1000

Различные подходы к понятию равенства фигур

Предпросмотр материала:

Различные подходы к понятию равенства фигур

 

Равные предметы мы чаще всего называем одинаковыми. Изготовление равных друг другу предметов — важнейшая задача современного производства: штамповка деталей, конвейерная сборка, серийное строительство знаний, печать тиражей книг и т.п. — все это нынешняя реальность. Как могли бы работать строители, у которых кирпичи были бы разными? Что стало бы, если в автомашине или в станке мы не смогли бы заменить испорченную деталь такой же, равной ей деталью? Или не смогли бы ввернуть в патрон новую лампочку вместо перегоревшей?  Изготовление предметов требуемых размеров опирается, в частности, на геометрические знания. Что об этом говорят монографии и школьные учебники?

В «Началах» Евклида о понятии равенства говорит аксиома 7:

«И совмещающиеся друг с другом равны между собой».

Какие объекты совмещаются, и что значит «совместить», Евклид не уточнил, но можно предположить, что он имел в виду любые геометрические фигуры и те их преобразования, которые сейчас именуются движениями, перемещениями или наложениями.

О перемещениях и наложениях фигур говорил А.П.Киселев. Уже в пункте 1 своего учебника он дал такое определение:

«Две фигуры называются равными, если перемещением одной из них в пространстве ее можно совместить со второй фигурой так, что обе фигуры сливаются во всех частях».

А далее он писал следующее.

«Всякую часть плоскости можно наложить всеми ее точками на другое место этой или другой плоскости, причем накладываемую часть можно предварительно перевернуть другой стороной» (пункт 3).

«Два отрезка равны, если они могут быть наложены один на другой так, что их концы совпадут» (пункт 6).

«Два угла считаются равными, если при наложении они могут совместиться» (пункт 14).

«Две геометрические фигуры, например два треугольника, как мы знаем, называются равными, если они при наложении могут быть совмещены» (пункт 41).

Определений понятиям «наложение» и «перемещение» А.П.Киселев не дает.

К числу основных (не определяемых явно) понятий относят наложение Л.САтанасян и его соавторы, определяя с его помощью понятие равенства фигур.

«Две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить наложением».

Аксиоматика же, в которой наложение - одно из основных понятий, дается в конце учебников (для плоскости и пространства соответственно). Под наложением понимается такое отображение плоскости или пространства на себя, которое обладает свойствами, выраженными в аксиомах. И формулируются эти аксиомы.

Используя понятия равенства отрезков и равенства углов, в учебнике авторы на описательном уровне рассказывают об измерении отрезков и углов (§ 4 и § 5) и вводят уже в самом начале систематического курса геометрии понятия «длина отрезка» и «градусная мера угла». Такой описательный уровень изложения представляется в 7 классе разумным и единственно возможным, а откладывать на более поздний срок введение этих важнейших понятий не стоит.

В упомянутом учебнике А.П.Киселева в начале курса на описательном уровне рассказано о градусной мере угла (пункт 18). Теория измерения отрезков дается только в пунктах 144—155; она является наиболее сложным местом в книге (соизмеримые и несоизмеримые отрезки и другие тонкости этой теории мне, учившемуся по учебнику А.П.Киселева, запомнились на всю жизнь, и эти воспоминания нельзя назвать приятными).

Другой подход к понятию равенства фигур дается в учебнике АНКолмогорова и др., а также в учебнике АВ.Погорелова. В обоих учебниках аксиоматизируется понятие расстояния между точками (а у Погорелова и понятие градусной меры угла). Затем вводится преобразование, сохраняющее расстояние между точками (у Колмогорова оно называется перемещением, у Погорелова - движением) и две фигуры называются равными (можно сказать и конгруэнтными), если они совмещаются движением (перемещением). При этом равенство произвольных фигур в первом учебнике определяется в начале курса (пункт 17), а во втором - лишь в конце 8 класса (пункт 90).

Еще один подход предложил Д.Гильберт. В третьей группе своих аксиом — в аксиомах конгруэнтности — как основные он вводит отношения «конгруэнтность отрезков» и «конгруэнтность углов». Фигурой Гильберт называет конечную систему точек, а две фигуры называет конгруэнтными, если их точки можно попарно поставить в соответствие друг другу таким образом, чтобы отрезки и углы, оказавшиеся при этом в соответствии, были друг другу конгруэнтны.

Наконец, А.Д.Александров в монографии «Основания геометрии» при построении планиметрии за основные принимает понятия «отрезок» и «равенство отрезков», а затем, построив алгебру отрезков, применяет ее для измерения длины отрезка. В отличие от Д.Гильберта «равенство углов» А.Д.Александров к основным понятиям не относит, а определяет его через равенство отрезков. Во всех вариантах школьного учебника  геометрии А.Д.Александрова и его соавторов эта линия в начале 7 класса дается описательно и завершается введением длины отрезка. Общее же понятие о равенстве фигур определяется позднее, в 9 классе: фигуры равны, если их можно совместить движением.

0%

Различные подходы к понятию равенства фигур

    DOCX

26.08.2020

2033

17

Файл будет скачан в формате:

    DOCX

Автор материала

Фадеева Наталья Юрьевна

Фадеева Наталья Юрьевна

учитель математики

  • На сайте: 9 лет и 8 месяцев
  • Всего просмотров: 239309
  • Подписчики: 6
  • Всего материалов: 84
  • 239309
    просмотров
  • 84
    материалов
  • 6
    подписчиков

Настоящий материал опубликован пользователем Фадеева Наталья Юрьевна.
Инфоурок является информационным посредником. Всю ответственность за опубликованные материалы несут пользователи, загрузившие материал на сайт. Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете на материал.

ИИ для создания материалов

Создавайте материалы с ИИ

Если готовые материалы не подошли — помогут нейросети

Конспекты, тесты, презентации, рабочие листы и другие материалы по ФГОС — под ваш урок, класс и цели занятия за пару минут.

Попробовать бесплатно

Выберите инструмент

~150

Нейросети могут ошибаться. Обязательно проверяйте ответы.

Курсы по теме

Перейти в каталог курсов

Мини-курсы по теме

Перейти в каталог мини-курсов

Найдите подходящий для Вас курс

Найдите подходящий для Вас курс

В каталоге 7 494 курса по разным направлениям

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы: