см. Какова толщина всей книги, если в ней 240 страниц?

      5.5. После покупки 3 кг груш осталось 5000 р., а на 5 кг груш не хватило бы 5000 р. Сколько стоит 1 кг груш? Сколько денег было у покупателя?

      6.1. Восстановите запись:

                                                         **

                                                         **

                                                     __________

                                                       197.

6.2. Известно, что 4 карандаша и 3 тетради стоят 9600 р., а 2 карандаша и 2 тетради – 5400 р. Сколько стоит 8 карандашей и 7 тетрадей?

6.3. Три сосуда вместимостью 20 л наполнены водой, причем в первом – 11 л, во втором – 7 л, а в третьем – 6 л. Как разлить имеющуюся воду поровну, если в сосуд разрешается наливать только такое количество воды, которое в нем уже имеется?

6.4. На скотном дворе гуляли гуси и поросята. Мальчик сосчитал количество голов, их оказалось 30, затем сосчитал, сколько всего ног, их оказалось 84. Можно ли узнать, сколько гусей и сколько поросят было на скотном дворе?

6.5. Разрежьте треугольник на два треугольника, четырехугольник и пятиугольник, проведя две прямые линии. 

7.1 Падая на лестнице с 5 –го этажа, Алиса насчитала 100 ступенек. Сколько ступенек она насчитала бы,  падая с второго этажа? (падение героини сказки Л.Кэрролла «Алиса в стране чудес» обычно оканчивается благополучно…)

7.2 Есть 9 кг крупы и чашечные весы с гирями 50 г и 200 г . Как в три приема отвесить 2 кг крупы?

      7.3 В одном озере растет волшебная лилия. Ее размеры увеличивается за каждый день ровно в 2 раза. Если посадить одну такую лилию в пруд, то через 20 дней она заполнит его полностью. За сколько дней весь пруд закроется, если сразу посадить 4 такие лилии?

      7.4 Брат нашел на 36 грибов больше , чем сестра. По дороге домой сестра стала просить брата : «Дай мне неск5олько грибов, чтобы у меня стало столько же грибов, сколько и  у тебя». Сколько грибов должен дать брат сестре?

      7.5 Миша говорит: «Позавчера мне было 10 лет, а следующем году мне исполнится 13 лет». Возможно ли это?

      8.1 Найдите сумму :

                                               1+2+3+…+111.

      8.2 Используя 4 раза цифру 4, скобки, знаки действий, представьте все числа от 0 до 10.

      8.3 Количество мальчиков, решивших на уроке сложную задачу, равно количеству девочек, ее не решивших. Кого в классе больше: тех, кто решил задачу, или девочек?

      8.4 Крестьянин купил корову, козу, овцу и свинью, заплатив 1325 р. Коза, свинья и овца вместе стоят 425р., корова, свинья и овца стоят вместе 1225р., а коза и свинья стоят вместе 275 р. Найдите цену каждого животного.

      8.5 Два летчика вылетели одновременно из одного города в два различных пункта. Кто из них долетит до места назначения быстрее, если первому из них нужно пролететь двое большее расстояние, но зато он летит два раза быстрее, чем второй?

      9.1 Сумма двух чисел равна 80, а их разность равна 8. Найдите эти числа.

      9.2 Найдите сумму : 1+2+3+…+181- 96 -95-…-1.

      9.3 Во сколько раз километр больше миллиметра?

      9.4 В клетке находится фазаны и кролики. Известно, что в клетке 35 голов и 94 ноги. Сколько в клетке фазанов и сколько кроликов?

      9.5 Поезд проходит мост длиной 450 м за 45 с, а мимо светофора за 15 с. Найдите длину поезда и его скорость.       

      10.1 Ваня раскладывает на столе камешки на расстоянии 2 см один от другого. Сколько камешков он разложил на протяжении 10 см?

      10.2 На поляне паслись ослы. К ним подошло несколько ребят. Если на каждого осла сядут по одному мальчику, то двум из них не хватит ослов. Если же на каждого осла сядут по два мальчика, то один осел будет лишний. Сколько ослов и сколько мальчиков было на поляне?

      10.3 На складе имеются гвозди в ящиках по 24, 23, 17 и 16 кг. Можно ли отправить со склада 100 кг гвоздей, не распечатывая ящики?

      10.4 Как, имея пятилитровую банку и девятилитровое ведро, набрать из реки ровно три литра воды?

      10.5Два муравья отправились в гости к Стрекозе. Один всю дорогу прополз, а второй первую половину пути ехал на гусенице, что было в два раза медленнее, чем ползти, а вторую половину скакал на Кузнечике, что было в 10 раз быстрее. Какой муравей первым придет в гости, если они вышли одновременно?                                                    

Задачи на переливания 1.      Отмерить 3 л, имея сосуд 5 л. Какое наименьшее число переливаний потребуется для того,  чтобы в четырехлитровую кастрюлю с помощью крана и пятилитровой банки налить  3 литра воды? 2.      Деление 10 л поровну, имея сосуды 3, 6 и 7 л. Разделить на 2 равные части воду,  находящуюся в 6-литровом сосуде (4 л) и в 7-литровом (6 л), пользуясь этими и  3-литровым сосудами. Какое наименьшее количество переливаний потребуется?          3 . Деление 8 л поровну, имея сосуды 8, 5 и 3 л. Разделить на две равные части воду, находящуюся в полном 8 литровом сосуде, пользуясь этим и пустыми 5- и 3-литровыми  сосудами. Какое наименьшее количество переливаний потребуется? 4         Деление 16 л поровну, имея сосуды 6, 11 и 16 л. Разделить на две равные части воду, находящуюся в полном 16 литровом сосуде, пользуясь этим и пустыми 11- и 6-литровыми сосудами. Какое наименьшее количество переливаний потребуется? 5        Два сосуда и кран с водой. Какое наименьшее число переливаний необходимо для того,  чтобы с помощью 7- и 11-литровых сосудов и крана с водой отмерить 2 л? Решение 1.  Наливаем кастрюлю.     Переливаем воду из кастрюли в банку.     Наливаем кастрюлю.     Доливаем полную банку, и в кастрюле остается 3 литра. 2. В скобках – второй вариант решения. Сосуд 6 л Сосуд 3 л Сосуд 7 л До переливания 4 0 6 Первое переливание 1 (4) 3 (3) 6 (3) Второе переливание 1 (6) 2 (1) 7 (3) Третье переливание 6 (2) 2 (1) 2 (7) Четвертое переливание 5 (2) 3 (3) 2 (5) Пятое переливание 5 (5) 0 (0) 5 (5) 3. Сосуд 8 л Сосуд 5 л Сосуд 3 л До переливания 8 0 0 Первое переливание 3 5 0 Второе переливание 3 2 3 Третье переливание 6 2 0 Четвертое переливание 6 0 2 Пятое переливание 1 5 2 Шестое переливание 1 4 3 Седьмое переливание 4 4 0 4. Сосуд 16 л Сосуд 11 л Сосуд 6 л До переливания 16 0 0 Первое переливание 10 0 6 Второе переливание 10 6 0 Третье переливание 4 6 6 Четвертое переливание 4 11 1 Пятое переливание 15 0 1 Шестое переливание 15 1 0 Седьмое переливание 9 1 6 Восьмое переливание 9 7 0 Девятое переливание 3 7 6 Десятое переливание 3 11 2 Одиннадцатое переливание 14 0 2 Двенадцатое переливание 14 2 0 Тринадцатое переливание 8 2 6 Четырнадцатое переливание 8 8 0 5. Если сначала наполнить 11-литровый сосуд, то потребуется 18 переливаний,  а если 7-литровый, то, как следует из рисунка, – всего 14.

