Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Конспекты / Рациональные способы решения квадратных уравнений
  • Математика

Рациональные способы решения квадратных уравнений

библиотека
материалов

ПРОБЛЕМНОЕ ОБУЧЕНИЕ. РАЗВИТИЕ ПОЗНАВАТЕЛЬНЫХ СПОСОБНОСТЕЙ.


В ходе урока учащиеся знакомятся с нестандартными (не входящими в программу) способами решения квадратных уравнений. Путем проб учащиеся приходят к выводу, что эти способы являются во многих случаях рациональными, облегчающими выполнение заданий. Домашнее задание носит творческий характер (вывести самостоятельно еще одно свойство коэффициентов квадратного уравнения).

Учащиеся 8 класса – дети подросткового возраста, который характеризуется неустойчивостью внимания. Поэтому оправдана высокая плотность урока, у учеников не должно быть ни времени, ни желания, ни возможности отвлекаться на длительное время.


Урок алгебры в 8 классе.

Тема урока: «Рациональные способы решения квадратных уравнений».

Тип урока: изучение нового материала.

Цели урока:

  1. Формирование знаний о рациональных способах решения квадратных уравнений.

  2. Развитие умений сравнивать, выявлять закономерности, обобщать.

  3. Воспитание навыков самоконтроля и взаимоконтроля.


Ход урока


Этап организации урока. Внешняя и внутренняя готовность учащихся к уроку. (2 мин.)


I Организационный этап урока:

а) приветствие;

б) визуальная проверка готовности учащихся к уроку;

в) информация о теме урока и его цели;

г) запись темы урока в тетрадь учащихся;


Целесообразность изучения данной темы.


Мотивация запоминания и длительного сохранения в памяти.











Установление связи изучаемого материала с тем, что был ранее изучен.


Актуализация знаний, подготовка к восприятию новых знаний.







Реализация воспитательной цели урока, использование социальных методов.





! Ответы записать на обратной стороне правого крыла доски.












II Подготовка к изучению нового материала.


а) Ребята, решение квадратных уравнений является одним из ключевых вопросов алгебры. Многие задачи в математике связаны с необходимостью решения квадратных уравнений. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, логарифмических и показательных уравнений и неравенств. Таким образом, в курсе алгебры очень много задач, в которых решение квадратного уравнения служит средством для получения правильного ответа. Поэтому так необходимо решать эти уравнения быстро.

Быстрота решения квадратных уравнений обусловлена и введением ЕГЭ.

Итак, сегодня, ребята, мы познакомимся со свойством коэффициентов квадратного уравнения и решением квадратных уравнений «методом переброски».


б) Математический диктант.

(На доске правое крыло)


I вариант:2+3х-5=0

II вариант:2-5х+3=0

Система упражнений:


  1. Назовите коэффициенты а, в, с в данном уравнении.

  2. Найдите произведение коэффициентов а и с.

  3. Разложите полученное число на множители.

  4. Выберите ту пару чисел, сумма которых равна – в.

  5. Запишите сумму коэффициентов а, в, с и вычислите её.

  6. Решите данное уравнение, используя метод, изученный ранее.


Взаимопроверка:

Ребята, поменявшись тетрадями с соседом по парте, выполните проверку по образцу:


I вариант:

  1. а=2, в=3, с=-5

  2. а*с=2*(-5)=-10

  3. -10=-1*10=1*(-10)==-2*5=2*(-5)

  4. (-5 * 2) -5 + 2 = -3

  5. а+в+с=2+3+(-5)=0

  6. Д = в2 – 4ас = 9 + 4*2*5 = 49 > 0, 2 корня

х1=hello_html_7ffda332.gif; х2=hello_html_218b58f4.gif.

Ответ: -hello_html_6a81be73.gif; 1

II вариант:

  1. а=2, в=-5, с=3

  2. а*с=2*3=6

  3. 6=-1*(-6)=1*6=-2*(-3)=2*3

  4. 2*3; 2+3=5

  5. а+в+с=2+(-5)+3=0

  6. Д = в2 – 4ас = 25 - 4*2*3 = 1 > 0, 2 корня

х1=hello_html_7da540c1.gif;

х2=hello_html_6b8e084a.gif

Ответ: 1;hello_html_615a29fb.gif


Этап организации восприятия и осмысления новой информации.



Решение развивающей цели урока.























Смысловая группировка.




Первичное осмысление и применение изученного.


! Уравнения записать на центральной доске.










Уравнение записать на левом крыле доски.


Демонстрация того, что одно и то же уравнение можно решить разными способами.


Записать обобщение метода на доске и в тетради.


Смысловая группировка.


Реализация обучающей цели урока.


III Ознакомление с новым материалом.

Постановка вопросов.

- какое количество времени было потрачено на решение квадратного уравнения?

- Какую закономерность, ребята, вы заметили при выполнении задания №5?

- Определите взаимосвязь между одним из корней уравнения и коэффициентами а и с.

- Что можно сказать о втором корне уравнения?

Итак, ребята, вместе мы выявили закономерную связь между коэффициентами уравнения и его корнями. Попробуйте сформулировать свойство коэффициентов квадратного уравнения.


На доске: (записи дополняются в ходе фронтального опроса).


I вариант:2 + 3х – 5 = 0

а + в + с = 2 + 3 + (-5) = 0

х1=1; х2= - hello_html_53487ed.gif.

II вариант:2 - 5х + 3 = 0

а + в + с = 2 + (-5) + 3 = 0

х1=1; х2= hello_html_eef1065.gif.

hello_html_59688553.gif

ах2 + вх + с = 0

Если а + в + с = 0, то х1=1, х2=hello_html_m75c5cee5.gif (запись свойства в тетради)


Ребята, эти же уравнения можно решить и другим способом, который носит название «метод переброски».


На доске: (левое крыло)

а)

hello_html_567a6337.gifhello_html_m116e07f4.gif

*

2 х2 + 3х – 5 =0

2*(-5) = -10 → 2=t1

t1 и t2 промежуточныекорни, причём

-5 = t2t1+t2=-3 и t1*t2=2*(-5) =-10

x1 = hello_html_12ab8977.gif; x2 = hello_html_489308ef.gif


Примечание: коэффициент а умножается на коэффициент с, как бы «перебрасывается» к нему.


Этот способ применим, когда можно легко найти корни, используя теорему обратную теореме Виета.

б) Решить уравнение «методом переброски»
(желающие у доски по образцу)

hello_html_m116e07f4.gif

*

2 х2 - 11х + 15 =0

2*15 = 30 → 5=t1

6 = t2

x1 = hello_html_3d363442.gif; x2 = hello_html_m5cf27234.gif

Ответ: 2,5; 3.



Итак, ребята, сегодня мы познакомились с ещё двумя способами решения квадратных уравнений и теперь право за выбором решения остаётся за вами.

Преимущество данных методов перед другими заключается в том, что они позволяют быстро находить корни квадратного уравнения.


Обобщить ещё раз методы
(попросить учащихся ещё раз проговорить их)


Устно: Решите квадратное уравнение.

а) 132х2+247х+115=0
Так как 132+(-247)+115=0, то х1=-1, х2=-hello_html_350f1fb1.gif


б) -345х2+137х+208=0
Так как -345+137+208=0, то х1=1, х2=-hello_html_m21093475.gif

Первичное закрепление под руководством учителя.

Работа с «опорой» для запоминания материала.

Контроль результатов первичного запоминания, использование волевых методов.

IV Первичное осмысление и применение изученного.


а) Устно: По таблицам коррекции знаний решить первые пять уравнений.

б) В это время на доске № 11-15 (по желанию)

в) Задания № 6-10 выполнить в тетради и сделать самопроверку.

г) резервные задания № 15-20.


Использование познавательного метода - творческое задание.


Инструкции по выполнения домашнего задания.


V Постановка домашнего задания.

Ребята, существует ещё одно свойство коэффициентов квадратного уравнения, которое помогает быстро найти его корни. Это свойство вы самостоятельно выведите дома.

Домашнее задание:

а) х2+26х+25=0

б)  5х2+9х+4=0

  1. Найдите сумму а+(-в)+с.

  2. Решите квадратные уравнения, используя формулы или теорему Виета.

  3. Найдите закономерную связь между суммой коэффициентов и корнями уравнения.

  4. Сформулируйте и запишите в тетрадь свойство 2.hello_html_m47dcf5b4.gif

ах2 + вх + с = 0

Если а + (-в) + с = 0, то х1=-1, х2=-hello_html_m75c5cee5.gif


Обобщение изучаемого на уроке и введение его в систему ранее усвоенных знаний.

Создание ситуации быть значимым, самоанализ работы на уроке.



VI Итог урока

а) Оценка знаний учащихся.

В ходе урока учащиеся, оценивая себя, ставили на полях «+» при верном выполнении задания и «±», если задание было выполнено с недочётом.

«5» - 8 и более верно выполненных заданий.

«4» - 6-7 верно выполненных заданий.

Оценки «3» и «2» на этом этапе ознакомления с материалом лучше не ставить.

б) В ходе фронтального опроса вместе с учащимися подвести итог урока, используя записи на правом и левом крыльях доски.







Краткое описание документа:

ПРОБЛЕМНОЕ ОБУЧЕНИЕ. РАЗВИТИЕ ПОЗНАВАТЕЛЬНЫХ СПОСОБНОСТЕЙ.

 

В ходе урока учащиеся знакомятся с нестандартными (не входящими в программу) способами решения квадратных уравнений. Путем проб учащиеся приходят к выводу, что эти способы являются во многих случаях рациональными, облегчающими выполнение заданий. Домашнее задание носит творческий характер (вывести самостоятельно еще одно свойство коэффициентов квадратного уравнения).

Учащиеся 8 класса – дети подросткового возраста, который характеризуется неустойчивостью внимания. Поэтому оправдана высокая плотность урока, у учеников не должно быть ни времени, ни желания, ни возможности отвлекаться на длительное время.

 

Урок алгебры в 8 классе.

Тема урока: «Рациональные способы решения квадратных уравнений».

Тип урока: изучение нового материала.

Цели урока:

  1. Формирование знаний о рациональных способах решения квадратных уравнений.

  2. Развитие умений сравнивать, выявлять закономерности, обобщать.

  3. Воспитание навыков самоконтроля и взаимоконтроля.

 

Ход урока

 

Этап организации урока. Внешняя и внутренняя готовность учащихся к уроку. (2 мин.)

 

I Организационный этап урока:

а) приветствие;

б) визуальная проверка готовности учащихся к уроку;

в) информация о теме урока и его цели;

г) запись темы урока в тетрадь учащихся;

 

Целесообразность изучения данной темы.

 

Мотивация запоминания и длительного сохранения в памяти.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Установление связи изучаемого материала с тем, что был ранее изучен.

 

Актуализация знаний, подготовка к восприятию новых знаний.

 

 

 

 

 

 

Реализация воспитательной цели урока, использование социальных методов.

 

 

 

 

! Ответы записать на обратной стороне правого крыла доски.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II Подготовка к изучению нового материала.

 

а) Ребята, решение квадратных уравнений является одним из ключевых вопросов алгебры. Многие задачи в математике связаны с необходимостью решения квадратных уравнений. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, логарифмических и показательных уравнений и неравенств. Таким образом, в курсе алгебры очень много задач, в которых решение квадратного уравнения служит средством для получения правильного ответа. Поэтому так необходимо решать эти уравнения быстро.

Быстрота решения квадратных уравнений обусловлена и введением ЕГЭ.

Итак, сегодня, ребята, мы познакомимся со свойством коэффициентов квадратного уравнения и решением квадратных уравнений «методом переброски».

 

б) Математический диктант.

(На доске правое крыло)

 

I вариант: 2х2+3х-5=0

II вариант: 2х2-5х+3=0

Система упражнений:

 

  1. Назовите коэффициенты а, в, с в данном уравнении.

  2. Найдите произведение коэффициентов а и с.

  3. Разложите полученное число на множители.

  4. Выберите ту пару чисел, сумма которых равна – в.

  5. Запишите сумму коэффициентов а, в, с и вычислите её.

  6. Решите данное уравнение, используя метод, изученный ранее.

 

Взаимопроверка:

Ребята, поменявшись тетрадями с соседом по парте, выполните проверку по образцу:

 

I вариант:

  1. а=2, в=3, с=-5

  2. а*с=2*(-5)=-10

  3. -10=-1*10=1*(-10)==-2*5=2*(-5)

  4. (-5 * 2) -5 + 2 = -3

  5. а+в+с=2+3+(-5)=0

  6. Д = в2 – 4ас = 9 + 4*2*5 = 49 > 0, 2 корня

х1=; х2=.

Ответ: -; 1

II вариант:

  1. а=2, в=-5, с=3

  2. а*с=2*3=6

  3. 6=-1*(-6)=1*6=-2*(-3)=2*3

  4. 2*3; 2+3=5

  5. а+в+с=2+(-5)+3=0

  6. Д = в2 – 4ас = 25 - 4*2*3 = 1 > 0, 2 корня

х1=;

х2=

Ответ: 1;

 

Этап организации восприятия и осмысления новой информации.

 

 

Решение развивающей цели урока.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Смысловая группировка.

 

 

 

Первичное осмысление и применение изученного.

 

! Уравнения записать на центральной доске.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение записать на левом крыле доски.

