РАЗЛИЧНЫЕ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ

Управление образования администрации Новокузнецкого муниципального района

МБОУ «Куртуковская основная общеобразовательная школа»

XIX районная научно-практическая конференция учащихся

Секция: Математика. Экономика

Различные способы решения

квадратных уравнений

Выполнил: Бажеев Владислав,  8 класс

МБОУ «Куртуковская ООШ имени В.П.Зорькина»

Руководитель: Рогачева Светлана

Александровна, учитель математики

первой категории

Куртуково

2014

Содержание

Введение......................................................................................................... 3

Квадратные уравнения и их классификация.................................................. 5

Анализ способов решения квадратных уравнений......................................... 8

Заключение................................................................................................... 16

Список использованных источников и литературы..........................................17

Приложение.................................................................................................. 18

Введение

На уроках алгебры в 8 классе мы впервые познакомились с  квадратными уравнениями и изучили формулы корней, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. От учителя я узнал, что изучением квадратных уравнений люди занимались еще с древних веков, оказывается,  существует множество способов их решения, которые в школьной программе не рассматриваются. Меня это заинтересовало, и я решил узнать, какие еще способы решения квадратного уравнения существуют.

Актуальность темы: в  школьных учебниках дана не полная информация о квадратных уравнениях и способах их решения. Более рациональные  способы  решения тестовых заданий ГИА и ЕГЭ позволили бы существенно сократить время выполнения заданий.

Цель: изучение различных способов решения квадратных уравнений  и приобретение навыков их рационального использования.

Задачи:

-         изучение теоретического материала по теме  «Различные  способы решения квадратных уравнений»;

-         апробация изученных способов при решении тестовых заданий ГИА 9;

-         обобщение изученного материала в презентации «Способы решения квадратных уравнений».

Объект исследования: квадратные уравнения.

Предмет исследования: способы решения квадратного уравнения.

Методы  исследования:

-       работа с учебной и научно-популярной литературой,

-       сравнение,  

-       анализ,

-       решение  задач.

Практическое значение результатов работы: изучение различных способов решения квадратных уравнений позволит мне пополнить знания по данной теме, которые пригодятся при сдаче экзаменов. Проектный продукт по исследуемой теме в форме презентации позволит использовать обобщенную и систематизированную информацию другими учениками для повышения математической грамотности и учителем для подготовки факультативных занятий.

Квадратные уравнения и их классификация

Квадратным уравнением называют уравнение вида  ах² + bх + с = 0, где коэффициенты а, b, с -  любые действительные числа, причем  а ≠ 0. Коэффициенты  а, b, с различают по названиям:  а – первый или старший коэффициент,  b - второй коэффициент,  с - свободный член.

Данные уравнения называют квадратными потому, что наибольшая степень переменной х – квадрат. Также их называют уравнением второй степени.

Все квадратные уравнения можно условно разделить на три вида:

1)     полные квадратные уравнения;

2)     неполные квадратные уравнения;

3)     приведенные квадратные уравнения.

Полное квадратное уравнение – это квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых: ах² + bх + с = 0, а ≠ 0.

Неполное квадратное уравнение – это уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов b или  с  равен нулю.

Приведенное квадратное уравнение – это уравнение вида x² + px + q = 0, в котором старший коэффициент a=1,  р  – коэффициент при   х (p =  ),  q – свободный член (q = ).

Корнем квадратного уравнения  ах² + bх + с = 0 называют такое значение х, при котором квадратный трехчлен  ах² + bх + с  обращается в нуль.

Решить квадратное уравнение - значит найти все его корни или установить, что корней нет [4].

В свою очередь каждое квадратное уравнение, по количеству или отсутствию корней, можно условно отнести к одному из классов:

1)    не имеют корней;

2)    имеют ровно один корень;

3)    имеют два различных корня.

В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен. Определение количества корней квадратного уравнения осуществляется с помощью дискриминанта.

Способ решения квадратных уравнений через дискриминант является наиболее распространенным, так как подходит к решению квадратных уравнений любого вида.

Дискриминант в переводе с латинского - «различитель».

Формула дискриминанта: D = b² − 4ac.

Таким образом, квадратное уравнение ах² + bх + с = 0 ,

-         если D > 0, то имеет два различных корня;

-         если  D = 0, то имеет единственный корень;

-         если D < 0, то не имеет корней.

