Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / РАЗДАТОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ К ГЛАВЕ "ТРИГОНОМЕТРИЯ"

РАЗДАТОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ К ГЛАВЕ "ТРИГОНОМЕТРИЯ"

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов

Решение простейших тригонометрических уравнений.

cos х = а, х= ± arccos a +2•πn,nZ.

cos х = а, Не имеет решений!

sin x = a, x=•arcsin a+πn, nZ.

sin x = a, Не имеет решений!

tg x = a, x = arctg а + πn, nZ.

ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ:

cos х = -1, x = π+2•πn, nZ.

cos х = 0, x = + πn, nZ.

cos х = 1, x = 2•πn, nZ.

sin x =-1, x = - +2•πn, nZ.

sin x = 0, x = πn, nZ.

sin x = 1, x = +2•πn, nZ.

Формулы для обратных функций.

























Решение простейших тригонометрических уравнений вида

sin x = а, cos х = а, tg x = а, ctg х = а.

Задание:

1.Решить уравнения:

cos х = cos х = 0, sin x = , sin x = 0, tg x = 1 ,

2.Решить уравнения:

cos х = cos х = -1, sin x = , sin x = 1, сtg x = - 1 .

3.Решить уравнения:

а) sin8xcos4x = 0.

б) (2 sin x – ) · (сtg x – ) = 0.

в) cos 5xcos4x + sin5xsin4x = / 2.

Решение тригонометрических уравнений способом деления.

1)Рассмотрим однородное тригонометрическое уравнение первой степени: A sin x+ B cos x = 0. Разделив обе части уравнения на cos x ≠ 0, получим уравнение вида tg x = С.

ПРИМЕР: Решите уравнение.

2 sin x+ 3 cos x = 0 | : cos x ≠ 0

2 tg x + 3 =0

tg x = -1,5

х= arctg (-1,5) + πk, kZ или

х = - arctg 1,5 + πk, kZ.

2) рассмотрим однородное тригонометрическое уравнение второго порядка:
А sin2 х + В sinх cos х + С cos2х = 0. Разделив обе части уравнения на

cos2 x ≠ 0, получим уравнение вида А tg 2x + В tg x + С = 0.

ПРИМЕР: Решите уравнение.

2 sin2 х - 3 sinх cos х - 5 cos2х =0

2 sin2 х - 3 sinх cos х - 5 cos2х =0 | : cos2х ≠ 0

2 tg 2x - 3 tg x - 5 = 0

замена tg x = t, 2 t2 – 3 t – 5 =0,

D = (3)2 42 (-5) = 9 + 40 = 49,

t1= (3 + 7) : 4 = 2,5, t2 = (3 7) : 4 = . Решением уравнение tg х = 2,5 являются числа вида х1= arctg 2,5+ πn, nZ.

Решением уравнения tg х = -1 являются числа вида х2= -π/4 + πk , kZ.

ЗАДАНИЕ:

Решите уравнения:

  1. 2 sin x+ 5 cos x = 0

  2. 5 sin2 х - 3 sinх cos х - 2cos2х = 0 .

  3. .

  4. .

  5. 4 sin x cos x – cos2 x = 0.

  6. 5 sin x cos x – 3cos2 x = 0.

  7. ;

  8. .

  9. Тригонометрические функции

    T = 2π
  10. sin(x+2πn)=sinx, nZ

    1. T = 2π

    2. cos(x+2πn)=cosx, nZ

    1. Нули функции

    1. sin x = 0 при x=πn, n Z

    1. cos x = 0 при x=π2+πn, n Z

    1. Промежутки знакопостоянства

    2. f(x) > 0

    1. sin x > 0 для всех x(2πn;π+2πn),nZ

    1. cos x > 0 для всех x(π/2+2πn;π/2+2πn),nZ

    1. Промежутки знакопостоянства

    2. f(x) < 0

    1. sin x < 0 для всех x(π+2πn;2π+2πn),nZ

    1. cos x < 0 для всех x(π/2+2πn;3π/2+2πn),nZ

    1. Наибольшее значение функции

    1. max(sin) = 1 в точках x=π/2+2πn, nZ

    1. max(cos) = 1в точках x=2πn, nZ

    1. Наименьшее значение функции

    1. min(sin) = -1в точках x=3π/2+2πn, nZ

    1. min(cos) = -1в точках x=π+2πn, nZ

    1. Промежутки возрастания функции

    1. [π/2+2πn;π/2+2πn]

    1. [−π+2πn;2πn]

    1. Промежутки убывания функции

    1. [π/2+2πn;3π/2+2πn]

    1. [2πn;π+2πn]

  11. T = π
  12. tg(xn)=tgx, nZ

    1. T = π

    2. ctg(x+πn)=ctgx, nZ

    1. Нули функции

    1. tg x = 0 при x=πn, nZ

    1. ctg x = 0 при x=π/2+πn, nZ

    1. Промежутки знакопостоянства f(x) > 0

    1. tg x > 0 для всех x(πn;π/2+πn),nZ

    1. ctg x > 0 для всех x(πn;π/2+πn), nZ

    1. Промежутки знакопостоянства f(x) < 0

    1. tg x < 0 для всех x(−π/2+πn;πn), nZ

    1. ctg x < 0 для

    2. всех x(−π/2+πn;πn), nZ

    1. Наибольшее значение функции

    1. нет

    1. нет

    1. Наименьшее значение функции

    1. нет

    1. нет

    1. Промежутки возрастания функции

    1. (−π/2+πn;π/2+πn)

    1. нет

    1. Промежутки убывания функции

    1. нет

    1. (πn;π+πn)

  13. Графики функций: y = sin xy = cos x, y = tg x, y = ctg x

  14. hello_html_mba51ced.gif

  15. hello_html_m29a4c23f.gif

  16. hello_html_3343b2f7.gif

  17. hello_html_232d9fb3.gif

    1. Преобразование графика функции

  18. Преобразования графиков функций — это линейные преобразования функции y = f(x) или её аргумента x к виду y = af(kx + b) + m, а также преобразование с использованием модуля. Зная, как строить графики функции y = f(x), где y = kx + b, y = ax2y = xn , y=k/x, 

  19. y = sin x, y = cosx, y = tgx, y = ctgx, y=ax,y=logax можно построить график функции y = af(kx + b) + m.

  20. Параллельный перенос графика вдоль оси абсцисс на | b | единиц
    • вправо, если b > 0;

    • влево, если b < 0.

    1. y = f(x + b)

    • влево, если b > 0;

    • вправо, если b < 0.

    1. y = f(x) + m

    1. Параллельный перенос графика вдоль оси ординат на | m | единиц

    • вверх, если m > 0,

    • вниз, если m < 0.

    1. Отражение графика

    1. y = f( - x)

    1. Симметричное отражение графика относительно оси ординат.

    1. y = - f(x)

    1. Симметричное отражение графика относительно оси абсцисс.

    1. Сжатие и растяжение графика

    1. y = f(kx)

    • При k > 1 — сжатие графика к оси ординат в k раз,

    • при 0 < k < 1 — растяжение графика от оси ординат в k раз.

    1. y = kf(x)

    • При k > 1 — растяжение графика от оси абсцисс в k раз,

    • при 0 < k < 1 — cжатие графика к оси абсцисс в k раз.

    1. Преобразования графика с модулем

    1. y = | f(x) |

    • При f(x) > 0 — график остаётся без изменений,

    • при f(x) < 0 — график симметрично отражается относительно оси абсцисс.

    1. y = f( | x | )

    • При x≥0— график остаётся без изменений,

    • при x < 0 — график симметрично отражается относительно оси ординат.


  21. hello_html_m1e9c802a.gif

  22. Построение графиков функций y = f (x) и y = f (x) + b .

  23. Построение графиков функций y = f (x) и y = Вf (x).

  24. Построение графиков функций y = f (x) и y = f (kx).

  25. Построение графика функции y = Аf (k(x-a)) + B

  26. y = f (x) ® y = f (kx) ® y = f (k(x-a)) ® y = Af (k(x-a)) ® y = Аf (k(x-a)) + B

  27. Пример: Построить график функции y = 3 sin (2x - p /6) + 1

  28. Этапы построения: y = sin x ® y = sin 2x ® y = sin (2(x - p /6)) ® y = 3 sin (2(x - p /6)) ®

  29. ® y = 3 sin (2(x - p /6)) + 1

  30. y = sin x ® y = sin 2x ® y = sin (2(x - p /6)) ® y = 3 sin (2(x - p /6)) ®

  31. ® y = 3 sin (2(x - p /6)) + 1

Общая информация

Номер материала: ДБ-045598

Похожие материалы