 

Демонстрация того, что одно и то же уравнение можно решить разными способами.

 

Записать обобщение метода на доске и в тетради.

 

Смысловая группировка.

 

Реализация обучающей цели урока.

 

III Ознакомление с новым материалом.

Постановка вопросов.

- какое количество времени было потрачено на решение квадратного уравнения?

- Какую закономерность, ребята, вы заметили при выполнении задания №5?

- Определите взаимосвязь между одним из корней уравнения и коэффициентами а и с.

- Что можно сказать о втором корне уравнения?

Итак, ребята, вместе мы выявили закономерную связь между коэффициентами уравнения и его корнями. Попробуйте сформулировать свойство коэффициентов квадратного уравнения.

 

На доске: (записи дополняются в ходе фронтального опроса).

 

I вариант: 2х2 + 3х – 5 = 0

а + в + с = 2 + 3 + (-5) = 0

х1=1; х2= - .

II вариант: 2х2 - 5х + 3 = 0

а + в + с = 2 + (-5) + 3 = 0

х1=1; х2= .

 

ах2 + вх + с = 0

Если а + в + с = 0, то х1=1, х2= (запись свойства в тетради)

 

Ребята, эти же уравнения можно решить и другим способом, который носит название «метод переброски».

 

На доске: (левое крыло)

а)

 

*

2 х2 + 3х – 5 =0

2*(-5) = -10 → 2=t1

t1 и t2 промежуточныекорни, причём

-5 = t2 t1+t2=-3 и t1*t2=2*(-5) =-10

 

x1 = ; x2 =

 

Примечание: коэффициент а умножается на коэффициент с, как бы «перебрасывается» к нему.

 

Этот способ применим, когда можно легко найти корни, используя теорему обратную теореме Виета.

б) Решить уравнение «методом переброски»
(желающие у доски по образцу)

 

*

2 х2 - 11х + 15 =0

2*15 = 30 → 5=t1

6 = t2

x1 = ; x2 =

Ответ: 2,5; 3.

 

 

Итак, ребята, сегодня мы познакомились с ещё двумя способами решения квадратных уравнений и теперь право за выбором решения остаётся за вами.

Преимущество данных методов перед другими заключается в том, что они позволяют быстро находить корни квадратного уравнения.

 

Обобщить ещё раз методы
(попросить учащихся ещё раз проговорить их)

 

Устно: Решите квадратное уравнение.

а) 132х2+247х+115=0
Так как 132+(-247)+115=0, то х1=-1, х2=-

 

б) -345х2+137х+208=0
Так как -345+137+208=0, то х1=1, х2=-

Первичное закрепление под руководством учителя.

Работа с «опорой» для запоминания материала.

Контроль результатов первичного запоминания, использование волевых методов.

IV Первичное осмысление и применение изученного.

 

а) Устно: По таблицам коррекции знаний решить первые пять уравнений.

б) В это время на доске № 11-15 (по желанию)

в) Задания № 6-10 выполнить в тетради и сделать самопроверку.

г) резервные задания № 15-20.

 

Использование познавательного метода - творческое задание.

 

Инструкции по выполнения домашнего задания.

 

V Постановка домашнего задания.

Ребята, существует ещё одно свойство коэффициентов квадратного уравнения, которое помогает быстро найти его корни. Это свойство вы самостоятельно выведите дома.

Домашнее задание:

а) х2+26х+25=0

б)  5х2+9х+4=0

  1. Найдите сумму а+(-в)+с.

  2. Решите квадратные уравнения, используя формулы или теорему Виета.

  3. Найдите закономерную связь между суммой коэффициентов и корнями уравнения.

  4. Сформулируйте и запишите в тетрадь свойство 2.

ах2 + вх + с = 0

Если а + (-в) + с = 0, то х1=-1, х2=-

 

Обобщение изучаемого на уроке и введение его в систему ранее усвоенных знаний.

Создание ситуации быть значимым, самоанализ работы на уроке.

 

 

VI Итог урока

а) Оценка знаний учащихся.

В ходе урока учащиеся, оценивая себя, ставили на полях «+» при верном выполнении задания и «±», если задание было выполнено с недочётом.

«5» - 8 и более верно выполненных заданий.

«4» - 6-7 верно выполненных заданий.

Оценки «3» и «2» на этом этапе ознакомления с материалом лучше не ставить.

б) В ходе фронтального опроса вместе с учащимися подвести итог урока, используя записи на правом и левом крыльях доски.

 

 

 

 

 

 

 

Автор
Дата добавления 05.05.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров397
Номер материала 512329
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх