Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Работа "Малый звездчатый додекаэдр"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Работа "Малый звездчатый додекаэдр"

библиотека
материалов

Введение.

МАТЕМАТИКА ВЛАДЕЕТ НЕ ТОЛЬКО ИСТИНОЙ,
НО И ВЫСШЕЙ КРАСОТОЙ — КРАСОТОЙ ОТТОЧЕННОЙ
И СТРОГОЙ, ВОЗВЫШЕННО ЧИСТОЙ
И СТРЕМЯЩЕЙСЯ К ПОДЛИННОМУ СОВЕРШЕНСТВУ,
КОТОРОЕ СВОЙСТВЕННО ЛИШЬ ВЕЛИЧАЙШИМ
ОБРАЗЦАМ ИСКУССТВА.

Бертран Рассел

Актуальность темы

«Возможно, при виде многогранников кто-нибудь спросит: «Какая от них польза?» На это позволительно ответить так: «А разве всё красивое полезно?» Впрочем, нетрудно усмотреть известную пользу, которую приносят многогранники в качестве декоративных украшений. Ими хорошо украсить комнату или праздничный стол. А как красивы блестящие звёзды на ёлке!

Человек проявляет интерес к многогранникам на протяжении всей своей сознательной деятельности — от двухлетнего ребёнка, играющего деревянными кубиками, до зрелого математика, наслаждающегося чтением книги Бранко Грюнбаума «Выпуклые многогранники».Некоторые из правильных и полуправильных тел встречаются в природе в виде кристаллов, другие — в виде вирусов (которые можно рассмотреть с помощью электронного микроскопа). Пчёлы строили шестиугольные соты задолго до появления человека, а в истории цивилизации создание многогранных тел (подобных пирамидам) наряду с другими видами пластических искусств уходит в глубь веков. Пять правильных тел изучали Теэтет, Платон, Евклид, Гипсикл и Папп.»

Цель исследования

Вычислить, какой величины должны быть боковые ребра у правильных пятиугольных пирамид, чтобы при добавлении их к граням додекаэдра с ребром а , получился малый звездчатый додекаэдр.

Задачи исследования

1. Рассмотреть правильные многогранники.

2. Познакомиться с звездчатыми формами додекаэдра.

3. Решить задачу о малом звездчатом додекаэдре.

Малый звездчатый додекаэдр

2.1 Правильные многогранники

Выпуклый многогранник называется правильным, если его гранями являются равные правильные многоугольники и в каждой вершине сходится одинаковое число граней.

Правильные многогранники



hello_html_m53120a28.png

Моя работа связана с фигурой додекаэдр.

Дhello_html_m30e7dd76.jpgодекаэдр

«В известном смысле додекаэдр представляет наибольшую привлекательность среди платоновых тел, соперничая с икосаэдром, который почти ему не уступает (а быть может, в чём-то и превосходит). Пожалуй, пальму первенства додекаэдр получает за свои три звёздчатые формы, описываемые ниже».



2.2 Звездчатые формы додекаэдра

Если же обратиться к додекаэдру, продолжив его грани, можно обнаружить, что это приведет к образованию  трех  различных типов отсеков. Вблизи самого додекаэдра имеется 12 пятиугольных пирамид. Эти пирамиды превращают додекаэдр в малый звёздчатый додекаэдр.

hello_html_m70bbaf9f.png

hello_html_m3faf64af.png



За ними следуют 30 клинообразных отсеков, превращающих малый звёздчатый додекаэдр в большой додекаэдр.



hello_html_m4096abad.pnghello_html_3e8c1a2.jpg













Наконец 20 треугольных бипирамид2 превращают большой додекаэдр в большой звёздчатый додекаэдр, который, пожалуй, точнее было бы назвать звёздчатым большим додекаэдром. Это завершающая звёздчатая форма додекаэдра, который имеет три такие формы: две из них были открыты Кеплером (1619), третья — Пуансо (1809).



hello_html_3ddb18b6.pnghello_html_3ddb18b6.pnghello_html_3703ef4.png



Теперь вас, возможно, заинтересует то обстоятельство, что в отличие от октаэдра любая из звёздчатых форм додекаэдра  н е   я в л я е т с я  соединением платоновых тел, но образует новый многогранник. На самом деле эти многогранники правильные, поскольку два из них имеют гранями по 12 пересекающихся пентаграмм, а грани третьего — 12 пересекающихся пятиугольников (пентагонов). Коши (1811) доказал, что эти три многогранника, открытые ранее, на самом деле не что иное, как звёздчатые формы додекаэдра .

2hello_html_m467c3229.png.3 Задача (предложенная учителем на факультативе)

Какие боковые ребра должны быть у правильных пятиугольных пирамид, чтобы при добавлении их к граням додекаэдра с ребром а получился малый звездчатый додекаэдр?

А

hello_html_m6b72b34a.gifhello_html_m1a2ad9c7.gifhello_html_4e80d88d.gifhello_html_71fe37c8.gifhello_html_m724b5ec.gifМое решение :



С

hello_html_m54bfc3d2.gif

В

О



hello_html_m7672c563.gifhello_html_5db7c4e0.gif

hello_html_m272b9a6f.gif



hello_html_m3d7af9a2.gifhello_html_m489478d1.gifhello_html_m9f30043.gifhello_html_m6d85a6.gif













Возьмем правильный пятиугольник со стороной а - одну из граней додекаэдра. Продолжим его ребра. Образуются треугольники, которые являются гранями пятиугольных пирамид малого звездчатого додекаэдра. Тогда отрезок АВ боковое ребро правильной пятиугольной пирамиды и его надо найти в задаче.

  1. Расс. hello_html_m3d0caafb.gif САВ – равнобедренный (hello_html_23adfdd0.gif = hello_html_m502fc1f1.gif).

АО медиана, биссектриса и высота hello_html_m272b9a6f.gif ВО = hello_html_7cc01e1b.gif .

  1. Расс. hello_html_m3d0caafb.gif АОВ – прямоугольный. hello_html_45b9baa5.gif =hello_html_31aabd05.gifhello_html_m272b9a6f.gifАВ = ОВ:hello_html_45b9baa5.gif.

  2. Найдем hello_html_m8181c8c.gifОАВ. Сумма всех углов выпуклого пятиугольника равна

(5-2)hello_html_m3e7618c0.gif1800 = 3hello_html_m3e7618c0.gif1800 =5400. Тогда величина каждого угла выпуклого пятиугольника равна 5400:5=1080. hello_html_23adfdd0.gif = hello_html_m502fc1f1.gif= 1800-1080=720.

4. Найдем hello_html_m8181c8c.gifCAB=180°-(hello_html_m8181c8c.gifACB+hello_html_m8181c8c.gifABC)=36°hello_html_m272b9a6f.gifhello_html_m8181c8c.gifOAB=18°(т.к. AO – биссектриса).

5. Из пункта (2) следует AB=OB:sin18°.

6. Найдем sin18°:

hello_html_164e6a92.png

H

Рассмотрим сектор АВ окружности с центром в точке О и радиуса 1, hello_html_m8181c8c.gifАОВ=36°. Тогда hello_html_m8181c8c.gifОАВ=hello_html_m8181c8c.gifОВА=72°.

Проведем хорду АВ, на отрезке ОВ построим точку С так, чтобы АС=АВ, при этом hello_html_m8181c8c.gifАСВ=hello_html_m8181c8c.gifАВС=72°, а hello_html_m8181c8c.gifСАВ=36°.

Таким образом, hello_html_m8181c8c.gifОАС=36°, следовательно, ОС=АС.

Пусть АВ=х, тогда ОС=х, СВ=1-х. Поскольку АС – биссектриса треугольника ОАВ, справедлива пропорция hello_html_m3d96f90a.gif, откуда х²+х-1=0,(х>0); hello_html_m4e2777.png.



Рас. ΔОНВ-прямоуг., hello_html_m8181c8c.gifНОВ = 180 ; sin180 = hello_html_6ace6a9c.gifhello_html_m272b9a6f.gifsin180 = hello_html_m112fb985.gif

Подставляя вместо hello_html_m4e2777.png, получаем sin180 = hello_html_d138a75.gif.



7. Из пункта (5) следует АВ = hello_html_53c12484.gif : hello_html_d138a75.gif = hello_html_53c12484.gif· hello_html_15fd77e0.gif=hello_html_1a002638.gif



Ответ: чтобы при добавлении правильных пятиугольных пирамид к граням додекаэдра с ребром а получился малый звездчатый додекаэдр, нужно чтобы боковое ребро правильных пятиугольных пирамид равнялось hello_html_1a002638.gif.



Выводы исследования

«Кристаллические формы, исключительно примитивные с точки зрения художника, во всяком случае несут в себе нечто от эстетической привлекательности простоты: изучая эти элементарные формы, мы как бы приближаемся к самим основам понятия формы; пытаясь же понять принципы их строения, мы узнаем нечто о природе пространства, о мире, в котором мы живем. В нашем восприятии кристаллических форм есть нечто общее с впечатлением от египетских сфинксов или пирамид (огромная сила эстетического воздействия которых заключена в строгости их очертаний и в простоте) и что-то созвучное нашему отношению к суровости чистой математики».



hello_html_m5e21b467.jpg



Баранцев Тарас со своими фигурами.

Список литературы.

  1. Винниджер М. «Модели многогранников» М.: Педагогика, 1975.

  2. Смирнова И.М. «В мире многогранников» М.: Педагогика, 1990.

  3. Энциклопедический словарь юного математика. − М.: Педагогика, 1989.

  4. Александров А. Д. «Выпуклые многогранники»— Л., 1950;

  5. Литвинова С. А. «За страницами учебника математики», ГЛОБУС,2007г.



Краткое описание документа:

Человек проявляет интерес к многогранникам на протяжении всей своей сознательной деятельности — от двухлетнего ребёнка, играющего деревянными кубиками, до зрелого математика, наслаждающегося чтением книги Бранко Грюнбаума «Выпуклые многогранники».Некоторые из правильных и полуправильных тел встречаются в природе в виде кристаллов, другие — в виде вирусов (которые можно рассмотреть с помощью электронного микроскопа). Пчёлы строили шестиугольные соты задолго до появления человека, а в истории цивилизации создание многогранных тел (подобных пирамидам) наряду с другими видами пластических искусств уходит в глубь веков. Пять правильных тел изучали Теэтет, Платон, Евклид, Гипсикл и Папп.»

Задача :

Какие боковые ребра должны быть у правильных пятиугольных пирамид, чтобы при добавлении их к граням додекаэдра с ребром а получился малый звездчатый додекаэдр?

Автор
Дата добавления 29.11.2014
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров843
Номер материала 162005
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх