Различные способы решения задач на многогранники в рамках подготовки учащихся к ЕГЭ по математике

• 1 слайд

  Различные способы решения задач на многогранники в рамках подготовки учащихся к ЕГЭ по математике
  
  .
  

• 2 слайд

  расстояние между двумя точками;
  расстояние от точки до прямой;
  расстояние от точки до плоскости;
  расстояние от прямой, параллельной данной плоскости, до этой плоскости;
  расстояние между скрещивающимися прямыми;
  угол между пересекающимися прямыми;
  угол между скрещивающимися прямыми;
  угол между прямой и плоскостью;
  угол между двумя плоскостями.
  
  Основные задачи на многогранники:
  

• 3 слайд

  поэтапно-вычислительный метод;
  координатный метод;
  координатно – векторный метод;
  метод объемов;
  метод ключевых задач;
  векторный метод.
  
  Основные методы решения:
  

• 4 слайд

  поэтапно-вычислительный способ;
  метод объемов;
  координатный метод.
  Вычисление расстояния
  от точки до плоскости
  
  Способы решения задачи:
  
  
  

• 5 слайд

  Расстояние от точки до плоскости, не содержащей эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.
  
  Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью равно расстоянию от любой точки этой прямой до плоскости.
  А
  α
  а
  А
  H
  Н
  

• 6 слайд

  № 1. В правильной четырехугольной пирамиде ABCDP с вершиной P сторона основания равна 3, а высота 2. Найдите расстояние от вершины А до плоскости PCD.
  
  Задача № 1.
  Вычисление расстояния от точки до плоскости
  Р
  А
  С
  В
  о
  D
  3
  2
  

• 7 слайд

  AB || DC, AВ || (PCD),
  р (A, (PCD)) =
  р (АB, (PCD)) =
  р (М,(РСD)) = МН
  ( МН - высота Δ МКР )
  
  
  
  Поэтапно - вычислительный метод:
  Р
  А
  С
  В
  о
  D
  3
  2
  к
  М
  Н
  

• 8 слайд

  Метод объемов:
  Р
  А
  С
  В
  о
  D
  3
  2
  

• 9 слайд

   
  Р
  А
  С
  о
  D
  3
  2
  Метод объемов:
  

• 10 слайд

   
  Координатный метод:
  А
  С
  В
  о
  D
  3
  2
  Х
  У
  Z
  Р
  

• 11 слайд

  поэтапно-вычислительный способ;
  координатный метод.
  Вычисление угла между плоскостями
  
  Способы решения задачи:
  

• 12 слайд

  
  
  Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей границей, не принадлежащими одной плоскости.
  
  
  Градусной мерой двугранного является градусная мера его линейного угла.
  
  
  
  α
  β
  a
  α
  β
  a
  

• 13 слайд

  
  Две пересекающиеся
  плоскости образуют четыре
  двугранных угла. Углом
  между этими плоскостями
  называется двугранный угол,
  не превосходящий остальные
  двугранные углы.
  
  
  φ
  α
  β
  

• 14 слайд

  
  
  Угол между двумя
  плоскостями α и β можно
  найти, как угол:
  
  между плоскостями, параллельными данным плоскостям α и β ;
  
  между перпендикулярами
  a и b к данным плоскостям.
  
  
  a
  b
  α
  β
  φ
  φ
  

• 15 слайд

  №2. В правильной четырехугольной призме АВСDА1В1С1D1 стороны основания равны 2, а боковые ребра равны 5.
  На ребре АА1 отмечена точка Е так, что АЕ:ЕА1=3:2.
  Найдите угол между плоскостями АВС и ВЕD1 .
  
  Задача № 2.
  Вычисление угла между плоскостями
   
   
   
   
  А
   
  С
  В
  Е
  5
  2
  

• 16 слайд

  Поэтапно – вычислительный метод:
   
   
   
   
  А
   
  С
  В
  Е
  5
  2
  

• 17 слайд

  Поэтапно – вычислительный метод:
   
   
   
   
  А
   
  С
  В
  Е
  М
  

• 18 слайд

  
  Поэтапно – вычислительный метод:
   
   
   
   
  А
   
  С
  В
  Е
  2
  3
  2
  К
  Н
  2
  3
  φ
  М
  

• 19 слайд

  
   
  Поэтапно – вычислительный метод:
   
   
   
   
  А
   
  С
  В
  Е
  2
  3
  2
  К
  Н
  2
  3
  φ
  М
  

• 20 слайд

   
  Координатный метод:
   
   
   
   
  А
   
  С
  В
  Е
  х
  у
  z
  2
  2
  

• 21 слайд

  работа по алгоритму
  удобно ввести прямоугольную систему координат
  не требуется проводить дополнительные построения
  
  
  
  решение системы уравнений с тремя неизвестными
  в формуле возможна ошибка с выбором тригонометрической функции
  Преимущества метода
  Недостатки метода
  

• 22 слайд

  Способы решения задачи:
  поэтапно-вычислительный метод;
  метод проекций.
  
  Вычисление расстояния между скрещивающимися прямыми
  

• 23 слайд

  Расстояние между двумя
  скрещивающимися прямыми
  равно длине их общего
  перпендикуляра.
  а
  b
  А
  В
  

• 24 слайд

  а
  b
  А
  Н
  

• 25 слайд

  а
  b
  Н
  заключить данные прямые в параллельные плоскости, проходящие через данные скрещивающиеся прямые , и найти расстояние между этими плоскостями;
  А
  

• 26 слайд

  построить плоскость, перпендикулярную одной из двух прямых, и построить проекцию второй прямой на эту плоскость, искомое расстояние – есть расстояние между проекциями этих прямых на построенную плоскость
  (метод проекций) .
  а
  b
  А
  Н
  

• 27 слайд

  Задача № 3.
  Вычисление расстояния между скрещивающимися прямыми
  А
   
  В
  D
  C
   
   
   
  № 3. В единичном кубе АВСDА1В1С1D1 найдите расстояние между прямыми
  АВ1 и А1С1.
  1
  1
  1
  

• 28 слайд

  А
   
  В
  D
  C
   
   
   
  АС || А1С1 ,
  А1С1 || (АВ1С) ,
  ρ (А1С1 , АВ1 ) =
  = ρ (А1С1 , (АВ1С))=
  = ρ (С1 , (АВ1 С )) .
  Далее координатный метод или метод объемов.
  
  
  
  
  1
  1
  1
  

• 29 слайд

  Метод проекций:
  А
   
  В
  D
  C
   
   
   
   
   
  О
  Н
   
   
   
   
   
  О
  Н
  1
  1
  1
   
  С
  

• 30 слайд

  простые вычисления
  возможность применить в более сложной ситуации
  
  
  
  
  сложные дополнительные построения
  требует пространственного мышления
  
  
  
  
  
  
  
  Преимущества метода
  Недостатки метода
  

• 31 слайд

  Порешаем?
  

• 32 слайд

  Порешаем?
  С
   
  В
  D
  А