Инфоурок Математика КонспектыРациональные способы решения квадратных уравнений

Рациональные способы решения квадратных уравнений

Скачать материал

ПРОБЛЕМНОЕ ОБУЧЕНИЕ.  РАЗВИТИЕ ПОЗНАВАТЕЛЬНЫХ СПОСОБНОСТЕЙ.

 

В ходе урока учащиеся знакомятся с нестандартными (не входящими в программу) способами решения квадратных уравнений. Путем проб учащиеся приходят  к выводу, что эти способы являются во многих случаях рациональными, облегчающими  выполнение заданий. Домашнее задание носит творческий характер (вывести самостоятельно еще одно свойство        коэффициентов квадратного уравнения).

Учащиеся 8 класса – дети подросткового возраста, который характеризуется неустойчивостью внимания. Поэтому оправдана высокая плотность урока, у учеников не должно быть ни времени, ни желания, ни возможности отвлекаться на длительное время.

 

Урок алгебры в 8 классе.

Тема урока: «Рациональные способы решения квадратных уравнений».

Тип урока: изучение нового материала.

Цели урока:

  1. Формирование знаний о рациональных способах решения квадратных уравнений.
  2. Развитие умений сравнивать, выявлять закономерности, обобщать.
  3. Воспитание навыков самоконтроля и взаимоконтроля.

 

Ход урока

 

Этап организации урока. Внешняя и внутренняя готовность учащихся к уроку. (2 мин.)

 

I Организационный этап урока:

а) приветствие;

б) визуальная проверка готовности учащихся к уроку;

в) информация о теме урока и его цели;

г) запись темы урока в тетрадь учащихся;

 

Целесообразность изучения данной темы.

 

Мотивация запоминания и длительного сохранения в памяти.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Установление связи изучаемого материала с тем, что был ранее изучен.

 

Актуализация знаний, подготовка к восприятию новых знаний.


 

 

 

 

 

 

Реализация воспитательной цели урока, использование социальных методов.

 

 

 

 

 !  Ответы записать на обратной стороне правого крыла доски.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


II Подготовка к изучению нового материала.

 

а) Ребята, решение квадратных уравнений является одним из ключевых вопросов алгебры. Многие задачи в математике связаны с необходимостью решения квадратных уравнений. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, логарифмических и показательных уравнений и неравенств. Таким образом, в курсе алгебры очень много задач, в которых решение квадратного уравнения служит средством для получения правильного ответа. Поэтому так необходимо решать эти уравнения быстро.

Быстрота решения квадратных уравнений обусловлена и введением ЕГЭ.

Итак, сегодня, ребята, мы познакомимся со свойством коэффициентов квадратного уравнения и решением квадратных уравнений «методом переброски».

 

б) Математический диктант.

(На доске правое крыло)

 

I вариант:  2х2+3х-5=0

II вариант:2-5х+3=0

Система упражнений:

 

1.Назовите коэффициенты а, в, с в данном уравнении.

2.Найдите произведение коэффициентов а и с.

3.Разложите полученное число на множители.

4.Выберите ту пару чисел, сумма которых равна – в.

5.Запишите сумму коэффициентов а, в, с и вычислите её.

6.Решите данное уравнение, используя метод, изученный ранее.

 

Взаимопроверка:

Ребята, поменявшись тетрадями с соседом по парте, выполните проверку по образцу:

 

I вариант:

  1.  а=2, в=3, с=-5
  2.  а*с=2*(-5)=-10
  3.  -10=-1*10=1*(-10)==-2*5=2*(-5)
  4. (-5 * 2)  -5 + 2 = -3
  5. а+в+с=2+3+(-5)=0
  6.  Д = в2 – 4ас = 9 + 4*2*5 = 49 > 0, 2 корня

х1=; х2=.

