Раздаточный материал для проведения практических занятий по математике

Областное государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение

«Старомайнский технологический техникум»

Н.А.Марчук

РАЗДАТОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

для практических занятий  по математике

р.п.Старая Майна, 2016

Марчук Н.А. Раздаточный материал для практических занятий по математике. – Старая Майна: ОГБПОУ СМТТ, 2016, с.67

Раздаточный материал разработан в соответствии с ФГОС СПО для обучающихся 2 курса. В сборнике представлены  практические по соответствующим темам рабочей программы учебной дисциплины «Математика»  35.02.07.Механизация сельского хозяйства

Адреса для отзывов и скачивания материалов:

e-mail: [e-mail]

мини-сайт: nsportal.ru//marchuknatalya

Практическая работа1

на тему:

Нахождение производных по алгоритму. Вычисление производных сложных функций.

1. Найти производные функций:

А) у= 3х^-2;  Б) у= ;     В) у = .

2. Найти f ' (1/2), если f (х) = 1/х⁴.

3. Продифференцировать функцию у = 2х³(х⁶ - 1):

4. Найти производную функции:

.

5. Найти производные сложных функций:

А) у = (9 – х²)⁴,

Б) у = ,

В) у =  ,

Г) у = ,

Д) у = .

Практическая работа 2

на тему:

Применение производных функций.

1.      Дана кривая у = - х² + 4. Проведите к ней касательную в точке, абсцисса которой х = -1.

2.   В какой точке касательная к кривой  у = 3х² + 8х + 4 параллельна прямой 2х + 2у – 5 = 0?

3.      Путь, пройденный материальной точкой, задаётся следующей функцией времени: s = 3t² – 2t + 4 . Найти скорость движения точки в конце 5-й секунды.

4.      Найти производные второго порядка заданных функций:

А) у = х³,Б) у =.   

5.      Материальная точка движется по закону s = 2t³ – 6t²+ 4t. Найти её ускорение  в конце 3-ей секунды.

6.   Исследовать на экстремум с помощью второй производной функцию у =6х.

Практическая работа 3

на тему:

Вычисление пределов функций.

Найти:

1.       

А),

Б)  .

2.      Найти, предварительно преобразовав:

А)  ,

Б)  ,

В)

3.      Найти предел функции на бесконечности:

А)  ,

Б)  ,

В)

4.      Примените замечательные пределы:

А) ,

Б) .

Практическая работа 4

на тему:

Исследование функций на непрерывность.

1.      Исследовать на непрерывность функции:

A.    У = 2х,

B.     У = 5х² – 2х + 3,

C.     У = cos x.

2.      Исходя из определения непрерывной функции, докажите непрерывность данных функций в указанных точках:

A.    У = 3х – 1 в точке х = - 1,

B.     У = х²+ 3 в точке х = - 2,

C.     У = 1/х в точке х = 3,

D.  У =  в точке х = 0,

E.   У = х = 2.

3.      Исследовать на разрыв функцию у = .

Практическая работа 5

на тему:

Интегрирование простейших функций. Вычисление простейших определённых интегралов. Решение прикладных задач.

1.Найти неопределённые интегралы способом подстановки:

А) ,Б) .

___________________________________________________________

___________________________________________________________

2.Вычислить определённые интегралы:

А)

Б)

В) .

3.Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью Ох, прямыми х = -1, х = 2 и параболой у = 9 – х².

4.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: у =  и у = х².

5.Тело движется прямолинейно со скоростьюv(t) = (3 + 3t²) м/с. найти путь, пройденный телом за первые 5с от начала движения.

Практическая работа 6

на тему:

Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными; однородных дифференциальных уравнений первого порядка; линейных дифференциальных уравнений первого порядка.

Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее производные искомой функции или её дифференциалы.

1.      Установить, какие из указанных ниже уравнений являются дифференциальными:

А) ;   Б);   В)Г)Д)Е)Ж)З)И)К)Л)М).

Решить дифференциальное уравнение - значит найти такую функцию, подстановка которой в это уравнение обращает его в тождество. Эта функция называется решением дифференциального уравнения.

2.      Какие из перечисленных ниже функций представляют собой решения дифференциального уравнения :

А) Б)В)Г)

3.   Даны функции:  Какие из них служат решениями дифференциального уравнения

4.   Является ли функция решением уравнения

Дифференциальные уравнения принято классифицировать в зависимости от порядка производной, входящей в уравнение.

Наивысший порядок производной, входящий в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.

5.      Определить порядок следующих дифференциальных уравнений:

А) Б)В)Г)

Определение 1. Уравнение вида где  и  – данные функции, называется уравнением с разделёнными переменными.(1)

Это уравнение можно переписать в виде

Решение таких уравнений выполняется непосредственным интегрированием.

6.   Решить уравнение

Определение 2. Уравнение вида, где , – заданные функции, называется уравнением с разделяющимися переменными.(2)

Уравнение (2) можно привести к виду (1), если разделить все его члены на произведение .

7.   Решить уравнение .

Определение 3. Уравнение вида где p  и  q – функции переменной xили постоянные величины, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

8.      Даны уравнения:

А)    Б)    В)

Какие из них являются линейными уравнениями первого порядка, а какие нет и почему?

Линейные уравнения первого порядка без правой части (т.е. при q=0) решаются как уравнения с разделяющимися переменными.

Линейные уравнения первого порядка с правой частью решают методом Бернулли.

9.   Решить уравнение

Практическая работа 7

на тему:

Общее решение линейных однородных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Решение прикладных задач.

Линейные уравнения первого порядка с правой частью решают методом Бернулли:

Рассмотрим пример:

1.   Решите уравнение

Уравнение, содержащее производные или дифференциалы второго порядка, называется дифференциальным уравнением второго порядка.

Рассмотрим пример:

2.      Решите уравнение .

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида *где p и q – постоянные величины.

Для нахождения общего решения этого уравнения используют следующие теоремы:

Т1. Если функция у=у₁   есть решение уравнения *, то функция

у = ау₁, где а – постоянный множитель, также я-я решением этого уравнения.

Т2. Если функции у = у₁ и у = у₂ – решения уравнения *, то и функция у = у₁ + у₂ также я-я решением этого уравнения.

При этом у₁и у₂ называют частными решениями уравнения *.

Два частных решения уравнения * называются линейно независимыми, если одно из них не может быть представлено какдругое, умноженное на некоторый постоянный множитель, т.е.   у₂а у₁ ни при каких значениях а.

Т3. Если у = у₁и у = у₂  - линейно независимые частные решения уравнения *, то его общее решение имеет вид у = С₁ у₁+ С₂ у₂ , где С₁ и С₂ - произвольные постоянные.

Уравнение k² +pk + q = 0 называется характеристическим для данного дифференциального уравнения.

3.   Решить уравнение

Практическая работа 8

на тему:

Частное решение линейных однородных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Решение прикладных задач.

Для решения уравнений вида нужно использовать метод Эйлера, подставив функцию и её производные в данное уравнение. После преобразований, решаем характеристическое уравнение  k² +pk + q = 0для данного дифференциального уравнения и находим общее решение этого дифференциального уравнения.

Известно, что при решении квадратного уравнения могут получиться корни следующих видов: 1) действительные и различные, 2) действительные и равные, 3) комплексные.

Каждому виду корней квадратного уравнения соответствует свой вид общего решения дифференциального уравнения, оформленный в ниже следующей таблице:

 

 

Практическая работа 9

на тему:

Определение сходимости рядов по признаку Даламбера. Определение сходимости знакопеременных рядов. Разложение функций в ряд Маклорена.

Определение сходимости рядов по признаку Даламбера.

 Признак Даламбера. Если для числового ряда с положительными членами а₁+ а₂ + а₃ + … + а_n + … существует пределто ряд сходится при r< 1 и расходится при r> 1. При r= 1ряд может как сходиться, так и расходиться.

1.      Исследовать на сходимость ряд:

1 +

Определение сходимости знакопеременных рядов.

Знакопеременным числовым рядом называется ряд вида u₁ – u₂ + u₃–u₄ +… + (-1)ⁿ⁺¹u_n + …,  где u_n>0.

Признак Лейбница. Знакопеременный ряд сходится, если его члены по абсолютному значению убывают, а модуль общего члена стремится к нулю, т.е. если выполняются два условия:

1) члены ряда убывают по абсолютному значению, т.е.

2) предел модуля общего члена равен нулю, т.е.

Если хотя бы одно из условий не выполняется, то ряд расходится.

       2. Исследовать на сходимость знакопеременный ряд:

Разложение функций в ряд Маклорена.

Формула Маклоренадля многочленов:

3. Выразите определённый интеграл в виде сходящегося ряда, используя ряд Маклорена для подинтегральной функции. Найдите приближённое значение этого интеграла с точностью до

Практическая работа 10

на тему:

Решение простейших задач на определение вероятностей.

1. Являются ли достоверными или невозможными события, состоящие в том, что при однократном бросании кости выпадает: 0 очков, 6 очков, от 1 до 6 очков? Какие события в этом испытании составляют полную группу?

2. В партии из 100 деталей имеется 85 стандартных. Определить вероятность того, что взятая наудачу деталь окажется бракованной.

3. Выбирают наугад число от 1 до 80. Определить вероятность того, что в этом числе не окажется цифры 4.

4. В корзине находятся 5 белых и 7 чёрных перчаток. Найти вероятность того, что пара, которую достали наугад, окажется одноцветной.

5. В группе 5 человек учится на отлично, 7 человек – на хорошо и отлично, 15 человек имеют тройки и 3 человека – неудовлетворительные оценки. Определить вероятность того, что вызванный учащийся не имеет ни двоек, ни троек.

6. Дано Р(АВ)=1/4, Р(Ā)=1/3, Р(В)=1/2. Найти Р(А+В).

7. Вероятность сдачи зачёта учащимся равна 0,8, а вероятность сдачи экзамена равна 0,9. Какова вероятность того, что учащийся сдаст экзамен?

Практическая работа 11

на тему:

Решение задач на построение закона распределения дискретной случайной величины.

4.

3.

2.

1.

Практическая работа 12

На тему:

Нахождение математического ожидания, дисперсии и среднего квадратичного отклонения дискретной случайной величины, заданной законом распределения.

Мы знаем, что наиболее исчерпывающей характеристикой случайной величины является её закон распределения вероятностей. Однако не всегда обязательно знать весь закон распределения

1.

3.

2.