Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Статьи / Распространение педагогического опыта. «Приемы и методы решения геометрических задач ЕГЭ и ГИА».

Распространение педагогического опыта. «Приемы и методы решения геометрических задач ЕГЭ и ГИА».

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Из опыта работы.

Приёмы и методы решения геометрических задач

при подготовке к ЕГЭ и ГИА.

Учитель:Кудинова О.Ю., учитель математики

МКОУ «СОШ№7»


Сегодня важнейшей задачей школьного математического образования является привлечение внимания школьников и учителей к геометрии, понимание необходимости систематических занятий геометрией, развивающих мышление и пространственные представления. Только такие занятия могут дать необходимое качество математического образования школьников, позволят им не только подготовиться к успешной сдаче экзамена, но и заложат основу для дальнейшей творческой жизни.

Количество геометрических задач, встречающихся в контрольно-измерительных материалах (КИМ) единого экзамена, невелико. Их доля составляет не более 13 % от общего числа задач (3-4 задания). Однако умение решать такие задачи может оказаться решающим аргументом при поступлении в престижные или популярные вузы.
Анализируя результаты решения абитуриентами геометрических задач на вступительных испытаниях по математике, видим печальную статистику: с задачами по геометрии справляются не более 10 % поступающих, решают неправильно – около 30 %, а порядка 60 % абитуриентов полностью игнорируют такие задачи.
Приступая к решению задач по геометрии, учащиеся сталкиваются с целым рядом трудностей, которые одним не дают получить верный ответ, а другим – даже просто начать решение. В чем причины? Они связаны не только с пробелами в знании предмета, но и с отсутствием у учащегося серьезного опыта в решении многослойных геометрических задач. Вполне возможно, что часть учащихся, потенциально обладающих уровнем подготовки, достаточным для решения геометрических задач, помещаемых в варианты ЕГЭ, просто не доверяет своим знаниям и умениям и, полагая заранее, что задачи очень трудные, не берется за их решение.
Если для большинства задач по алгебре и началам анализа существуют шаблонные подходы и алгоритмы решений, то в геометрии такого нет. Решение почти каждой геометрической задачи – это маленькая исследовательская работа. Чтобы с ней справиться, ученик должен иметь солидный опыт такого рода деятельности. И тут мы сталкиваемся с противоречием – опыт должен быть большой, а часов на изучение геометрии в школьном курсе отводится мало. Частичный выход из этого положения видится в использовании времени, отведенного в средней школе на повторение всего курса геометрии, исключительно для решения геометрических задач, взятых из вариантов ЕГЭ и ГИА.

Но как организовать такую работу? Идеальный вариант – каждый учащийся решает сам задачи по геометрии из вариантов ЕГЭ и ГИА. Однако для самостоятельного решения он должен свободно владеть геометрическим материалом за весь курс средней школы, поскольку геометрические задачи КИМ тематически разнообразны и, как правило, многоплановы. Вариант второй – учащиеся самостоятельно разбирают готовые решения геометрических задач и учатся на чужом опыте. Но в этом случае деятельность учащихся носит пассивный характер, в ней нет ни радости открытия, ни удовлетворения от преодоленных трудностей. Полученный точечный опыт, не являясь своим, быстро забывается и не находит своего применения и развития при решении других задач. Хуже всего, если учащимся просто рассказывают решения трудных (да и не очень трудных) задач по геометрии.

На самом деле работа может строиться следующим образом. Каждую задачу из КИМа (назовем ее основным заданием) учащиеся будут решать самостоятельно (!). Но этой задаче должна предшествовать детальная совместная деятельность учителя и учащихся по решению целого комплекса задач, являющегося, по сути, расслоением основного задания. В комплексе отражается специфика основного задания, проясняются заложенные в нем понятия, вспоминаются подходящие формулы, применяются методы и идеи, использующиеся при решении основной задачи.
Такая предварительная работа позволит учащимся погрузиться в ситуацию основной задачи. Кроме того, в явном виде проявится круг геометрических знаний, необходимых для решения избранной задачи, и одновременно с этим произойдет их актуализация – необходимые знания приведутся в «боевую готовность». После этого, приступая к самостоятельному решению основной задачи, учащийся встретится уже не с абсолютно новой для себя ситуацией, а с тем, что, хотя бы частично, ему уже знакомо и, в каком направлении можно действовать, ему уже известно. Тем самым снимается и психологический барьер, возникающий у большинства учащихся при встрече с новой и «трудной» задачей и накапливается опыт решения экзаменационных задач. Попутно происходит повторение геометрического материала, причем целевая направленность повторенного фрагмента геометрических знаний, безусловно, повышает в глазах выпускника ценность (значимость) этих знаний для сдачи предстоящего экзамена.

