Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ ПРЯМЫМИ
Координатным и векторным способом
Алферова Наталья Васильевна,
учитель математики
МКОУ «Горячеключевская СОШ»
Омского района Омской области
2 слайд
Основные понятия
Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина общего перпендикуляра к данным прямым
Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние от точки одной прямой до плоскости параллельной данной прямой и содержащей вторую прямую.
3 слайд
В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найдите расстояние между прямыми BA1 и DB1.
х
y
z
Точки A1 (1;0;1), B (1;1;0)
Вектор A1B {0;1;-1}
Точки D (0;0;0), B1 (1;1;1)
Вектор DB1 {1;1;1}
Пусть КМ ┴А1В и КМ┴DВ1, значит КМ – искомое расстояние.
Пусть точка К лежит на прямой A1B, а точка М на прямой DB1. Рассмотрим векторы А1К и DM, сонаправленные с направляющими векторами данных прямых . По лемме о коллинеарных векторах вектор А1К = а · А1В, т.е. вектор А1К{0;a;-a}, вектор DM = b · DB1, т.е. вектор DM {b;b;b}.
Тогда К(1;а;1-а), М(b;b;b) и вектор КМ {b-1;b-a;b-1+a}.
К
М
4 слайд
Решим систему из условия перпендикулярности двух векторов
KM·A1B=0 0·(b-1)+1·(b-a)-1·(b-1+a) = 0,
KM·DB1=0 1·(b-1)+1·(b-a)+1·(b-1+a) = 0
Решив систему получаем a=1/2, b=2/3, подставим эти значения в координаты вектора КМ: КМ { -1/3; 1/6; 1/6}. Найдём длину вектора |КМ| =√х²+y²+z², |КМ| =√1/9+1/36+1/36=√6/6. Ответ: √6/6
a·b = x1x2+y1y2+z1z2 = 0
5 слайд
В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найдите расстояние между прямыми BA1 и DB1.
K
M
x
y
z
KM=MB1+BB1+BK=a·DB1+B1B+b·BA1
DB1{1;1;1}, BA1 {0;-1;1}, B1B{0;0;1}
KM = {a; a ;a} + {0; 0; 1} + {0; -b ; b}=
= {a; a- b; a+1+b}
KM·BA1=0 0·a-1·(a-b) +1·(a+1+b)=0,
KM·DB1=0 1·a+1·(a-b)+1·(a+1+b) = 0
b= -½, a= -⅓
KM {-1/3; 1/6;1/6}
|KM|= √1/9+1/36+1/36 =√6/6
6 слайд
В правильной треугольной призме АВСА1В1С1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми АВ и СВ1
z
y
x
Рассмотрим плоскость (А1В1С), содержащую прямую В1С и параллельную прямой АВ. Расстоянием между скрещивающимися прямыми будет расстояние от точки прямой АВ, например от А, до плоскости (А1В1С).
Введём прямоугольную систему координат ОХУZ так, чтобы ось ОХ была параллельна высоте ВН основания, ось ОУ совпадала с АС, ось ОZ совпадала с АА1.
Н
7 слайд
Рассмотрим ∆АВС
в плоскости ОХУ
x
y
A
C
B
H
∆ ABC – правильный, АВ=ВС=АС=1, ВН=√3/2.
Составим уравнение плоскости (А1В1С): Ax+By+Cz+D=0.
A1(0;0;1),
B1(√3/2; 1/2 ;1),
C(0;1;0) , подставляем координаты точек в уравнение плоскости, получим систему:
0A+0B+1C+D=0,
(√3/2)A+(1/2)B+1C+D=0,
0A+1B+0C+D=0.
Получаем C=-D, B=-D, A= (√3/3)D.
Уравнение плоскости (А1В1С1):
(√3/3)Dx-Dy-Dz+D=0, (√3/3)x-1y-1z+1=0,
Формула расстояния от точки до плоскости: d=
где (х0;у0;z0)- координаты точки A,
d = |√3/3·0-1·0-1·0 +1| / √ (√3/3)²+1+1 =√21/7. Ответ: √21/7.
х
у
z
H
8 слайд
В правильной четырехугольной пирамидеSABCD, сторона основания 3√2, боковые ребра 5 ,точка М – середина ребра AS. Найдите расстояние между прямыми МD и SB.
M
K
Из точки М проведён прямую MK параллельную SB, очевидно, что МК-средняя линия ∆ ASB, SB‖ (KMD). Расстояние между прямыми MD и SB – это расстояние от точки прямой SB до плоскости (MDK).
Введём прямоугольную систему координат ОХУZ с началом в точке пересечения диагоналей О, так чтобы ось ОХ совпадала с ОА, ось ОУ с ОВ, ось ОZ с высотой OS. Сторона квадрата 3√2, =>, диагональ АС=6.
В прямоугольном ∆ АОS: AO=3, SO=4.
Составим уравнение плоскости (MKD): Ax+By+Cz+D=0,
A(3;0;0),D(0;-3;0), S(0;0;4), M(3/2;0;2)
3A+D=0
3B+D=0
(3/2)A+2C+D=0
y
x
z
9 слайд
M
K
A= (- 1/3)D, B=(1/3)D, C=(-1/4)D.
Уравнение плоскости (МКD):
(-1/3)Dx+(1/3)Dy+(-1/4)Dz+D=0,
(-1/3)x+(1/3)y+(-1/4)z+1=0.
Определим расстояние от точки В(0;3;0) до плоскости (МКD) по формуле d=
d=|1+1|/√1/9+1/9+1/16=√41/12
Ответ: √41/12
z
x
y
Спасибо за внимание!!!
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми - одна из сложнейших задач стереометрии. В школьных учебниках и программах на отработку навыка по решению этого типа задач практически не отводится времени. Классический способ решения данных задач - требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает пространственное воображение, но трудоёмок. Другой способ - применение векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Предлагаю презентацию, в которой демонстрирую решение данных задач координатным и векторным способами.
6 656 271 материал в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Алферова Наталья Васильевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Мини-курс
6 ч.
Мини-курс
4 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.