Формула корней квадратного уравнения имеет вид:  , она позволяет  найти корни  любого  квадратного  уравнения  (если они есть), в том числе приведенного и неполного.

Также в школьном курсе рассматриваются способы решения неполных квадратных уравнений, которые различаются от коэффициента равного нулю:

1)    если  с = 0, то  уравнение имеет вид   ах² + bх = 0. Решая уравнение такого вида, используется метод разложения на множители: х (ах + b) = 0 , значит       х = 0,  либо  ах + b = 0.  В итоге получается два корня:   х₁= 0,   х₂=     

2)    если  в = 0, то уравнение имеет вид   ах² + с  = 0. Уравнение преобразуют к виду   ах² =  - с   и   далее   . В случае, когда    - отрицательное число, то уравнение не имеет корней. В случае, когда  - неотрицательное число, то уравнение имеет два корня:  

3)    если   с = 0  и   b = 0, то уравнение принимает вид   ах²  = 0  и  оно имеет один корень  х = 0.

Однако, изучение дополнительной литературы показало, что помимо описанных формул существуют и другие способы решения квадратных уравнений, которые порой позволяют быстрее найти решение и более рационально использовать время на выполнение математических заданий.

В рамках данной исследовательской работы нами изучены следующие способы решения квадратных уравнений:

1.       Решение квадратных уравнений по формуле.

2.       Разложение левой части уравнения на множители.

3.       Метод выделения полного квадрата.

4.       Решение уравнений с использованием теоремы Виета.

5.       Решение квадратных уравнений способом «переброски» старшего коэффициента.

6.       Применение  свойств  коэффициентов  квадратного  уравнения.

7.       Графическое решение квадратного уравнения.

Анализ способов решения квадратных уравнений

Рассмотрим решение квадратных уравнений различными способами и приведем примеры.

1) Решение квадратных уравнений по формуле.

Формулы корней квадратного уравнения с использованием дискриминанта приведены в предыдущей главе.

Пример 1 12х2 +7х +1= 0, D = b2 − 4ac = 72 - 4·12·1 =   = 49 – 48 = 1,   х1 = -1/3 и х2 = - 1/4 . Ответ:  -1/3 и  - 1/4

Пример 2 х2 – 12х + 36 = 0, D = b2 − 4ac = = (-12)2 - 4·1·36 = = 144 - 144 = 0,    х = 6. Ответ: 6

Пример 3 7х2  - 25х + 23 = 0, D = b2 − 4ac = = (-25)2 - 4·7·23 = = 625 – 644 = - 19,  Ответ: корней нет

2) Разложение левой части уравнения на множители

Существует три основных способа разложения на множители:

а)     вынесение общего множителя за скобки;

б)    использование формул сокращенного умножения;

в)     способ группировки.

С помощью 1 и 2 способов наиболее рационально решать неполные квадратные уравнения.

Пример 1 х2 – 2х = 0, т.е. с = 0 х (х – 2) = 0 х = 0  или  х – 2 = 0                     х = 2 Ответ: 0; 2.	Пример 2 9х2 – 25 = 0, т.е. b=0 (3х – 5) (3х + 5) = 0 3х – 5 = 0  или  3х + 5 = 0 х = 1                 х = - 1 Ответ:  - 1  ;   .
Пример 3 х2 – 4х + 4 = 0, разложим левую часть уравнения на множители;                           х2 – 2х – 2х  + 4 = 0, х ( х – 2 ) – 2 ( х – 2 ) = 0, (х - 2)( х – 2 ) = 0, произведение равно нулю, значит хотя бы один из его     множителей равен нулю х – 2 = 0, х = 2. Ответ: 2.	Пример 4 х2 + 10х – 24 = 0, х2  + 12х – 2х – 24 = 0, х ( х + 12 ) – 2 ( х + 12 ) = 0, ( х + 12 ) ( х – 2 ) = 0, х + 12 = 0     или      х – 2 = 0 х = - 12                     х = 2. Ответ: -12 и 2.

3)  Метод выделения полного квадрата

Метод выделения полного квадрата заключается в приведении уравнения общего вида к неполному квадратному уравнению. В этом

помогают формулы сокращенного умножения, а именно, квадратов суммы и разности: (а + b)² = a² + 2ab + b²;  (a – b)² = a² – 2ab + b².

Этот метод применим для любых квадратных уравнений, но не всегда удобен в использовании.

Пример 1 х2 – 4х + 4 = 0, используем формулу  сокращенного умножения;                           (х – 2)2 = 0,  х – 2 = 0,  х = 2. Ответ:  2

Пример 2 х2  + 6х – 7 = 0,  выделим в левой части полный квадрат х2 + 2х · 3 + 32 – 32 – 7 = 0, первое слагаемое – квадрат числа х, а второе – удвоенное произведение х на 3, поэтому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 32. Преобразуем  левую  часть  уравнения  прибавляя  к  ней  и  вычитая  32. ( х + 3 )2 – 9 – 7 = 0, ( х + 3 )2 – 16 = 0,     ( х + 3 )2 = 16, х + 3 = 4         или        х + 3 = - 4 х = 1                             х = - 7. Ответ: 1 и  -7 .

4) Решение уравнений с использованием теоремы Виета

Приведенное квадратное уравнение имеет вид  х² + рх + q = 0, если х₁ и х₂ – корни уравнения, то согласно теореме Виета сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту с обратным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Его корни удовлетворяют теореме Виета:  х₁ · х₂ = q

                                                                            х₁ +  х₂  = - р.

По коэффициентам можно предсказать знаки корней.

а)       Если свободный член  приведенного уравнения  положителен, то  уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависит от второго коэффициента.

Если  q  > 0 и  р > 0 , то оба корня отрицательны.

Если  q  > 0 и  р < 0 , то оба корня положительные.

Пример 1 х2 + 10х + 9 = 0, х1 = - 1  и  х2 = - 9,  т.к.  q = 9 > 0  и  р = 10  > 0;

Пример 2 х2 – 6х + 9 = 0, х1 = 3  и  х2 = 3,  т.к.  q = 9 > 0  и  р = - 6  <  0.

б)      Если свободный член приведенного уравнения отрицателен,  то уравнение имеет два различных по знаку корня.

Если  q  < 0 и  р > 0 , то больший по модулю корень будет отрицателен.

Если  q  < 0 и р <  0, то больший по модулю корень будет положителен.

Пример 1 х2 + 2х – 8 = 0, х1 = - 4  и  х2 = 2,  т.к.  q = - 8  <  0  и  р =  2  > 0 ;

Пример 2 х2 – 2х – 15 = 0, х1 = 5  и  х2 = - 3,  т.к.  q = - 15 < 0  и  р = - 2  <  0.

Также справедлива теорема, обратная теореме Виета.

 Если числа х₁ и х₂  таковы, что     х₁ · х₂ = q

                                                            х₁ +  х₂  = - р,

то  х₁ и  х₂  – корни квадратного уравнения  x² + px + q = 0.

Пример 1 х2 – 7х + 10 = 0 х1 + х2 = 7; х1 · х2 = 10 Подбираем числа, это  2 и 5 2 + 5 = 7;  2 · 5 = 10 Ответ: 2; 5.

Пример 2 х2 + px -35 = 0, один из корней равен 7. Найти другой корень  и коэффициент р. Применим теорему Виета: х1 + х2 = - р;      х1 · х2 = -35. Пусть х1=7 , значит:  7 · х2 = -35; х2 = -5. 7 + х2 = - р;     - р = 7 + (-5) = 2, значит:   р = -2. Ответ: -5 ,   р = -2.

Теорема Виета позволяет находить корни квадратного уравнения без использования формулы корней, а также  применять  проверку корней данного уравнения.

5) Решение квадратных уравнений способом «переброски» старшего коэффициента

Умножая обе части квадратного уравнения на  а,  получаем уравнение

а ² х² + аb х  + а с = 0.

Пусть   а х = у,  откуда   ; тогда получим уравнение  у²  + bу + а с = 0,

равносильное данному. С помощью теоремы Виета найдем корни: у₁  и  у₂,

где  у₁ у₂ =  ас  и    у₁  +  у₂ = - b.

Окончательно получаем      и .

При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски».

Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Метод хорош для квадратных уравнений с «удобными» коэффициентами. В некоторых случаях позволяет решить квадратное уравнение устно.

Пример 1 2х2 – 11х + 15 = 0,   «перебросим» коэффициент 2 к свободному члену: у2 – 11у + 30 = 0,   согласно теореме Виета найдем корни: у1у2 = 30 и  у1 + у2 = 11, у1 = 5 и у2 = 6, окончательно получим: х1 = 5/2 и х2 = 6/2, х1 = 2,5 и х2 = 3. Ответ: 2,5 и 3.

Пример 2 «перебросим» коэффициент  к свободному члену  и получим  уравнение: у2  – ( 3 + ) у + 3= 0, применим теорему Виета: у1у2 = 3  и  у1 + у2 = 3 + , у1 = 3  и   у2  =  , х1 = /2  и  х2 = 1/3. Ответ: /2  и   1/3.

6) Применение свойств коэффициентов квадратного уравнения

Пусть дано  квадратное  уравнение    ах² + bх + с = 0,  где  а ≠ 0.

а)    Если сумма коэффициентов  равна  нулю, т.е.  а + b + с = 0, то  х₁ = 1,        х₂ = .

Доказательство: Разделим обе части уравнения на  а,   получим приведенное квадратное уравнение  

Согласно теореме Виета:      х₁ · х₂ =   ,   х₁ +  х₂  = -   .

По условию,   а + в + с = 0,    тогда      в  = - а  -  с.   Значит,  

 х₁ · х₂ =   = 1 ·  ,     х₁ +  х₂  = -   =  -    =   1 +   .

Получаем    х₁ = 1,    х₂ = ,  что и требовалось доказать.

Пример 1 3х2  + 5х – 8  = 0,      т.к.   а + b + с = 0 ( 3 + 5 – 8 = 0 ), то получим  х1 = 1,  х2 =   =  -   . Ответ:  1  и    -   .

Пример 2 1999х2 – 2000х + 1 = 0,  т.к.  а + b + с = 0   (1999 – 2000 + 1 = 0),   значит х1 =   1,  х2 =    =   .  Ответ:  1   и    .

б)  Если  а - b + с = 0,  или  b  =  а   +  с,  то   х₁ =  -1,  х₂ = -  .

Доказательство аналогично.

Пример 1 11х2  + 27х + 16 = 0, Т.к.    а  -  в + с = 0,   (11 – 27 + 16 = 0), значит х1 =  - 1,  х2 = -   =  - . Ответ:  -1  и  -

в)     Если второй коэффициент b = 2k  четное число, то формулу корней  можно записать в виде      .

Пример 1 4х2 – 36х + 77 = 0, а = 4, b = - 36, с = 77, k = - 18; D = k2 – ас = ( - 18 )2 – 4 · 77 = 324 – 308 = 16,   D >  0, два различных корня;    х1 = 5, 5 ,  х2 = 3,5. Ответ: 5,5  и 3,5.

Пример 2 х2 + 18х + 81 = 0, а = 1,  b = 18,  c = 81 , k = 9 D = k2 – ас = 92 – 81 = 0 ,   D = 0 , значит один корень  = -9. Ответ:  -  9.

7)    Графическое решение квадратного уравнения

Преобразуем уравнение   х² + рх + q = 0   и  получим вид: х² = -  рх  -  q.

Построим графики зависимостей  у = х²   и  у = -  рх  -  q.

График первой зависимости -  парабола, проходящая через начало координат.

График второй зависимости – прямая (приложение 1, рис.1).

Возможны следующие случаи:

-       прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения;

-       прямая и парабола могут касаться и имеют одну общую точку, значит уравнение имеет одно решение;

-       прямая и парабола не имеют общих точек, т. е. квадратное уравнение не имеет корней.

Применяя графический метод не всегда можно найти точное значение корней. Поэтому этот метод часто применяют не для нахождения корней уравнения, а для определения их количества.

Пример 1 х2 – 3х – 4 = 0,  запишем уравнение в виде   х2 = 3х + 4,  рассмотрим графики зависимостей   у = х2   и     у = 3х + 4, Построим параболу у = х2   по  координатам: х - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 у 16 9 4 1 0 1 4 9 16 Прямую  у = 3х + 4 построим по двум точкам  М (0; 4) и  N(3; 13) (приложение 1, рис.2). Прямая и парабола пересекаются в двух точках А и В с абсциссами х1= -1 и х2=4. Ответ: - 1 и 4 .

Пример 2 х2 – 2х + 1 = 0, Построим параболу у = х2  по координатам (см. таблицу выше) и прямую  у = 2х -  1 по двум точкам  М(0; -1) и   N(1/2; 0)  (приложение 1, рис.3). Прямая и парабола пересекаются в точке А с абсциссой х = 1. Ответ: 1.

Пример 3 х2 – 2х + 5 = 0, Построим параболу у = х2  по координатам (см. таблицу выше) и прямую  у = 2х -  5 по двум точкам  М( 0; -5) и   N( 2,5; 0)  (приложение 1, рис.4). Прямая и парабола не имеют точек  пересечения, значит  данное уравнение  не имеет корней. Ответ: нет корней.

Проектный продукт в форме презентации на тему «Различные способы решения квадратных уравнений» был апробирован на учащихся 8 класса МБОУ «Куртуковская ООШ имени В.П.Зорькина». Практическое применение изученных способов решения квадратных уравнений показало, что не все способы одинаково удобны и легки в использовании.

После небольшой практики  среди одноклассников был проведен опрос на предмет сложности, рациональности и практичности применения каждого из изученных способов решения квадратных уравнений.

Результаты опроса приведены в таблице:

	Способ сложный	Способ рациональный, всегда применяю	Интересный способ, буду применять
1.      Решение квадратных уравнений по формуле		+
2.      Разложение левой части уравнения на множители	+
3.      Метод выделения полного квадрата	+
4.      Решение уравнений с использованием теоремы Виета		+
5.      Решение квадратных уравнений способом «переброски» старшего коэффициента			+
6.      Применение  свойств  коэффициентов  квадратного  уравнения			+
7.      Графическое решение квадратного уравнения	+

Результаты показали, что наиболее сложными оказались способы разложение левой части уравнения на множители, метод выделения полного квадрата и  графическое решение квадратного уравнения. К рациональным и наиболее знакомым ребята отнесли методы решение квадратных уравнений по формуле и решение уравнений с использованием теоремы Виета. Интерес среди учеников вызвали способы применения свойств коэффициентов квадратного уравнения и решение квадратных уравнений способом «переброски» старшего коэффициента.

ЗАКлючение

В заключении работы хочу отметить, что все поставленные в ходе исследования задачи были выполнены. В процессе работы были найдены  различные способы решения квадратных уравнений. Они были изучены  и  апробированы  на решении  конкретных уравнений.

 В результате работы был создан проектный продукт по исследуемой теме в форме презентации, который позволит другим учащимся эффективно освоить различные способы решения квадратных уравнений на конкретных примерах.

Выполненная работа показывает, что использование различных способов при решении квадратных уравнений является важным звеном в изучении математики, развивает внимание и сообразительность. Школьный курс математики построен так, что наши знания по математике год от года углубляются и расширяются. Считаю, что начинать подготовку выпускника нужно заблаговременно, глубоко изучая каждую тему программы по математике. Знания  различных способов  решения квадратных уравнений позволяют очень быстро и рационально решать  многие  уравнения, в том числе  тестовые задания по ГИА  и ЕГЭ.

Список использованных источников и литературы

1.     Алимов Ш.А.  Алгебра, 6-8 классы [Текст]: учебник / Ш.А.Алимов, В.А.Ильин и др.  М.: Просвещение, 1981.  – 201 с.

2.     Гусев В.А. Математика: Справочные материалы [Текст]: книга для учащихся / В.А. Гусев,   А.Г. Мордкович. М.: Просвещение, 1988. – 416 с.

3.     Дроздов В. Квадратное уравнение: варианты решения. Математика // Приложение к газете «Первое сентября» №10/1997. стр.6.

4.     Макарычев Ю.Н. Алгебра.  8 класс [Текст]: учебник для общеобразоват. учреждений / Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б. Суворова; под ред. С.А.Теляковского. М.: Просвещение, 2012. – 271 с.

5.     Математика. Приложение к газете «Первое сентября»: № 24, 1997; №18, 1998, №21, 1998.

6.     Панкратова Л. Квадратные уравнения. Математика // Приложение к газете «Первое сентября» №21/1996. стр.5-6.

7.     Плужников И. Десять способов решения квадратных уравнений.  Математика // Приложение к газете «Первое сентября» №40/2000. стр.24 -31.

8.     Шаталова С. Способы решения квадратных уравнений // «Математика в школе» №42/2004.

Приложение 1

Рисунок 1

Рисунок 3

Рисунок 2

Рисунок 4