Урок
алгебры (под редакцией А.Г. Мордковича, 2013) в 11
классе по теме "Равносильность неравенств"(базовый уровень)
Урок 1:
Объяснения нового материала
Три
пути ведут к знанию:
путь размышления – это путь
самый благородный,
путь подражания – это путь
самый легкий и
путь опыта – это путь
самый горький.
Конфуций
Тип урока: изучение нового материала.
Оборудования: учебники, блокноты,
интерактивная доска, карточки с заданиями.
Цели и задачи урока
Цели :
Образовательная: ввести определение
равносильности, записать теоремы равносильности.
Развивающая: развивать
память, наблюдательность, логическое мышление, математическую речь учащихся,
умение анализировать и сравнивать, развивать познавательный интерес к предмету,
развивать умение выделять главное, логически излагать мысли.
Воспитательная: воспитывать
коммуникативную культуру учащихся, навыки коллективной деятельности,
сотрудничества, взаимопомощи, воспитание дисциплинированности, аккуратности
записей в тетради, внимательности, активизировать деятельность учащихся на
уроке.
Задачи:
а)Обучающая - на основе имеющихся у
учащихся знаний подвести учащихся к понятию равносильности неравенств,
определить вместе с ними это понятие;
б) развивающая - формирование приемов
обобщения, алгоритмизации;
в) воспитывающая - воспитывать умение
участвовать в диалоге, понимать точку зрения собеседника, признавать право на
иное мнении, показ
практической применимости математических знаний.
Ход урока
1.Организационный момент (сообщение темы и
цели урока).
Приветствие,
проверка отсутствующих в классе. Проверка выполнения домашнего задания. Как
справились с домашним заданием? Что вызвало затруднение?
2.Актуализация знаний
1) Опорные знания: производная, таблица
производных, физический смысл производной.
2) Связь с прошлой темой: на уроке
используются таблицы производной, вычисляются производные функций.
Задание классу:
1. Вычислить
производные следующих функций:
(1)/ =
((2х-3)6)/=
(х)/ =
((х5+20))/=
(30х)/=
(Соs 3х)/=
(х3)/=
( 5х10)/=
2. Назвать
физический смысл производной.
Ребята я предлагаю сегодня на уроке привести в систему,
обобщить и расширить знания о равносильности уравнений и неравенств
системам.
3. Формулирование новой темы, определение основных целей.
Сегодня мы с вами рассмотрим тему: «Равносильность
уравнений». Узнаем, что такое равносильность уравнений, дадим определение
«равносильности», запишем с вами определения и теоремы равносильности, рассмотрим
примеры.
4. Объяснение нового материала.
Начнем,
с определения равносильных неравенств:
Решением
неравенства f(x)>g(x) называют
всякое значение переменной x, которое обращает
заданное неравенство с переменной в верное числовое неравенство.
Термин решение используют в трёх смыслах:
как общее решение, как частное решение и как процесс.
Опр.: Два неравенства с
одной переменной f(x)>g(x) и p(x)>h(x) называют равносильными, если их решения (т.е. множества
частных решений) совпадают.
Использование знака >
непринципиально, может быть любой другой знак неравенства как строгого, так и
нестрогого.
Опр.: Если
решение неравенства f(x)>g(x)
(1)
содержится в решении
неравенства p(x)>h(x), (2) то неравенство (2) называют следствием неравенства (1).
Неравенство x2>9 является следствием неравенства 2x>6.В самом деле, решив каждое
неравенство, получим:
x2−9>0(x−3)⋅(x+3)>0x∈(−∞;−3)∪(3;+∞) и
2x>6x>3x∈(3;+∞)
Решение второго неравенства является
частью решения первого, поэтому первое неравенство — следствие второго неравенства.
Решение неравенств, встречающихся в
школьном курсе, основано на шести теоремах о равносильности:
Теорема 1.
Если
какой-либо член неравенства перенести из одной части неравенства в другую с
противоположным знаком, оставив знак неравенства без изменения, то получится
неравенство, равносильное данному.
