Расположение простых чисел в ряду натуральных чисел

Введение

Числа, которые нельзя разложить в произведение меньших множителей, называются простыми.  Любое натуральное число, большее 1, является или простым, или составным. Само число 1 не относится ни к простым, ни к составным. Среди четных чисел имеется единственное простое число – 2. Все остальные простые числа нечетны.                                                                        Интерес к простым числам возник в глубокой древности.  Одним из первых проблему выявления простых чисел поставил древнегреческий ученый Эратосфен, позднее значительных результатов удалось добиться и другим исследователям, среди которых выдающимися считаются работы П. Ферма, Л. Эйлера, К. Гаусса, А. Лежандра, П. Чебышева и ряда других учёных. А такие ли они простые «Простые числа»?  Прежде всего, возникает вопрос о том, конечно ли множество простых чисел? Если простых чисел бесконечное множество, то возникает другой вопрос: как они расположены в ряду натуральных чисел? Нет ли для них, например, формулы? Если эффективной формулы для множества простых чисел нет, то его следует изучать другими методами. Например, насколько редко могут быть расположены простые числа?  Оказывается, последовательные отрезки числового ряда, не содержащие ни одного простого числа, могут быть сколь угодно длинными. Соответственно, возникает следующий вопрос: а какое минимальное расстояние может быть между двумя простыми числами?  В нашей исследовательской работе мы рассмотрели вышеперечисленные вопросы и постарались найти на них ответы. Все эти и многие другие вопросы, связанные с простыми числами являются актуальными и по сей день, так как многие из этих вопросов до сих пор не решены и тревожат умы ученых-математиков.

1.     Простых чисел бесконечно много. Существует ли формула для записи простых чисел?

Одним из свойств простых чисел является утверждение, что простых чисел бесконечно много ( т.е среди простых чисел нет наибольшего). Это свойство простых чисел было доказано еще Евклидом. Суть доказательства Евклида такая. Предположим, что множество простых чисел конечно. Тогда существует  наибольшее простое число, обозначим его через k. Возьмем произведение всех простых чисел от 1 до k, обозначим его через m. Тогда m+1 – простое число, большее k. Получили противоречие.

Простые числа играют огромную роль в математике и криптографии. Вот почему издавна люди пытаются  найти универсальную формулу для нахождения простых чисел. В долгое время формула  считалась формулой простого числа. Эта квадратный трехчлен Л.Эйлера. Можно ли привести пример такого натурального числа х, при котором р окажется непростым числом ?  Мы выяснили, что первые 40 значений этого трехчлена( при х=0,1,2,…39) являются простыми числами. Из 2398 первых значений , принимаемых этим многочленом , ровно половина – простые числа. Рассмотри другой способ нахождения простых чисел. Предположим, что нам требуется найти все простые числа, лежащие на отрезке натурального ряда от 1 до некоторого числа N, например, от 1 до 100. Способ исключения из этого промежутка всех оставшихся чисел был известен еще древнегреческому математику Эратосфену и носит название Решето Эратосфена. Приведем его в немного усовершенствованном виде :

1.     Выписать все нечетные числа от 3 до N.

2.    Вычеркнуть  и далее каждое третье число, затем вычеркнуть  и далее каждое пятое число.

3.     Продолжать этот процесс, пока возможно, выбирая всякий раз первое оставшееся невычеркнутым число, следующее за тем, кратные которому  были вычеркнуты последними.

4.     Числа, которые остались невычеркнутыми, составляют множество всех нечетных простых на отрезке от 1 до N.

Для ясности, нужные числа не вычеркнуты, а подчеркнуты.

Для N=100 имеем следующую таблицу :

3	5	7	9	11	13	15	17	19	21
23	25	27	29	31	33	35	37	39	41
43	45	47	49	51	53	55	57	59	61
63	65	67	69	71	73	75	77	79	81
83	85	87	89	91	93	95	97	99

все заканчивается после трех проходов, так как первое, оставшееся невычеркнутым число, следующее за 7, есть 11 и   = 121 > 100. Числа, оставшиеся неподчеркнутими, и есть нечетные простые, меньшие или равные сто. Имеется всего 25 простых чисел на отрезке натурального ряда от 1 до 100.

По состоянию на 9 апреля 2015 года, наибольшее известное простое число  равняется   и содержит 17 425 170 десятичных цифр. На сегодняшний день поиск простых чисел остается незавершенным.

2.     Существует как угодно большие промежутки, где нет простых чисел.

Насколько редко могут быть расположены простые числа? Оказывается, последовательные отрезки числового ряда, не содержащие ни одного простого числа, могут быть сколь угодно длинными.

Теорема. Существуют столь угодно длинные промежутки, не содержащие  ни одного простого числа.

Доказательсто:

 Возьмем произвольное натуральное число n и рассмотрим отрезок натурального ряда вида (n + 1)! + 2, (n + 1)! + 3, ..., (n + 1)! + n + 1. Каждое из представленных чисел составное: первое делится на 2, второе — на 3, третье — на 4 и так далее

…..

3.     .(как назвать ?)

Натуральное число называется составным, если его можно представить в виде произведения двух множителей, каждый из которых больше 1. Самое маленькое составное число – это 4+2*2. А как узнать, будет заданное число составным или нет?  Попробуем ответить на этот вопрос.

Правило1. Натуральное число составное, если оно делится на некоторое число, отличное от 1. Чтобы проверить, пользуясь указанным правилом, будет ли составным число, например, 1009, нужно проверить, делится ли оно на все числа из ряда 2,3,4,…1007,1008, т.е совершить 1007 делений! А это утомительное занятие! Его можно значительно сократить, воспользовавшись правилом:

Правило2. Каждое составное число N имеет делитель, больший 1 и такой, что квадрат его не превосходит N. Воспользовавшись правилом 2, получим =961<1009<1024=следовательно, если число 1009 составное, то у него есть делитель, содержащийся среди чисел 2,3,4,…31. Таким образом, количество деление при проверке, является число 1009 составным или нет, может быть сокращено с 1007 до 30. Разделим 1009 на каждое из чисел 2,3,4,…31. 1009 не делится ни на один из этих делителей, значит, число 1009 составным не является.

Задача1. Будет ли составным число 11111?

Решение:

Задача2. Будут ли составными числа +1 ?

Решение:

Задание. Возьмем какое-нибудь двузначное число, например 12, удвоим его и припишем справа 0. Получим 240. К результату  прибавим исходное число, получим 252. Умножим это число на 481. В записи произведения повторяется трижды число 12:

252*481=11212.

Возьмем другое двузначное число, например 23. Проделаем с ним те же операции:

23*2=46;   460+23=483;   483*481=232323.

Опять получили шестизначное число, в записи которого трижды повторяется исходное двузначное число 23. Если проделать этот эксперимент еще несколько раз, взяв, например, числа: 34, 19, 70 и т.д. опять в записи результата будет трижды повторяться исходное двузначное число.

Попытайтесь объяснить этот удивительный факт, связанный со свойствами числа 481.

Решение:

4.     Простые числа – близнецы. Проблема близнецов.

Простые числа, расстояние между которыми равно двум,  называются числами-близнецами. Первые несколько пар чисел-близнецов легко перечислить — это (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19) и так далее. Самая большая пара чисел-близнецов, из известных на настоящий момент, была открыта в декабре 2011 года. Она имеет вид (3756801695685 · 2⁶⁶⁶⁶⁶⁹ — 1, 3756801695685 · 2⁶⁶⁶⁶⁶⁹ + 1). В десятичной записи каждого из этих чисел по 200700 знаков. Это, конечно, очень большие числа, и само их существование ставит такой вот вопрос: конечно ли множество чисел-близнецов? Этот вопрос, точнее предположение о бесконечности этого множества,  носит название «гипотезы о числах-близнецах». предполагают, что простые числа-близнецы составляют бесконечное множество. Однако эту гипотезу до сих пор не удалось ни доказать, ни опровергнуть.

Заключение

Простые числа являются мощным средством, ускоряющим развитие науки. Количество простых чисел бесконечно. Эту теорему доказал Евклид в III веке до н.э……..