А-10.
4. Наибольшее и наименьшее значения
функции.
Задание: найдите наибольшее и наименьшее
значение функции на промежутке
№
шага
|
План нахождения y
наименьшего и y наибольше на
|
Применение плана.
|
1.
|
Находим производную функции
|
=
|
2.
|
Находим критические точки функции
|
=0, 4x(-1)=0,
x=0 и ,x=-1,
x=0 и x=1-критические
точки ф-ии.
|
3.
|
Выбираем критические точки, лежащие
внутри [a;b]
|
0 и 1 € [0; 2].
|
4.
|
Находим значения функции в критических
точках (внутри данного отрезка) и на концах отрезка.
|
y(1)=1-2-3=4, y(0)=-3,
y(2)=16-8-3=5
|
5.
|
Из найденных значений функции выбираем
наименьшее и наибольшее.
|
y
наим.=y(1)=-4, y наиб.=y(2)=5
|
Примеры: Применяя указанный выше план, найдите
наименьшее и наибольшее значения функции на промежутке [a;b], если:
1) [-1;3]; 3)=34)[0;2]; 5)
6) 7)x, [0;]; 8)en x, [1;e]; 9), [-3;3]
5. Геометрические задачи на нахождения
оптимальных значений величин.
Задание: Из кружка жести
радиуса R вырезается сектор и из оставшейся части круга
делается коническая воронка. При какой величине угла вырезаемого сектора объем
воронки будет наибольшим?
№шага
|
План решения
|
Применение плана
|
|
Строим рабочий чертеж.
|
|
|
Записываем исходную формулу для вычисления величины,
экстремальное значение которой требуется найти
|
П
|
|
Вводим переменную величину x и
выражаем через нее значения всех величин исходной формулы.
|
Пусть x-величина центрального угла оставшегося
сектора, тогда АВС=Rx и ABC=2Пr, значит 2Пr2x и r= Высота
воронки H=
|
|
Подставляя найденные значения величин в формулу, представляем ее как
функцию аргумента x
|
V= =
|
|
Задаем (по смыслу задачи) область определения функции.
|
0<x<2П, Д(v)=(0;2П)
|
|
Функцию аргумента x исследуем на экстремум на найденном
числовом промежутке.
|
V
наиб. =V ()
|
|
Записываем ответы
|
Величина угла равна 2П-
|
А-10 6. Общая
схема исследования функции и
построение ее графика.
Задание. Исследуйте и постройте график функции:
а) =3=
№
шага
|
План
исследования
Функции
|
Применение
плана
|
а) =3
|
=
|
1.
|
Находим область определения функции
|
Д(=R
|
, x≠1,x≠-1 Д(=(--1)(-1;1)(1;
|
2.
|
Исследуем
функцию на четность, нечетность.
|
=3 ф-я. Ни четная, ни нечетная
|
==функция чет.
|
3.
|
Находим нули
функции и
промежутки ее
знакопостоянства
|
3-4+1=0, (x-1(3+2x+1)=0,
x-1=0, x=1-нуль функции
|
|
4.
|
Находим производную
функции и ее критические точки
|
=(31)=12-1212(x-1),, 12*(x-1)=0,
и x-1=0,
x=0 и x=1-критич. точки ф-ии.
|
=()==- =0; x=0
крит. точка ф-ии.
|
5.
|
Находим
промежутки монотонности, точки экстремума и экстремумы функции
|
(0.5)0,(2), x=0-не
явл. точкой экстремума, x=1-точка минимума,y min=y(1)=0
|
(-2)(-0.5)
(0.5),(2) x=0
–точка максимума, y max=y(0)
|
6.
|
Находим предел
функции при
|
Lim(3 x
|
|
7.
|
Строим графика
функции
|
|
|
Примеры.
Исследуйте и постройте графики функции:
а)y= 2)2 3)y=6x- y=+,
5)y=3x-6)y=-3+4;
7)y=;
9)y=
А-11 7.
Площадь криволинейной трапеции.
Определение. Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная
графиком не прерывной и не меняющейся на отрезке [a;b] знака
функции , прямыми x=a ,x=b и
отрезком[a;b],. Площадь S криволинейной
трапеции находится по формуле
Задание. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:a) y= y=2, x=9, б)y= y=2-x, y=0
Примеры. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: 1)y=, y=0, x=2; 2)y=y=1;
3) y=-+1, y=0; 4)y=1+, y=2; 5)y=, y=0, x=0, x=2; 6)y=, y=; 7)y=2x-; y=; 8)y= y=1; 9)y=, y=6-x.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.