Выдаём удостоверения и дипломы установленного образца

Получите 5% кэшбэк!

Запишитесь на один из 793 курсов и получите 5% кэшбэк стоимости курса на карту

Выбрать курс
Инфоурок Алгебра Другие методич. материалыРазличные алгоритмы нахождения НОД

Различные алгоритмы нахождения НОД

Скачать материал
библиотека
материалов

Министерство образования, науки и молодежи Республики Крым

Конкурс проектных и исследовательских работ

«Мои первые шаги в науку - 2017»



Направление математика







Различные алгоритмы нахождения НОД



Работу выполнила:

Андрусенко Диана Анатольевна,

ученица 7 класса

муниципального бюджетного

общеобразовательного учреждения

«Сакская средняя школа № 2»

города Саки Республики Крым


Научный руководитель:

Куртмаметова Эльмара Айдаровна,

учитель математики

муниципального бюджетного

общеобразовательного учреждения

«Сакская средняя школа № 2»

города Саки Республики Крым







г. Саки, 2017



Оглавление

Введение 3

Глава 1. «Прадедушка» всех алгоритмов 5

Глава 2. Алгоритмы вычисления НОД

2.1. Алгоритм простого перебора 6

2.2. Алгоритм разложения на множители 6

2.3. Алгоритм Евклида 6

2.4. Бинарный алгоритм Евклида. 7

2.5. Геометрический метод нахождения наибольшего общего делителя 8

2.6. Вычисление НОД трех и более чисел. 8

2.7. Нахождение НОД отрицательных чисел 9

Глава 3 Оценка эффективности применения алгоритмов

3.1. Сравнение алгоритмов Евклида вычитанием и делением. 10

3.2. Сравнение алгоритмов вычисления НОД 10

Заключение 12

Литература 13

Приложение 14



















Введение.

Мы с вами, можем удивляться, узнав, что всю жизнь мы исполняем огромное число всякого рода алгоритмов.

В каждодневной жизни человеку приходится решать большое число разного рода задач, в широком смысле этого слова, не только математических или физических, которые требуют применения определённых алгоритмов.

Когда мы переходим улицу на регулируемом светофором перекрёстке, мы выполняем определённый алгоритм, когда же переходим улицу в месте, не регулируемом светофором, выполняем другой алгоритм (эти алгоритмы заданы правилами уличного движения). И когда мы берём книги в библиотеке, мы выполняем определённые правила пользования библиотечными книгами, т.е. тоже определенный алгоритм.

Разве можно перечислить все задачи, при решении которых мы используем определённые алгоритмы?

Слово алгоритм стало широко употребляться в последнее время. Оно означает описание совокупности действий, составляющих некоторый процесс. Обычно здесь подразумевают процесс решения некоторой задачи, но и кулинарный рецепт, и инструкция по пользованию стиральной машиной, и ещё многие другие правила, не имеющие отношения к математике, являются алгоритмами.

Данная работа знакомит с алгоритмами вычисления НОД. Знакомство с ними не только дополняет и углубляет знания, но и развивает интерес к предмету, любознательность и логическое мышление. Предлагаемая работа помогает увидеть красоту математических выкладок и эстетику алгоритма Евклида, а так же помочь нам не бояться громоздких и очень трудных с виду задач с НОД, помня пословицу: «Волков бояться, в лес не ходить!».

Например, это может пригодиться, если мы захотим представить какое-нибудь рациональное число в виде дроби, имеющей по возможности меньший числитель и знаменатель. Или позволит найти красивые способы решения нестандартных текстовых задач.

Мне стало интересно, а есть ли другие способы нахождения НОД и, если есть, то, может быть они интереснее или рациональнее уже известных нам. Я заинтересовалась этим и решила разобраться в этом вопросе подробнее

Гипотеза: Если алгоритм Евклида является удобным и быстрым способом вычисления НОД, то нужно знакомить с ним учащихся и чаще использовать.

Цель исследования: изучить разные алгоритмы вычисления НОД, выявить наиболее рациональные способы решения, красиво и сравнительно просто приводящие к ответу.



Достижение поставленной цели требует решения следующих основных задач:

  1. Рассмотреть несколько алгоритмов вычисления НОД

  2. Сравнить алгоритмы вычисления НОД

  3. Провести анкетирование

  4. Составить список рекомендаций

Предмет исследования: Алгоритмы вычисления НОД

Объект исследования: умения и навыки вычисления НОД

Методы исследования:

  • Изучение специальной литературы по данному вопросу: энциклопедии, справочники и учебные пособия.

  • Сравнение и анализ.

  • Обработка полученных данных

  • Работа в компьютерных программах Microsoft Word, Microsoft PowerPoint































Глава 1. «Прадедушка» всех алгоритмов

Алгоритм Евклида — эффективный алгоритм для нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел. Алгоритм назван в честь греческого математика Евклида, который впервые описал его в VII и X книгах «Начал».

В самом простом случае алгоритм Евклида применяется к паре положительных целых чисел и формирует новую пару, которая состоит из меньшего числа и разницы между большим и меньшим числом. Процесс повторяется, пока числа не станут равными. Найденное число и есть наибольший общий делитель исходной пары.

Первое описание алгоритма находится в «Началах Евклида» (около 300 лет до н. э.), что делает его одним из старейших численных алгоритмов, используемых в наше время. Оригинальный алгоритм был предложен только для натуральных чисел и геометрических длин (вещественных чисел). Однако в 19 веке он был обобщён на другие типы чисел, такие как целые числа Гаусса и полиномы от одной переменной.

Для данного алгоритма существует множество теоретических и практических применений. В частности он широко распространён в электронной коммерции. Также алгоритм используется при решении диофантовых уравнений, при построении непрерывных дробей. Алгоритм Евклида является основным инструментом для доказательства теорем в современной теории чисел.

Долгое время алгоритм Евклида был самым эффективным способом отыскания наибольшего общего делителя, однако с появлением электронно-вычислительных машин ситуация изменилась (алгоритм Евклида, как нетрудно понять, появился задолго до вычислительных машин). Учет специфических особенностей выполнения арифметических операций компьютером позволил построить более эффективную (для программной реализации) версию алгоритма Евклида.























Глава 2. Алгоритмы вычисления НОД


2.1 Алгоритм простого перебора

Чтобы найти наибольший общий делитель двух данных натуральных чисел можно действовать по определению: выписать все делители этих чисел, выделить среди них общие и выбрать среди всех общих делителей наибольший.

Пример.

Найдем все делители чисел 54 и 36.

54 делится на 1; 2; 3; 6; 9; 18; 27; 54.

36 делится на 1; 2; 3; 4; 6; 9; 18; 36.

Общими делителями являются числа: 1, 2, 3, 6, 9, 18.

Значит НОД(54; 36)=18


2.2. Нахождение НОД с помощью разложения чисел на простые множители

Рассмотрим еще один способ нахождения НОД. Наибольший общий делитель может быть найден по разложениям чисел на простые множители.

Сформулируем правило: НОД двух целых положительных чисел a и b равен произведению всех общих простых множителей, находящихся в разложениях чисел a и b на простые множители.

Приведем пример для пояснения правила нахождения НОД.

Пусть нам известны разложения чисел 220 и 600 на простые множители, они имеют вид 220=2·2·5·11 и 600=2·2·2·3·5·5. Общими простыми множителями, участвующими в разложении чисел 220 и 600, являются 2, 2 и 5. Следовательно, НОД(220, 600)=2·2·5=20.

Таким образом, если разложить числа a и b на простые множители и найти произведение всех их общих множителей, то будет найден наибольший общий делитель чисел a и b.

Пример.

Найдите наибольший общий делитель чисел 72 и 96.

Решение.

Разложим числа 72 и 96 на простые множители.

72=2·2·2·3·3 и 96=2·2·2·2·2·3. Общими простыми множителями являются 2, 2, 2 и 3. Таким образом, НОД(72, 96)=2·2·2·3=24.

Ответ: НОД(72, 96)=24.

В заключение этого пункта заметим, что справедливость приведенного правила нахождения НОД следует из свойства наибольшего общего делителя, которое утверждает, что НОД(m·a, m·b)=m·НОД(a, b), где m – любое целое положительное число.


2.3. Алгоритм Евклида


Одним из простейших алгоритмов нахождения наибольшего общего делителя является Алгоритм Евклида. Он может быть реализован, как при помощи вычитания, так и деления. Рассмотрим каждый из этих двух способов.

а) Описание алгоритма нахождения НОД вычитанием:

Из большего числа вычитаем меньшее.

Если получается 0, то значит, что числа равны друг другу и являются НОД (следует выйти из цикла).

Если результат вычитания не равен 0, то большее число заменяем на результат вычитания.

Переходим к пункту 1.

Пример:

Найти НОД для 30 и 18.

30 - 18 = 12

18 - 12 = 6

12 - 6 = 6

6 – 6 = 0 Конец: НОД – это уменьшаемое или вычитаемое. НОД (30, 18) = 6


б) Описание алгоритма нахождения НОД делением:

Большее число делим на меньшее.

Если делится без остатка, то меньшее число и есть НОД (следует выйти из цикла).

Если есть остаток, то большее число заменяем на остаток от деления.

Переходим к пункту 1.

Пример.

Пусть требуется найти НОД(102;84). Разделим одно число на другое и определим остаток.

102=84*1+18 0 <18<84

Теперь проделаем такую же операцию для чисел 84 и 18:

84=18*4+ 12 0 <12<18

Следующий шаг - для 18 и 12:

18=12*1+6 0 <6<12

Теперь - для 12 и 6:

12=6*2+0 0-остаток. Процесс закончился.


2.4. Бинарный алгоритм Евклида.

Бинарный алгоритм вычисления наибольшего общего делителя, как понятно из названия, находит наибольший общий делитель двух целых чисел. Данный алгоритм быстрее обычного алгоритма Евклида, т.к. вместо медленных операций деления и умножения используются сдвиги. Алгоритм был известен еще в Китае 1-го века, но опубликован был лишь в 1967 году израильским физиком и программистом Джозефом Стайном. Он основан на использовании следующих свойств НОД:

НОД(2a; 2b) = 2 НОД(a; b),

НОД(2a; 2b+1) = НОД(a; 2b+1),

НОД(-a; b) = НОД(a; b)

Сам алгоритм выглядит так:

  1. Если a, b чётные, то НОД(a; b) = 2*НОД(a/2; b/2);

  2. Если a чётное, b нечётное, то НОД(a; b) = НОД(a/2; b);

  3. Если b чётное, a нечётное, то НОД(a; b) = НОД(a; b/2);

  4. Если a, b нечётные и b > a, то НОД(a; b) = НОД((b-a)/2; a);

  5. Если a, b нечётные и b < a, то НОД(a; b) = НОД((a-b)/2; b);





2.5. Геометрический метод нахождения наибольшего общего делителя (НОД)  натуральных чисел с помощью квадратов.

Этот алгоритм – геометрическая иллюстрация алгоритма Евклида, описанного в 5-ом способе.

Например: Найти НОД(162;48).

Построим прямоугольник со сторонами 162мм и 48 мм.

hello_html_493b427d.png

От прямоугольника отрежем несколько квадратов со стороной 48 мм – таких квадратов три.

Остался прямоугольник со сторонами 48 мм и 162-3*48=18 мм.

От полученного прямоугольника снова отрезаем квадраты, у которых сторона равна 18 мм – таких квадратов получится два.

Остался прямоугольник со сторонами 18 мм и 48-2*18=12 мм.

От полученного прямоугольника снова отрезаем квадраты, у которых сторона равна 12 мм – такой квадрат будет единственный.

Остался прямоугольник со сторонами 12 мм и 18-12=6 мм, который , в свою очередь состоит из двух квадратов 6мм х 6 мм.

Длина стороны последнего полученного квадрата и есть наибольший общий делитель чисел 162 и 48.

Ответ: НОД(162; 48)=6.

Этот способ мне кажется нерациональным: вычерчивая прямоугольники и квадраты, легко ошибиться в построениях и получится неверный ответ. Но все же я попробовала решить этим способом несколько примеров нахождения наибольшего общего делителя двух натуральных чисел (см. приложение).


2.6. Нахождение НОД трех и большего количества чисел

Нахождение наибольшего общего делителя трех и большего количества чисел может быть сведено к последовательному нахождению НОД двух чисел. Теорема: наибольший общий делитель нескольких чисел a1, a2, …, ak равен числу dk, которое находится при последовательном вычислении НОД(a1, a2)=d2, НОД(d2, a3)=d3,

НОД(d3, a4)=d4, …, НОД(dk-1, ak)=dk.

Давайте разберемся, как выглядит процесс нахождения НОД нескольких чисел, рассмотрев решение примера.

Пример.

Найдите наибольший общий делитель четырех чисел 78, 294, 570 и 36.

Решение. В этом примере a1=78, a2=294, a3=570, a4=36.

Сначала по алгоритму Евклида определим наибольший общий делитель d2 двух первых чисел 78 и 294. При делении получаем равенства 294=78·3+60; 78=60·1+18; 60=18·3+6 и 18=6·3. Таким образом, d2=НОД(78, 294)=6.

