Разноуровневое обучение геометрии 10 и 11 класс

• 1 слайд

• 2 слайд

  Мир правильных
  многогранников.
  

• 3 слайд

  Математика владеет не только истиной, но и высшей красотой - красотой отточенной и строгой, возвышенно чистой и стремящейся к подлинному совершенству, которое свойственно лишь величайшим образцам искусства.
  Бертран Рассел
  
  

• 4 слайд

  
  
  
  
  ПРАВИЛЬНЫЙ МНОГОГРАННИК-
  выпуклый многогранник, грани которого являются правильными
  многоугольниками с одним и тем же числом сторон
  и в каждой вершине которого сходится одно и то же число ребер.
  
  
  
  Гексаэдр
  Тетраэдр
  Октаэдр
  Додекаэдр
  Икосаэдр
  

• 5 слайд

  «эдра» - грань
  
  «тетра» - 4
  
  «гекса» - 6
  
  «окта» - 8
  
  «икоса» - 20
  
  «додека» - 12
  

• 6 слайд

  Тетраэдр – представитель правильных выпуклых многогранников.
  Поверхность тетраэдра состоит из четырех равносторонних треугольников, сходящихся в каждой вершине по три.
  ТЕТРАЭДР
  

• 7 слайд

  Куб или гексаэдр – представитель правильных выпуклых многогранников.
  Куб имеет шесть квадратных граней, сходящихся в каждой вершине по три.
  КУБ (ГЕКСАЭДР)
  

• 8 слайд

  Октаэдр – представитель семейства правильных выпуклых многогранников.
  Октаэдр имеет восемь треугольных граней, сходящихся в каждой вершине по четыре.
  
  ОКТАЭДР
  

• 9 слайд

  Додекаэдр – представитель
  семейства правильных выпуклых многогранников.
  Додекаэдр имеет двенадцать пятиугольных граней, сходящихся в вершинах по три.
  
  ДОДЕКАЭДР
  

• 10 слайд

  Икосаэдр – представитель семейства правильных выпуклых многогранников.
  Поверхность икосаэдра состоит из двадцати равносторонних треугольников, сходящихся в каждой вершине по пять.
  ИКОСАЭДР
  

• 11 слайд

  Платон
  

• 12 слайд

  огонь
  вода
  воздух
  земля
  вселенная
  
  тетраэдр
  
  икосаэдр
  
  октаэдр
  
  гексаэдр
  
  додекаэдр
  
  

• 13 слайд

  Модель Солнечной
  системы Кеплера.
  

• 14 слайд

  «Космический кубок» И. Кеплера
  
  

• 15 слайд

• 16 слайд

  Икосаэдро- додекаэдровая
  структура Земли.
  

• 17 слайд

  1 группа- доказать, что правильных многогранников
  существует ровно 5.
  2 группа- используя модели многогранников, заполнить
  данную таблицу и сделать вывод.
  3 группа- вывести формулы для нахождения площадей
  поверхности прав. многогранников.
  4 и 5 группы- составить развёртки прав. многогранников.
  

• 18 слайд

  Сделаем вывод:
  Мы убедились, что существует лишь пять выпуклых правильных многогранников –
  тетраэдр, октаэдр и икосаэдр с треугольными гранями, куб (гексаэдр) с квадратными гранями и додекаэдр с пятиугольными гранями
  1 группа
  

• 19 слайд

  2 группа
  

• 20 слайд

  2 группа
  

• 21 слайд

  ВЫВОД
  2 группа
  

• 22 слайд

  Теорема Эйлера
  Число вершин плюс число граней минус число рёбер равно двум.
             
  В + Г – Р = 2
  2 группа
  

• 23 слайд

  Леонард Эйлер
  (1707 – 1783 гг.)
  немецкий математик и физик
  

• 24 слайд

  ВЫВОД:
  3 группа
  

• 25 слайд

  РАЗВЁРТКИ.
  4-5 группы
  

• 26 слайд

  Архимедовыми телами называются полуправильные однородные выпуклые многогранники, то есть выпуклые многогранники, все многогранные углы которых равны, а грани - правильные многоугольники нескольких типов.
  
  Тела Архимеда.
  

• 27 слайд

  
  
  
  
  Тела
  Архимеда.
  

• 28 слайд

  Французский математик Пуансо в 1810 году построил четыре правильных звездчатых многогранника: малый звездчатый додекаэдр, большой звездчатый додекаэдр, большой додекаэдр и большой икосаэдр.
  
  
  
  
  
  Два из них знал
  И. Кеплер (1571 – 1630 гг.).
  
  
  
  
  
  В 1812 году французский математик О. Коши доказал, что кроме пяти «платоновых тел» и четырех «тел Пуансо» больше нет правильных многогранников.
  

• 29 слайд

  Малый звездчатый
  додекаэдр
  
  Большой звездчатый
  додекаэдр
  Большой икосаэдр
  Большой додекаэдр
  

• 30 слайд

  Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма ск ромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук.
  Л. Кэррол
  

• 31 слайд

  Химия.
  

• 32 слайд

  Кристаллы белого фосфора образованы молекулами Р4 . Такая молекула имеет вид тетраэдра.
  Фосфорноватистая кислота Н 3РО2.
  

• 33 слайд

  Молекулы зеркальных изомеров молочной кислоты.
  

• 34 слайд

• 35 слайд

  Строение молекулы
  метана .
  

• 36 слайд

  Строение решетки алмаза.
  

• 37 слайд

  Кристаллы поваренной соли.
  

• 38 слайд

• 39 слайд

  Биология.
  

• 40 слайд

  Вирус полиомиелита имеет форму додекаэдра.
  

• 41 слайд

• 42 слайд

  Украшения.
  

• 43 слайд

  Правильная форма алмаза.
  

• 44 слайд

  Леонардо да Винчи любил изготовлять из дерева каркасы правильных многогранников и преподносить их в виде подарка различным знаменитостям.
  

• 45 слайд

  "Тайняя вечеря" С. Дали
  

• 46 слайд

  ГРАВЮРА ГОЛАНДСКОГО ХУДОЖНИКА
  МАУРИЦА КОРНЕЛИУСА ЭШЕРА
  «СИЛЫ ГРАВИТАЦИИ»
  
  

• 47 слайд

• 48 слайд

  Интернет- источники:
  http://festival.1september.ru/articles/503254/
  http://www.ikt.oblcit.ru/8/perestoronina/urok_14.htm
  http://edu.of.ru/profil/default.asp?ob_no=16819
  http://bestgif.narod.ru/
  http://www.openclass.ru/node/2084
  

Урок по теме: «Правильные многогранники».

Тип урока: изучение нового материала.

Цель урока: дать понятия правильного многогранника, полуправильных и звездчатых многогранников, рассмотреть свойства многогранников, познакомить с историей возникновения и развития теории многогранников.

Задачи урока:

1. Формирование пространственных представлений учащихся.
2. Развитие практических навыков учащихся по изготовлению правильных, полуправильных, звездчатых многогранников.

3.      Развитие умения наблюдать, умения рассуждать по аналогии, интереса к предмету через использование информационных технологий;

4.      Воспитание  общетрудовых умений, графической культуры.

Ход урока.

1.Орг.момент.

2. Целеполагание.

Есть в школьной геометрии особые темы, которые ждешь с нетерпением, предвкушая встречу с невероятно красивым материалом. К таким темам можно отнести тему"Правильные многогранники". Здесь не только открывается удивительный мир геометрических тел, обладающих неповторимыми свойствами, но и интересные научные гипотезы. Ни одни геометрические тела не обладают таким совершенством и красотой, как правильные многогранники. Сегодня на уроке мы узнаем и увидим много интересного, нам предстоит ответить на такие вопросы, как, например: Какие многогранники называются правильными? Сколько их существует? Что такое Эйлерова характеристика? Какие тела носят название тел Кеплера- Пуансо? И многие- многие другие… И, наконец: где, зачем и для чего нам нужны многогранники? Может быть, в жизни можно обойтись и без них? Данный материал пригодится нам при изучении темы “Объемы многогранников» и при решении задач на комбинацию геометрических тел.

3. Изучение нового материала.

Мне хотелось бы начать со слов Бертрана Рассела: “Математика владеет не только истиной, но и высшей красотой - красотой отточенной и строгой, возвышенно чистой и стремящейся к подлинному совершенству, которое свойственно лишь величайшим образцам искусства”. Название “правильные” идет от античных времен, когда стремились найти гармонию, правильность, совершенство в природе и человеке. Правильные многоугольники – это многоугольники, у которых все стороны и все углы равны, правильные многогранники – это многогранники, ограниченные правильными и одинаковыми многоугольниками.

ПРАВИЛЬНЫЙ МНОГОГРАННИК- выпуклый многогранник, грани которого являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине которого сходится одно и то же число ребер.

ТЕТРАЭДР – правильный многогранник, поверхность которого состоит из четырех правильных треугольников.

ГЕКСАЭДР (КУБ) – правильный многогранник, поверхность которого состоит из шести правильных четырехугольников (квадратов

ОКТАЭДР – правильный многогранник, поверхность которого состоит из восьми правильных треугольников.

ДОДЕКАЭДР – правильный многогранник, поверхность которого состоит из двенадцати правильных пятиугольников.

ИКОСАЭДР – правильный многогранник, поверхность которого состоит из двадцати правильных треугольников. Названия этих многогранников пришли из Древней Греции, и в них указывается число граней:

«эдра» - грань

«тетра» - 4

«гекса» - 6

«окта» - 8

«икоса» - 20

«додека» - 12

Все правильные многогранники были известны еще в Древней Греции, и им посвящена заключительная, 13-я книга знаменитых “Начал” Евклида. Как говорилось раньше, эти многогранники часто называют также платоновыми телами – в идеалистической картине мира, данной великим древнегреческим мыслителем Платоном, четыре из них олицетворяли 4 стихии: тетраэдр – огонь, куб – землю, икосаэдр – воду, октаэдр – воздух, пятый же многогранник, додекаэдр, символизировал все мироздание – его по-латыни стали называть quinta essentia (квинта эссенция), означающее все самое главное, основное, истинную сущность чего-либо.

Правильные многогранники в философской картине мира Платона»

Правильные многогранники иногда называют Платоновыми телами, поскольку они занимают видное место в философской картине мира, разработанной великим мыслителем Древней Греции Платоном (ок. 428 – ок. 348 до н.э.).

Платон считал, что мир строится из четырёх «стихий» - огня, земли, воздуха и воды, а атомы этих «стихий» имеют форму четырёх правильных многогранников. Тетраэдр олицетворял огонь, поскольку его вершина устремлена вверх, как у разгоревшегося пламени; икосаэдр – как самый обтекаемый – воду; куб – самая устойчивая из фигур – землю, а октаэдр – воздух. В наше время эту систему можно сравнить с четырьмя состояниями вещества - твёрдым, жидким, газообразным и пламенным. Пятый многогранник – додекаэдр символизировал весь мир и почитался главнейшим.

Это была одна из первых попыток ввести в науку идею систематизации.

А теперь от Древней Греции перейдём к Европе XVI – XVII вв., когда жил и творил замечательный немецкий астроном, математик Иоганн Кеплер (1571 – 1630).

«Кубок Кеплера»  

Представим себя на месте Кеплера. Перед ним различные таблицы – столбики цифр. Это результаты наблюдений движения планет Солнечной системы – как его собственных, так и великих предшественников – астрономов. В этом мире вычислительной работы он хочет найти некоторые закономерности. Иоганн Кеплер, для которого правильные многогранники были любимым предметом изучения, предположил, что существует связь между пятью правильными многогранниками и шестью открытыми к тому времени планетами Солнечной системы. Согласно этому предположению, в сферу орбиты Сатурна можно вписать куб, в который вписывается сфера орбиты Юпитера.

В неё, в свою очередь, вписывается тетраэдр, описанный около сферы орбиты Марса. В сферу орбиты Марса вписывается додекаэдр, в который вписывается сфера орбиты Земли. А она описана около икосаэдра, в который вписана сфера орбиты Венеры. Сфера этой планеты описана около октаэдра, в который вписывается сфера Меркурия. Такая модель Солнечной системы (рис. 6) получила название «Космического кубка» Кеплера. Результаты своих вычислений учёный опубликовал в книге «Тайна мироздания». Он считал, что тайна Вселенной раскрыта. Год за годом учёный уточнял свои наблюдения, перепроверял данные коллег, но, наконец, нашёл в себе силы отказаться от заманчивой гипотезы. Однако её следы просматриваются в третьем законе Кеплера, где говориться о кубах средних растояний от Солнца.

Сегодня можно с уверенностью утверждать, что расстояния между планетами и их число никак не связаны с многогранниками. Конечно, структура Солнечной системы не является случайной, но истинные причины, по которым она устроена так, а не иначе, до сих пор не известны. Идеи Кеплера оказались ошибочными, но без гипотез, иногда самых неожиданных, казалось бы, бредовых, не может существовать наука.

«Икосаэдро-додекаэдровая структура Земли»

Идеи Платона и Кеплера о связи правильных многогранников с гармоничным устройством мира и в наше время нашли своё продолжение в интересной научной гипотезе, которую в начале 80-х гг. высказали московские инженеры В. Макаров и В. Морозов. Они считают, что ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех природных процессов, идущих на планете. Лучи этого кристалла, а точнее, его силовое поле, обуславливают икосаэдро-додекаэдровую структуру Земли (рис.7). Она проявляется в том, что в земной коре как бы проступают проекции вписанных в земной шар правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра.

Многие залежи полезных ископаемых тянутся вдоль икосаэдро-додекаэдровой сетки; 62 вершины и середины рёбер многогранников, называемых авторами узлами, обладают рядом специфических свойств, позволяющих объяснить некоторые непонятные явления. Здесь располагаются очаги древнейших культур и цивилизаций: Перу, Северная Монголия, Гаити, Обская культура и другие. В этих точках наблюдаются максимумы и минимумы атмосферного давления, гигантские завихрения Мирового океана. В этих узлах находятся озеро Лох-Несс, Бермудский треугольник. Дальнейшие исследования Земли, возможно, определят отношение к этой научной гипотезе, в которой, как видно, правильные многогранники занимают важное место.

А сейчас от научных гипотез перейдём к научным фактам.

4. Практическая работа .

Работа в группах.

1 группа- доказать, что правильных многогранников 5.

2 группа- вывести формулы полной поверхности правильных многогранников.

3 группа- заполнить таблицы и сделать вывод.(модели).

4  группа- нарисовать развертки (на компьютере).

Правильный многогранник	Число
	граней	вершин	рёбер
Тетраэдр
Куб
Октаэдр
Додекаэдр
Икосаэдр

Правильный многогранник	Число
	граней и вершин (Г + В)	рёбер (Р)
Тетраэдр
Куб
Октаэдр
Додекаэдр
Икосаэдр

5. Отчет групп о работе.

Один представитель группы отчитывается о результатах .

Учащиеся делают соответствующие записи в тетради.

- формулы площадей;

- теорему Эйлера.                          

6. Дополнительные сведения.

Кроме пяти правильных многогранников существуют полуправильные многогранники, тела Архимеда.

Архимедовы тела обладают свойством: любые две вершины можно совместить так, что все грани многогранника попарно совпадут друг с другом.

Кроме полуправильных многогранников, из правильных многогранников – Платоновых тел можно получить так называемые правильные звездчатые многогранники. Их всего четыре. Первые два были открыты И. Кеплером (1571 – 1630 гг.), а два других были построены почти двести лет спустя французским математиком и механиком Луи Пуансо (1777 – 1859 гг.). Именно поэтому правильные звездчатые многогранники получили название тел Кеплера – Пуансо. В работе «О многоугольниках и многогранниках» (1810 г.) Луи Пуансо перечислил и описал все правильные звездчатые многогранники, поставил, но не решил вопрос о существовании правильных многогранников, число граней которых отлично от 4, 6, 8, 12, 20.Отчет на этот вопрос был дан год спустя, в 1811 году, французским математиком Огюстом Луи Коши (1789 – 1857 гг.) в работе «Исследование о многогранниках». В ней доказывается, что не существует других правильных многогранников, кроме перечисленных Пуансо. Автор приходит к выводу, что правильные звездчатые многогранники получаются из выпуклых правильных многогранников путем продолжения их ребер или граней, исследуется вопрос, из каких именно правильных многогранников могут быть получены правильные звездчатые многогранники. Делается вывод о том, что тетраэдр, куб и октаэдр не имеют звездчатых форм, додекаэдр имеет три, а икосаэдр – одну звездчатую форму (это малый звездчатый додекаэдр, большой додекаэдр и большой икосаэдр).

Луи Кэрролл писал: "Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук".

В глубины каких наук пробрались правильные многогранники? Где в жизни мы можем их повстречать?

7. Доклады учащихся.(сопровождаются компьютерными презентациями).

Правильные многогранники и химия.

Правильные многогранники в биологии.

Искусство и правильные многогранники.

Ювелирные украшения.

8. Подведение итогов. Выставление оценок.

При наличии времени можно провести тест первичного закрепления.

9. Домашнее задание.

Изготовить модели правильных многогранников. По желанию- полуправильных и звездчатых.

10 Рефлексия.

-Что понравилось на уроке?

-Какой материал был наиболее интересен?

-В каких еще областях деятельности можно встретиться с правильными многогранниками?