-
Курсы
-
Другое
Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам.
Напомним, что коллинеарными называются векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Соответственно, неколлинеарными будут векторы, которые не лежат на одной прямой и не параллельны.
Любой вектор можно разложить (т.е. представить в виде суммы или разности) по двум неколлинеарным векторам. Мы докажем такую теорему, но чуть позже. Сначала лемма.
ЛЕММА. Если векторы и коллинеарны и , то существует такое число , что .
Дано: ,
Доказать: .
Доказательство.
По условию, векторы и коллинеарны, значит, они либо лежат на одной прямой, либо на параллельных прямых. Доказательство для обоих случаев одинаково, поэтому рассмотрим второй из них. Коллинеарные векторы могут быть сонаправленными или противоположно направленными.
a) . Поскольку число произвольное, то и выбрать мы его можем произвольным образом, например, . Правая часть состоит из частного модулей, значит, . Учитывая, что при умножении положительного числа на вектор, этот вектор своего направления не меняет, заключаем, что , и, значит, .
Посмотрим, какое соотношение имеют длины этих векторов.
Итак, векторы и сонаправлены и равны по модулю, значит, эти векторы равны (по определению равных векторов), т.е. .
b) . По аналогии с предыдущим объяснением, выбираем . Правая часть состоит из числа, противоположного частному модулей, значит, . Учитывая, что при умножении отрицательного числа на вектор, этот вектор меняет своё направление, заключаем, что , и, значит, .
Посмотрим, какое соотношение имеют длины этих векторов.
Итак, векторы и сонаправлены и равны по модулю, значит, эти векторы равны (по определению равных векторов), т.е. .
Лемма доказана.
Определение. Вектор называется разложенным по двум неколлинеарным векторам и , если для любых чисел и выполняется равенство:
Числа и называются коэффициентами разложения.
ТЕОРЕМА. На плоскости любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.
Дано: и неколлинеарны,
Доказать:
Доказательство.
Поскольку векторы и неколлинеарны, то в расположении трёх векторов возможны два случая: когда вектор коллинеарен одному из векторов и ; и когда вектор неколлинеарен ни одному из векторов и .
a) коллинеарен вектору . Тогда, по лемме о коллинеарных векторах, существует такой коэффициент , что . Это равенство можно записать в виде суммы, в которой первое слагаемое равно нулю, т.е. . Формула доказана.
b) неколлинеарен ни одному из векторов и . Тогда мы можем отложить все три вектора от некоторой точки , при этом, . От точки проведём прямую, параллельную вектору . Эта прямая пересекает прямую, содержащую вектор , в точке . По правилу треугольника вектор является суммой векторов и , т.е. . Вектор 
коллинеарен вектору , значит, ; аналогично, вектор коллинеарен вектору , значит, . Поэтому,
. В этом случае формула также доказана.
Предположим теперь не единственность существования коэффициентов и , т.е. существуют такие числа и , что . Найдём разность двух равенств.
Т.к. векторы и ненулевые, то последнее равенство будет выполняться только в том случае, когда и , т.е. и . Значит, что коэффициенты и разложения единственные.
Теорема доказана.
Введём понятие координат вектора. Для этого определим сначала понятие координатных векторов. По оси абсцисс направим единичный (т.е. с длиной, равной 1) вектор , а по оси ординат – единичный вектор . Эти векторы называются координатными. Т.к. они направлены по осям координат, то являются неколлинеарными. Поэтому любой другой вектор в координатной плоскости можно разложить по координатным векторам, т.е. представить в виде .
Приведём пример. На координатной плоскости отмечен вектор . От точки отложим вектор , а от точки отложим вектор . По правилу треугольника, вектор равен: . Значит, вектор
разложен по координатным векторам. Коэффициенты в этом разложении и есть координаты вектора: .
Перечислим и проверим некоторые свойства действий с координатами векторов.
Равные векторы имеют равные координаты.
На рисунке видно, что если векторы равны, то неважно в каком месте на координатной плоскости они располагаются. У них будет одинаковое разложение по координатным векторам, а значит, и равные координаты.