Теперь вычислим d3=НОД(d2, a3)=НОД(6, 570). Опять применим алгоритм Евклида: 570=6·95, следовательно, d3=НОД(6, 570)=6.

Осталось вычислить d4=НОД(d3, a4)=НОД(6, 36). Так как 36 делится на 6, то d4=НОД(6, 36)=6.

Таким образом, наибольший общий делитель четырех данных чисел равен d4=6, то есть,

НОД(78, 294, 570, 36)=6.

Ответ: НОД(78, 294, 570, 36)=6.



Разложение чисел на простые множители также позволяет вычислять НОД трех и большего количества чисел. В этом случае наибольший общий делитель находится как произведение всех общих простых множителей данных чисел.

Пример.

Вычислите НОД чисел из предыдущего примера, используя их разложения на простые множители.

Решение.

Разложим числа 78, 294, 570 и 36 на простые множители, получаем 78=2·3·13, 294=2·3·7·7, 570=2·3·5·19, 36=2·2·3·3. Общими простыми множителями всех данных четырех чисел являются числа 2 и 3. Следовательно, НОД(78, 294, 570, 36)=2·3=6.

Ответ: НОД(78, 294, 570, 36)=6.

2.7. Нахождение НОД отрицательных чисел

Если одно, несколько или все числа, наибольший делитель которых нужно найти, являются отрицательными числами, то их НОД равен наибольшему общему делителю модулей этих чисел. Это связано с тем, что противоположные числа a и −a имеют одинаковые делители.

Пример.

Найдите НОД отрицательных целых чисел −231 и −140.

Решение.

Модуль числа −231 равен 231, а модуль числа −140 равен 140, и НОД(−231, −140) = НОД(231, 140). Алгоритм Евклида дает нам следующие равенства: 231=140·1+91; 140=91·1+49; 91=49·1+42; 49=42·1+7 и 42=7·6. Следовательно, НОД(231, 140)=7. Тогда искомый наибольший общий делитель отрицательных чисел −231 и −140 равен 7.

Ответ: НОД(−231, −140)=7.



Глава 3 Оценка эффективности применения алгоритмов

3.1. Сравнение алгоритмов Евклида вычитанием и делением.

Возьмем два числа: 112 и 32. Первое больше второго – присвоим ему остаток от деления 112 на 32. Теперь у нас имеются числа 16 и 32. Второе больше, поэтому присвоим ему остаток отделения 32 на 16, т. е. 0. Так выглядят эти действия в виде таблицы:

Начальные данные 112 32

Шаг 1 16 32

Шаг 2 16 0

А теперь снова, используя те же самые числа, составим таблицу, но на этот раз при помощи алгоритма вычитания.

Начальные данные 112 32

Шаг 1 80 32

Шаг 2 48 32

Шаг 3 16 32

Шаг 4 16 0

Из примера видно, что Алгоритм Евклида, реализуемый делением эффективней метода вычитания.

3.2. Сравнение алгоритмов вычисления НОД

Сравним алгоритмы вычисления НОД на двух примерах:

I. Сколько шагов потребуется, чтобы вычислить НОД (1980; 390)

1) алгоритм простого перебора – 360 шагов

2) алгоритм разложения на простые множители – 14 шагов

3) бинарный алгоритм Евклида – 4 шага

4) алгоритм Евклида – 2 шага

II. Найти НОД (20451; 3065)

1) алгоритм простого перебора – 6018 шагов

2) алгоритм разложения на простые множители – 25 шагов

3) бинарный алгоритм Евклида – 7 шагов

4) алгоритм Евклида – 7 шагов

Чтобы убедится в преимуществе приема последовательного деления над приемами разложения на простые множители, когда имеем дело с большими числами, рассмотрим следующий пример. Найти НОД (4847, 4181).

Разложение данных чисел на простые множители является делом нелегким, так как ни одно из чисел 2, 3, 4, 5, 6, 9, для которых устанавливаются в школе признаки делимости, не является делителем данных чисел. Алгоритм же Евклида легко и быстро приводит к результату: НОД (4847, 4181) = НОД(4181,666)=НОД(666,185)=НОД(185,111)=

НОД(111,74)=НОД(74,37)=37

Другой пример: сократить дробь .

Решение. Выполним деление с остатком. Разделим 833 на 714:

  1. 714

714 1

119

Здесь делимое а = 833, делитель в = 714 и остаток r = 119.

