Разновидности
функционально-графического метода решения логарифмических уравнений
Цель:
·повторить определение логарифма, свойства логарифмической
функции, основные способы решения логарифмических уравнений (потенцирование,
введение новой переменной, функционально-графический);
·расширить представления учащихся о функционально-графическом
методе решения логарифмических уравнений;
·акцентировать внимание учащихся, в заданиях какого типа
рациональнее применять функционально-графический метод;
·формирование у учащихся умений: сравнивать и анализировать,
сопоставлять и делать выводы;
·усиление прикладной направленности курса алгебры и начала
анализа.
Пояснительная
записка
Данная тема
является важным этапом в формировании представлений о различных способах
функционально-графического метода решения логарифмических уравнений в школьном
курсе алгебры и начала анализа в программе “Алгебра и начала анализа 11” автора
А.Г.Мордковича.
Необходимо
выделить 4 часа на объяснение и отработку навыка решения логарифмических
уравнений.
I.
Актуализация знаний учащихся.
На последних
уроках вы изучали очень сложную тему “Логарифмы”. Что вы уже знаете по этой
теме:
1) определение
логарифма,
2) свойства
логарифмов,
3)
логарифмическая функция,
4)
логарифмические уравнения,
5) методы решения
логарифмических уравнений.
Найдите блок
“Блиц опрос” на рабочих листах.
1.
Блок “ Блиц опрос”.
1)Вычислить
значение выражения.
а) log5 75 - log5 3,
б) log3 6 + log3 1,5.
2) Выяснить при
каких значениях x имеет смысл выражение
а) log3 (12 – х),
б) log6 (х2 +
12).
3) Сопоставить
функцию и график. (Приложение 1. Рис.1,2,3,4)
Среди перечисленных функций найти:
А) ограниченную и
снизу, и сверху;
Б) монотонно
возрастающую.
5) Решите
уравнения.
Аристотель
говорил , что ум заключается не только в знаниях, но и в умениях применять
знания на деле. И действительно, любые знания ценны только тогда, когда они не
только достоверны и точны, но и имеют практическую значимость для человечества
в целом.
Звучит
музыка. (Историческая справка)
Вы знаете -
открытие логарифма связано с музыкой. Дело в том, что вся пифагорская теория
музыки основывалась на законах “Пифагора-Архита”. Пифагорова гамма была
несовершенной, так как не позволяла переводить из одной тональности в другую
мелодию.
И лишь только в
1700 году немецкий органист Веркмайстер осуществил смелое и гениальное решение,
разделив октаву (геометрически) на 12 равных частей.
В основе
музыкальной гаммы лежит геометрическая прогрессия со знаменателем – . является
иррациональным числом, при нахождении приближенного значения которого
используются логарифмы.
И этим
практическое использование логарифмов не ограничивается. Музыка, астрономия,
физика, экономика (что очень близко для вашего класса), архитектура и
строительство. Давайте в этом убедимся
Найдите на
рабочем листе блок “Звукоизоляция”.
С помощью этой
формулы можно рассчитать коэффициент звукоизоляции.
D – коэффициент
звукоизоляции.
р0 – давление звука до поглощения
р – давление
звука, прошедшего через стену
A – константа,
которая в расчетах принимается равной 20 дБ
Если коэффициент
звукоизоляции D=20дБ, то
т.е. снизилось
давление звука в 10 раз. (Такую звукоизоляцию имеет дерево). Я вам предлагаю
дома вычислить во сколько раз снижает давление звука кирпич, если его
коэффициент звукоизоляции D=50дБ.
Вначале урока мы
с вами вспомнили различные методы решения логарифмических уравнений. И мне
хочется рассмотреть с вами более подробно функционально-графический. Мы
работаем с блоком №III.
Существует
несколько разновидностей функционально-графического метода решений
логарифмических уравнений.
Приложение 1.
Готовясь к этому
уроку, я проанализировала процент выполнения заданий с логарифмическими
уравнениями выпускниками города на ЕГЭ за 3 года. Ребята, обратите внимание на
диаграмму (Приложение 1.Рис.5). Вы видите, что в 2006 году процент выполнения
заданий резко снизился. Это объясняется тем, что именно в этом году в КИМы были
включены уравнения, при решении которых надо было воспользоваться
функционально-графическим методом. Вот поэтому на сегодняшнем уроке мы будем
решать логарифмические уравнения именно этим методом.
Слайд
“Функционально-графический метод решения” (3 разновидности)
1.
Использование графических иллюстраций (Приложение
1. Рис.6).
Пример. (обратить
внимание на несовершенность этого способа)
Проверка:
Ответ: 4, 16.
2.
Использование свойства монотонности функций.
Если в уравнении
f(x) = g(x) на промежутке Х функция y=f(x) возрастает, y=g(x) убывает, то
уравнение f(x) = g(x) либо не имеет корней, либо имеет один корень, который
можно найти методом подбора.
Пример.
log5 (5x – 4)=1–х
y=log5 (5x – 4) функция возрастает при x > log5 4,
y = 1 – x функция
убывает при любом x.
Если x = 1, то
log5 (5 – 4) = 1 – 1, 0=0.
Ответ: 1.
3.
Использование ограниченности функций. Если
в уравнении f(x) = g(x) на промежутке X наибольшее значение одной из функций y
= f(x) равно А и наименьшее значение другой y = g(x) равно А, то уравнение f(x)
= g(x) равносильно на промежутке Х системе уравнений
Пример.
log3 ((2x-5)2+9)
= 2-sin26x
Оценим левую
часть уравнения (2х-5)2+99
В силу
возрастания функции y=logt имеем log((2x-5)2+9)2.