Работа с одаренными детьми

Цель: Организация работы с учащимися, имеющими повышенный уровень мотивации, включение учащихся в исследовательскую деятельность, подготовка учащихся к участию в различных математических конкурсах олимпиадах. Воспитание ученика как личности компетентной, успешной и востребованной обществом.

Задачи:
- формирование у учащихся устойчивого интереса к математике;
- выявление и развитие математических способностей;
- овладение конкретными математическими знаниями, необходимыми для применения в практической деятельности;
- интеллектуальное развитие учащихся, формирование качеств мышления, характерных для математической деятельности;
- формирование представлений о математике как части общечеловеческой культуры, понимание значимости математики для общественного прогресса;
- подготовка к сознательному усвоению систематического курса алгебра и геометрия;
- формирование навыков перевода различных задач на язык математики.

Актуальность проблемы
Проблема работы с одаренными учащимися чрезвычайно актуальна для современного казахстанского общества. Забота об одарённых детях сегодня – это забота о развитии науки, культуры и социальной жизни завтра. Сегодня к школе предъявляются высокие требования. Жизнь требует от школы подготовки выпускника, способного адаптироваться к меняющимся условиям, коммуникабельного и конкурентоспособного. А что значит для родителей и общества "хорошая школа”? Это школа, где
• хорошо учат по всем предметам, а по окончании дети легко поступают в вузы;
• преподают высококвалифицированные и интеллигентные педагоги;
• есть свои традиции;
• дается современное образование;
• уважают личность ребенка, с ним занимаются не только на уроках, но и в системе дополнительного образования.

Система работы с одаренными детьми в такой школе – это максимальное развитие умений, навыков, познавательных и творческих способностей учащихся.
В свете Концепции модернизации образования остро встает вопрос поиска путей повышения социально-экономического потенциала общества. Это возможно только в случае роста интеллектуального уровня тех, которые в дальнейшем станут носителями ведущих идей общественного процесса.
Моя деятельность по исследованию, диагностике, апробации методов и средств психолого-педагогического содействия реализации творчески-деятельного потенциала детей повышенного уровня обучаемости соответствует целям реформирования образования в Казахстане, идеалам его гуманизации, поскольку связана с внедрением в школьную практику программ дифференциации обучения и воспитания. Она обеспечивает условия для саморазвития учащихся, для повышения их мотиваций к познанию и самовоспитанию.
Особое внимание в своей работе я уделяю не только работе со слабыми учениками- своевременно провожу занятия по ликвидации выявленных пробелов в знаниях учащихся, но и работе сильными учениками. Как известно, устойчивый интерес к математике начинает формироваться в 12 – 14 лет. Но это не происходит само собой: для того, чтобы ученик 7 или 8 класса всерьёз начал заниматься математикой, необходимо, чтобы на предыдущих этапах он почувствовал, что размышления над трудными, нестандартными задачами могут доставлять подлинную радость. Всюду, где только возможно, будить мысль ученика, развивать активное, самостоятельное и – как высший уровень – творческое мышление. Главная особенность развития системы школьного математического образования – ориентация на самую широкую дифференциацию обучения математике. Такая дифференциация должна удовлетворять потребностям каждого, кто проявляет интерес и способности к математике, дав ему все возможности для их развития.
Целью работы с мотивированными детьми является, в частности, формирование у учащихся устойчивого интереса к предмету, дальнейшее развитие их математических способностей, на применение математических методов в различных отраслях науки и технике.

Принципы деятельности в работе с одаренными детьми:
Задатки, способности, знания и умения
Задатки. Человек не рождается на свет, имея уже какие-нибудь определенные способности. Врожденными могут быть только некоторые анатомические и физиологические особенности организма, среди которых наибольшее значение имеют особенности нервной системы, мозга. Эти анатомо-физиологические особенности, образующие врожденные различия между людьми, называются задатками.
Задатки имеют важное значение для развития способностей (например, свойства слухового анализатора важны для музыкальных способностей, свойства зрительного анализатора – для изобразительных способностей). Но задатки – только одно из условий формирования способностей. Сами по себе они никак еще не предопределяют способностей. Если человек даже с самыми выдающимися задатками не будет заниматься соответствующей деятельностью, способности у него не разовьются.
Способностями называются психические свойства личности, обладая которыми человек может сравнительно легко добиваться успеха в той или иной деятельности.
О способностях людей мы всегда узнаем только из наблюдений за их деятельностью. Способным обыкновенно называют того человека, который показывает в данной деятельности лучшие результаты, чем другие.
Виды способностей. Способностей столько, сколько существует различных видов деятельности. Можно иметь способности к иностранным языкам, к математике, к научной деятельности, музыкальные, артистические, организационные, технические способности ...
Способности человека можно разделить на две группы: общие способности, т. е. такие, которые проявляются в большинстве основных видов человеческой деятельности (хорошее внимание, память, сообразительность), и специальные способности, которые проявляются только в отдельных специальных видах профессиональной деятельности (музыкальные способности).
Связь способностей со знаниями и умениями. Необходимо отличать способности от знаний и умений. В основе последних лежат приобретенные и закрепленные системы временных связей в коре головного мозга (например, знание определенных математических теорем, умение решать уравнения с двумя неизвестными и т. п.). Способностями же называются основанные на специальных особенностях нервной деятельности свойства личности, которые позволяют человеку хорошо выполнять данную деятельность. Однако нельзя отрывать способности от знаний. Между ними существует характерная взаимная зависимость: способности облегчают усвоение знаний (способному человеку они даются быстрее и легче), но и обратно, овладение знаниями содействует развитию способностей.
Для развития способностей человека требуется усвоение, а затем и творческое применение знаний, навыков и умений, выработанных и накопленных обществом.
Усваивая систему знаний, учащиеся одновременно овладевают умственными операциями (анализ, синтез, обобщение), что и развивает их умственные способности. Отсутствие нужных знаний и навыков — сильнейший тормоз развития способностей.

Методы работы:
- анкетирование, опрос;
- собеседование;
- тестирование;
- анализ научных источников;
- творческие работы;
- метод прогнозирования;
- метод исследования проблемы.

Формы работы с одаренными учащимися:
- творческие мастерские;
- групповые занятия с сильными учащимися;
- кружковые занятия;
- интеллектуальные конкурсы;
- интеллектуальный марафон;
- участие в предметных олимпиадах;
- работа по индивидуальным планам;
- научно-исследовательские конференции;
- членство в ученических научных обществах.

Направления работы с одаренными учащимися:
1. Диагностика обучающихся – оценка общей одаренности.
2. Работа со способными и одаренными детьми на уроках.
3. Использование системы заданий повышенной сложности:
- задания на развитие логического мышления, нахождение общего, частного, промежуточного понятий, расположение понятий от более частных к более общим.
- задания на развитие творческого мышления – выполнение творческих работ обучающимися.
- задания на составление учебных проектов.
- задания на прогнозирование ситуаций.
4. Внеклассная работа с обучающимися – создание групп по подготовке к олимпиадам, конкурсам, конференциям с учетом интересов учащихся.
5. Основной принцип работы – принцип «обогащения».

Ресурсное обеспечение:
- наличие учебной аудитории;
- библиотечный фонд – наличие литературы;
- цифровые ресурсы – ИКТ.

Критерий эффективности:
1. Высокий уровень познавательного интереса к предмету.
2. Отсутствие неуспевающих по предмету.
3. Увеличение количества обучающихся, выбирающих предметы естественно-математического цикла как экзамен с успешной его сдачей.
4. Учащиеся становятся призерами олимпиад и конкурсов различного уровня.

Портрет одарённого ребёнка

1. Проявляет любопытство ко многим вещам, постоянно задаёт вопросы.
2. Предлагает много идей, решений задач, ответов на вопросы.
3. Свободно высказывает своё мнение, настойчиво, энергично отстаивает его.
4. Склонен к рискованным действиям.
5. Обладает богатой фантазией, воображением. Часто озабочен преобразованием, улучшением общества, предметов.
6. Обладает хорошо развитым чувством юмора, видит юмор в ситуациях, которые могут не казаться другим смешными.
7. Чувствителен к красоте, внимателен к эстетике вещей.
8. Не конфликтен, не приспособленец, не боится отличаться от других.
9. Конструктивно критичен, не принимает авторитарных указаний без критического изучения.
10. Стремится к самовыражению, творческому использованию предметов.

МОУ «Блюментальская основная общеобразовательная школа»
Описание опыта работы с одарёнными и способными детьми
учителя математики Родиной А.К.

Нельзя кого-либо изменить,
передавая ему готовый опыт.
Можно лишь создать атмосферу,
способствующую развитию человека

   К.Роджерс

В  школе реализуется программа «Одарённые дети». Работая в этом направлении с 2009 года, создала свою систему. При всех существующих трудностях в сфере общего основного образования для меня открываются новые возможности для развития личности учащегося, и одаренной личности.
Принципы моей педагогической деятельности в работе  с одаренны­ми детьми:
· принцип максимального разнообразия предоставленных возможностей для развития личности;
· принцип возрастания роли внеурочной деятельности;
· принцип индивидуализации и дифференциации обучения;
· принцип создания условий для совместной работы учащихся при минимальном участии учителя;
· принцип свободы выбора учащимся дополнительных образова­тельных услуг, помощи, наставничества.
Направления, формы и методы работы с одаренными детьми.
В качестве основных направлений работы с одаренными детьми выделяю:
а) систему преемственных связей среды и методов развития детей при переходе в среднее звено из начальной школы;
б) создание условий для индиви­дуализации обучения одаренных детей в основной школе;
в) систему дополнительного образования, предназначенную для удовлетворения постоян­но изменяющихся индивидуальных социокуль­турных и образовательных потребностей одаренных детей и позволяющую обеспечить выявление, поддержку и развитие их способностей в рамках внешкольной деятельности.
Работа над проблемой
1. Изучение методик, концепций и исследований отечественных и зарубежных психологов.

 2. Накопить методический материал для самообразования по данному вопросу
          Основной смысл работы состоит в том, чтобы собрать предварительную информацию о ребенке, поступающем в 5 класс. В моём варианте эта информация собирается из  основных источников – это учитель начальных классов, родители, врачи и сами дети. В практике - посещение занятий в начальной школе, с целью наблюдения за способностями каждого ребёнка, беседы с учителями. Подробно изучать медицинские карты с заключениями врачей.
            Успешность работы с одаренными детьми во многом зависит и от того, как организована работа с этой категорией учащихся в начальной школе.
         Я, начиная с 5 класса,  провожу конкурсы, викторины, интеллектуальные игры, где каждый ученик может показать  свои способности. С первой четверти, проводятся классные олимпиады по математике, в октябре – школьные, в ноябре районные.        Имею опыт проведения внеурочных интеллектуальных мероприятий, в частности, недели математики, которая проходит в школе ежегодно. Информационно-техническое оснащение школы в сочетании с современными информационными технологиями позволяет совместными усилиями образовательного учреждения, учреждений дополнительного образования, семьи расширить охват одарённых детей новыми направлениями творческого досуга. Дети и родители учатся составлять презентации, занимаются поиском информации по подготовке рефератов в Интернете.
Урочную и внеурочную деятельность строю таким образом, чтобы учащийся мог проявить свои возможности в самых разных сферах деятельности. В работе с одарёнными детьми использую следующие формы:
-предметные недели;
-олимпиады (разных уровней)
-конкурсы (Всероссийские, региональные, муниципальные, школьные)
-фестиваль наук; интеллектуальные ринги; марафон знаний;
-НПК;

Работа с одаренными детьми

Критерии экспертной оценки признаков одаренности учащихся:

1.     Легкость и быстрота достижения высоких результатов в том или ином виде деятельности (быстро и легко усваивает новые способы деятельности);

2.     Активность и саморегуляция в деятельности (высокая мотивация и самостоятельность в деятельности);

3.     Умение решать творческие задачи (в поисках новых способов выходит за рамки поставленной задачи).

Уровни проявления одаренности учащихся

1 разряд - высокий уровень проявления одаренности (все критерии оценки проявляются постоянно);

2 разряд – уровень выше среднего (все критерии оценки проявляются часто, но не всегда);

3 разряд – средний уровень (все критерии оценки в равной степени как проявляются, так и не проявляются);

4 разряд – уровень ниже среднего (критерии оценки проявляются достаточно редко);

5 разряд – низкий уровень (критерии оценки не проявляются совсем).

Условия применения метода экспертной оценки одаренности учащихся педагогами.

1.     Учитель должен быть психологически грамотен, т. е. осознавать поставленную перед ним задачу одаренности школьников.

2.     Учитель должен объективно устанавливать соотношение между этой оценкой и знакомым учителю школьным распределением учеников по степеням их успеваемости.

3.     Оценка должна основываться на продолжительном знакомстве учителя с учениками.

4.     Оценка должна быть многосторонней, т. е. основываться на независимых характеристиках экспертной группы учителей.

5.     Оценка одаренности школьников требует сравнения с другими, которые в остальных отношениях находятся в однородных условиях (группа, класс, возраст).

Экспертная оценка признаков одаренности учащихся

1 этап

Экспертная оценка уровня проявления одаренности учащихся:

·         фамилии подлежащих распределению учеников размещаются в алфавитном порядке в 1-ой колонке бланка, заполняемого педагогом;

·         учащиеся определенного класса распределяются по разрядам одаренности (1- высокий уровень проявления одаренности,                  2- уровень выше среднего, 3 – средний уровень, 4- уровень ниже среднего, 5 – низкий уровень);

·         в пределах каждого разряда фамилии учащихся записываются в колонках по степеням одаренности;

·         полученное таким образом распределение учащихся позволит не только выявить одаренных учащихся (1 разряд), но и определить степени одаренности (расположение в колонке по степени убывания).

Экспертная оценка уровня проявления одаренности учащихся:

2 этап

Диагностическая методика «Интеллектуальные и творческие способности»

Цель: определение уровня развития интеллектуальных  и творческих способностей учащихся.

Уважаемый коллега! Эта шкала поможет Вам оценить степень развитости основных интеллектуальных и творческих способностей учеников. Мы думаем, что в этом Вам помогут Ваша наблюдательность, знание детей и объективность.

Перед Вами список качеств, степень выраженности которых нужно оценить у каждого ребенка по следующей уровневой системе:

Высокий уровень - данное качество проявляется всегда.

     Уровень выше среднего – данное качество  проявляются часто, но не 

     всегда.

Средний уровень - данное качество в равной степени как проявляется,  так и не проявляется. 

Уровень ниже среднего – данное качество проявляется, но достаточно редко.

Низкий уровень – данное качество не проявляется совсем. 

Диагностическая методика «Черты личности».

Цель: определение степени развитости определенных черт личности учащихся.

Уважаемый коллега! Эта шкала поможет Вам оценить степень развитости определенных черт личности учеников. Мы думаем, что в этом Вам помогут Ваша наблюдательность, знание детей и объективность.

 Перед Вами список черт, степень выраженности которых нужно оценить по следующей уровневой системе:

Высокий уровень - данная черта проявляется всегда.

     Уровень выше среднего – данная черта  проявляются часто, но не 

     всегда.

Средний уровень - данная черта в равной степени как проявляется,  так и не проявляется. 

Уровень ниже среднего – данная черта проявляется, но достаточно редко.

Низкий уровень – данная черта не проявляется совсем. 

Показатели	В	В.с.	С	Н.с.	Н
1. Память - способность ребенка быстро запоминать и  удерживать долгое время в памяти различную информацию.
2. Внимание - способность ребенка быстро концентрироваться, настраиваться на деятельность и долгое время ею заниматься не отвлекаясь.
3. Способность к анализу и синтезу - способность ребенка быстро «раскладывать» предложенную информацию на составляющие части или, наоборот, из нескольких частей собирать целое (делать вывод).
4. Продуктивность мышления - способность ребенка находить большое количество решений на любую поставленную перед ним проблему.
5. Перфекционизм (старательность) – стремление ребенка доводить результаты своей деятельности до соответствия самым высоким стандартам.
6. Гибкость мышления – способность ребенка быстро изменять свое поведение, вносить коррективы в свою деятельность, в зависимости от изменившихся обстоятельств, объединять в своей деятельности знания и умения из различных областей жизни.
7. Оригинальность мышления – способность ребенка выдвигать новые, нестандартные идеи, видеть необычное в обычном.

Показатели	В	В.с.	С	Н.с.	Н
1. Самооценка – реальная оценка своих личностных качеств и способностей.
2. Эгоцентризм - направленность на себя.
3. Демонстративность - желание всегда быть в центре внимания.
4. Эмоциональность - восприимчивость, чувствительность к явлениям окружающего мира
5. Произвольное поведение - умение подчинять свои желания требованиям и необходимости.
6. Способность к оценке - критичность мышления.