Ответ: -; 1

II вариант:

  1.  а=2, в=-5, с=3
  2.  а*с=2*3=6
  3.  6=-1*(-6)=1*6=-2*(-3)=2*3
  4.  2*3; 2+3=5
  5.  а+в+с=2+(-5)+3=0
  6. Д = в2 – 4ас = 25 - 4*2*3 = 1 > 0, 2 корня

х1=;

х2=

Ответ: 1;

 

Этап организации восприятия и осмысления новой информации.

 

 

Решение развивающей цели урока.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Смысловая группировка.

 

 

 

Первичное осмысление и применение изученного.

 

 !  Уравнения записать на центральной доске.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
Уравнение записать на левом крыле доски.

 

Демонстрация того, что одно и то же уравнение можно решить разными способами.

 

Записать обобщение метода на доске и в тетради.

 

Смысловая группировка.

 

Реализация обучающей цели урока.

 

III Ознакомление с новым материалом.

Постановка вопросов.

- какое количество времени было потрачено на решение квадратного уравнения?

- Какую закономерность, ребята, вы заметили при выполнении задания №5?

- Определите взаимосвязь между одним из корней уравнения и коэффициентами а и с.

- Что можно сказать о втором корне уравнения?

Итак, ребята, вместе мы выявили закономерную связь между коэффициентами уравнения и его корнями. Попробуйте сформулировать свойство коэффициентов квадратного уравнения.

 

На доске: (записи дополняются в ходе фронтального опроса).

 

I вариант:  2х2 + 3х – 5 = 0

а + в + с = 2 + 3 + (-5) = 0

х1=1; х2= - .

II вариант:2 - 5х + 3 = 0

а + в + с = 2 + (-5) + 3 = 0

х1=1;  х2= .

 


ах2 + вх + с = 0

Если а + в + с = 0, то х1=1,  х2=  (запись свойства в тетради)

 

Ребята, эти же уравнения можно решить и другим способом, который носит название «метод переброски».

 

На доске: (левое крыло)

а)

  

            *     

 2 х2 + 3х –  5  =0

           ↓

2*(-5) = -10 → 2=t1             

     ↓                        t1 и t2 промежуточные корни, причём

-5 = t2                           t1+t2=-3 и t1*t2=2*(-5) =-10

 

x1 = ;   x2 =

 

Примечание: коэффициент а умножается на коэффициент с, как бы «перебрасывается» к нему.

 

Этот способ применим, когда можно легко найти корни, используя теорему обратную теореме Виета.

б) Решить уравнение «методом переброски»
(желающие у доски по образцу)

  

            *     

 2 х2 - 11х +  15  =0

            ↓

2*15 = 30 → 5=t1             

    6 = t2  

x1 = ;   x2 =

Ответ: 2,5; 3.

 

 

Итак, ребята, сегодня мы познакомились с ещё двумя способами решения квадратных уравнений и теперь право за выбором решения остаётся за вами.

Преимущество данных методов перед другими заключается в том, что они позволяют быстро находить корни квадратного уравнения.

 

Обобщить ещё раз методы
(попросить учащихся ещё раз проговорить их)

 

Устно:  Решите квадратное уравнение.

а) 132х2+247х+115=0
Так как 132+(-247)+115=0, то х1=-1, х2=-

 

б) -345х2+137х+208=0
Так как -345+137+208=0, то х1=1, х2=-

Первичное закрепление под руководством учителя.

Работа с «опорой» для запоминания материала.

Контроль результатов первичного запоминания, использование волевых методов.

IV Первичное осмысление и применение изученного.

 

а) Устно: По таблицам коррекции знаний решить первые пять уравнений.

б) В это время на доске № 11-15 (по желанию)

в) Задания № 6-10 выполнить в тетради и сделать самопроверку.

г) резервные задания № 15-20.

 

Использование познавательного метода - творческое задание.

 

Инструкции по выполнения домашнего задания.

 

V Постановка домашнего задания.