Оценим правую
часть уравнения
0 sin26x 1, -1-sin26x 0, 12-sin26x 2.
Получим
{
|
log3 ((2x-5)2+9)2,
|
2-sin26x2;
|
{
|
log3 ((2x-5)2+9)=2,
|
2-sin26x=2.
|
log3 ((2x-5)2+9)=2,
(2x-5)2=0, х=2,5.
Проверка: 2-sin262.5=2, 2-sin215=2, 2=2 – верно.
Ответ: 2,5.
Есть вопросы? Мы
переходим к следующему блоку рабочего листа “Самостоятельная работа”. Эти
уравнения мы будем решать одним из способов функционально-графического метода.
На решение уравнения отводится 3 минуты.
Давайте обсудим
способ решения каждого уравнения.
Номер задания
соответствует номеру группы. I группа……… II….
1.3x=10-log2x
2.log5x=
3.log2((x-2)2+4)=2-sin25x
4.log3x=-|x-1|
5.log0,2(2x-1)=2x2-x-16
6.log5((4x-5)2+25)=2-sin28x
Проверить 1, 2
группы (каждой группе даются образцы с решениями). Проверьте свое решение с
контрольным образцом. Оставшиеся задания вы решите дома.
Домашнее
задание.
А желающие могут
решить уравнение повышенного уровня сложности:
Задача:
Коэффициент
звукоизоляции кирпичной стены в один кирпич равен 50 дБ. Каков коэффициент
звукоизоляции стены в два кирпича?
1. 3х=10-log2x
y=3x возрастает на (0;+),
y=10-log2x убывает на (0;+).
Используя теорему
о единственности корня, подбором находим, что
При х=2, получим
32=10-log22?
9=9 – верно.
Ответ: 2
2. log5x =
y= log5x, D(y):x>0.
y= ,
D(y):x0.
x=5.
Ответ: 5 Проверкой убеждаемся, что х=5 является корнем уравнения.
3. log2 ((x-2)2+4)=2-sin25x.
у= log2 ((x-2)2+4).
Оценим (x-2)2+4, т.к. (x-2)2 0, то (x-2)2+4 4, в силу возрастания функции
у= log2 t, имеем log2 ((x-2)2+4) 2;
{
|
log2 ((x-2)2+4)2,
|
2-sin25x 2;
|
{
|
log2 ((x-2)2+4)=2,
|
(x-2)2+4=2;
|
{
|
x=2,
|
Проверка при х=2.
|
x=2
2-sin210=2,
2=2.
Ответ: 2
4. Пример
(Приложение1.Рис.7). log3x=-|х-1|
y= log3x, D(y)=(0;+ ).
y=-|x-1|
x=1 . Проверкой
убеждаемся, что х=1 является корнем уравнения.
Ответ: 1.
5. log0.2 (2x-1)=2x2-x-16,
ОДЗ:
2x-1>0,
2x>1, x>.
Функция y= log0.2 (2x-1) – убывает на (;+). Рис.7
Функция y=2x2-x-16 – возрастает на (;+).
Т.к. x0= – вершина параболы и <.
Используя теорему
о единственности корня, подбором находим, что если х=3, то log0.2 (2*3-1)=2*32-3-16, log0.25=-1,
-1=-1.
Ответ: 3.
6. log5((4x-5)2+25)=2-sin28x.
Оценим левую
часть уравнения. (4x-5)20,
(4x-5)2+2525.
Учитывая, что
у=log5t возрастает, имеем log5((4x-5)2+25) 2
Оценим правую
часть. -1 - sin28x 0, 1 2- sin28x 2. Приходим к системе
{
|
log5 ((4x-5)2+25)2,
|
2-sin28x2;
|
{
|
log5 ((4x-5)2+25)=2,
|
2-sin28x=2.
|
Решаем одно из
уравнений системы.
log5 ((4x-5)2+25)=2,
(4x-5)2+25=25, 4x-5=0, х=1,25.
При х=1,25 другое
уравнение обращается в верное равенство.
Ответ: 1,25.
Итог.
Мы сегодня
разобрали детально 3 разновидности функционально-графического метода. Надеюсь,
что тема вам понятна, и вы сможете справиться с заданиями на ЕГЭ.
2008 год по
инициативе президента Российской Федерации объявлен годом семьи.
Демографическая ситуация в России настораживает политиков, социологов. А
обоснованы ли эти опасения, ответят математики.
Предлагаю решить
вам следующую задачу.
Задача.Число
людей в нашей стране ежегодно уменьшается на часть. Через сколько
лет население уменьшится в 10 раз, если демографическая ситуация не изменится?
Решение.
Пусть через х лет
число людей в стране уменьшится. Сейчас в стране n человек. Тогда получим
уравнение:
С вычислением
десятичного логарифма вы знакомились при изучении параграфа 50, пример №5.Если
при решении у вас возникли вопросы, обратитесь к нему дома.
Ответ: примерно 476 лет.
Ребята, а вы
знаете, что сейчас в стране ?140 млн. человек, а станет всего 14 млн. человек в
России. Это всего лишь население двух таких крупных городов, как Москва.
Статисты
утверждают, что для того, чтобы исправить ситуацию каждая семья должна иметь
3-4 ребенка. Проблема есть, но будущее России в ваших руках.
Наш урок подходит
к концу. Давайте подведем итоги.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.