НОД (833,714) = НОД (714, 119). Теперь разделим 714 на 119:

  1. 119

714 6

0 Таким образом, НОД (833 и 714) = 119. Тогда = = !

























Заключение.

В процессе проделанной работы в соответствии с ее целями и задачами были получены следующие выводы и результаты:

- я поняла самое главное, что при глубоком изучении данной темы мы получаем большие вычислительные навыки, навыки устного и быстрого счета, которые потом в дальнейшем пригодятся нам для решения более сложных задач математики, для решения практических задач, для успешной сдачи ЕГЭ.

Для поиска НОД натуральных чисел существуют различные алгоритмы:

  • Если данные числа сравнительно невелики, то лучший алгоритм – непосредственный перебор.

  • Если числа достаточно большие, то нахождение НОД(а;b) путем перечисления всех делителей чисел а и b - процесс трудоемкий и ненадежный и тогда НОД(а;b) находится с помощью разложения чисел на простые множители. Этот алгоритм наиболее распространенный.

  • Алгоритм отыскания НОД(а, b) с помощью разложения чисел на простые множители прост, понятен и удобен, но у него есть существенный недостаток: если данные числа велики, да еще не очень легко раскладываются на множители, то задача отыскания НОД(а, b) становится довольно трудной. К тому же может оказаться, что, основательно потрудившись, мы убедимся, что НОД (а, b)=1 и вроде вся работа проделана зря.

  • Большинство древних алгоритмов со временем вытеснялось из вычислительной практики более новыми алгоритмами. Алгоритм Евклида избежал этой участи прежде всего благодаря своей экономности. Тем более удивительно, что хотя почтенный алгоритм Евклида и применяется в течение столь многих столетий, он не всегда является наилучшим способом для нахождения НОД!



Основной вывод, который я сделала, состоит в том, что научиться быстро и правильно вычислять НОД чисел не так уж сложно. Вышеперечисленные алгоритмы рассчитаны на ум "обычного" человека и не требуют уникальных способностей. Главное - более или менее продолжительная тренировка.

«Математика – царица всех наук. Ее возлюбленный – истина, ее наряд – простота и ясность. Дворец этой владычицы окружен тернистыми зарослями, и, чтобы достичь его, каждому приходится продираться сквозь чащу. Случайный путник не обнаружит во дворце ничего привлекательного. Красота его открывается лишь разуму, любящему истину, закаленному в борьбе с трудностями, свидетельствующему о незаурядности и непреодолимой склонности человека к необычайно запутанным, но неиссякаемым и возвышенным наслаждениям ума, свойственным самой природе людей» (Снядецкий Ян)





Литература

[1].//Учебник для общеобразовательных учреждений Математика 6 класс под ред. Н.Я Зубаревой., Москва, Мнемозина,2013 г.

[2].//За страницами учебника алгебры. Л.Ф Пичурин, Москва, Просвещение, 1990г.

[3].//Сборник примеров и задач по математике, Н.А Терешин, Т.Н.Терешина Москва, Аквариум, 1997 г.

Интернет-ресурсы.

[1]. //Википедия (свободная энциклопедия), http://ru.wikipedia.org

[ 2]. //Сайт "Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов".

[ 3]. // bymath.net — сайт «Вся элементарная математика», раздел «Общий делитель. Наибольший общий делитель»









































Приложение .

Мои примеры нахождения НОД двух натуральных чисел.

1способ: 1) НОД(81;243) 2) НОД(195;156)

D(81)={1,3,9,81} D(195)={1,3,5,15,65,195}

D(243)={1,3,9,27,81,243} D(156)={1,2,3,4,6,12,52,78,156}

НОД(81;243)=81 НОД(156;192)=3

______________________________________________________________

2способ: 1)НОД(81;243) 2)НОД(195;156)

D(81)={1,3,9,27,81} D(156)={1,2,3,4,6,12,52,78,156}

81 является делителем 243 156 не является делителем 195

НОД(81;243)=81 78не является делителем 195

52 не является делителем 195

12 не является делителем 195

6 не является делителем 195

3 является делителем 195

НОД(195;156)=3

________________________________________________________________

3 способ:1) НОД(585;360) 2) НОД(680,612)

585=13*3*3*5 612=17*2*2*3*3*3

360=2*2*3*3*5*2 680=17*2*2*2*5

5*3*3=45 17*2*2=68

НОД(585;360)=45 НОД(612;680)=68

_________________________________________________________________

4 способ:1) НОД(612,680) 2) НОД(585,360)

680-612=68 585-360=225

612-68=476 360-225=135

476-68=408 225-135=90

408-68=340 135-90=45

340-68=272 90-45=45

272-68=204 45-45=0

204-68=136 НОД(585,360)=45

136-68=68

НОД(612,680)=68

______________________________________________________________________________ 5 способ: НОД(7875,4725) НОД(7920,594)

7875:4725=1(ост.3150) 7920:594=13(ост.153)

4725:3150=1(ост.1575) 594:153=3(ост.135)

3150:1575=2 153:135=1(ост.18)

НОД(7875,4725)=1575 135:18=7(ост.9)

18:9=2 НОД(7920,594)=9 __________________________________________________________________

6 способ: 1) НОД(825;675)

НОД(825;675) = НОД((825-675):2;675) = НОД((625-75) :2);75) =

НОД((275-75):2;75) = НОД((100:2);75) = НОД(50;75) = НОД(25;75) = 25 НОД(825;675)=25

2) НОД(7875;4725)

НОД(7875;4725)=НОД((7875-4725);2)=НОД(1575;4725)=НОД((4725-1575);2,1575)=НОД(1575;1575)=1575

НОД(7875;4725)=1575

7 способ: 1) НОД(160;40)

160 мм




40

мм





1. Построим прямоугольник со сторонами 160мм и 40 мм.

2. От прямоугольника отрежем несколько квадратов со стороной 40 мм – таких квадратов четыре.

3. Длина стороны последнего полученного квадрата и есть наибольший общий делитель чисел 160 и 40.

НОД(160;40)=40



2) НОД(85,125)

1. Построим прямоугольник со сторонами 125мм и 85 мм.

5 мм

40 мм









40мм





125мм

2. От прямоугольника отрежем квадрат со стороной 85 мм – такой квадрат один.

3. Остался прямоугольник со сторонами 85 мм и 125-85=40 мм. От полученного прямоугольника снова отрезаем квадраты, у которых сторона равна 40 мм – таких квадратов получится два.

4. Остался прямоугольник со сторонами 40 мм и 85-2*40=5 мм. От полученного прямоугольника снова отрезаем квадраты, у которых сторона равна 8 мм – таких квадратов получится восемь.

5. Длина стороны последнего полученного квадрата и есть наибольший общий делитель чисел 125 и 8. НОД(85,125)=5

Приложение

Каждый из нас в школе изучал, что такое наибольший общий делитель (далее НОД) двух чисел a и b. Конечно же, это наибольшее целое число d, на которое a и b делятся без остатка. Без труда каждый ученик может сказать, например, что НОД(12, 18) = 6. Но что если одно из чисел равно 0? А если a или b отрицательно? Над этим вопросом на школьных уроках, наверное, не каждый из нас задумывался. Для того чтобы ответить на поставленные вопросы, приведем определение – что же такое наибольший общий делитель.

Определение 1. Наибольшим общим делителем (далее НОД) двух целых чисел a и b, одновременно не равных нулю, называется такое наибольшее целое число d, на которое a и b делятся без остатка. Этот факт обозначается так: d = НОД(a, b). Если оба числа равны нулю, то положим НОД(0, 0) = 0.



Исходя из определения, имеют место следующие равенства:

НОД(a, b) = НОД(b, a),


НОД(a, b) = НОД(-a, b)


НОД(a, 0) = |a|




























  • Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
    Пожаловаться на материал
Курс повышения квалификации
Курс профессиональной переподготовки
Учитель математики
Скачать материал
Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала:
Скачать материал

Вам будут интересны эти курсы:

Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Методика написания учебной и научно-исследовательской работы в школе (доклад, реферат, эссе, статья) в процессе реализации метапредметных задач ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Организация и предоставление туристских услуг»
Курс профессиональной переподготовки «Организация деятельности экономиста-аналитика производственно-хозяйственной деятельности организации»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс повышения квалификации «Источники финансов»
Курс профессиональной переподготовки «Корпоративная культура как фактор эффективности современной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Политология: взаимодействие с органами государственной власти и управления, негосударственными и международными организациями»
Курс профессиональной переподготовки «Гостиничный менеджмент: организация управления текущей деятельностью»
Курс повышения квалификации «Международные валютно-кредитные отношения»
Курс профессиональной переподготовки «Организация процесса страхования (перестрахования)»

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.