РАЗДАТОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ К ГЛАВЕ "ТРИГОНОМЕТРИЯ"

Решение простейших   тригонометрических уравнений.

cos х = а,       х= ± arccos a +2•πn,n∈Z.

cos х = а,       Не имеет  решений!

sin x = a,       x=•arcsin a+πn, n∈Z.

sin x = a,      Не имеет  решений!

tg x = a,                       x = arctg а + πn, n∈Z.

ЧАСТНЫЕ  СЛУЧАИ:

cos х = -1, x = π+2•πn, n∈Z.

cos х = 0,  x =  + πn, n∈Z.

cos х = 1,  x = 2•πn,  n∈Z.

sin x =-1,  x = -  +2•πn, n∈Z.

sin x = 0,  x =  πn, n∈Z.

sin x = 1,  x =    +2•πn, n∈Z.

Формулы для обратных  функций.

Решение простейших тригонометрических уравнений вида

sin x = а, cos х = а, tg x = а, ctg х = а.

а	sin x = а	cos х = а
0	x= πк,к∈Z	x=   + πn, n∈Z
1	x=   + 2 πк,к∈Z	x= 2πn, n∈Z
-1	x= -    + 2 πк,к∈Z	x= π + 2πn, n∈Z
	x=•  + πк ,к ∈ Z	x=  + 2πn, n∈Z
	x=•  + πк, к ∈ Z	x=  + 2πn, n∈Z
	x=•  + πк, к ∈ Z	x=  + 2πn, n∈Z
	x=•  + πк, к ∈ Z	x=  + 2πn, n∈Z
	x=•  + πк, к ∈ Z	x=  + 2πn, n∈Z
	x=•  + πк, к ∈ Z	x=  + 2πn, n∈Z

а	tg x = а	ctg х = а
0	x= πк,к∈Z	x=   + πn, n∈Z
1	x= + πк, к ∈Z	x= + πn, n∈Z
-1	x= + πк, к ∈Z	x= + πn, n∈Z
	x= + πк, к ∈Z	x= + πn, n∈Z
	x= + πк, к ∈Z	x= + πn, n∈Z
	x= + πк, к ∈Z	x= + πn, n∈Z
	x= + πк, к ∈Z	x= + πn, n∈Z

Задание:

1.Решить уравнения:

  cos х = cos х = 0, sin x  =  , sin x = 0, tg x = 1 ,

2.Решить уравнения:

  cos х =  cos х =  -1, sin x  =  , sin x =  1, сtg x = - 1 .

3.Решить уравнения:

а) sin8x – cos4x = 0.

б) (2 sin x – ) · (сtg x – ) = 0.

в) cos 5xcos4x + sin5xsin4x =  / 2.

Решение  тригонометрических уравнений способом деления.

1)Рассмотрим однородное тригонометрическое уравнение первой степени:                               A sin x+ B cos x = 0. Разделив обе части уравнения на  cos x ≠ 0, получим уравнение вида  tg x = С.

ПРИМЕР: Решите уравнение.

2 sin x+ 3 cos x = 0 | : cos x ≠ 0

2 tg x + 3 =0

tg x = -1,5

х= arctg (-1,5) + πk,  k∈Z  или 

х = - arctg 1,5 + πk,  k∈Z.

2) рассмотрим однородное тригонометрическое уравнение второго порядка:
А sin² х + В sinх cos х + С cos²х = 0. Разделив обе части уравнения на 

cos² x ≠ 0, получим уравнение вида  А tg ²x + В tg x + С = 0.

ПРИМЕР: Решите уравнение.

2 sin² х  - 3 sinх  cos х - 5 cos²х =0

2 sin² х  - 3 sinх  cos х - 5 cos²х =0  | : cos²х ≠ 0

                           2 tg ²x - 3 tg x - 5 = 0

замена    tg x = t,  2 t² – 3 t – 5 =0,

D = (3)²  42 (-5) = 9 +  40  = 49, 

t₁= (3 + 7) : 4 = 2,5,  t₂ = (3  7) : 4 = . Решением уравнение tg х = 2,5 являются числа вида  х₁= arctg 2,5+ πn,  n∈Z.

Решением уравнения tg х = -1 являются числа вида х₂= -π/4 + πk , k∈Z.

ЗАДАНИЕ:

Решите уравнения:

1)    2 sin x+ 5 cos x = 0

2)    5 sin² х - 3 sinх cos х - 2cos²х = 0 .

3)    .

4)     .

5)     4 sin x cos x – cos² x = 0.

6)    5 sin x cos x – 3cos² x = 0.

7)    ; 

8)    .

9)   

10)   

Тригонометрические функции

Свойства	y = sin x	y = cos x
D(f) - область определения функции	D(sin) = R - множество всех действительных чисел	D(cos) = R - множество всех действительных чисел
E(f) - множество значений функции	E(sin) = [−1;1]	E(cos) = [−1;1]
Четность функции	нечетная , sin(-x) = - sinx	четная, cos(-x) = cosx
Наименьший положительный период	T = 2π sin(x+2πn)=sinx, n∈Z	T = 2π cos(x+2πn)=cosx, n∈Z
Нули функции	sin x = 0 при x=πn, n∈ Z	cos x = 0 при x=π2+πn, n∈ Z
Промежутки знакопостоянства f(x) > 0	sin x > 0 для всех x∈(2πn;π+2πn),n∈Z	cos x > 0 для всех x∈(−π/2+2πn;π/2+2πn),n∈Z
Промежутки знакопостоянства f(x) < 0	sin x < 0 для всех x∈(π+2πn;2π+2πn),n∈Z	cos x < 0 для всех x∈(π/2+2πn;3π/2+2πn),n∈Z
Наибольшее значение функции	max(sin) = 1 в точках x=π/2+2πn, n∈Z	max(cos) = 1в точках x=2πn, n∈Z
Наименьшее значение функции	min(sin) = -1в точках x=3π/2+2πn, n∈Z	min(cos) = -1в точках x=π+2πn, n∈Z
Промежутки возрастания функции	[−π/2+2πn;π/2+2πn]	[−π+2πn;2πn]
Промежутки убывания функции	[π/2+2πn;3π/2+2πn]	[2πn;π+2πn]

Свойства	y = tg x	y = ctg x
D(f) - область определения функции	D(tg) = R, x≠π/2+πn, n∈Z	D(ctg)=R, x≠πn, n∈Z
E(f) - множество значений функции	E(tg) = R	E(ctg) = R
Четность  функции	нечетная ,tg(-x)=tgx	нечетная ,ctg(-x)=ctgx
Наименьший положительный период	T = π tg(x+πn)=tgx, n∈Z	T = π ctg(x+πn)=ctgx, n∈Z
Нули функции	tg x = 0 при x=πn, n∈Z	ctg x = 0 при x=π/2+πn, n∈Z
Промежутки знакопостоянства f(x) > 0	tg x > 0 для всех x∈(πn;π/2+πn),n∈Z	ctg x > 0 для всех x∈(πn;π/2+πn), n∈Z
Промежутки знакопостоянства f(x) < 0	tg x < 0 для всех x∈(−π/2+πn;πn), n∈Z	ctg x < 0 для всех x∈(−π/2+πn;πn), n∈Z
Наибольшее значение функции	нет	нет
Наименьшее значение функции	нет	нет
Промежутки возрастания функции	(−π/2+πn;π/2+πn)	нет
Промежутки убывания функции	нет	(πn;π+πn)

Графики функций: y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x

Преобразование графика функции

Преобразования графиков функций — это линейные преобразования функции y = f(x) или её аргумента x к виду y = af(kx + b) + m, а также преобразование с использованием модуля. Зная, как строить графики функции y = f(x), где y = kx + b, y = ax², y = xⁿ , y=k/x, 

y = sin x, y = cosx, y = tgx, y = ctgx, y=a^x,y=log_ax можно построить график функции y = af(kx + b) + m.

Общий вид функции	Преобразования
y = f(x - b)	Параллельный перенос графика вдоль оси абсцисс на | b | единиц вправо, если b > 0; влево, если b < 0.
y = f(x + b)	влево, если b > 0; вправо, если b < 0.
y = f(x) + m	Параллельный перенос графика вдоль оси ординат на | m | единиц вверх, если m > 0, вниз, если m < 0.
	Отражение графика
y = f( - x)	Симметричное отражение графика относительно оси ординат.
y = - f(x)	Симметричное отражение графика относительно оси абсцисс.
	Сжатие и растяжение графика
y = f(kx)	При k > 1 — сжатие графика к оси ординат в k раз, при 0 < k < 1 — растяжение графика от оси ординат в k раз.
y = kf(x)	При k > 1 — растяжение графика от оси абсцисс в k раз, при 0 < k < 1 — cжатие графика к оси абсцисс в k раз.
	Преобразования графика с модулем
y = | f(x) |	При f(x) > 0 — график остаётся без изменений, при f(x) < 0 — график симметрично отражается относительно оси абсцисс.
y = f( | x | )	При x≥0— график остаётся без изменений, при x < 0 — график симметрично отражается относительно оси ординат.

Построение графиков функций y = f (x)  и  y = f (x) + b .

y = sin x

y = sin x – 3

Построение графиков функций y = f (x)  и  y = Вf (x).

Построение графиков функций y = f (x)  и  y = f (kx).

Построение графика функции y = Аf (k(x-a)) + B

y = f (x)   ®  y = f (kx)  ® y = f (k(x-a))  ®  y = Af (k(x-a))  ® y = Аf (k(x-a)) + B

Пример: Построить график функции     y = 3 sin (2x - p /6) + 1

Этапы построения: y = sin x ® y = sin 2x ® y = sin (2(x - p /6)) ® y = 3 sin (2(x - p /6)) ®

® y = 3 sin (2(x - p /6)) + 1

y = sin x ® y = sin 2x ® y = sin (2(x - p /6)) ® y = 3 sin (2(x - p /6)) ®

® y = 3 sin (2(x - p /6)) + 1