Утверждаю

Директор школы

______Жакупова А.Х.

План индивидуальной работы с одарёнными детьми

Мероприятия	Содержание работы	Сроки проведения	Результаты
			Участники	Призовые места
Урочные и внеурочные мероприятия
Индивидуальные занятия	консультация	1 раз в неделю	5-11 классы
Участие в школьных предметных олимпиадах	олимпиада по математике	1 раз в год, ноябрь	8-11 классы
Участие в районных предметных олимпиадах	олимпиада по математике	1 раз в год, декабрь	8-11 классы
Конкурсы школьного уровня		В течение года	5-11 классы
Конкурсы муниципального и регионального уровней.		В течение года	5-11 классы

Вовлечение учащихся в творческую и проектную деятельность

1.      Тематика творческих работ

• Истоки математики (Вавилон, Египет, Греция, Восток) - для учащихся 5-6 классов;
• Великие математики мира (ученые-математики) - для учащихся 9 класса;
• Тематические учебные проекты - для учащихся 10 класса (профильный уровень);
• В мире закономерных случайностей (теория вероятности и математическая статистика) - для учащихся 11 класса.

2.      Темы учебных проектов

(10-11 классы)

1.        Расширение понятия числа.

Рекомендации. Стержнем работы должно быть выделено возникновение новых чисел как результат необходимости в них. Подробнее остановиться на комплексных числах, числе решений уравнений n-ой степени и их графической интерпретации.

2.        Числовые последовательности.

Рекомендации. Раскрыть понятие числовой последовательности, ее виды, показать способы решений задач на арифметическую и геометрическую прогрессии. Подробнее остановиться на бесконечной убывающей геометрической прогрессии, ее сумме и применении.

3.        Графики элементарных функций и правила их преобразований.

Рекомендации. Рассмотреть графики элементарных функций и способы построения графиков функций, опираясь на знание графиков этих функций и правила их преобразования. Уделить внимание построениям графиков функций, содержащих переменную под знаком модуля.

4.        Показательные уравнения, неравенства и их системы.

Рекомендации. Рассмотреть свойства показательной функции, ей график и способы решения показательных уравнений и неравенств. Стержневой линией решения уравнений и неравенств должна быть опора на свойства функции через образ графика функции.

5.        Логарифмические уравнения, неравенства и их системы.

Рекомендации. Рассмотреть свойства логарифмической функции, ей график и способы решения логарифмических уравнений и неравенств. Стержневой линией решения уравнений и неравенств должна быть опора на свойства функции через образ графика функции.

6.        Целые уравнения.

Рекомендации. Алгоритмы решения, формулы корней уравнения, теоремы о корне. Затронуть уравнения с двумя переменными и способы их решений в целых числах.

7.        Метод математической индукции.

Рекомендации. Раскрыть понятие индуктивного метода, принцип индукции и основанный на нём метод математической индукции. Остановиться на применении метода в различных примерах на доказательство методом математической индукции.

8.        Уравнение с параметром.

Рекомендации. Раскрыть понятие параметра в уравнении, способы решения линейного, квадратного и комбинаций уравнений с параметром, рассмотреть решение уравнений с параметром в примерах, дать графическую иллюстрацию уравнениям с параметром.

9.        Уравнение с модулем.

Рекомендации. Раскрыть понятие модуля и способы решения уравнений с модулем, основанные на свойствах модуля и знаке функции под модулем, рассмотреть решение уравнений с модулем в примерах, дать их графическую интерпретацию.

10.     В мире тригонометрических функций.

Рекомендации. Мы живем в мире гармонических колебаний (примеры), все они описываются тригонометрическими функциями. Создать как единое целое мир тригонометрических функций (определения, свойства, графики, формулы, уравнения, гармонические колебания).

11.     Именованные геометрии.

Рекомендации. Раскрыть возникновение и сущность неевклидовых геометрий: геометрии Лобачевского и геометрии Римана, модели для описания этих геометрий, их значимость.

12.     Великие математики мира.

Рекомендации. Расположить основоположников математики согласно истории развития математики, познакомиться с их биографией, осветить их вклад в науку.

13.     История развития математики (этапы развития математики).

14.     Системы счисления.

Рекомендации. Дать понятие позиционным и непозиционным системам счисления. Охарактеризовать виды систем счисления, их преимущества и недостатки. Рассмотреть правила перевода чисел из одной системы счисления в другую, их применение.

15.     В мире закономерных случайностей (комбинаторика, теория вероятности, статистика).

Примечание. В каждой работе должна быть проведена систематизация материала, историческая справка и свои выводы по теме проекта. Поэтому работа над проектом предполагает сбор материала, его систематизацию, обоснование и суждения автора. При работе над проектом автор должен приобрести  компетентность в области проектной темы. Материал должен быть подготовлен к защите проекта.

Олимпиада по информатике

Тестовые задания

1. В доме у Пети установили новый лифт экспериментальной модели. В этом лифте все кнопки с номерами этажей заменены двумя кнопками. При нажатии на одну из них лифт поднимается на один этаж вверх, а при нажатии на вторую – опускается на один этаж вниз. Пете очень понравился новый лифт, и он катался на нем, пока не побывал на каждом из этажей хотя бы по одному разу. Известна последовательность кнопок, которые нажимал Петя: 1221221221. Каково количество этажей в доме у Пети?

A) 1

Б) 6

В) 3

Г) 5

2. Одно из фундаментальных понятий информатики, описывающее некоторую последовательность действий – это…

A) Internet

Б) алгоритм

В) Pascal

Г) компьютер

3. Сколько пар скобок достаточно поставить, чтобы выражение 4 • 12 + 18 / 6 + 3 принимало наименьшее значение?

A) 1

Б) 2

В) 3

Г) 4

4. Какими клавишами можно скопировать текст в буфер обмена?

А) Ctrl + Ins

Б) Shift + Del

В) Alt + Ctrl

Г) Shift + Ins

5. Какое число является логическим продолжением ряда 17, 9, 5, 3?

A) 1

Б) 2

В) 3

Г) 0

6. Найдите три последние цифры произведения 1· 2 ·3 …·18.

А) 728

Б) 200

В) 801

Г) 000

7. Менеджеру по продажам приказали разбить все отремонтированные машины на 2 группы. Но, к сожалению, не сказали какие из машин были отремонтированы и сколько в какой группе должно быть машин. Всего на площадке 3 машины. Сколько возможных разбиений существует? Учтите, что группа может не содержать машин. Кроме того, все машины отличаются друг от друга, а группы неотличимы.

A) 14

Б) 9

В) 3

Г) 28

8. С каким расширением создается файл в программе Microsoft PowerPoint?

A) .doc

Б) .xls

В) .ppt

Г) .bmp

9. Наглядное средство представления состава и структуры системы — это

А) блок-схема

Б) граф

А) схема

Г) чертёж

10. Граф, вершины которого соединены дугами, называется

А) ориентированным

Б) неориентированным

В) взвешенным

Г) произвольным

Открытые вопросы

Вопрос 1

Сколько существует пятизначных чисел, у которых произведение цифр равно 15?

Вопрос 2

В таблице 5 Х 5 расставили числа от 1 до 25 так, что в каждой строке и каждом столбце числа упорядочены по возрастанию. При этом наименьшее значение суммы чисел по периметру таблицы, которое могло получиться, равно…

Вопрос 3

Дэвиду Копперфильду дали три запечатанных конверта. В каждом лежит красный или белый лист бумаги, на котором написаны два утверждения. В одном конверте оба утверждения истинны, в другом – оба ложны, а в третьем – одно ложно и одно истинно. Вот эти утверждения:

Конверт 1:

1. Листок в этом конверте белый.

2. Во втором конверте листок красный.

Конверт 2:

1. В первом конверте листок белый.

2. В третьем конверте красный листок.

Конверт 3:

1. В этом конверте белый листок.

2. В первом конверте листок красный.

Копперфильд должен сжечь конверт, в котором находится красный листок. Какой из конвертов он сожжет?

Вопрос 4

Для обмена значений двух переменных был создан некоторый алгоритм. Да вот беда, последняя из трех команд была удалена, остались только две из них:

1. А:= А + В

2. В:= А – В

3.

Какая команда была удалена?

Вопрос 5

Для шифровки каждой буквы слова используются двузначные числа. Известно, что буква «к» закодирована числом 15. Среди слов «торт», «ёжик», «станок», «радуга» есть слова, кодируемые последовательностью цифр: 35291815, 303113241115. Какая последовательность цифр является кодом слова «китёнок»?

 

 

 

 

Ответы на тесты

Тестовое задание	№ 1	№ 2	№ 3	№ 4	№ 5
Ответ	Г	Б	Б	А	Б

Тестовое задание	№ 6	№ 7	№ 8	№ 9	№ 10
Ответ	Г	А	В	Б	А

Ответы на открытые вопросы

Ответ на вопрос 1:

20

Это числа, состоящие из цифр 5, 3, 1, 1, 1. Так как цифру 5 можно поставить в любой из 5 имеющихся разрядов числа, то сделать это можно 5 способами. Цифру 3 можно поставить в один из 4 оставшихся свободных разрядов, то есть 4 способами. Оставшиеся разряды единственным образом заполняются единичками. Общее число пятизначных чисел, удовлетворяющих условию задания, равно 5 умножить на 4, то есть 20.

Ответ на вопрос 2:

186

Ясно, что числа от 1 до 25 надо выставлять по порядку по какому-то правилу. Редко кто начнет решать, не выписав 1, 2, 3, 4, 5 в первую строчку, а затем 6, 7, 8, 9 в первый столбец. А дальше почему-то рука тянется записывать оставшиеся числа либо по строкам, либо столбцам. В результате получается 190. А надо продолжать процедуру первого шага, то есть заполнять вторую строку, потом второй столбец, потом третью строку, третий столбец, четвертую строку, четвертый столбец. В результате получается следующее расположение чисел по строкам: 1, 2, 3, 4, 5; 6, 10, 11, 12, 13; 7, 14, 17, 18, 19; 8, 15, 20, 22, 23; 9, 16, 21, 24, 25. Сумма чисел по периметру равна 186. Больше ничего доказывать не надо, так как вариантов ответов с меньшими значениями нет.

Ответ на вопрос 3:

все конверты

Пусть в первом конверте белый листок, тогда в первом и втором конвертах есть по одному истинному высказыванию, а в третьем – одно ложное. Поэтому в третьем конверте второе высказывание тоже ложно, то есть в нем красный листок. Тогда торое высказывание второго конверта истинно, поэтому в первом конверте оба высказывания ложны, то есть во втором конверте лежит белый листок. Пусть в первом конверте красный листок, тогда в первом и втором конвертах есть по одному ложному высказыванию, а в третьем – одно истинное. Поэтому в третьем конверте второе высказывание тоже истинно, то есть в нем белый листок. Тогда второе высказывание второго конверта ложно, поэтому в первом конверте одно высказывание ложно, а другое – истинно, то есть во втором конверте лежит красный листок. Таким образом, в одном случае красный листок лежит в третьем конверте, а во втором – в первом и втором. Поскольку красные листки должны быть сожжены, то жечь надо все конверт

Ответ на вопрос 4:

А: = А – В

Ответ на вопрос 5:

15183135241115

Олимпиада по математике

Школьный этап.

7  КЛАСС

1.  Даны числа: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45.

Впишите их в клетки девятиклеточного квадрата так, чтобы получилось в сумме одно и то же число по любой вертикали, горизонтали и диагонали.

2.  Как тремя движениями ножа разрезать сыр на восемь равных кусков?

  

3. Цена товара дважды увеличивалась: сначала на 20%, потом – на 30%. На сколько процентов увеличилась цена товара в результате двойного повышения?

4. Вычислите наиболее рациональным способом:

101101*999-101*999999.

5. Из 100 ребят, отправляющихся в детский оздоровительный лагерь, кататься на сноуборде умеют 30 ребят, на скейтборде – 28, на роликах – 42. На скейтборде и на сноуборде умеют кататься 8 ребят, на скейтборде и на роликах – 10, на сноуборде и на роликах – 5, а на всех трех – 3. Сколько ребят не умеют кататься ни на сноуборде, ни на скейтборде, ни на роликах?

Олимпиада по математике

Школьный этап.

8  КЛАСС

1. На сколько градусов повернется часовая стрелка через 44 минуты.

2.  Длина товарного поезда 500 м и он движется со скоростью 50 км/ч. За сколько минут он пройдет тоннель длиною 1 км?

3. Построить график функции:

               6x, если  <1,5,

        9,  если 

               5x-1, если 2<

4. 1997***   делится на 1996. Сколько способов существует заменить *** цифрами?

5.      В группе 29 студентов. Среди них 14 любителей  классической музыки, 15-джаза, 14 – народной музыки. Классическую музыку и джаз слушают 6 студентов, народную музыку и джаз – 7, классику и народную – 9. Пятеро студентов слушают всякую музыку, а остальные не любят никакой музыки. Сколько их?

Олимпиада по математике

Школьный этап.

9 КЛАСС

1. Даны числа: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16.

Впишите их в клетки шестнадцатиклеточного квадрата так, чтобы получилось в сумме одно и то же число по любой вертикали, горизонтали и диагонали.

2. Числитель и знаменатель дроби -  положительные числа. Числитель увеличили на 1, а знаменатель на  10. Может ли увеличиться при этом дробь? Объясните.

3.  В четырехугольнике ABCD углы при вершинах B и D прямые, AB=BC,  BHAD, BH=1. Найдите площадь четырехугольника ABCD.

4. В одной семье было много детей. 7 из них любили капусту, 6 – морковь, 5 – горох, 4 – капусту и морковь, 3 – капусту и горох, 2 – морковь и горох, 1 – и капусту, и морковь, и горох. Сколько детей было в семье?

5. Имеется 16 различных по весу камней. Как за 22 взвешивания на чашечных весах без гирь определить самый легкий и самый тяжелый камни?

Олимпиада по математике

Школьный этап.

10 КЛАСС

1.               Учащиеся 10 «а» и 10«б» классов отправились на экскурсию. Юношей было 16, учащихся 10«б» класса – 24, девушек 10«а» столько, сколько юношей из 10«б» класса. Сколько всего учащихся побывали на экскурсии?

2.     Найдите значение выражения:

,

при b = -2011.

3.            Решить уравнение:  (x-y)(x+y)=21.

4.            Найти последнюю цифру числа: 2²⁵⁹+5³²⁰+3²⁰⁶+4¹²⁹, подробно пояснить ход решения.

5. В треугольнике ABC из вершины В проведен отрезок ВЕ к противоположной стороне, который делит треугольник АВС на два подобных с коэффициентом подобия . Найдите углы треугольника АВС.

Олимпиада по математике

Школьный этап.

11 КЛАСС

1. Представьте, если можно, в  виде обыкновенной дроби число 0,22(15).

2. Решите уравнение: 2.

3. Говядина без костей стоит 240 тенге за 1 кг. Говядина с костями - 208 тн./кг., а кости без говядины – 40 тн./кг. Сколько костей в 1 кг. говядины.

4. Сколько лет человеку, если в 2012 году его возраст оказался равным сумме цифр года его рождения.

5. Решите уравнение: 

РЕШЕНИЕ

7 КЛАСС

1. Даны числа: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45.

Впишите их в клетки девятиклеточного квадрата так, чтобы получилось в сумме одно и то же число по любой вертикали, горизонтали и диагонали.

Ответ:

20        45        10

15        25        35

40        5          30

2. Как тремя движениями ножа разрезать сыр на восемь равных кусков?

3. Цена товара дважды увеличивалась: сначала на 20%, потом – на 30%. На сколько процентов увеличилась цена товара в результате двойного повышения?

Решение:

Пусть x – первоначальная цена товара,

1,2 x – цена после первого повышения,

1,3(1,2x)- цена после второго повышения, 1,3*1,2x=1,56x, значит на 56%.

ОТВЕТ: на 56 %.

4. Вычислите наиболее рациональным способом:

101101*999-101*999999.

Решение:

101101*999-101*999999=(101*1001)*99-101*(999*1001)=0

5. Из 100 ребят, отправляющихся в детский оздоровительный лагерь, кататься на сноуборде умеют 30 ребят, на скейтборде – 28, на роликах – 42. На скейтборде и на сноуборде умеют кататься 8 ребят, на скейтборде и на роликах – 10, на сноуборде и на роликах – 5, а на всех трех – 3. Сколько ребят не умеют кататься ни на сноуборде, ни на скейтборде, ни на роликах?

Решение:

 

Всеми тремя спортивными снарядами владеют три человека, значит, в общей части кругов вписываем число 3. На скейтборде и на роликах умеют кататься 10 человек, а 3 из них катаются еще и на сноуборде. Следовательно, кататься только на скейтборде и на роликах умеют 10-3=7 ребят. Аналогично получаем, что только на скейтборде и на сноуборде умеют кататься 8-3=5 ребят, а только на сноуборде и на роликах 5-3=2 человека. Внесем эти данные в соответствующие части. Определим теперь, сколько человек умеют кататься только на одном спортивном снаряде. Кататься на сноуборде умеют 30 человек, но 5+3+2=10 из них владеют и другими снарядами, следовательно, только на сноуборде умеют кататься 20 ребят. Аналогично получаем, что только на скейтборде умеют кататься 13 ребят, а только на роликах – 30 ребят. По условию задачи всего 100 ребят. 20+13+30+5+7+2+3=80 – ребят умеют кататься хотя бы на одном спортивном снаряде. Следовательно, 20 человек не умеют кататься ни на одном спортивном снаряде.

Ответ. 20 человек не умеют кататься ни на одном спортивном снаряде.

РЕШЕНИЕ

8 КЛАСС

1.                   На сколько градусов повернется часовая стрелка через 44 минуты.

    60 мин  - 30º

         44 мин – x, значит 44*30/60=22.

Ответ: 22º.

2.                   Длина товарного поезда 500 м и он движется со скоростью 50 км/ч. За сколько минут он пройдет тоннель длиною 1 км?

1,5/50*60=1,8 минуты.

Ответ: 1,8 мин.

3. Построить график функции:

               6x, если  <1,5,

        9,  если 

               5x-1, если 2<

Решение:  

y   x

4.  1997***   делится на 1996. Сколько способов существует заменить *** цифрами?

Решение: способ только один  996, то есть 1997996. Если бы существовали другие способы, то числа отличались бы от этого числа по крайней мере на 1996, т.е. первые четыре цифры не совпадали бы с 1997 .

5.         В группе 29 студентов. Среди них 14 любителей  классической музыки, 15-джаза, 14 – народной музыки. Классическую музыку и джаз слушают 6 студентов, народную музыку и джаз – 7, классику и народную – 9. Пятеро студентов слушают всякую музыку, а остальные не любят никакой музыки. Сколько их?

РЕШЕНИЕ

9 КЛАСС

1. Даны числа: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16.

Впишите их в клетки шестнадцатиклеточного квадрата так, чтобы получилось в сумме одно и то же число по любой вертикали, горизонтали и диагонали.

 Решение:

   16     2          3          13

     5     11        10        8

     9     7          6          12

     4     14        15        1

2.

3. В четырехугольнике ABCD углы при вершинах B и D прямые, AB=BC,  BHAD, BH=1. Найдите площадь четырехугольника ABCD.

4. В одной семье было много детей. 7 из них любили капусту, 6 – морковь, 5 – горох, 4 – капусту и морковь, 3 – капусту и горох, 2 – морковь и горох, 1 – и капусту, и морковь, и горох. Сколько детей было в семье?

5. Имеется 16 различных по весу камней. Как за 22 взвешивания на чашечных весах без гирь определить самый легкий и самый тяжелый камни?

РЕШЕНИЕ

10 КЛАСС

1.                   Учащиеся 10 «а» и 10«б» классов отправились на экскурсию. Юношей было 16, учащихся 10«б» класса – 24, девушек 10«а» столько, сколько юношей из 10«б» класса. Сколько всего учащихся побывали на экскурсии?

Ответ: 40

2.    Найдите значение выражения:

, при b = -2011.

Решение: применяя формулу разности квадратов двух выражений получаем, что исходное выражение равно 1- b=1-(-2011)=2012

Ответ: 2012

3.          Доказать, что число 7ⁿ⁺¹+8^2n-1 делится на 19.

Доказательство: по методу математической индукции:

1.  n=1, 7²+8=57, 57 делится на 19, 57/19=3.

2.   полагаем, n=k, 7^k+1+8^2k-1 делится на 19.

3.   n=k+1, докажем, что 7^(k+1)+1+8^2(k+1)-1 делится на 19

7^(k+1)+1+8^2(k+1)-1=7^k+2+8^2k+1=7*7^k+1+8²* 8^2k-1=7*7^k+1+64* 8^2k-1 = =(7*7^k+1+7* 8^2k-1)+57* 8^2k-1=7(7^k+1+ 8^2k-1)+57* 8^2k-1

    Первое слагаемое делится на 9 по п. 2, второе слагаемое делится на 19, т.к. 57 делится на 19. ч.т.д.

4. Сколько лет человеку, если в 2011 году его возраст оказался равным сумме цифр года рождения?

1 вар. Человек родился в 19mn году, тогда

           2011-19mn=1+9+m+n

           2011-1900-m-n=10+m+n

           101=11m+2n

m=9, n=1, значит 1991 год, ему 20 лет.

2 вар. Человек родился в 200n году, тогда

           2011-200n=2+n

           2011-2000-n=2+n

           11-2=2n

           9=2n, решений нет

3вар. вручную 2010, 2011- не подходят.

ОТВЕТ: 20 ЛЕТ.

B

5. В треугольнике ABC из вершины В проведен отрезок ВЕ к противоположной стороне, который делит треугольник АВС на два подобных с коэффициентом подобия . Найдите углы треугольника АВС.

1

2

4

3

E

C

A

Дано: треугольник ABC, BE, E на АС.

Найти: углы треугольника ABC.

Решение:

1. A=2 (A≠C, так как треугольники подобны с коэффициентом ,A≠4, так как 4 – внешний для треугольника ABE и аналогично
2. C=1.
3. 3=4=90^о (как смежные).
4. B=1+2=C+2=3=90^о
5.  А=60^о, С=30^о.(через подобие с коэффициентом и тангенс углов)

Ответ: 60^о, 90^о, С=30^о. тетрадь.

РЕШЕНИЕ

11 КЛАСС

1. Представьте, если можно, в  виде обыкновенной дроби число 0,22(15).

Решение:  пусть x= 0,22(15)=0,221515151515……. Так как в записи этого числа до периода содержится два десятичных знака то умножаем обе части на 100,

100x= 22,15151515….. (1), период состоит из двух цифр, поэтому умножаем на 10²,

10000x=2215,1515151515…..(2).

Вычитая из равенства (2) равенство (1), получаем

9900x=2193, значит 0,22(15) =  2193/9900

ОТВЕТ:  2193/9900.

2. Решите уравнение .

Перегруппируем члены уравнения:

(2

Выносим общий множитель sin x за скобки, получим

sin x( 2cos x-1) + ( 2cos x-1)=0(2cos x-1)( sin x+1)=0.

Имеем совокупность равносильную исходному уравнению.

Итак,

 ОТВЕТ: x=±

3. Говядина без костей стоит 240 рублей за 1 кг. Говядина с костями - 208 руб./кг., а кости без говядины – 40 руб./кг. Сколько костей в 1 кг. говядины.

Решение: Пусть x (кг) костей в 1 кг говядины, тогда 1-x (кг) – чистое мясо без костей,

240(1-x) +40x=208

240-240x+40x=208

200x=32

x=0,16 кг

ОТВЕТ:  0,16 кг (160 гр.)

4. Сколько лет человеку, если в 2012 году его возраст оказался равным сумме цифр года его рождения.

1 вар. Человек родился в 19mn году, тогда

           2012-19mn=1+9+m+n

           2012-1900-m-n=10+m+n

           102=11m+2n

m=8, n=7, значит 1987 год, ему 25 лет.

2 вар. Человек родился в 200n году, тогда

           2012-200n=2+n

           2012-2000-n=2+n

           12-2=2n

n=5, значит 2005 год, ему 7 лет

3вар. вручную 2010, 2011, 2012- не подходят.

ОТВЕТ: 7 ЛЕТ, 25 ЛЕТ.

5. Решите уравнение: 

Сделаем замену y=.

Уравнение примет вид:

Уравнение равносильно системе:

,   y=1, y=-3/5,  с учетом y>0, решением системы является y=1.

Cделаем обратную замену и возведем обе части полученного уравнения в квадрат:

=1 x=1, x=-1.

Ответ: 1; -1.