Решая задачу, полезно иметь перед глазами Памятку и стараться последовательно выполнять перечисленные в ней этапы работы. Однако, при решении каждой конкретной задачи не обязательно выполнять перечисленные этапы работы.


hello_html_m2e0e2f49.gif
Обучение учащихся самостоятельному решению задач требует определенной методики изучения теоретического материала курса, основанной на системном усвоении понятий: каждое математическое понятие есть некоторая система свойств и отношений, обладающая всеми признаками системы (целостностью, структурностью и др.). в этом выражается неразрывность двух сторон обучения: усвоение теоретического материала необходимо для успешного решения задач так же, как и решение задач необходимо для сознательного усвоения теорем.

Существуют различные методы поиска решения задачи. Учащихся желательно знакомить с ними, показывая, в каких случаях удобнее использовать тот или иной из них. Виды методов решения:

  • АЛГОРИТМИЧЕСКИЙ МЕТОД

  • ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АНАЛИЗА И СИНТЕЗА ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ

анализ является одним из важнейших методов познания, то обучение анализу следует рассматривать как огромное приобретение в знаниях и культуре учащихся. Затраченное на это время окупается с лихвой.

При решении задач анализ может выступать в двух формах:

а) когда в рассуждениях двигаются от искомых к данным задачи;

б) когда целое расчленяют на части.

Соответственно синтез – это рассуждения:

а) когда двигаются от данных задачи к искомым;

б) когда элементы объединяют в целое.

Общая схема анализа в форме расчленения: 1) разбиваем условие задачи на отдельные части; 2) выделяем отдельные условия (остальные временно не учитываем); 3) из отобранных условий составляем более легкую вспомогательную задачу; 4) решаем ее и, обнаружив идею решения, переходим к данной задаче.

Анализ в форме расчленения наряду с другой его формой используется часто при решении задач на построение методом подобия. Пример 1. Решаем следующую геометрическую задачу: «В данный треугольник вписать квадрат так, чтобы все его вершины располагались на сторонах треугольника».

Составляем более легкую вспомогательную задачу: «Построить квадрат так, чтобы три его вершины лежали на сторонах треугольника». Решив эту задачу, учащиеся находят путь перехода к данной задаче. Затем доказывают, что полученная фигура – искомая.

Если учащиеся не умеют решать ряд простейших, элементарных задач, то о самостоятельном решении данной задачи, а тем более о поиске решения не может быть и речи. Следовательно в данном случае перед учителем возникает необходимость предварительного использования

  • МЕТОДА ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЗАДАЧ.

  • ПЕРЕФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ

При решении задачи с использованием анализа целесообразно четко формулировать «промежуточные» задачи, возникающие по ходу поиска решения. Такой способ решения называют переформулировкой задачи. Этот способ приводит к следующим, на наш взгляд, удачным методическим ситуациям:

1) Усилия учащихся в каждый момент поиска сосредоточиваются на его основных этапах.

2) Выделяемые вспомогательные задачи разбивают на отдельные логические части все рассуждение, а оно бывает иногда довольно громоздким, что затрудняет некоторых учащихся. Рассуждение разбивается на этапы, выделяется как бы план поиска решения. Все это приводит к осознанию идеи поиска решения в целом, а значит, к его лучшему усвоению 3) При подведении итога решения задачи легче выделить и рекомендовать для запоминания (использования в дальнейшем) выделенные при поиске решения вспомогательные задачи – теоремы.

  • ИНДУКТИВНЫЙ МЕТОД

Индуктивный метод может быть широко использован при поиске решения задачи.Выполняя по возможности более точный чертеж, учащиеся из рисунка усматривают свойства фигур. На основе этого делают определенные выводы, а затем доказывают их. Желательно на конкретных примерах убеждать учащихся в том, что такое «рассматривание», анализирование рисунка, выявление его особенностей с последующим обязательным доказательством своих выводов очень полезно при поиске решения задачи.

Во многих случаях индуктивный метод желательно сочетать с переформулировкой задачи. Идею решения, возникшую при рассмотрении частных случаев, формулируем в виде промежуточной, вспомогательной задачи. Тем самым более четко оттеняется индуктивный метод и переформулировка задачи. Рассмотрим пример, где индукция выступает незаметно.

