Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Радиус вписанной окружности, формулы, задачи.
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Радиус вписанной окружности, формулы, задачи.

библиотека
материалов

Окружность, вписанная в треугольник


Существование окружности, вписанной в треугольник

      Напомним определение биссектрисы угла.

      Определение 1. Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.

      Теорема  1 (Основное свойство биссектрисы угла). Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).

hello_html_m76cafda.png

Рис. 1

      Доказательство. Рассмотрим произвольную точку D, лежащую на биссектрисе угла BAC, и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE, а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

DF = DE,

что и требовалось доказать.

      Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1). Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).

hello_html_3930942c.png

Рис. 2

      Доказательство. Рассмотрим произвольную точку D, лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE, а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

hello_html_1f03bb36.png

что и требовалось доказать.

      Определение 2. Окружность называют окружностью, вписанной в угол, если она касается сторон этого угла.

      Теорема 3. Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.

      Доказательство. Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC, а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).

hello_html_48ecc737.png

Рис.3

      Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности), а гипотенуза AD – общая. Следовательно

AF = AE,

что и требовалось доказать.

      Замечание. Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны.

      Напомним определение биссектрисы треугольника.

      Определение 3. Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

      Теорема 4. В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

      Доказательство. Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC, и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).

hello_html_429e94f.png

Рис. 4

      Опустим из точки O перпендикуляры OD, OE и OF на стороны   треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC, то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

OD = OE,

      Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB, то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

OD = OF,

      Следовательно, справедливо равенство:

OE = OF,

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC. Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать


Фигура

Рисунок

Формула

Обозначения

Произвольный треугольник

hello_html_m1f617b65.png

hello_html_3027b9c4.png

Посмотреть вывод формулы

a, b, c – стороны треугольника, S –площадь, 

r  радиус вписанной окружности, p полупериметр

hello_html_m7093d18b.png.

hello_html_m17741cfb.png

Посмотреть вывод формулы

Равнобедренный треугольник

hello_html_m29cff77f.png

hello_html_3c3702f5.png

Посмотреть вывод формулы

a боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание,   r  радиус вписанной окружности

Равносторонний треугольник

hello_html_m57d7d99a.png

hello_html_159af7b5.png

Посмотреть вывод формулы

a – сторона равностороннего треугольника,  r    радиус вписанной окружности

Прямоугольный треугольник

hello_html_mb6259c8.png

hello_html_21deb6d6.pngПосмотреть вывод формул

a, b – катеты прямоугольного треугольника,   c   гипотенуза,  r радиус вписанной окружности

     Определение 4. Окружностью, вписанной в треугольник, называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5).  В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности.

hello_html_m5ec21bf1.png

Рис. 5

      Следствие. В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

      Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности, удобно представить в виде следующей таблицы.

Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

      Теорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство

hello_html_m17741cfb.png,

где a, b, c – стороны треугольника,  r  радиус вписанной окружности,hello_html_m7093d18b.png  полупериметр (рис. 6).

hello_html_m1f617b65.png

Рис. 6

      Доказательство. Из формулы

hello_html_m374bf283.png

с помощью формулы Герона получаем:

hello_html_3ee4f7a5.png

что и требовалось.

      Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство

hello_html_3c3702f5.png,

где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание,  r  радиус вписанной окружности (рис. 7).

hello_html_m29cff77f.png

Рис. 7

      Доказательство. Поскольку для произвольного треугольника справедлива формула

hello_html_m17741cfb.png,

где

hello_html_m7093d18b.png,

то, в случае равнобедренного треугольника, когда

hello_html_m1919e12c.png

получаем

hello_html_m423b5159.png

что и требовалось.

      Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство

hello_html_159af7b5.png

где a – сторона равностороннего треугольника,  r  радиус вписанной окружности (рис. 8).

hello_html_m57d7d99a.png

Рис. 8

      Доказательство. Поскольку для равнобедренного треугольника справедлива формула

hello_html_3c3702f5.png,

то, в случае равностороннего треугольника, когда

b = a,

получаем

hello_html_m254e5c70.png

что и требовалось.

      Замечание. Я рекомендую вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.

      Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

hello_html_122dc3c4.png

где a, b – катеты прямоугольного треугольника,   c    гипотенуза,  r  радиус вписанной окружности.

      Доказательство. Рассмотрим рисунок 9.

hello_html_5bb9752.png

Рис. 9

      Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником, у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат. Следовательно,

СВ = СF= r,

      В силу теоремы 3 справедливы равенства

hello_html_1a1a5029.png

      Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

hello_html_122dc3c4.png

что и требовалось.

Подборка задач по теме «Окружность, вписанная в треугольник».

1.

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 5 и 3, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.


hello_html_m657e5cba.png

2.

Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 5, основание равно 6. Найдите радиус вписанной окружности.




hello_html_0.gifhello_html_m550de60d.png

3

В треугольнике ABC  АС=4, ВС=3, угол C равен 90º. Найдите радиус вписанной окружности.




hello_html_m1bbdeb5c.png


4.

Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны 2+hello_html_2debb931.png. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.


hello_html_m3924d388.png


5.

Радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, равен 2. Найдите гипотенузу c этого треугольника. В ответе укажите с(hello_html_2debb931.png–1).


hello_html_m3924d388.png

Приведем ряд задач из ЕГЭ с решениями.

hello_html_55e06ad9.png. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, равен hello_html_417a7aae.png. Найдите гипотенузу c этого треугольника. В ответе укажите hello_html_m727be4d0.png.

hello_html_m5d232a12.png

Треугольник прямоугольный и равнобедренный. Значит, его катеты одинаковы. Пусть каждый катет равен hello_html_743fb6bb.png. Тогда гипотенуза равна hello_html_649a5c7e.png.

Запишем площадь треугольника АВС двумя способами:

hello_html_m1574cc49.png

hello_html_m6e235a58.png

Приравняв эти выражения, получим, что hello_html_m47d961b9.png. Поскольку hello_html_m1211d5d4.png, получаем, что hello_html_343f1ca1.png. Тогда hello_html_60218280.png.

В ответ запишем hello_html_4fab4a5f.png.

Ответ: hello_html_600f86b6.png.

Задача 2.

hello_html_1c90ffc5.png


Задача 3.

hello_html_68a29af2.png

Задача 4.


1. В произвольном hello_html_45a42a3a.png две боковые стороны 10см и 6см (AB и BC). hello_html_m48333a3f.png  Найти радиусы описанной и вписанной окружностей
Задача решается самостоятельно с комментированием.

Решение: 

hello_html_2de33b64.png

Задача 5.

В hello_html_34aa3175.png.

1) Найти:  hello_html_388be188.png 
2) Доказать:
 hello_html_m17a4994d.png и найти СK 
3) Найти: радиусы описанной и вписанной окружностей

Решение:

hello_html_503500e7.png

Задача 6.

Радиус окружности вписанной в квадрат равен hello_html_2f018312.png. Найти радиус окружности описанной около этого квадрата.
Дано:

  • треугольник ОСЕ – равнобедренный и прямоугольный;

  • ОЕ=ЕС=hello_html_2f018312.png;

  • ОЕС=90°;

  • ЕОС=ОСЕ=45°;

Найти: ОС=?
Решение: в данном случае задачу можно решить, воспользовавшись либо теоремой Пифагора, либо формулой для R. Второй случай будет проще, поскольку формула для R выведена из теоремы.
hello_html_1a2bb3b5.png


Задача 7.

Радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, равен 2. Найдите гипотенузу с этого треугольника. В ответе укажите hello_html_m53aba038.png.

hello_html_m54b51a0e.png

Воспользуемся формулой радиуса окружности вписанной в треугольник:

hello_html_3da5e9e7.png

где a, b, c – стороны треугольника

S – площадь треугольника

Нам неизвестны ни стороны треугольника, ни его площадь. Обозначим катеты как х, тогда гипотенуза будет равна:

hello_html_758c3e32.png

А площадь  треугольника будет  равна 0,5х2.

Значит

hello_html_m43231989.png

Таким образом, гипотенуза будет равна:

hello_html_m4ca04b28.png

В ответе требуется записать:

hello_html_m7a16a999.png

Ответ: 4

Задача 8.

В треугольнике ABC АС = 4, ВС = 3, угол C равен 900. Найдите радиус вписанной окружности.

hello_html_70249924.png

Воспользуемся формулой радиуса окружности вписанной в треугольник:

hello_html_m6b54bdab.png

где a, b, c – стороны треугольника

S –  площадь треугольника

Две стороны известны (это катеты), можем вычислить третью (гипотенузу), также можем вычислить и площадь.

По теореме Пифагора:

hello_html_627940a9.png

Найдём площадь:

hello_html_7f720ace.png

Таким образом:

hello_html_50468fc0.png

Ответ: 1

 Задача 9.

Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 5, основание равно 6. Найдите радиус вписанной окружности.

hello_html_52a51896.png

Воспользуемся формулой радиуса окружности вписанной в треугольник:

hello_html_m55b7ad6e.png

где a, b, c –  стороны треугольника

S – площадь треугольника

Известны все стороны, вычислим и площадь. Её мы можем найти по формуле Герона:

hello_html_m535ebac4.png

Тогда

hello_html_m3fd17cb4.png

Таким образом:

hello_html_m3c088a14.png

Ответ: 1,5

Задача 10. (Из банка ЕГЭ)

hello_html_3cec66af.png

 

Задача 11. (Из банка ЕГЭ)

hello_html_9e42590.png

Задача 12. (Из банка ЕГЭ)

hello_html_m533fb212.png

Задача 13. (Из банка ЕГЭ)

hello_html_1f1293cb.png

Задача 14. (Из банка ЕГЭ)

hello_html_m31ad15b7.png

Задача 15.

Найдите радиусы окружностей, вписанной в правильный треугольник и описанный около него, если их разность равна 4см.

Сторона правильного треугольника вычисляется по формуле a = R√3, где R – радиус описанной окружности, и a = 2r√3 , где r – радиус вписанной окружности, приравняем стороны R√3  = 2·r√3 , отсюда R = 2r,  сдругой сторони по условию задачи R – r = 4 cм, отсюда r = 4 см,  тогда R = 2·4 см = 8 см

Ответ: 4 см, 8 см


 Задача 16.
Катеты прямоугольного треугольника равны 12 и 5. Найти:
а) радиусы вписанной окружности;
б) радиусы описанной окружности;
в) расстояние от центра вписанной окружности до вершины наименьшего угла.
Решение:
1. По теореме Пифагора 
2. О – центр описанной окружности, 
hello_html_m4a004186.pnghello_html_m11e8c4cc.png

Задача 17.

В треугольнике с углами hello_html_m484be802.jpg и  hello_html_m7eab4480.jpg вписана окружность. Найти углы треугольника, вершинамикоторого являются точки касания окружности со сторонами треугольника.

hello_html_m2250753d.png

Дано: hello_html_40185c66.pngточки касания вписанной окружности.

Найти: hello_html_390c0f16.png

Решение:

1.hello_html_m463614ac.png

2. Из hello_html_6ae3f17.png

3. Из hello_html_38d25f9e.png

hello_html_m6d89080a.png

4. Из  hello_html_m3587c139.png

hello_html_78e419b1.png

hello_html_mda395d9.png

5.hello_html_m2df8e4b1.png

hello_html_mcf8d227.png

Задача 18.

В равнобедренную трапецию с основаниями 1 и 9 вписана окружность. Найти: а) боковую сторону; б) радиус вписанной окружности; в) высоту; г) диагональ.

hello_html_m462e35e0.png

hello_html_6473e328.jpg





Приведу пример возможной самостоятельной работы по теме «Вписанная и описанная окружность».

hello_html_m4f8a854f.png


Карточки с задачами.
1) В hello_html_m1f76cfce.pngABC AB = 8, BC = 10, hello_html_6b432100.png. Найти высоту, опущенную из вершины B и hello_html_146d2315.png BAC.
2) В hello_html_503500e7.pngABC AB=12hello_html_m12041600.png, BC = 9. Площадь треугольника 9hello_html_m12041600.png. Найти радиусы вписанной и описанной окружностей.


Пример математического диктанта.

I. Математический диктант
I вариант
1. В любой треугольник можно вписать окружность? (Да/Нет)
2. Центр вписанной в треугольник окружности является …
3. Вокруг любого треугольника можно описать окружность? (Да/Нет)
4. Центр окружности описанной около треугольника является …
5. Если центр вписанной и описанной окружности совпадают, то это треугольник …
6. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, совпадает с …
7. Если в трапецию можно вписать окружность, то …
8. Если вокруг трапеции можно описать окружность, то …
9. Если центр окружности, описанной около треугольника находится вне его, то этот треугольник …
10. Если центр окружности, описанной около треугольника, находится внутри его, то треугольник …
Использовать взаимопроверку, заготовить заранее ответы на доске. Анализ ошибок.



Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Краткое описание документа:

У многих учащихся есть осложнения в решении задач на нахождение радиусов вписанной и описанной окружностей. В данной работе дается определение вписанной в треугольник окружности, рассматриваются теоремы, даются задачи для самостоятельного решения, а также рассматриваются задачи с решениями. Кроме того рассматриваются задачи с решениями из открытого банка заданий подготовки к ЕГЭ по математике. В конце работы приводится математический диктант и примерная самостоятельная работа по этой теме. Данная работа полезна не только учащимся, но и учителям, посколько задачи с решениями можно использовать при создании презентаций.

Автор
Дата добавления 25.05.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров5185
Номер материала 544472
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх