Введение.
Актуальность темы
«Возможно, при виде многогранников кто-нибудь спросит: «Какая от них польза?» На это позволительно ответить так: «А разве всё красивое полезно?» Впрочем, нетрудно усмотреть известную пользу, которую приносят многогранники в качестве декоративных украшений. Ими хорошо украсить комнату или праздничный стол. А как красивы блестящие звёзды на ёлке!
Человек проявляет интерес к многогранникам на протяжении всей своей сознательной деятельности — от двухлетнего ребёнка, играющего деревянными кубиками, до зрелого математика, наслаждающегося чтением книги Бранко Грюнбаума «Выпуклые многогранники».Некоторые из правильных и полуправильных тел встречаются в природе в виде кристаллов, другие — в виде вирусов (которые можно рассмотреть с помощью электронного микроскопа). Пчёлы строили шестиугольные соты задолго до появления человека, а в истории цивилизации создание многогранных тел (подобных пирамидам) наряду с другими видами пластических искусств уходит в глубь веков. Пять правильных тел изучали Теэтет, Платон, Евклид, Гипсикл и Папп.»
Цель исследования
Вычислить, какой величины должны быть боковые ребра у правильных пятиугольных пирамид, чтобы при добавлении их к граням додекаэдра с ребром а , получился малый звездчатый додекаэдр.
Задачи исследования
1. Рассмотреть правильные многогранники.
2. Познакомиться с звездчатыми формами додекаэдра.
3. Решить задачу о малом звездчатом додекаэдре.
Малый звездчатый додекаэдр
2.1 Правильные многогранники
Выпуклый многогранник называется правильным, если его гранями являются равные правильные многоугольники и в каждой вершине сходится одинаковое число граней.
Правильные многогранники
Моя работа связана с фигурой додекаэдр.
Додекаэдр
«В известном смысле додекаэдр представляет наибольшую привлекательность среди платоновых тел, соперничая с икосаэдром, который почти ему не уступает (а быть может, в чём-то и превосходит). Пожалуй, пальму первенства додекаэдр получает за свои три звёздчатые формы, описываемые ниже».
2.2 Звездчатые формы додекаэдра
Если же обратиться к додекаэдру, продолжив его грани, можно обнаружить, что это приведет к образованию трех различных типов отсеков. Вблизи самого додекаэдра имеется 12 пятиугольных пирамид. Эти пирамиды превращают додекаэдр в малый звёздчатый додекаэдр.
За ними следуют 30 клинообразных отсеков, превращающих малый звёздчатый додекаэдр в большой додекаэдр.
Наконец 20 треугольных бипирамид2 превращают большой додекаэдр в большой звёздчатый додекаэдр, который, пожалуй, точнее было бы назвать звёздчатым большим додекаэдром. Это завершающая звёздчатая форма додекаэдра, который имеет три такие формы: две из них были открыты Кеплером (1619), третья — Пуансо (1809).
Теперь вас, возможно, заинтересует то обстоятельство, что в отличие от октаэдра любая из звёздчатых форм додекаэдра н е я в л я е т с я соединением платоновых тел, но образует новый многогранник. На самом деле эти многогранники правильные, поскольку два из них имеют гранями по 12 пересекающихся пентаграмм, а грани третьего — 12 пересекающихся пятиугольников (пентагонов). Коши (1811) доказал, что эти три многогранника, открытые ранее, на самом деле не что иное, как звёздчатые формы додекаэдра .
2.3 Задача (предложенная учителем на
факультативе)
Какие боковые ребра должны быть у правильных пятиугольных пирамид, чтобы при добавлении их к граням додекаэдра с ребром а получился малый звездчатый додекаэдр?
А
Мое решение :
С
Возьмем правильный пятиугольник со стороной а - одну из граней додекаэдра. Продолжим его ребра. Образуются треугольники, которые являются гранями пятиугольных пирамид малого звездчатого додекаэдра. Тогда отрезок АВ боковое ребро правильной пятиугольной пирамиды и его надо найти в задаче.
1. Расс. 
САВ –
равнобедренный (
= 
).
АО медиана, биссектриса и высота 
ВО = 
.
2. Расс. АОВ – прямоугольный. 
=
АВ = ОВ:.
3. Найдем 
ОАВ. Сумма всех углов
выпуклого пятиугольника равна
(5-2)
1800 = 31800 =5400.
Тогда величина каждого угла выпуклого пятиугольника равна 5400:5=1080.
= = 1800-1080=720.
4.
Найдем CAB=180°-(ACB+ABC)=36°OAB=18°(т.к. AO – биссектриса).
5. Из пункта (2) следует AB=OB:sin18°.
6. Найдем sin18°:
H
Рассмотрим сектор АВ окружности с центром в точке О и
радиуса 1, АОВ=36°.
Тогда ОАВ=ОВА=72°.
Проведем хорду АВ, на отрезке ОВ построим точку С так, чтобы АС=АВ,
при этом АСВ=АВС=72°, а САВ=36°.
Таким образом, ОАС=36°, следовательно, ОС=АС.
Пусть АВ=х, тогда ОС=х, СВ=1-х. Поскольку АС – биссектриса
треугольника ОАВ, справедлива пропорция 
, откуда х²+х-1=0,(х>0); 
.
Рас. ΔОНВ-прямоуг., НОВ = 180
; sin180 = 
sin180 = 
Подставляя вместо , получаем sin180
= 
.
7.
Из пункта (5) следует АВ = 
: 
= ·
=
Ответ: чтобы при добавлении
правильных пятиугольных пирамид к граням додекаэдра с ребром а получился малый
звездчатый додекаэдр, нужно чтобы боковое ребро правильных пятиугольных пирамид
равнялось .
Выводы исследования
«Кристаллические формы, исключительно примитивные с точки зрения художника, во всяком случае несут в себе нечто от эстетической привлекательности простоты: изучая эти элементарные формы, мы как бы приближаемся к самим основам понятия формы; пытаясь же понять принципы их строения, мы узнаем нечто о природе пространства, о мире, в котором мы живем. В нашем восприятии кристаллических форм есть нечто общее с впечатлением от египетских сфинксов или пирамид (огромная сила эстетического воздействия которых заключена в строгости их очертаний и в простоте) и что-то созвучное нашему отношению к суровости чистой математики».
Баранцев Тарас со своими фигурами.
Список литературы.
1. Винниджер М. «Модели многогранников» М.: Педагогика, 1975.
2. Смирнова И.М. «В мире многогранников» М.: Педагогика, 1990.
3. Энциклопедический словарь юного математика. − М.: Педагогика, 1989.
4. Александров А. Д. «Выпуклые многогранники»— Л., 1950;
5. Литвинова С. А. «За страницами учебника математики», ГЛОБУС,2007г.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Человек проявляет интерес к многогранникам на протяжении всей своей сознательной деятельности — от двухлетнего ребёнка, играющего деревянными кубиками, до зрелого математика, наслаждающегося чтением книги Бранко Грюнбаума «Выпуклые многогранники».Некоторые из правильных и полуправильных тел встречаются в природе в виде кристаллов, другие — в виде вирусов (которые можно рассмотреть с помощью электронного микроскопа). Пчёлы строили шестиугольные соты задолго до появления человека, а в истории цивилизации создание многогранных тел (подобных пирамидам) наряду с другими видами пластических искусств уходит в глубь веков. Пять правильных тел изучали Теэтет, Платон, Евклид, Гипсикл и Папп.»
Задача :
Какие боковые ребра должны быть у правильных пятиугольных пирамид, чтобы при добавлении их к граням додекаэдра с ребром а получился малый звездчатый додекаэдр?
6 656 218 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Головенская Наталья Анатольевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 180 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 180 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Мини-курс
6 ч.
Мини-курс
4 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.