Задача. Точки М, К, Е лежат на сторонах треугольника АВС, АК – биссектриса угла А, МК ׀׀ АС, МЕ ׀׀ ВС. Доказать, что АМ = ЕС.

Чтобы доказать равенство отрезков АМ и ЕС, пытаемся заметить их такими отрезками, которые принадлежали бы одной фигуре. Рассматриваем чертеж. Из него видно, что отрезки ЕС и МК как будто равны (индуктивный метод). Если это удается доказать, тогда задачу можно будет свести к доказательству того, что АМ = МК. Докажем наше предположение.

hello_html_m16f28151.gif




Так как по условию противоположные стороны четырехугольника МКСЕ попарно параллельны, то он параллелограмм и, значит, ЕС = МК. Итак, наше предположение оправдалось, и теперь решение задачи действительно можно свести к доказательству равенства отрезков АМ и МК, которые принадлежат одной фигуре – треугольнику АМК.

В треугольнике АМК стороны АМ и МК будут равны, если равны лежащие против них углы 1 и 2. Это и остается доказать.

Переходим к данным задачи. Пытаемся получить следствия из тех данных, которые мы еще не использовали. Так как АК – биссектриса, то <1=<3.

Теперь вместо равенство углов 1 и 2 можно доказать, что <2=<3.

Вновь переходим к данным и замечаем, что эти углы действительно равны, так как они накрест лежащие при параллельных прямых МК и АС. Отсюда АМ = МК и АМ = ЕС.


Решение задач с практическим содержанием.


К задачам с практическим содержанием (практическим задачам) относятся геометрические задачи на вычисление.

Решение всех этих задач подчиняется единой общей схеме, которую постепенно формирую у учащихся.

Схема состоит из следующих этапов:

1. Изучение задачи.

Осуществление структурного анализа задачи:

а) выделение объектов, входящих в задачу, и отношений между ними;

б) выделение величин, рассматриваемых в задаче;

в) установление отношений между величинами;

г) составление соотношений между величинами.

2.Составление плана решения задачи в общем виде.

3.Построение математической модели (составление уравнения или неравенства, применение готовых соотношений формул, тождеств и т.п.).

4.Решение задачи в рассматриваемой математической модели.

5.Проверка правильности моделирования, решения в рассматриваемой модели.

6.Исследование полученных решений в данной практиче­ской ситуации, получение окончательного ответа.

7.Поиск других способов решения задачи. Выделение рационального.

8.Описание решения задачи, выделение общей схемы решения.

9.Составление обратных задач, их решение.

10.Установление границ применения способа решения зада­чи (для задач с другим практическим содержанием и другими числовыми данными).

11.Составление обобщенной задачи, ее решение и исследо­вание.

По способам поиска решения задачи следует выделить та­кие основные пути:

а) аналитический (составлением выраже­ний, уравнений и неравенств и их решением);

б) матричный (составлением таблиц с двумя и тремя входами) для исследования ситуации;

в) графический (использованием рисунков и чертежей);

г) применение известных образцов (по аналогии или обобщению).

Решение задач на построение

Задачи на построение занимают особое место в курсе гео­метрии. Во-первых, они позволяют моделировать те или иные практические ситуации, а во-вторых, устанавливают связь меж­ду геометрией и черчением, геометрией и рисованием. Кроме то­го, они обеспечивают хорошую подготовку к решению нестан­дартных задач, развивают логическое мышление.

Общая схема решения задач на построение известна. Она состоит из четырех этапов: анализа, построения, доказательст­ва, исследования. Этой схемы придерживались еще в Древней Греции (IV—III вв. до н. э.).

Схема имеет свернутый характер.

Полная схема решения задачи на построение включает:

1. рассмотрение практической ситуации, например, связан­ной с разметкой изделий различной формы или с графически­ми работами (в черчении или рисовании);

2. формулировку задачи;

3. анализ задачи;

4. составление общего плана решения задачи (указание последовательности решаемых элементарных задач);

5. построение фигуры данными инструментами;

6. проверку правильности построения фигуры. Доказательст­во того, что построенная фигура искомая;

7. исследование обобщением задачи. В исследование входит поиск условий, при которых задача имеет решение, их количество в каждом из выделенных случаев. Запись условий, при которых задача имеет решение, осуществляется на алгебраическом языке (посредством составления соотношения между заданными элемен­тами);

8. решение задачи для каждого из выде­ленных случаев при исследовании;

9. поиск других способов решения, выделение рационального;

10. составление других задач, решаемых данным методом. Рассмотрение обобщенных и аналогичных задач.