Каждая координата суммы (или разности) двух или более векторов равна сумме (или разности) соответствующих координат этих векторов.
Пусть даны два вектора и . Векторы и разложены по координатным векторам: , значит, имеет координаты . Аналогично, вектор разложен по координатным векторам: и имеет координаты . Найдём сумму (или разность) этих векторов.
.
Значит, вектор суммы (или разности) имеет координаты, равные сумме (или разности) соответствующих координат данных векторов, т.е. .
Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.
Пусть дан вектор . Вектор разложен по координатным векторам: , значит, имеет координаты . Найдём произведение вектора на число .
Значит, вектор имеет координаты: , т.е. при умножении вектора на число координаты данного вектора умножаются на это число.
Даны векторы и . Найдите координаты вектора .
Воспользуемся сначала правилом умножения вектора на число, а затем правилом сложения векторов.
.
Разложите вектор по векторам и .
Напомним, что разложить вектор по двум неколлинеарным векторам, это значит представить его в виде суммы (разности) данных векторов, или векторов, им коллинеарным, т.е. . Наша задача найти числа и .
Вектор имеет координаты , а вектор . Найдём их сумму:
. Т.к. этот вектор суммы должен равняться вектору , то соответствующие координаты у них должны быть равны. Получаем систему уравнений:
Значит, вектор раскладывается по векторам и следующим образом: .
При каком значении параметра векторы и коллинеарны?
Векторы и коллинеарны, если выполняется равенство . Тогда . Учитывая равенство, получаем систему уравнений:
Значит, при векторы и коллинеарны. И правда, , .
Отрезок разделён на шесть равных частей. Найдите значение числового множителя в каждом равенстве:
В трапеции с основаниями см и см отмечены точки – середины сторон и соответственно. Выразите вектор через вектор: а) ; б) .
В параллелограмма точки и – середины стороны и . Выразите через векторы и векторы: а) ; б) ; в) ; г) .
Векторы и неколлинеарны. Найдите числа и , удовлетворяющие равенству:
Докажите, что если векторы и неколлинеарны, то векторы и тоже неколлинеарны.Отложите данные векторы от указанных точек.
Даны векторы и . Найдите координаты вектора .
Разложите вектор по векторам и .
Укажите координаты вектора .
Найдите значение , при котором векторы и будут коллинеарны.
Найдите значение , при котором векторы и будут коллинеарны.
Найдите координаты вектора , изображённого на рисунке.
Даны векторы . Найдите координаты вектора и постройте его.
Разложите вектор по векторам .
Найдите координаты вектора , изображённого на рисунке.
Даны векторы и . Найдите координаты вектора .
На рисунке даны четыре вектора и . Для каждого вектора запишите его разложение по координатным векторам и определите их координаты.
Найдите , если .
Разложите вектор по векторам и .
Найдите , если .
Даны векторы . Найдите .
При каком значении параметра векторы и коллинеарны?
Разложите вектор по векторам и .
На рисунке – трапеция, у которой . Найдите, если возможно такое число , что:
В треугольнике точка – середина стороны , а – середина отрезка . Разложите вектор по векторам и .
Запишите координаты векторов и .
На рисунке – квадрат, . Разложите вектор по координатным векторам.
Даны два вектора и .
Найдите координаты вектора .
Будут ли векторы и коллинеарными?
На рисунке – трапеция, у которой . Найдите, если это возможно, такое число , что:
В треугольнике точка – середина стороны , а точка – середина стороны . Разложите вектор по векторам и .
Запишите координаты векторов и .
На рисунке – квадрат, . Разложите вектор по координатным векторам.
Даны два вектора и . 
Найдите координаты вектора .
Будут ли векторы и коллинеарными?
В трапеции и – основания, и пересекаются в точке , причём . Найдите, если возможно, такое число , что:
В параллелограмме , причём, . Разложите вектор по векторам и .
На рисунке . Разложите векторы и по координатным векторам.
Даны два вектора и .
Найдите координаты вектора .
Сонаправлены или противоположно направлены векторы и .
В треугольнике медианы и пересекаются в точке . Через точку проведена прямая, параллельная и пересекающая стороны и в точках и соответственно. Найдите, если возможно, такое число , что:
В параллелограмме , причём, . Разложите вектор по векторам и .
На рисунке . Разложите векторы и по координатным векторам.
Даны два вектора и .
Найдите координаты вектора .
Сонаправлены или противоположно направлены векторы и ?
В треугольнике , причём, . Разложите вектор по векторам и .
В треугольнике и , причём, . Используя векторы, докажите, что .
Даны два вектора . Постройте вектор, равный сумме векторов и . Какие координаты имеет этот вектор?
На рисунке треугольник равносторонний со стороной, равной . Разложите векторы и по координатным векторам и , если и – середины сторон и соответственно.
Даны два вектора и . При каких значениях эти векторы будут коллинеарны?
В треугольнике , причём, . Разложите вектор по векторам и .
В параллелограмме , причём, . Используя векторы, докажите, что .
Даны два вектора . Постройте вектор, равный разности векторов и . Какие координаты имеет этот вектор?
На рисунке треугольник равносторонний со стороной, равной . Разложите векторы и по координатным векторам и , если и – середины сторон и соответственно.
Даны два вектора и . При каких значениях эти векторы будут коллинеарны?
В треугольнике , причём, пересекает в точке . Найдите .
В трапеции , где и – основания, , причём, . Докажите, что если , то и .
Даны векторы и . Найдите разложение вектора по векторам и .
На рисунке . Разложите вектор по координатным векторам.
Векторы и заданы своими координатами: . Найдите координаты вектора .
В треугольнике и пересекаются в точке , причём, . Найдите .
В параллелограмме , причём, . Докажите, что точки лежат на одной прямой.
Даны векторы . Разложите вектор по векторам и .
На рисунке . Разложите вектор по координатным векторам.
Векторы и заданы своими координатами: . Найдите координаты вектора .
Даны векторы . Разложите вектор по векторам и .
Даны векторы . Разложите вектор по векторам и .
Точка – середина отрезка ; точка не принадлежит прямой . Найдите коэффициенты соответственно и в разложении вектора по векторам и .
Точка лежит на отрезке так, что . Точка не принадлежит прямой . Найдите коэффициенты соответственно и в разложении вектора по векторам и .
Векторы и неколлинеарны. Найдите все действительные значения , при которых векторы и коллинеарны.
Точка не принадлежит прямой . Для точек выполняется векторное равенство : . Какое утверждение является верным?
Точка совпадает с одной из точек и .
Точки и лежат в разных полуплоскостях относительно прямой .
Точка лежит на отрезке .
Точка лежит на прямой , вне отрезка .
Точки и лежат в одной полуплоскости относительно прямой .
Вектор имеет координаты . Найдите координаты вектора , если вектор имеет координаты .
Вектор имеет координаты , а вектор имеет координаты . Найдите координаты вектора .
Диагонали параллелограмма пересекаются в точке , точка – середина отрезка . Найдите, если возможно, такое число , чтобы выполнялось равенство:
В параллелограмме , изображённом на рисунке, и .
Разложите по векторам и векторы: и .
Разложите вектор по векторам:
и
и .
Векторы и неколлинеарны. Найдите числа и такие, что:
На рисунке изображены векторы.
Какой из данных векторов равен вектору ?
Напишите разложение вектора по координатным векторам.
Найдите координаты вектора .
Напишите, какой вектор имеет координаты .
Отложите от точки вектор с координатами .
Выпишите координаты векторов: .
Разложите по координатным векторам векторы:
Даны векторы . Найдите координаты векторов:
.
В прямоугольной системе координат постройте векторы: .
Найдите координаты векторов: , если .
Найдите координаты векторов: , если .
Векторы и коллинеарны. Найдите число .
Векторы и коллинеарны. Найдите число .
10
Настоящий материал опубликован пользователем Колесник Марина Анатольевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
