Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Работа « Замечательные линии и точки треугольника» для выступления на научно-практической конференции
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Педагогическая деятельность в соответствии с новым ФГОС требует от учителя наличия системы специальных знаний в области анатомии, физиологии, специальной психологии, дефектологии и социальной работы.

Только сейчас Вы можете пройти дистанционное обучение прямо на сайте "Инфоурок" со скидкой 40% по курсу повышения квалификации "Организация работы с обучающимися с ограниченными возможностями здоровья (ОВЗ)" (72 часа). По окончании курса Вы получите печатное удостоверение о повышении квалификации установленного образца (доставка удостоверения бесплатна).

Автор курса: Логинова Наталья Геннадьевна, кандидат педагогических наук, учитель высшей категории. Начало обучения новой группы: 20 сентября.

Подать заявку на этот курс    Смотреть список всех 203 курсов со скидкой 40%

Работа « Замечательные линии и точки треугольника» для выступления на научно-практической конференции

библиотека
материалов

Районная научно-практическая конференция учащихся 8-11 классов общеобразовательных учреждений «Мир вокруг нас»


Секция:

«Математика, физика, ИКТ»


Тема:

« Замечательные линии и точки треугольника»



Автор: Денисова Анна,

ученица 10 класса

МОУ «СОШ» с.Каменка

Турковского района

Саратовской области


Научный руководитель:

Чучкова Наталья Викторовна,

учитель математики

МОУ «СОШ» с.Каменка

Турковского района

Саратовской области









Турки 2014 год











Оглавление



От автора …………………………………………………………………..……..3

Введение..…………………………………………………………………………4

I. Медианы треугольника.

1.1. Определение медиан треугольника и их свойства 
1.2.  Открытие немецкого математика Г. Лейбница 
1.3.  Применение медиан в математической статистике 
1.4.   Шесть доказательств теоремы о медианах 

II. Высоты треугольника.


III. Биссектрисы треугольника.

IV. Серединный перпендикуляр к стороне треугольника.

V. Практическое применение


Вывод……………………………………………………………………………..16

Список использованных источников……………………………………...……17






















« Геометрия является самым 
могущественным средством для
изощрения наших умственных
способностей и дает нам возможность
правильно мыслить и рассуждать»

Г.Галилей.


От автора

Геометрия - удивительная наука. Ее история насчитывает не одно тысячелетие, но каждая встреча с ней способна одарить и обогатить (как ученика, так и учителя) волнующей новизной маленького открытия, изумляющей радостью творчества. Действительно, любая задача элементарной геометрии является, по существу, теоремой, а её решение – скромной (а иногда и огромной) математической победой. Простейший из многоугольников, треугольник, играет в геометрии особую роль.

Геометрия начинается с треугольника. Вот уже два с половиной тысячелетия треугольник является символом геометрии. Треугольник неисчерпаем – постоянно открываются его новые свойства. Чтобы рассказать обо всех известных его свойствах, необходим том, сравнимый по объему с томом Большой энциклопедии.
Центральное место в геометрии треугольника занимают так называемые замечательные линии и точки.

Задачи, включающие в себя решение и разбор тем по замечательным точкам и линиям треугольника, в школьной программе раскрываются не полностью и большая часть остается неизученной (непройденой).Такие задачи для учеников являются сложными и непривычными, в течение изучения данной темы по школьной программе не вырабатываются необходимые навыки по решению таких задач. Данная тема может частично раскрыться лишь на внеклассных занятиях или с помощью самостоятельного обучения. Эта проблема меня очень заинтересовала и я постаралась в ней разобраться. Решение задач на замечательные точки и линии треугольника требует глубокого проникновения в смысл условия задачи. Четкое сопоставление формул, теорем и их доказательств играет главную роль в решении таких задач.


 Цель работы:

исследование замечательных точек и линий треугольника.

Задачи: 

  • формировать навыки самостоятельной работы с различными источниками информации;

  • углубить и расширить знания о замечательных точках и линиях треугольника, развивать математическую культуру; 

  • формировать умения использования теоретических знаний при решении задач.




План исследования:

  • Найти замечательные линии и точки в геометрии.

  • Узнать их историю, свойства.

  • Научиться применять формулы, теоремы при решении задач.

  • Сделать выводы.



Введение

Из истории замечательных точек треугольника



В начале работы хочу п
ояснить выражение «замечательные линии и точки треугольника». К числу таких линий, изучаемых в школьном курсе геометрии, относятся: 
• высоты треугольника;
• медианы треугольника;
• биссектрисы треугольника.
Добавим к ним другие линии:
• прямая Эйлера;
• прямая Симсона.

Все мы знаем, что биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке – центре, вписанной в этот треугольник окружности. Точно также, в одной точке пересекаются медиана, высоты треугольника, серединные перпендикуляры к сторонам. Получающиеся при пересечении перечисленных троек прямых точки, конечно же, замечательны (ведь три прямые, как правило, пересекаются в трех различных точках).

В школьном курсе геометрии изучаются четыре замечательные точки треугольника: точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника (центр описанной окружности), точка пересечения медиан (центр тяжести треугольника), точка пересечения биссектрис (центр вписанной окружности), точка пересечения высот (ортоцентр).

Кроме этого существует девять особых точек: середины сторон, основания высот, середины отрезков, соединяющих ортоцентр (точку пересечения высот) с вершинами треугольника.





Свойства основных линий треугольника были хорошо изучены еще древними греками.

В четвертой книге «Начал» Евклид решает задачу «Вписать круг в данный треугольник». Из решения вытекает, что три биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке – центре вписанного круга. Из решения другой задачи Евклида вытекает, что перпендикуляры, восстановленные к сторонам треугольника в их серединах (серединные перпендикуляры), тоже пересекаются в одной точке – центре описанного круга.

В «Началах» не говорится о том, что и три высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром (греческое слово «ортос» означает прямой, правильный). Это предложение было, однако, известно Архимеду, Паппу, Проклу.

Четвертой особенной точкой треугольника является точка пересечения медиан. Архимед, определяя положение центра тяжести (барицентром) однородной треугольной пластинки, установил, что он лежит на каждой из трех медиан. Поэтому точку пересечения медиан треугольника называют центром тяжести или центроидом треугольника.


На вышеназванные четыре точки было обращено особое внимание, начиная с XVIII в. Они были названы «замечательными» или «особенными точками треугольника». Исследование свойств треугольника, связанных с этими и другими точками, послужило началом для создания новой ветви элементарной математики – «геометрии треугольника», или «новой геометрии треугольника», одним из родоначальников которой был Леонард Эйлер. Закономерность в расположении трех замечательных точек треугольника – центра O описанной окружности, центроида G , ортоцентра H – впервые обнаружил знаменитый математик Леонард Эйлер(1707-1783).


В 1765 г. Эйлер доказал, что в любом треугольнике ортоцентр, барицентр и центр описанной окружности лежат на окружности лежат на одной прямой, названной позже «прямой Эйлера». В 20-х годах XIX в. французские математики Ж. Понселе, Ш. Брианшон и другие установили независимо друг от друга следующую теорему: основания медиан, основания высот и середин отрезков высот, соединяющих ортоцентр с вершинами треугольника, лежат на одной и той же окружности. Эта окружность называется «окружностью девяти точек», или «окружностью Фейербаха», или «окружностью Эйлера». К. Фейербах установил, что центр этой окружности лежит на «прямой Эйлера». Большой вклад в развитие геометрии треугольника внесли математики XIX – XX вв. Лемуан, Брокар, Тебо и др.






  1. Медианы треугольника.