Ребята, существует ещё одно свойство коэффициентов квадратного уравнения, которое помогает быстро найти его корни. Это свойство вы самостоятельно выведите дома.

Домашнее задание:

а) х2+26х+25=0

б)  5х2+9х+4=0

  1. Найдите сумму а+(-в)+с.
  2. Решите квадратные уравнения, используя формулы или теорему Виета.
  3. Найдите закономерную связь между суммой коэффициентов и корнями уравнения.
  4. Сформулируйте и запишите в тетрадь свойство 2.

ах2 + вх + с = 0

        Если а + (-в) + с = 0, то х1=-1,  х2=-

 

Обобщение изучаемого на уроке и введение его в систему ранее усвоенных знаний.

Создание ситуации быть значимым, самоанализ работы на уроке.

 

 

VI Итог урока

а) Оценка знаний учащихся.

В ходе урока учащиеся, оценивая себя, ставили на полях «+» при верном выполнении задания и «±», если задание было выполнено с недочётом.

«5» - 8 и более верно выполненных заданий.

«4» - 6-7 верно выполненных заданий.

Оценки «3» и «2» на этом этапе ознакомления с материалом лучше не ставить.

б) В ходе фронтального опроса вместе с учащимися подвести итог урока, используя записи на правом и левом крыльях доски.

 

 

 

 

 

 

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Рациональные способы решения квадратных уравнений"

Методические разработки к Вашему уроку:

Получите новую специальность за 3 месяца

Специалист по ипотечному кредитованию

Получите профессию

Копирайтер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Краткое описание документа:

ПРОБЛЕМНОЕ ОБУЧЕНИЕ. РАЗВИТИЕ ПОЗНАВАТЕЛЬНЫХ СПОСОБНОСТЕЙ.

 

В ходе урока учащиеся знакомятся с нестандартными (не входящими в программу) способами решения квадратных уравнений. Путем проб учащиеся приходят к выводу, что эти способы являются во многих случаях рациональными, облегчающими выполнение заданий. Домашнее задание носит творческий характер (вывести самостоятельно еще одно свойство коэффициентов квадратного уравнения).

Учащиеся 8 класса – дети подросткового возраста, который характеризуется неустойчивостью внимания. Поэтому оправдана высокая плотность урока, у учеников не должно быть ни времени, ни желания, ни возможности отвлекаться на длительное время.

 

Урок алгебры в 8 классе.

Тема урока: «Рациональные способы решения квадратных уравнений».

Тип урока: изучение нового материала.

Цели урока:

  1. Формирование знаний о рациональных способах решения квадратных уравнений.

  2. Развитие умений сравнивать, выявлять закономерности, обобщать.

  3. Воспитание навыков самоконтроля и взаимоконтроля.

 

Ход урока

 

Этап организации урока. Внешняя и внутренняя готовность учащихся к уроку. (2 мин.)

 

I Организационный этап урока:

а) приветствие;

б) визуальная проверка готовности учащихся к уроку;

в) информация о теме урока и его цели;

г) запись темы урока в тетрадь учащихся;

 

Целесообразность изучения данной темы.

 

Мотивация запоминания и длительного сохранения в памяти.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Установление связи изучаемого материала с тем, что был ранее изучен.

 

Актуализация знаний, подготовка к восприятию новых знаний.

 

 

 

 

 

 

Реализация воспитательной цели урока, использование социальных методов.

 

 

 

 

! Ответы записать на обратной стороне правого крыла доски.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II Подготовка к изучению нового материала.

 

а) Ребята, решение квадратных уравнений является одним из ключевых вопросов алгебры. Многие задачи в математике связаны с необходимостью решения квадратных уравнений. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, логарифмических и показательных уравнений и неравенств. Таким образом, в курсе алгебры очень много задач, в которых решение квадратного уравнения служит средством для получения правильного ответа. Поэтому так необходимо решать эти уравнения быстро.

Быстрота решения квадратных уравнений обусловлена и введением ЕГЭ.

Итак, сегодня, ребята, мы познакомимся со свойством коэффициентов квадратного уравнения и решением квадратных уравнений «методом переброски».

 

б) Математический диктант.

(На доске правое крыло)

 

I вариант: 2х2+3х-5=0

II вариант: 2х2-5х+3=0

Система упражнений:

 

  1. Назовите коэффициенты а, в, с в данном уравнении.

  2. Найдите произведение коэффициентов а и с.

  3. Разложите полученное число на множители.

  4. Выберите ту пару чисел, сумма которых равна – в.

  5. Запишите сумму коэффициентов а, в, с и вычислите её.

  6. Решите данное уравнение, используя метод, изученный ранее.

 

Взаимопроверка:

Ребята, поменявшись тетрадями с соседом по парте, выполните проверку по образцу:

 

I вариант:

  1. а=2, в=3, с=-5

  2. а*с=2*(-5)=-10

  3. -10=-1*10=1*(-10)==-2*5=2*(-5)

  4. (-5 * 2) -5 + 2 = -3

  5. а+в+с=2+3+(-5)=0

  6. Д = в2 – 4ас = 9 + 4*2*5 = 49 > 0, 2 корня

х1=; х2=.

Ответ: -; 1

II вариант:

  1. а=2, в=-5, с=3

  2. а*с=2*3=6

  3. 6=-1*(-6)=1*6=-2*(-3)=2*3

  4. 2*3; 2+3=5

  5. а+в+с=2+(-5)+3=0

  6. Д = в2 – 4ас = 25 - 4*2*3 = 1 > 0, 2 корня

х1=;

х2=

Ответ: 1;

 

Этап организации восприятия и осмысления новой информации.

 

 

Решение развивающей цели урока.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Смысловая группировка.

 

 

 

Первичное осмысление и применение изученного.

 

! Уравнения записать на центральной доске.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение записать на левом крыле доски.

 

Демонстрация того, что одно и то же уравнение можно решить разными способами.

 

Записать обобщение метода на доске и в тетради.

 

Смысловая группировка.

 

Реализация обучающей цели урока.

 

III Ознакомление с новым материалом.

Постановка вопросов.

- какое количество времени было потрачено на решение квадратного уравнения?

- Какую закономерность, ребята, вы заметили при выполнении задания №5?

- Определите взаимосвязь между одним из корней уравнения и коэффициентами а и с.

- Что можно сказать о втором корне уравнения?

Итак, ребята, вместе мы выявили закономерную связь между коэффициентами уравнения и его корнями. Попробуйте сформулировать свойство коэффициентов квадратного уравнения.

 

На доске: (записи дополняются в ходе фронтального опроса).

 

I вариант: 2х2 + 3х – 5 = 0

а + в + с = 2 + 3 + (-5) = 0

х1=1; х2= - .

II вариант: 2х2 - 5х + 3 = 0

а + в + с = 2 + (-5) + 3 = 0

х1=1; х2= .

 

ах2 + вх + с = 0

Если а + в + с = 0, то х1=1, х2= (запись свойства в тетради)

 

Ребята, эти же уравнения можно решить и другим способом, который носит название «метод переброски».

 

На доске: (левое крыло)

а)

 

*

2 х2 + 3х – 5 =0

2*(-5) = -10 → 2=t1

t1 и t2 промежуточныекорни, причём

-5 = t2 t1+t2=-3 и t1*t2=2*(-5) =-10

 

x1 = ; x2 =

 

Примечание: коэффициент а умножается на коэффициент с, как бы «перебрасывается» к нему.

 

Этот способ применим, когда можно легко найти корни, используя теорему обратную теореме Виета.

б) Решить уравнение «методом переброски»
(желающие у доски по образцу)

 

*

2 х2 - 11х + 15 =0

2*15 = 30 → 5=t1

6 = t2

x1 = ; x2 =

Ответ: 2,5; 3.

 

 

Итак, ребята, сегодня мы познакомились с ещё двумя способами решения квадратных уравнений и теперь право за выбором решения остаётся за вами.

Преимущество данных методов перед другими заключается в том, что они позволяют быстро находить корни квадратного уравнения.

 

Обобщить ещё раз методы
(попросить учащихся ещё раз проговорить их)

 

Устно: Решите квадратное уравнение.

а) 132х2+247х+115=0
Так как 132+(-247)+115=0, то х1=-1, х2=-

 

б) -345х2+137х+208=0
Так как -345+137+208=0, то х1=1, х2=-

Первичное закрепление под руководством учителя.

Работа с «опорой» для запоминания материала.

Контроль результатов первичного запоминания, использование волевых методов.

IV Первичное осмысление и применение изученного.

 

а) Устно: По таблицам коррекции знаний решить первые пять уравнений.

б) В это время на доске № 11-15 (по желанию)

в) Задания № 6-10 выполнить в тетради и сделать самопроверку.

г) резервные задания № 15-20.

 

Использование познавательного метода - творческое задание.

 

Инструкции по выполнения домашнего задания.

 

V Постановка домашнего задания.

Ребята, существует ещё одно свойство коэффициентов квадратного уравнения, которое помогает быстро найти его корни. Это свойство вы самостоятельно выведите дома.

Домашнее задание:

а) х2+26х+25=0

б)  5х2+9х+4=0

  1. Найдите сумму а+(-в)+с.

  2. Решите квадратные уравнения, используя формулы или теорему Виета.

  3. Найдите закономерную связь между суммой коэффициентов и корнями уравнения.

  4. Сформулируйте и запишите в тетрадь свойство 2.

ах2 + вх + с = 0

Если а + (-в) + с = 0, то х1=-1, х2=-

 

Обобщение изучаемого на уроке и введение его в систему ранее усвоенных знаний.

Создание ситуации быть значимым, самоанализ работы на уроке.

 

 

VI Итог урока

а) Оценка знаний учащихся.

В ходе урока учащиеся, оценивая себя, ставили на полях «+» при верном выполнении задания и «±», если задание было выполнено с недочётом.

«5» - 8 и более верно выполненных заданий.

«4» - 6-7 верно выполненных заданий.

Оценки «3» и «2» на этом этапе ознакомления с материалом лучше не ставить.

б) В ходе фронтального опроса вместе с учащимися подвести итог урока, используя записи на правом и левом крыльях доски.

 

 

 

 

 

 

 

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 625 761 материал в базе

Скачать материал

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 05.05.2015 2288
    • DOCX 86.5 кбайт
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Якупова Альфия Иман-Маликовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    Якупова Альфия Иман-Маликовна
    Якупова Альфия Иман-Маликовна
    • На сайте: 8 лет и 10 месяцев
    • Подписчики: 0
    • Всего просмотров: 7601
    • Всего материалов: 5

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой

Курс профессиональной переподготовки

Технолог-калькулятор общественного питания

Технолог-калькулятор общественного питания

500/1000 ч.

Подать заявку О курсе

Курс повышения квалификации

Организация учебно-исследовательской деятельности учащихся как средство развития познавательной активности при обучении математике в условиях реализации ФГОС ООО и ФГОС СОО

36 ч. — 144 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 26 человек из 16 регионов

Курс повышения квалификации

Аспекты преподавания самостоятельного учебного курса «Вероятность и статистика» в условиях реализации ФГОС ООО

36 ч. — 180 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 275 человек из 65 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Учитель математики и информатики

500/1000 ч.

от 8900 руб. от 4450 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 680 человек из 79 регионов

Мини-курс

Основы управления проектами: от концепции к реализации

4 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Современные инструменты инвестирования и управления затратами

4 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Самосовершенствование: шаги к личному росту и эмоциональному благополучию

10 ч.

1180 руб. 590 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 165 человек из 49 регионов