Теорема 2.
Если
обе части неравенства возвести в одну и ту же нечётную степень, оставив знак
неравенства без изменения, то получится неравенство, равносильное данному.
Теорема 3.
Показательное
неравенство af(x)>ag(x) равносильно:
а)
неравенству того же смысла f(x)>g(x), если a>1;
б) неравенству противоположного
смысла f(x)<g(x), если 0<a<1
Теорема 4.
a) Если обе
части неравенства f(x)>g(x) умножить
на одно и то же выражение h(x), положительное при всех x из области определения (области допустимых значений
переменной) неравенства f(x)>g(x), оставив
при этом знак неравенства без изменения, то получится неравенство f(x)⋅h(x)>g(x)⋅h(x),
равносильное данному.
б) Если обе
части неравенства f(x)>g(x) умножить
на одно и то же выражение h(x), отрицательное при всех x из области определения неравенства f(x)>g(x), изменив при этом знак неравенства на
противоположный, то получится неравенство f(x)⋅h(x)<g(x)⋅h(x),
равносильное данному.
Теорема 5.
Если
обе части неравенства f(x)>g(x) неотрицательны
в области его определения (в ОДЗ), то после возведения обеих частей неравенства
в одну и ту же чётную степень n получится
неравенство того же смысла f(x)n>g(x)n,
равносильное данному.
Теорема 6.
Если
f(x)>0 и g(x)>0, то логарифмическое
неравенство logaf(x)>logag(x) равносильно:
а)
неравенству того же смысла f(x)>g(x), если a>1;
б)
неравенству противоположного смысла f(x)<g(x), если 0<a<1.
5.
Закрепление нового материала.
Пример
1. ]
Хотелось бы, конечно, возвести обе части в квадрат, это возможно только
при неотрицательности обеих частей. Но что же нам делать с теми х, для которых
правая часть отрицательна? Для всякого решения неравенства правая часть
больше левой, являющейся неотрицательным числом в ОДЗ, и, стало быть, сама
неотрицательна. Итак, следствием нашего неравенства будет такая
система:
, где возведенное в квадрат неравенство, неотрицательность правой части
ОДЗ
Пример
2.
Решение.
Здесь опять же заведомо можно возвести в квадрат только тогда, когда . Однако
теперь уже нельзя отбросить тех, для которых правая часть отрицательна:
Итак,
у нас получилось два случая: если правая часть неотрицательна , то из
нашего неравенства следует система Если же правая
часть отрицательна, то неравенство верно на ОДЗ (ведь тогда отрицательная
правая часть должна быть меньше положительной левой, а это верно на ОДЗ) и
следует система где
неотрицательность меньшей части и ОДЗ.
Неравенство
равносильно
такой совокупности двух систем:
Пример
3.
Решение.
На сей раз обе части неравенства всегда неотрицательны, так что возведение в
квадрат дает неравенство, равносильное исходному на его естественной области
определения. Возведение в квадрат дает неравенство: , (8) область
определения дает неравенства: (9) и (10).
Мы
не учитываем (10), т.к. если правое, меньшее, подкоренное выражение
неотрицательно, то левое и подавно неотрицательно. Стало быть, из
неравенства следует такая система:
, возведенное в кв. неравенствово и неотрицательность меньшей части.
Неравенство
равносильно
системе:
6. Подведение итогов.
Сегодня
мы с вами рассмотрели тему: «Равносильность неравенств». Узнали, что такое
равносильность уравнений, дали определение «равносильности», записали с вами
определения и теоремы равносильности, рассмотрели примеры.
1. Было ли интересно на уроке?
2. Все ли было на уроке
понятно?
7. Домашнее
задание.
Читать § 55 по учебнику (под редакцией
А.Г. Мордковича, 2013); решить № 1665(в), № 1674 (б), № 1675 (г) по задачнику(под редакцией А.Г.
Мордковича, 2013).
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.