Медианы (от лат. mediana – «средняя») – это отрезки, соединяющие вершины треугольника с серединами противолежащих сторон (см. рис. 3).

Сначала вспомним, что медиана треугольника – это отрезок соединяющий вершины треугольника с серединой противоположной стороны.

Медианы имеют множество свойств. Но мы рассмотрим одно свойство и 6 различных его доказательств: Три медианы пересекаются в одной точке, которая называется центроидом (центром масс) и делятся в отношении 2:1. 
Существует медианы не только треугольника, но и тетраэдра. Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с центроидом (точкой пересечения медиан) противолежащей грани называется медианой тетраэдра. Мы так же рассмотрим свойство медиан тетраэдра. 
Медианы используются в математической статистике. Например, для нахождения среднего значения некоторого набора чисел. 

1.                Медианы треугольника и их свойства 

Точка пересечения медиан является также центром тяжести треугольника. Если подвесить картонный треугольник в точке пересечения его медиан то он будет находиться в состоянии равновесия 
Любопытно, что вcе шесть треугольников, на которые всякий треугольник разбивается своими медианами, имеют одинаковые площади. 
Медианы треугольника через его стороны выражаются так: 
hello_html_m5a4cfe5f.pnghello_html_685012f7.png
hello_html_24a29183.png
hello_html_364f82f8.png
Если две медианы перпендикулярны, то сумма квадратов сторон, на которые они опущены, в 5 раз больше квадрата третьей стороны. 
Построим треугольник, стороны которого равны медианам данного треугольника, тогда медианы построенного треугольника будут равны 3/4 сторон первоначального треугольника. 
Данный треугольник назовем первым, треугольник из его медиан - вторым, треугольник из медиан второго - третьим и т. д. Тогда треугольники с нечетными номерами (1,3, 5, 7,...) подобны между собой и треугольники с четными номерами (2, 4, 6, 8,...) также подобны между собой. 
Сумма квадратов длин всех медиан треугольника равняется ¾ суммы квадратов длин его сторон. 

2. Открытие немецкого математика Г. Лейбница 
Знаменитый немецкий математик
 Г. Лейбниц обнаружил замечательный факт: сумма квадратов расстояний от произвольной точки плоскости до вершин треугольника, лежащего в этой плоскости, равняется сумме квадратов расстояний от точки пересечения медиан до его вершин, сложенной с утроенным квадратом расстояния от точки пересечения медиан до выбранной точки. 
Из этой теоремы следует, что точка на плоскости, для которой сумма квадратов расстояний до вершин данного треугольника является минимальной,- это точка пересечения медиан этого треугольника.
 
В то же время минимальная сумма расстояний до вершин треугольника (а не их квадратов) будет для точки, из которой каждая сторона треугольника видна под углом в 120°, если ни один из углов треугольника не больше 120° (точка Ферма), и для вершины тупого угла, если он больше 120°.
 
Из теоремы Лейбница и предыдущего утверждения легко найти расстояние
 d от точки пересечения медиан до центра описанной окружности. Действительно, это расстояние по теореме Лейбница равно корню квадратному из одной трети разности между суммой квадратов расстояний от центра описанной окружности до вершин треугольника и суммой 
Квадратов расстояний от точки пересечения медиан до вершин треугольника. Получаем, что
 
hello_html_4faecafa.png

Точка М пересечения медиан треугольника AВС является единственной точкой треугольника, для которой сумма векторов МА, MB и МС равна нулю. Координаты точки М (относительно произвольных осей) равны средним арифметическим соответствующих координат вершин треугольника. Из этих утверждений можно получить доказательство теоремы о медианах. 
3. Применение медиан в математической статистике 
Медианы бывают не только в геометрии, но и в математической статистике. Пусть нужно найти среднее значение некоторого набора чисел hello_html_3296bc52.pnghello_html_m32491fed.png, ..., ап. Можно, конечно, за среднее принять среднее арифметическое 
hello_html_43a2a360.png
Но иногда это неудобно. Допустим, что нужно определить средний рост второклассников Саратова. Опросим наугад 100 школьников и запишем их рост. Если один из ребят в шутку скажет, что его рост равен километру, то среднее арифметическое записанных чисел окажется слишком большим. Гораздо лучше в качестве среднего взять медиану чисел hello_html_3296bc52.png, ..., ап. 
Предположим, что чисел - нечетное количество, и расставим их в неубывающем порядке. Число, оказавшееся на среднем месте, называется медианой набора. Например, медиана набора чисел 1, 2, 5, 30, 1, 1, 2 равна 2 (а среднее арифметическое значительно больше - оно равно 6). 
4. Шесть доказательств теоремы о медианах 
Давно замечено, что познакомиться с разными решениями одной задачи бывает полезнее, чем с однотипными решениями разных задач. Одной из теорем, допускающих, как и многие другие классические теоремы элементарной геометрии, несколько поучительных доказательств, является 
Теорема о медианах треугольника. Медианы АА1, ВВ1 и СС1 треугольника ABC пересекаются в некоторой точке М, причем каждая из них делится этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины: AM:MМ1=BM:MВ1=CM:MС1=2.(1) 
Во всех приводимых далее доказательствах, кроме шестого, мы устанавливаем только, что медиана ВВ1 проходит через точку М, которая делит медиану АА1 в отношении 2:1. Если в соответствующем рассуждении заменить отрезок ВВ1 на отрезок СС1, то мы получим, что и СС1 проходит через М. Этим будет доказано, что все три медианы пересекаются в некоторой точке М, причем АМ:МА1 - 2. Поскольку все медианы равноправны, можно заменить АА1  на ВВ1 или СС1 отсюда вытекает (1). 
Первое доказательство (8 класс). 

Пусть в треугольнике АВС (рис.1) АD и ВЕ – медианы, пересекающиеся в точке О. Докажем, что и отрезок NС, проходящий через третью вершину этого треугольника и точку О, будет также медианой, т.е. АN = NВ.

Для доказательства через точку Е проведем ЕF║АD, тогда СF = FD. Разделим отрезок ВD пополам; пусть DК = КВ. получим n1 = n2 = n3 = n4, как половины равных отрезков СD и ВD.

Через точку К проведем КS║АD; тогда m1= m2 =m3, так как КS║ОD║ЕF и n4 = n3 = n2.

Чеhello_html_72a5491e.pngрез точки S и Е проведем SР║ОN и ЕQ║ОN, тогда l4 = l3 = l2, так как SР║ОN║ЕQ и m3 = m2 =m1. Кроме того, l2 = l1, так как АЕ = ЕС и ЕQ║СN. Отсюда l4 = l3 = l2 = l1, но l4 + l3 =NB, a

l2 + l1 =NA.

Следовательно, АN = NВ, т.е. NС является также медианой треугольника АВС.

Таким образом, все три медианы пересекаются в одной точке.

Кроме, того, мы видим ,что отрезок ОЕ составляет hello_html_cbc1050.pngВЕ. Аналогично можно доказать, что отрезок ОN составляет hello_html_cbc1050.png СN и отрезок ОD составляет hello_html_cbc1050.png АD. Таким образом, точка пересечения медиан в треугольнике отделяет от каждой медианы третью часть, считая от соответствующей стороны.








Второе доказательство(8 класс). 
Рассмотрим гомотетию с центром М и коэффициентом -1/2. Точка А переходит при этой гомотетии в А1. Пусть В переходит в В' (рис. 2). Тогда А1 В'  = hello_html_m6a116c6c.png АВ. С другой стороны, средняя линия hello_html_51d7b831.png получается из стороны ВА при гомотетии с центром С и коэффициентом 1/2; таким образом: 
hello_html_m6cb25847.pnghello_html_7a5bc99d.png
Итак, hello_html_m1a82ad17.png, следовательно, В'= hello_html_m5d458f66.png. Таким образом, треугольники ABC и hello_html_m24a63594.png  гомотетичны, причем центр гомотетии лежит в точке М. По определению гомотетии, точки В, М и В' = hello_html_m5d458f66.png лежат на одной прямой. 
Третье доказательство(9 класс). 
Рассмотрим треугольники MAC и М hello_html_7a1d0f93.pngС (рис. 3). Их высоты, опущенные из вершины С, совпадают, а длины противолежащих этой вершине сторон относятся как 2:1, поэтому hello_html_m2a14a9e4.png, где S обозначает площадь. Аналогично, hello_html_6fcf09c6.png. Но hello_html_304bba0e.png. Следовательно, 
hello_html_db3d1fb.png. Таким образом, треугольники МАВ, МВС и МСА равновелики. Пусть В' - точка пересечения прямых ВМ и АС. Докажем, что АВ' = В'С. С одной стороны, 
hello_html_m56248799.png
С другой стороны, 
hello_html_73c60d8e.png
hello_html_347d4283.png

Пользуясь теоремой 
hello_html_m5df87fe8.png,
 
отсюда получаем
 hello_html_685012f7.pnghello_html_685012f7.png
hello_html_m77083fb4.png.
 
Четвертое доказательство (9 класс). 


Теорема 1. Медианы треугольника АВС пересекаются в одной точке G и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины, причем

3PG=PA+PB+PC, (2)

где P – любая точка плоскости или пространства.

Доказательство. 

Возьмем на медиане CD треугольника ABC точку G, определяемую соотношением |CG|:|GD|=2:1 (рис. 3).

hello_html_m6fbcc1a3.png

Согласно формуле (1),

PD = -- (PA + PB),

откуда

PG = -- (PA + PB + PC).

Вычисляя вектор PG’ с концом в точке G’, делящей любую из двух других медиан треугольника в отношении 2:1 (считая от вершины), мы получим то же самое выражение:

PG’= -- (PA + PB + PC),

Поэтому PG’=PG, и точка G’ совпадает с точкой G. Следовательно, все три медианы треугольника пересекаются в одной точке G, определяемой соотношением (2).

?????????????
ВМ= ВС + СА+АМ=ВС + СА+ hello_html_5d7e50ee.png
Следовательно, точка
 М лежит на медиане hello_html_m34543054.png. 
Пятое доказательство (9 класс). 
Опять рассмотрим точку
 В' пересечения прямых ВМ и АС (рис. 3). Применяя теорему синусов сначала к треугольникам АВ'В и СВ'В, а затем - к треугольникам АВМ и hello_html_7a1d0f93.pngВМ и учитывая, что sin hello_html_m50b6bdbe.pngAB'B= sin hello_html_m50b6bdbe.pngCB'B, sin hello_html_m50b6bdbe.pngAMB= = sin hello_html_m50b6bdbe.pnghello_html_7a1d0f93.pngMB, BC=2 hello_html_7a1d0f93.pngB и МА =2M hello_html_7a1d0f93.png, получим 
hello_html_m71c5fb37.png.
 

Шестое доказательство(10 класс). 
Проведем через точки А и В плоскость а, не содержащую С, и построим в этой плоскости правильный треугольник ABC (рис. 5). Из общих свойств параллельной проекции следует, что параллельная проекция вдоль прямой С hello_html_3884bbac.png переводит треугольник hello_html_685012f7.pngАВС в треугольник АВ hello_html_3884bbac.png, причем медианы треугольника ABC проектируются в медианы треугольника AB hello_html_3884bbac.png. Но в правильном треугольнике медианы являются и биссектрисами, а следовательно, пересекаются в одной точке. Легко доказать также , что для треугольника AB hello_html_3884bbac.png справедливы равенства (1). 
Отсюда вытекает, что наша теорема верна и для треугольника АВС. 
Упомянем еще одно, быть может, самое простое и естественное доказательство теоремы о медианах: если поместить в вершины треугольника равные массы и поочередно группировать их парами, мы получим, что центр всех трех масс лежит на каждой из медиан. Центр системы равных масс, помещенных в некоторые точки, называется центроидом этого набора точек, поэтому и точку пересечения медиан треугольника часто называют его центроидом. 


1.5.Доказательство некоторых свойств медиан треугольника и применение их к решению задач.



Теорема о медианах треугольника

Теорема. Медианы треугольника делят его на шесть треугольников, площади которых равны. 

Даhello_html_m7f5d8932.pngно: ∆АВС, АА1, ВВ1, СС1 – медианы.

Доказать: S1 = S2 =S3 =S4 = S5 =S6.

Доказательство.

1.Рассмотрим ∆А1ОВ и ∆А1ОС. Так как ВА1 = А1С и высота у этих треугольников общая, то S1 = S2. Аналогично S3 =S4; S5 = S6. 

2. Рассмотрим ∆ АВВ1 и ∆ В1ВС. Так как АВ1 = В1С и высота у них общая, то 

S∆ABB1 = S∆B1 BС, т.е. S4+S5+S6 = S1+S2+ S3 .

Так как S3 = S4 ,то S5 + S6 = S1 +S2. а так как S5 = S6 и S1 = S2, то 2S5 = 2S1 → S5 = S1 или 2S6 = 2S1 →S6 = S1, и S1 = S2 = S5 =S6.

Аналогично, рассмотрев ∆ ВСС1 и ∆ АСС1, получим 

S1 = S2 =S3 = S4 =S5 = S6, что и требовалось доказать.





Аналогичные рассуждения для остальных углов показывают, что Р является точкой Брокара тогда и только тогда, когда она принадлежит описанным окружностям всех трех треугольников А1 ВС, АВ1 С и АВС1.

Поскольку описанные окружности треугольников А1 ВС и АВ1 С пересекаются в двух точках и одна из них – точка С, мы тем самым доказали, что существует не более одной первой точки Брокара. Для доказательства существования точки Брокара достаточно показать, что эти три окружности действительно имеют общую точку.


Теорема о длине медианы треугольника

Медиана треугольника определяется через три его стороны по формуле:

  hello_html_m5a8b2ea5.png

где abc — стороны треугольника, ma — медиана, проведенная к a. С доказательством этого утверждения интересующийся читатель может ознакомиться в видеоуроке.


Заключение 
Исходя из проделанной работы можно сделать следующие выводы:
 
1. Одну теорему можно доказать разными способами. Это гораздо полезнее. Ведь ее можно изучить с разных сторон, используя различные методы и темы курса 8-10 классов.
 
2. Медиана была изучена многими учеными, но особый вклад в ее развитие внес
немецкий ученый Г. Лейбниц. Он обнаружил замечательный факт:
сумма квадратов расстояний от произвольной точки плоскости до вершин треугольника, лежащего в этой плоскости, равняется сумме квадратов расстояний от точки пересечения медиан до его вершин, сложенной с утроенным квадратом расстояния от точки пересечения медиан до выбранной точки. 
Из этой теоремы следует, что точка на плоскости для которой сумма квадратов расстояний до вершин данного треугольника является минимальной, - это точка пересечения медиан этого треугольника.
 
3. Медианы используются не только в геометрии, но и в физике, и в статической математике. Для вычисления среднего арифметического и др.
 






II. Высоты треугольника.



Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из любой вершины треугольника на противолежащую сторону или на ее продолжение( сторона, на которую опускается перпендикуляр, называется в этом случае основанием треугольника). Любой треугольник имеет три высоты.

В hello_html_0.gifтупоугольном треугольнике АВС (рис.1 ) две высоты СЕ и ВF падают на продолжение сторон АВ и АС соответственно, и лежат вне треугольника; третья АD – внутри треугольника.

АD, ВF, СЕ – высоты ∆ АВС.

Высота треугольника, опущенная на сторону а, ha

hello_html_5f536a41.png

В остроугольном треугольнике (рис.2 ) все три высоты лежат внутри треугольника.

В hello_html_1392a37c.pngпрямоугольном треугольнике (рис.3) катеты служат и высотами.



hello_html_75e52427.png




















hello_html_m6aa4f646.png


Рассмотрим сначала один частный случай: прямоугольный треугольник ABC (рис.1). Середина O гипотенузы AB является центром описанной около него окружности. Центроид G делит медиану CO в отношении 1:2, считая от вершиныC. Катеты AC и BC являются высотами треугольника, поэтому вершина C прямого угла совпадает с ортоцентром H треугольника. Таким образом, точки O,G,H лежат на одной прямой, причем OH=3OG.Пользуясь методом координат, Эйлер доказал, что такая же связь существует между тремя указанными точками любого треугольника. Мы докажем этот факт с помощью векторов.

Деление отрезка в данном отношении.

Пусть A,B,O – данные точки плоскости, и известно, что

точка G делит отрезок AB в отношении k: ------- = k (рис.2).

hello_html_6e60cc33.png Выразим вектор OG через векторыOA и OB. Для этого подставим в равенство AG=k * GB выражения всех векторов через OG, OA и OB: OG-OA=k(OB-OG). Решая это уравнение относительно OG , получим:

OG= ------------- . (1)

Например, если G – середина отрезка AB , то k=1 и OG= -- (OA+OB).

Теорема о пересечении медиан треугольника в одной точке.

Здесь мы попутно получим одно векторное равенство, которое понадобится нам в дальнейшем.

Теорема 1. Медианы треугольника АВС пересекаются в одной точке G и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины, причем

3PG=PA+PB+PC, (2)

где P – любая точка плоскости или пространства.

Доказательство. Возьмем на медиане CD треугольника ABC точку G, определяемую соотношением|CG|:|GD|=2:1 (рис. 3).

hello_html_m6fbcc1a3.png

Согласно формуле (1),

PD = -- (PA + PB),

откуда

PG = -- (PA + PB + PC).

Вычисляя вектор PG’ с концом в точке G’, делящей любую из двух других медиан треугольника в отношении 2:1 (считая от вершины), мы получим то же самое выражение:

PG’= -- (PA + PB + PC),

Поэтому PG’=PG, и точка G’ совпадает с точкой G. Следовательно, все три медианы треугольника пересекаются в одной точке G, определяемой соотношением (2).

Теорема о высотах произвольного треугольника.

Теорема 2. Высоты треугольника АВС пересекаются в одной точке Н, причем

OH= OA + OB + OC, (3)

где О – центр окружности описанной около треугольника.

Доказательство. Пусть АВС – треугольник, отличный от прямоугольного (рис.4).

hello_html_m79ec77d1.png

-3-

Найдем сумму векторов OA и OB. Для этого построим точку M, симметричную О относительно стороныAB, тогда OM = OA + OB. Затем построим точку Н, для которой

OH = OM + OC = OA + OB +OC,

и докажем, что точка H и есть ортоцентр треугольника АВС.

Действительно, по построению прямые CH и OM параллельны, OM – серединный перпендикуляр к отрезку АВ, следовательно, прямая СН также перпендикулярна к прямой AB, и точка H лежит на высоте треугольника ABC, проведенной из вершины C.

Если повторить построение, начиная с векторов OA и OC, то получится та же точка H, но те же рассуждения показывают, что теперь точка H лежит на высоте треугольника, проведенной из вершины B.Аналогично получим, что точка H лежит на высоте, проведенной из вершины A. Следовательно, высоты треугольника ABC пересекаются в точке H, определяемой соотношением (3).

Легко проверить, что теорема 2 справедлива и для прямоугольного треугольника.

Прямая Эйлера.

Из доказанных теорем 1 и 2 вытекает интересующее нас свойство замечательных точек треугольника.

Теорема 3. Центр О описанной окружности, центроид G и ортоцентр H любого треугольника лежат на одной прямой, причем точка G лежит между точками О и Н и OG:GH = 1:2.

Доказательство. По теореме 1

3OG = OA + OB + OC.

Сравнивая это равенство с равенством (3), получим

OH = 3OG.

Следовательно, векторы OH и OG, имеющие общее начало O, расположены на одной прямой и | OG| : |GH| = 1 : 2.

Прямая, на которой лежат точки O, G и H, называется прямой Эйлера.

Задачи, относящиеся к расположению биссектрис, медиан и высот треугольника.

Задача 1. Из вершины треугольника проведены биссектриса, медиана и высота. В каком порядке они расположены, если смотреть от меньшей из сторон при этой вершине к большей?

Реhello_html_m6b4a0f90.pngшение. BH – высота, проведенная из вершины В, BL – биссектриса, BM – медиана, ВСhello_html_0.gif

ВСА, и hello_html_65de7cf8.png.

Но тогда, hello_html_m14f4581d.png, и поэтому биссектриса BL лежит внутри угла АВН, то есть точка L лежит между точками Н и А.

Зная, что биссектриса делит сторону, к которой проводится на отрезки пропорциональные прилежащим к ней сторонам, имеем: hello_html_m6497d0a0.png. Из неравенства ВСhello_html_0.gif, а поэтому середина АС, точка М, лежит на отрезке AL, между точками L и А.

Ответ: биссектриса треугольника расположена между высотой и медианой, проведенными из той




Задача 3.Какая из высот треугольника наименьшая?

Реhello_html_6241cc54.pngшение.

Пусть О – точка пересечения высот треугольника АВС. Если АС<АВ, то ∟С > ∟В.

Окружность с диаметром ВС пройдет через точки F и G. Учитывая , что из двух хорд меньше та, на которую опирается меньший вписанный угол, получаем, что СG < BF, то, есть меньше та высота, которая опущена на большую сторону.


Теорема. Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке (называемой ортоцентром; в тупоугольном треугольнике ортоцентр лежит вне треугольника; в прямоугольном он совпадает с вершиной прямого угла, в остроугольном лежит внутри треугольника).

Доказательство.

hello_html_m139aa140.pngРассмотрим произвольный треугольник АВС и докажем, что прямые АА1,ВВ1 и СС1 содержащие его высоты пересекаются в одной точке. Проведем через каждую вершину треугольника АВС прямую, параллельную противоположной стороне. Получим треугольник А2В2С2. Точки А, В и С являются серединами сторон этого треугольника.

Действительно АВ =А2С и АВ =СВ2 как противоположные стороны параллелограммов АВА2С и АВСВ2.

Таким образом, прямые АА1, ВВ1 и СС1 являются серединными перпендикулярами к сторонам треугольника А2В2С2.Следовательно они пересекаются в одной точке. СС1 А2В2, АА1 В2С2 и ВВ1 А2В2, и, поэтому А2С = СВ2. Аналогично С2А = АВ2и С2В = ВА2.

Теорема о высотах произвольного треугольника.

Теорема 2. Высоты треугольника АВС пересекаются в одной точке Н, причем

OH= OA + OB + OC, (3)

где О – центр окружности описанной около треугольника.

Доказательство. Пусть АВС – треугольник, отличный от прямоугольного (рис.4).

hello_html_m79ec77d1.png

-3-

Найдем сумму векторов OA и OB. Для этого построим точку M, симметричную О относительно стороныAB, тогда OM = OA + OB. Затем построим точку Н, для которой

OH = OM + OC = OA + OB +OC,

и докажем, что точка H и есть ортоцентр треугольника АВС.

Действительно, по построению прямые CH и OM параллельны, OM – серединный перпендикуляр к отрезку АВ, следовательно, прямая СН также перпендикулярна к прямой AB, и точка H лежит на высоте треугольника ABC, проведенной из вершины C.

Если повторить построение, начиная с векторов OA и OC, то получится та же точка H, но те же рассуждения показывают, что теперь точка H лежит на высоте треугольника, проведенной из вершины B.Аналогично получим, что точка H лежит на высоте, проведенной из вершины A. Следовательно, высоты треугольника ABC пересекаются в точке H, определяемой соотношением (3).

Легко проверить, что теорема 2 справедлива и для прямоугольного треугольника.






III. Биссектрисы треугольника.

Биссектри́са (от лат. bi- «двойное», и sectio «разрезание») угла — луч с началом в вершине угла, делящий угол на два равных угла[1]. Биссектриса угла — геометрическое место точек внутри угла, равноудалённых от сторон угла.

В треугольнике под биссектрисой угла может также пониматься отрезок биссектрисы этого угла до её пересечения с противолежащей стороной треугольника.

  • Теорема о биссектрисе: Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон

  • Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке — инцентре — центре вписанной в этот треугольник окружности.

  • Биссектрисы одного внутреннего и двух внешних углов треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка — центр одной из трёх вневписанных окружностей этого треугольника.

  • Основания биссектрис двух внутренних и одного внешнего углов треугольника лежат на одной прямой, если биссектриса внешнего угла не параллельна противоположной стороне треугольника.

  • Если биссектрисы внешних углов треугольника не параллельны противоположным сторонам, то их основания лежат на одной прямой.

  • Если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник — равнобедренный (теорема Штейнера — Лемуса).

  • Построение треугольника по трем заданным биссектрисам с помощью циркуля и линейки невозможно,[2] причём даже при наличии трисектора.[3]

  • В равнобедренном треугольнике биссектриса угла, противоположного основанию треугольника, является медианой и высотой.

  • Расстояния от сторон угла до любой точки биссектрисы одинаковы.



Свойство биссектрисы треугольника

Треугольник является простейшей геометрической фигурой, поэтому известно много теорем о его элементы, одним из которых является биссектриса.

Биссектриса треугольника - это отрезок биссектрисы одного из углов этого треугольника от вершины угла до точки пересечения с противоположной стороной.


Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке - в центре вписанного в треугольник круга.

Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам, а именно на отрезки, отношение которых равна соответственно отношению прилегающих к ним двух других сторон треугольника.

Или биссектриса треугольника разбивает некоторую сторону на две такие части, что отношение одного из них на прилегающей к ней стороны треугольника равен отношению второй части в соответствии прилегающей к ней стороны треугольника.

Полезными при решении задач являются свойства элементов прямоугольного треугольника.

Соотношение в прямоугольном треугольнике:

Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, соответственно пропорциональны двум другим сторонам.

Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное (или средним геометрическим) между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу. Есть квадрат катета прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное (средним геометрическим) между проекциями катетов на гипотенузу, есть квадрат высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузы, равен произведению проекций катетов на гипотенузу.



hello_html_35fee36a.png







Теорема о длине биссектрисы треугольника

Длина биссектрисы треугольника определяется по следующей формуле: hello_html_4f7ca010.png где hello_html_657e25a5.png — биссектриса, проведенная к стороне hello_html_m7a5eb9fd.png hello_html_7eec0c12.png hello_html_m3e6af340.png— отрезки, на которые биссектриса делит сторону hello_html_m34128ddd.png прилежащую к сторонам hello_html_m57c9899d.png и hello_html_34be4359.png соответственно. С доказательством этого утверждения интересующийся читатель может ознакомиться в видеоуроке.






4. Малоизвестное свойство биссектрисы треугольника

Теорема. Пусть биссектрисы AL1, BL2, CL3 треугольника АВС пересекаются в точке I. Тогда

hello_html_aa20eed.png
hello_html_66dd1d89.png
Доказательство.

АL1 – биссектриса треугольника АВС. Пусть hello_html_m4ff3d101.png, тогда hello_html_m513e0e4a.png. Известно, что hello_html_3c35a805.png, откуда hello_html_m184189c4.png.

Из того, что СI – биссектриса треугольника AL1C , и используя полученное выражение для х,

имеем: hello_html_1acb05e9.png Два другие равенства доказываются аналогично.


Следствие. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке ( являющейся центром вписанного круга).

Обhello_html_m9cc2f26.pngозначим буквой О точку пересечения биссектрис АА1 и ВВ1 треугольника АВС и проведем из этой точки перпендикуляры ОК , ОL и ОМ соответственно к прямым АВ,ВС и СА (рис.2).

По теореме( каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон.) имеем, что ОК = ОМ и ОК = ОL. Поэтому ОМ = ОL, т.е. точка О равноудалена от сторон угла АСВ и, значит, лежит на биссектрисе СС1 этого угла. Следовательно, все три биссектрисы треугольника АВС пересекаются в одной точке, точка О равноудалена от сторон треугольника, то есть, является центром вписанного круга, что и требовалось доказать.



Задача4. К какой из вершин треугольника ближе расположена точка пересечения биссектрис?

Реhello_html_m50ec2d18.pngшение.

Пусть О - точка пересечения биссектрис треугольника АВС. Воспользуемся тем , что

против большей стороны треугольника лежит больший угол. Если АВ>ВС, то ∟А < ∟С и, следовательно, ∟ОАD < ∟ОСD. Поэтому ОС < ОА, то есть центр О вписанной окружности лежит ближе к вершине, расположенной против большей стороны.


Теоремы:

 Биссектриса угла треугольника — множество точек, равноудаленных от сторон угла.

 Биссектриса делит сторону, к которой она проведена на отрезки, пропорциональные боковым сторонам: hello_html_m3b88eccc.png.

Примечание. В обозначениях на рисунке имеем: hello_html_m49ae7128.pnghello_html_35e405c4.png.

hello_html_739891a7.png

 Точкой пересечения биссектрисы делятся в отношении суммы сторон треугольника, образующих угол, в котором проведена биссектриса, к третьей стороне: hello_html_m4ba9fddf.png.

 Длина биссектрисы, делящей угол hello_html_4392a9a8.png пополам, равна удвоенному произведению сторон, деленному на их сумму и умноженному на косинус половины угла между ними: hello_html_38b4aefd.png.

 Длина биссектрисы равна: hello_html_5e48924b.png.

hello_html_1a0981d9.png

 Длина биссектрисы внешнего угла треугольника равна: hello_html_4dd543f0.png, при hello_html_m6b1da5b2.png.

 Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, являющейся центром вписанной в треугольник окружности. Радиус вписанной окружности может быть найден по формулам: hello_html_74f32b58.pnghello_html_m246a819f.png.

Свойство  биссектрисы угла треугольника.

    Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.
Доказательство. Пусть CD биссектриса треугольника ABC. Если треугольник ABC - равнобедренный с основанием АВ,  то указанное  свойство биссектрисы очевидно, так как в этом случае биссектриса является и медианой. Рассмотрим общий случай, когда АС не равно ВС. Опустим перпендикуляры AF и BE из вершин А и В на прямую CD. Прямоугольные треугольники ACF и ВСЕ подобны, так как у них равны острые углы при вершине С . Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон: АС/ВС = AF/BE. Прямоугольные треугольники ADF и BDE тоже подобны. У них углы при вершине D равны как вертикальные. Из подобия следует: AF/BE = AD/BD. Сравнивая это равенство с предыдущим, получим: АС/ВС = AD/BD или AC/AD = BC/BD, то есть AD и BD пропорциональны сторонам АС и ВС.





IV. Серединный перпендикуляр к стороне треугольника.


hello_html_3eafb6e5.png

Серединным перпендикуляром к стороне треугольника является перпендикуляр к отрезку, на котором задана сторона, проведенный через середину этого отрезка.

ED- серединный перпендикуляр к стороне ВС треугольника АВС.

^ ВС, ВD = DС.ED

Любая точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов отрезка, к которому перпендикуляр проводится.
.Следствие. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке (служащей центром описанного круга) .

Обhello_html_m2113c319.pngозначим точкой О точку пересечения серединных перпендикуляров m и n к сторонам АВ и ВС треугольника АВС. По теореме(каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка) ОВ = ОА и ОВ = ОС. Поэтому ОА = ОС, т.е. точка О равноудалена от концов отрезка АС и, значит , лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Следовательно, все три серединных перпендикуляра m, n, p к сторонам треугольника АВС пересекаются в точке О.

Точка О равноудалена от всех вершин треугольника, то есть является центром описанного круга.




V. Практическое применение



В новых стандартах профильного уровня обучения для старших классов предусмотрено изучение раздела «Геометрия на плоскости», в который включены следующие вопросы.

Свойство биссектрисы угла треугольника. Решение треугольников. Вычисление биссектрис, медиан, высот, радиусов вписанной и описанной окружностей. Формулы  площади треугольника: формула Герона, выражение площади треугольника через радиус вписанной и описанной окружностей.

Вычисление углов с вершиной внутри и вне круга, угла между хордой и касательной.

Теорема о произведении отрезков хорд. Теорема о касательной и секущей.  Теорема о сумме квадратов сторон и диагоналей параллелограмма

Вписанные и описанные многоугольники. Свойства и признаки вписанных и описанных четырехугольников.

Геометрические места точек.

Решение задач с помощью геометрических преобразований и геометрических мест.

Теорема Чевы и теорема Менелая.

Эллипс, гипербола, парабола как геометрические места точек.

Неразрешимость классических задач на построение.

Здесь мы рассмотрим свойства биссектрис, медиан и высот треугольника, расширим число замечательных точек и линий треугольника, сформулируем и докажем теоремы Чевы, Менелая, Ван-Обеля, Стюарта и др., решим ряд задач на применение этих теорем, предложим задачи для самостоятельного решения и укажем дополнительную литературу.

Представленный материал может быть использован как на основных уроках, так и при проведении элективных курсов, написании рефератов и проектов, подготовки школьников к турнирам, конкурсам и олимпиадам по математике.

Начнем с задач, относящихся к расположению биссектрис, медиан и высот треугольника. Их решение, с одной стороны, позволяет вспомнить пройденный ранее материал, а с другой стороны, развивает необходимые геометрические представления учащихся, подготавливает их к решению более сложных задач.

Задача  1. По углам A и B треугольника ABC (A <B) определите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины C.

Решение. Пусть CD – высота, CE – биссектриса, тогда BCD = 90 - BBCE = (180 - A - B):2. Следовательно, DCE = hello_html_m7094bc38.png.

Задача 2. К какой из вершин треугольника ближе расположена точка пересечения биссектрис?

          Решение. Пусть O – точка пересечения биссектрис треугольника ABC (рис. 1). Воспользуемся тем, что против большей стороны треугольника лежит больший угол. Если AB > BC, то A <C и, следовательно, OAD < OCD. Поэтому OC < OA, т.е. центр O вписанной окружности лежит ближе к вершине, расположенной против большей стороны.



hello_html_m63bc3de4.png


Задача 3. Какая из высот треугольника наименьшая?

Решение. Пусть O – точка пересечения высот треугольника ABC (рис. 2). Если AC < AB, то C > B. Окружность с диаметром BC пройдет через точки F иG. Учитывая, что из двух хорд меньше та, на которую опирается меньший вписанный угол, получаем, что CG < BF, т.е. меньше та высота, которая опущена на большую сторону.

  Задача 4. Пусть в остроугольном треугольнике ABC (рис. 3) точки A1B1C1 обозначают основания высот. Докажите, что точка H пересечения высот треугольника ABC является точкой пересечения биссектрис треугольника A1B1C1.

Доказательство. На сторонах AC и BC треугольника ABC, как на диаметрах, построим окружности. Точки A1B1C1 принадлежат этим окружностям. Поэтому B1C1C = B1BC, как углы, опирающиеся на одну и ту же дугу окружности. B1BC = CAA1, как углы с взаимно перпендикулярными сторонами.CAA1 = CC1A1, как углы, опирающиеся на одну и ту же дугу окружности. Следовательно, B1C1C = CC1A1, т.е. CC1 является биссектрисой угла B1C1A1. Аналогичным образом показывается, что AA1 и BB1 являются биссектрисами углов B1A1C1 и A1B1C1.

Самостоятельно исследуйте случаи прямоугольного и тупоугольного треугольника.

hello_html_7669010b.png

Рассмотренный треугольник, вершинами которого являются основания высот данного остроугольного треугольника, дает ответ на одну из классических экстремальных задач.

Задача 5 (задача Фаньяно). В данный остроугольный треугольник вписать треугольник наименьшего периметра.

Решение. Пусть ABC – данный остроугольный треугольник. На его сторонах требуется найти такие точки A1, B1C1, для которых периметр треугольникаA1B1C1 был бы наименьшим (рис. 4).

Зафиксируем сначала точку C1 и будем искать точки A1 и B1, для которых периметр треугольника A1B1C1 наименьший (при данном положении точки C1).

Для этого рассмотрим точки D и E симметричные точке C1 относительно прямых AC и BC. Тогда B1C1 = B1D,  A1C1 = A1E и, следовательно, периметр треугольника A1B1C1 будет равен длине ломаной DB1A1E. Ясно, что длина этой ломаной наименьшая, если точки B1A1 лежат на прямой DE.

Будем теперь менять положение точки C1, и искать такое положение, при котором периметр соответствующего треугольника A1B1C1 наименьший.

Так как точка D симметрична C1 относительно AC, то CD = CC1 и hello_html_2e99dde8.pngACD =hello_html_2e99dde8.pngACC1. Аналогично, CE = CC1 и hello_html_2e99dde8.pngBCE = hello_html_2e99dde8.pngBCC1. Следовательно, треугольникCDE равнобедренный. Его боковая сторона равна CC1. Основание DE равно периметру p треугольника A1B1C1. Угол DCE равен удвоенному углу ACBтреугольника ABC и, значит, не зависит от положения точки C1.

В равнобедренном треугольнике с данным углом при вершине основание тем меньше, чем меньше боковая сторона. Поэтому наименьшее значение периметраp достигается в случае наименьшего значения CC1. Это значение принимается в случае, если CC1 является высотой треугольника ABC. Таким образом, искомой точкой C1 на стороне AB является основание высоты, проведенной из вершины C.

Заметим, что мы могли бы фиксировать сначала не точку C1, а точку A1 или точку B1 и получили бы, что A1 и B1 являются основаниями соответствующих высот треугольника ABC.

Из этого следует, что искомым треугольником, наименьшего периметра, вписанным в данный остроугольный треугольник ABC является треугольник, вершинами которого служат основания высот треугольника ABC.

Рассмотрим теперь замечательные точки и линии треугольника. К числу таких точек, изучаемых в школьном курсе геометрии, относятся:

а) точка пересечения биссектрис (центр вписанной окружности);

б) точка пересечения серединных перпендикуляров (центр описанной окружности);

в) точка пересечения высот (ортоцентр);

г) точка пересечения медиан (центроид).

Добавим к ним некоторые другие замечательные точки и линии.

Точка Торричелли. Путь дан треугольник ABC. Точкой Торричелли этого треугольника называется такая точка O, из которой стороны данного треугольника видны под углом 120 (рис. 5), т.е. углы AOBAOC и BOC равны 120.

hello_html_m73629657.pngДокажем, что в случае, если все углы треугольника меньше 120, то точка Торричелли существует.

На стороне AB треугольника ABC построим равносторонний треугольник ABC' (рис. 6, а), и опишем около него окружность. Отрезок AB стягивает дугу этой окружности величиной 120. Следовательно, точки этой дуги, отличные от A и B, обладают тем свойством, что отрезок AB виден из них под углом 120. Аналогичным образом, на стороне AC треугольника ABC построим равносторонний треугольник ACB' (рис. 6, а), и опишем около него окружность. Точки соответствующей дуги, отличные A и C, обладают тем свойством, что отрезок AC виден из них под углом 120. В случае, когда углы треугольника меньше 120, эти дуги пересекаются в некоторой внутренней точке O. В этом случае AOB = 120AOC = 120. Следовательно, и BOC = 120. Поэтому точка O является искомой.

В случае, когда один из углов треугольника, например ABC, равен 120, точкой пересечения дуг окружностей будет точка B (рис. 6, б). В этом случае точки Торричелли не существует, так как нельзя говорить об углах, под которыми видны из этой точки стороны AB и BC.

В случае, когда один из углов треугольника, например ABC, больше 120 (рис. 6, в), соответствующие дуги окружностей не пересекаются, и точки Торричелли также не существует.

С точкой Торричелли связана задача Ферма о нахождении точки, сумма расстояний от которой до трех данных точек наименьшая.

Задача 6 (задача Ферма). Для данного треугольника найдите точку, сумма расстояний от которой до вершин треугольника принимает наименьшее значение.

Решение.     Докажем, что в случае, если углы треугольника меньше 120, то искомой точкой в задаче Штейнера является точка Торричелли.

Повернем треугольник ABC вокруг вершины C на угол 60, рис. 7. Получим треугольник ABC. Возьмем произвольную точку O в треугольнике ABC . При повороте она перейдет в какую-то точку O. Треугольник OOC равносторонний, так как CO = CO и OCO = 60, следовательно, OC = OO. Поэтому сумма длин OA + OB + OC будет равна длине ломаной AO + OO’ + OB. Ясно, что наименьшее значение длина этой ломаной принимает в случае, если точки AOO,B лежат на одной прямой. Если O – точка Торричелли, то это так. Действительно, AOC = 120COO' = 60. Следовательно, точки AOO лежат на одной прямой. Аналогично, COO = 60CO'B' = 120. Следовательно, точки OOB лежат на одной прямой. Значит, все точки AOOB лежат на одной прямой.

Самостоятельно докажите, что в случае, если один из углов треугольника больше или равен 120, то решением задачи Ферма является вершина этого угла.

Докажем, что в случае, если все углы треугольника меньше 120, то точка Торричелли существует.

На стороне AB треугольника ABC построим равносторонний треугольник ABC' (рис. 6, а), и опишем около него окружность. Отрезок AB стягивает дугу этой окружности величиной 120. Следовательно, точки этой дуги, отличные от A и B, обладают тем свойством, что отрезок AB виден из них под углом 120. Аналогичным образом, на стороне AC треугольника ABC построим равносторонний треугольник ACB' (рис. 6, а), и опишем около него окружность. Точки соответствующей дуги, отличные A и C, обладают тем свойством, что отрезок AC виден из них под углом 120. В случае, когда углы треугольника меньше 120, эти дуги пересекаются в некоторой внутренней точке O. В этом случае AOB = 120AOC = 120. Следовательно, и BOC = 120. Поэтому точка O является искомой.

В случае, когда один из углов треугольника, например ABC, равен 120, точкой пересечения дуг окружностей будет точка B (рис. 6, б). В этом случае точки Торричелли не существует, так как нельзя говорить об углах, под которыми видны из этой точки стороны AB и BC.

В случае, когда один из углов треугольника, например ABC, больше 120 (рис. 6, в), соответствующие дуги окружностей не пересекаются, и точки Торричелли также не существует.

С точкой Торричелли связана задача Ферма о нахождении точки, сумма расстояний от которой до трех данных точек наименьшая.

Задача 6 (задача Ферма). Для данного треугольника найдите точку, сумма расстояний от которой до вершин треугольника принимает наименьшее значение.

Решение.     Докажем, что в случае, если углы треугольника меньше 120, то искомой точкой в задаче Штейнера является точка Торричелли.

Повернем треугольник ABC вокруг вершины C на угол 60, рис. 7. Получим треугольник ABC. Возьмем произвольную точку O в треугольнике ABC . При повороте она перейдет в какую-то точку O. Треугольник OOC равносторонний, так как CO = CO и OCO = 60, следовательно, OC = OO. Поэтому сумма длин OA + OB + OC будет равна длине ломаной AO + OO’ + OB. Ясно, что наименьшее значение длина этой ломаной принимает в случае, если точки AOO,B лежат на одной прямой. Если O – точка Торричелли, то это так. Действительно, AOC = 120COO' = 60. Следовательно, точки AOO лежат на одной прямой. Аналогично, COO = 60CO'B' = 120. Следовательно, точки OOB лежат на одной прямой. Значит, все точки AOOB лежат на одной прямой.

Самостоятельно докажите, что в случае, если один из углов треугольника больше или равен 120, то решением задачи Ферма является вершина этого угла.

hello_html_482aacb7.png Окружность девяти точек. Пусть в треугольнике ABC (рис. 8), H – точка пересечения высот треугольника; точки A1, B1, C1 обозначают основания высот;A2, B2, C2 – середины соответствующих сторон; A3, B3, C3 – середины отрезков AA1, BB1 и CC1. Тогда точки A1, B1, C1, A2, B2, C2, A3, B3, C3  лежат на одной окружности, называемой окружностью девяти точек или окружностью Эйлера.

Действительно, A3B2 – средняя линия треугольника AHC и, следовательно, A3B2 || CC1B2A2 – средняя линия треугольника ABC и, следовательно, B2A2 || AB. Так как CC1  AB, то hello_html_2e99dde8.pngA3B2A2 = 90. Аналогично, hello_html_2e99dde8.pngA3C2A2 = 90. Поэтому точки A2B2C2A3  лежат на одной окружности с диаметром A2A3. Так как AA1 BC, то точка A1 также принадлежит этой окружности. Таким образом, точки A1 и A3 лежат на окружности, описанной около треугольника A2B2C2. Аналогичным образом показывается, что точки B1 и B3C1 и C3 лежат на этой окружности. Значит, все девять точек лежат на одной окружности.

Прямая Эйлера. В треугольнике центр описанной окружности, точка пересечения медиан, точка пересечения высот и центр окружности девяти точек лежат на одной прямой, называемой прямой Эйлера. При этом центр окружности девяти точек лежит посередине между центром пересечения высот и центром описанной окружности.

Действительно, пусть в треугольнике ABC (рис. 9), точка O – центр описанной окружности; G – точка пересечения медиан. H точка пересечения высот. Требуется доказать, что точки OG, H лежат на одной прямой и центр окружности девяти точек N делит отрезок OH пополам.

Рассмотрим гомотетию с центром в точке G и коэффициентом -0,5. Вершины A, BC треугольника ABC перейдут, соответственно в точки A2, B2C2. Высоты треугольника ABC перейдут в высоты треугольника A2B2C2 и, следовательно, точка H перейдет в точку O. Поэтому точки OGH будут лежать на одной прямой.

          Покажем, что середина N отрезка OH является центром окружности девяти точек. Действительно, C1C2 – хорда окружности девяти точек. Поэтому серединный перпендикуляр к этой хорде является диаметром и пересекает OH в середине N. Аналогично, серединный перпендикуляр к хорде B1B2 является диаметром и пересекает OH в той же точке N. Значит N – центр окружности девяти точек. Что и требовалось доказать. hello_html_4573d049.png Прямая Симсона. Для произвольного треугольника основания перпендикуляров, опущенных из любой точки описанной около него окружности на его стороны или их продолжения, лежат на одной прямой, называемой прямой Симсона.

          Действительно, пусть P – произвольная точка, лежащая на окружности, описанной около треугольника ABCDEF – основания перпендикуляров, опущенных из точки P на стороны треугольника (рис. 10). Покажем, что точки DEF лежат на одной прямой.

          Заметим, что в случае, если AP проходит через центр окружности, то точки D и E совпадают с вершинами B и C. В противном случае, один из углов ABPили ACP острый, а другой – тупой. Из этого следует, что точки D и E будут расположены по разные стороны от прямой BC и для того, чтобы доказать, что точкиDE и F лежат на одной прямой, достаточно проверить, что CEF =BED.

          Опишем окружность с диаметром CP. Так как CFP = CEP = 90, то точки E и F лежат на этой окружности. Поэтому CEF =CPF как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу окружности. Далее, CPF  = 90PCF = 90DBP = BPD. Опишем окружность с диаметром BP. Так как BEP = BDP = 90, то точки F и D лежат на этой окружности. Поэтому BPD =BED. Следовательно, окончательно получаем, что  CEF =BED. Значит точки DEF лежат на одной прямой.

 










Шуточное определение: [2]

Медиана – обезьяна,
У которой зоркий глаз,
Прыгнет точно в середину
Стороны против вершины, 
Где находится сейчас?

Шуточное определение: [2]

Биссектриса – это крыса,
Которая бегает по углам 
И делит угол пополам.

Шуточное определение: [2]

Высота похожа на кота,
Который, выгнув спину,
И под прямым углом
Соединит вершину
И сторону хвостом.


Заключение
Значимость данных свойств в современном мире огромна. Знания о них практически применяются в строительстве, архитектуре, промышленном производстве и многих других областях деятельности человека.


В своей работе я постаралась показать оптимальные и основные способы, используя которые можно решить задачи с замечательными точками и линиями треугольника. В данной работе я сделала упор на аналитический и логический способ решения задач. В ходе изучения данной темы я сформировала собственные навыки решения геометрических задач. Также приобрела навык организаторской деятельности, самостоятельного поиска необходимого научного материала из различных источников информации. Кроме того мне стало намного легче работать на уроках геометрии, т. к. я могу использовать знания, полученные в ходе исследования этой темы, в других
 отраслях геометрии.

Данная работа может использоваться на факультативных занятиях для 7-11 классов, лекциях и подготовке учащихся к олимпиадам по геометрии, а так же в профильном обучении старших классов.
Если расширить знания о замечательных точках и линиях треугольника, то это будет способствовать моему математическому развитию, так как научит применять изученные методы и приемы при исследовании замечательных точек и линий треугольника для решения геометрических задач разной сложности.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ

    В результате работы я повторил весь школьный материал по данной теме, изучил другие подходы к ней по дополнительным источникам. Разобрал решения задач различного уровня сложности, решаемые методом подобия и, чаще всего, не решаемые без него.
    Я думаю, что это поможет мне  при подготовке к вступительным экзаменам по математике. Я научился видеть подобные треугольники в различных ситуациях, умею правильно записывать отношения сходственных сторон, по известным элементам вычислять неизвестные, используя свойства пропорции.
    Интересен материал из истории подобия, с которым  я ознакомился. Я смогу применять метод подобия для решения практических задач.
     Думаю,   что  те,   кто  изучит  данный  материал,   тоже углубят свои знания в одной из областей геометрии.









Литература.

1. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. М.:«Наука» 1986г.

2.Савин А.П. Энциклопедический словарь юного математика М.: «Педагогика» 1989г.

3.Александров А. Д. и др. Геометрия 8 -9 М.: «Просвещение» 1991 г.

4.Атанасян Л.С. Геометрия 7 – 9 М.: «Просвещение» 1994г.

5.Бекбоев И. и др. «Геометрия» 9 класс Алматы «Мектеп» 2009 г.

6.Журнал «Математика в школе» №5 1999г. М.: «Школа –Пресс»

7.Журнал «Математика в школе» №6 1998г. М.: «Школа – Пресс»

8.Газета «Математика» М.: «Первое сентября» №17 2006г.

9.Газета «Математика» М.: «Первое сентября» № 9 1999г.

10. Прасолов В.В «Задачи по планиметрии» часть 1 М.:«Наука» 1991г.

11. Прасолов В.В «Точки Брокара и изогональное сопряжение» Библиотека «Математическое просвещение» Выпуск 4, М.: 2000 г.

12.Болтянский В. Г. и др. «Векторное изложение геометрии» М.: «Просвещение» 1982 г.

13. Шувалова Э.З., Каплун В.И. «Геометрия» М.: «Высшая школа» 1980 г.

Список использованных источников и литературы 
1.           И.Л. Никольская. Факультативный курс по математике. Учебное пособие для 7-9 классов средней школы. Москва “Просвещение” 1991 г. с. 92-93. 
2.           Т.Л. Рыбакова, И.В. Суслова. Школьный справочник “МАТЕМАТИКА”. Ярославль “Академия развития” 1997 г. с. 113. 
3.           Ежемесячный научно-популярный физико-математический журнал Академии наук СССР и Академии педагогических наук литературы. “ Квант № 7 1990 г. с. 40. 
4.           Ежемесячный научно-популярный физико-математический журнал Академии наук СССР и Академии педагогических наук литературы. “ Квант № 1 1990 г. с. 54. 

Использованные источники информации:

  1. Прямая Эйлера” (Э. Готман).

  2. Международная информационная сеть Internet (URL: http://www.referat.ru;http://dlc.miem.edu.ru/referat ).

ЛИТЕРАТУРА

Атанасян Л. С, Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г. Геометрия: учебник для 7-9 классов. М.: Просвещение 1990.

Атанасян Л. С, Бутузов В. Ф., Кадомцев СБ., Киселёва Л. С, Позняк Э. Г.   Геометрия: учебник для 10-11 классов. М.: Просвещение 1998.

Гусев В. А., Мордкович А. Г. Справочник по математике. М.: Просвещение 1995.

Денищева Л.О., Глазунов Ю. А., Краснянская К. А., Рязановский А. Р., Семёнов П. В. Учебно-тренировочные материалы для подготовки к ЕГЭ «Математика», М.: Интеллект - Центр, 2004 г.




Общая информация

Номер материала: ДВ-324308

Похожие материалы