Решение задач с помощью уравнений.


Методика работы над решением задач (исходя из моего опыта) состоит из следующих этапов:

1). прочтение условия задачи и выделение величин, о которых говорится в условии;

2).установление зависимости между величинами условия задачи;

3).выбор и обозначение неизвестных, исходя из вопроса задачи (или иногда вспомогательных величин);

4).перевод условия задачи на язык алгебры, т.е выражение значений всех величин через введенные неизвестные и числовые данные условия;

5).выделение в условии значения какой-либо величины, при помощи которой можно составить уравнение, составление уравнения;

6).решение уравнения;

7).проверка найденных значений и запись ответа.

Более насыщенными по объему информации, дают возможность развивать у учащихся интерес к предмету, познавательную активность становятся уроки при использовании ИКТ.

При организации процесса обучения с помощью ИКТ используются следующие учебные электронные издания:

- Серия «Виртуальная школа Кирилла и Мефодия. Уроки».

- Практикум «Математика 5-11. Новые возможности для усвоения курса математики».

Несмотря на наличие готовых мультимедийных образовательных программ, в процессе изучения геометрии нами используется авторский материал и презентации учащихся. Например, для обобщающего повторения учащимся было предложено сделать презентации по темам: «Виды четырёхугольников» (9 класс); «Многогранники» (10 класс); «Тела вращения» (11 класс); «Комбинация фигур» (11 класс).

Организация такой работы позволяет включить в учебный процесс всех учащихся, обобщить не только изученный материал, но и расширить знания по теме благодаря дополнительной информации и практической направленности. При этом обязательным элементом является составление работы для проверки знаний по обозначенной теме. В проверочные работы и тесты учащиеся включают задания разного уровня сложности: базового и повышенного. Критерии оценок также разрабатываются самими учащимися.

В дополнение к сказанному отметим, что использование ИКТ позволяет сделать процесс обучения более эффективным. В результате динамичности подачи материала: использование графики, звука, текста, учащиеся усваивают лучше и на более долгий срок. И еще одно, очень важное - применение современных технологий на уроках математики повышает статус учителя, который идет не только в ногу со временем, но и со своими учениками.

Необходимость повышения доли геометрии в содержании Единого государственного экзамена обусловлена той ролью, которую играет геометрия в науке и образовании в современном обществе.

На протяжении всей истории человечества геометрия служила источником развития не только математики, но и многих других наук. Именно в ней появились первые теоремы и доказательства. Сами законы математического мышления формировались с помощью геометрии.

Многие геометрические задачи способствовали появлению новых научных направлений. Наоборот, решение многих научных проблем получено с использованием геометрических методов. В частности:

- задача об измерении длины отрезков привела к открытию Пифагором несоизмеримых отрезков и в дальнейшем к построению действительных чисел;

- задачи об измерении длины окружности, площади круга, объемов шара и пирамиды привели древнегреческих ученых к понятию предела и заложили основы интегрального исчисления;

- геометрические методы изображения пространственных фигур стали фундаментом живописи, изобразительного искусства;

- задача о нахождении орбит космических тел оказалась связанной и была решена с помощью конических сечений;

- современные представления о Вселенной описываются на языке геометрии с помощью понятия многообразия.

- в последние годы, в связи с развитием компьютерной техники, возникло и успешно развивается новое направление геометрии – компьютерная геометрия, применения которой охватывают все большее число сфер человеческой деятельности: архитектура, машиностроение, медицина, геология, космос и др .

Сегодня важнейшей задачей школьного математического образования является привлечение внимания школьников и учителей к геометрии, понимание необходимости систематических занятий геометрией, развивающих мышление и пространственные представления. Только такие занятия могут дать необходимое качество математического образования школьников, позволят им не только подготовиться к успешной сдаче экзамена, но и заложат основу для дальнейшей творческой жизни.

Для желающих мной представлены электронные сборники с геометрическими задачами:

  1. Нелин Е.П., Геометрия, 7-11 классы. Комплексная подготовка к ЕГЭ и ГИА.

  2. Глазков Ю.А., Геометрия 7-9 класс. Практикум по планиметрии. Готовимся к ГИА.

  3. Балаян Э.Н. Геометрия, задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ 10-11 классы.

  4. Карточки для подготовки к ГИА по геометрии.

Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Автор
Дата добавления 25.08.2016
Раздел Математика
Подраздел Статьи
Просмотров98
Номер материала ДБ-165651
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх