Разработанный учебно-методический комплекс содержит методику изучения тригонометрических функции, уравнений и неравенств в курсе геометрии, алгебры и математического анализа, а также подбор практического материала по данной теме. Рассмотрена история вопро

Разработанный учебно-методический комплекс содержит методику изучения тригонометрических функции, уравнений и неравенств в курсе геометрии, алгебры и математического анализа, а также подбор практического материала по данной теме. Рассмотрена история вопроса, проведен нализ учебно-методической литературы по теме.

Введение

В древности тригонометрия возникла в связи с потребностями астрономии, землемерия и строительного дела, то есть  носила чисто геометрический характер и представляла главным образом «исчисление хорд». Со временем в нее начали вкрапляться некоторые аналитические  моменты. В первой половине XVIII века произошел резкий перелом, после чего тригонометрия приняла новое направление и сместилась в сторону математического анализа. Именно в это время тригонометрические зависимости стали рассматриваться как функции. Таким образом, данная тема вызывает математико-исторический и методико-педагогический интерес.

Эта тема чрезвычайно важна, так как тригонометрические функции представляют собой наиболее удобное и наглядное средство для изучения  всех свойств функций (до применения производной), а в особенности  такого свойства многих природных процессов как периодичность. Задания по тригонометрии присутствуют в ЕГЭ и встретятся абитуриентам на вступительных экзаменах в ВУЗы. Кроме того, тригонометрический материал используется при проведении конкурсов, олимпиад и отборов математически одаренных учащихся, поскольку чрезвычайно удобен для усложнения заданий.

Часто при изучении данной темы возникают большие трудности из-за несоответствия между достаточно большим объемом содержания и  относительно небольшим количеством часов, выделенным на изучение данной темы. В связи с этим могут появиться затруднения в понимании смысла терминов, в работе с числовой окружностью, при решении тригонометрических уравнений и неравенств, в применении тригонометрии для решения геометрических и других задач.

Целесообразно поэтому использовать при изучении вопросов тригонометрии ИКТ. Информационные компьютерные технологии в учебном процессе позволяют индивидуализировать обучение не только по темпу изучения материала, но и по логике и типу восприятия учащихся. Круг методических и педагогических задач, которые можно решить с помощью компьютера, разнообразен. Его можно применить при объяснении нового материала, закреплении, повторении, в качестве калькулятора, тренажёра, средства контроля и оценки знаний и средств моделирования, к тому же это – идеальная электронная доска.

Интерактивность позволяет учащимся активно вмешиваться в процесс обучения: задавать вопросы, получать более подробные и доступные пояснения, а преподавателю - эффективно использовать учебное время лекции, сосредоточив внимание на обсуждении наиболее сложных фрагментов учебного материала.  Материал для лекции может быть выполнен как презентация в среде «POWER POINT». И, как следствие, восприятие информации (звуковой, видео, анимации) учениками происходит сразу несколькими органами чувств, что повышает уровень усвоения материала.

Таким образом, основной целью работы является создание учебно-методического комплекса, который содержит методику изучения тригонометрических функции, уравнений и неравенств в курсе геометрии, алгебры и математического анализа, а также подбор практического материала по данной теме.

Объект – процесс изучения тригонометрии в ШКМ.

Предмет – методика изучения тригонометрических функций, уравнений и неравенств в ШКМ.

Задачи:

-       изучение истории вопроса;

-       анализ учебно-методической литературы по теме;

-       логико-математический анализ темы;

-       изучение особенностей использования информационно-коммуникацион­ных технологий в обучении тригонометрии;

-       подбор и разработка практических заданий по теме.

Глава 1.

§ 1. История возникновения и развития тригонометрии
и её основных  терминов

1.1.     Происхождение тригонометрии

Термин был впервые введен в 1595 г. немецким богословом – матема­тиком Варфоломеем Питиском, известным в то время автором учебника три­гонометрии и тригонометрических таблиц. Слово «тригонометрия» (от греческих слов «тригонон» – тре­угольник и «метрео»– измеряю) означает «измерение треуголь­ников». В данном случае измерение треугольников следует понимать как решение треугольников, т.е. определение сторон, углов и других элементов треугольника, если даны некоторые из них. Большое количество практических задач, а также задач планиметрии, стереометрии, астрономии и других приводятся к задаче решения треугольников. Возникновение тригонометрии связано с развитием астрономии – науки о движении небесных тел, о строении и раз­витии Вселенной – и географии.

Астрономия – одна из древнейших наук, в свою очередь воз­никшая из потребности знать сроки смены времен года, изме­рять и считать время, иметь календарь. Одним из стимулов развития астрономии были путешествия по суше и по морю, вызванные разными потребностями, в первую очередь торговлей. Солнце днем, Луна, планеты и звезды ночью испокон веков служили человеку для определения не только часа дня и времени года, но и положения корабля в открытом море и для указания правильного пути караванам в пустыне.

Астрономия зародилась и развивалась в Вавилоне, Египте, Китае, Индии и других странах древности. В результате произ­веденных астрономических наблюдении возникла необходимость определения положения светил, вычисления расстояний и углов. Так как некоторые расстояния, например от Земли до планет, нельзя было измерить непосредственно, то ученые стали разра­батывать приемы нахождения взаимосвязей между сторонами и углами треугольника, у которого две вершины расположены на Земле, а третью представляет планета или звезда. Такие соотношения можно вывести, изучая различные треугольники и их свойства. Вот почему астрономические вычисления привели к решению (то есть нахождению элементов) треугольника. Этим и занимается тригонометрия.

Долгое время тригонометрия носила чисто геометрический характер, т. е. факты, которые мы сейчас формулируем в терминах тригонометрических функций, формулировались и доказывались с помощью геометрических понятий и утверждений. Такою она была еще в средние века, хотя иногда в ней использовались и аналитические методы, особенно после появления логарифмов.

Зачатки тригонометрии обнаружены в сохранившихся доку­ментах древнего Вавилона, где астрономия достигла значительного развития. Вавилонские ученые составили одну из первых карт звездного неба. Они умели предсказывать солнечные и лунные затмения. Некоторые сведения тригонометрического характера встречаются и в старинных памятниках других наро­дов древности.

1.2.     Тригонометрические таблицы

В древней Греции тригонометрия, как часть астрономии, достигла значительного развития.

Древнегреческие ученые впервые поставили перед собой за­дачу решения прямоугольного треугольника, то есть определе­ния его элементов по трем данным элементам, из которых хотя бы один – сторона треугольника. Для решения этой задача вначале составляли таблицы длин хорд, соответствующих раз­личным центральным углам круга постоянного радиуса. Первые тригонометрические таблицы хорд были составлены астроно­мом-математиком Гиппархом из Никен (II в. до н. э.). Гиппарх был основоположником математической географии, а кро­ме того, составил звездный каталог, довольно точно определил расстояние от Земли до Луны и ввел географические координа­ты – широту и долготу. Сочинения Гиппарха до нас не дошли. Но многие из них вошли в «Альмагест» – знаменитое сочине­ние древнегреческого астронома Клавдия Птолемея (II в). Альмагест –классическое сочинение, в котором из­ложена античная теория движения небесных тел, геоцентриче­ская система мира. Эта система просуществовала до XVI в., когда появились труды Н. Коперника с изложением новой, ге­лиоцентрической системы мира.

«Альмагест» содержит элементы прямолинейной и сфериче­ской  тригонометрии,  описание  астрономических   инструментов, звездный каталог таблиц хорд и др. Таблица хорд Птолемея составлена в шестидесятеричной системе счисления через пол­градуса от 0° до 180^е и играла такую же роль, как таблица си­нусов (то есть полухорд), так как синус есть половина хорды. Таблицы синусов были введены индийскими астрономами, которые рассматривали и линию косинуса. Техника тригоно­метрических вычислений (применявшихся для решения прямо­угольных треугольников) получила значительное развитие в Индии. Так, для синуса 3°45' Бхаскара в своих таблицах указывает значение ,  которое в переводе на десятичную дробь даст семь верных десятичных знаков. Дальнейшего развития тригонометрические таблицы достигли в трудах ученых стран ислама, которые ввели понятие линии тангенса. Абу-л-Вафа (X в.) пользовался также величиной, обратной косинусу (секан­сом) и синусу (косекансом) и составил таблицу синусов через каждые 10. Самые точные таблицы в начале XV в. были со­ставлены ал-Каши. Большой точности таблицы тригонометри­ческих функции составил Региомонтан (1436–1476) и другие европейские ученые XVI–XVIII вв.

В России первые тригонометрические таблицы были изданы в 1703 г. под названием «Таблицы логарифмов, синусов и тан­генсов к научению мудролюбнвых тщателей». В издании этих таблиц участвовал Л. Ф. Магницкий.

1.3.     Развитие тригонометрии и происхождение терминов

Элементы тригонометрии содержались во многих сочинениях древнегреческих математиков. В трактате Архимеда «Измерение круга», например, приведена лемма: «Если вписанный в дугу окружности отрезок прямой сломан на две неравные части и если из середины дуги опустить на него перпендикуляр, то он разделит сломанную линию пополам». Это, очевидно, дает возможность вычислять хорды суммы и разности двух заданных дуг. В «Началах» Евклида, где автор избегает рассуждений метрического (измерительного) характера, содержится, конечно, меньше тригонометрических элементов, хотя их не столь уж трудно обнаружить и интерпретировать. Например, во второй книге этого сочинения теоремы 12 и 13 по существу эквивалентны теореме косинусов.

Индийские ученые положили начало учению о тригономе­трических величинах, которые они рассматривали в пределах первой четверти круга. Синус и косинус встречаются в индий­ских астрономических сочинениях уже в IV–V вв. Заменив хорду синусом, индийцы вначале называли синус ардхаджива, то есть половина хорды («джива» – хорда, тетива лука), а поз­же – просто «джива». Это слово было, как полагают, искажено арабами в «джайб», означающее по-арабски пазуха, выпуклость. Слово джайб было переведено в XII в. на латынь соответствую­щим словом sinus. Косинус индийцы называли котиджива, то есть синус остатка (до четверти окружности). В XV в. Регио­монтан, как и другие математики, применял для понятия «ко­синус дуги (х) латинский термин sinus complementi, то есть синус дополнения, имея в виду sin (90 – х). От перестановки этих слов и сокращения одного из них (co-sinus) образовался термин косинус, встречающийся в 1620 г. у английского астро­нома Э. Гунтера, изобретателя счетной линейки.

В  IX–X  вв.  ученые  стран  ислама   (ал-Хабаш,  ал-Баттани, Абу-л-Вафа  и др.)   ввели новые тригонометрические величины тангенс и котангенс, секанс и косеканс. В частности, ал-Баттани установил, что в  прямоугольном треугольнике острый  угол можно определить отношением  одного катета  к другому.  Происхождение  названий  двух  тригонометрических  функций,  тангенса и секанса  (термины, введенные в 1583 г. немецким математиком  Т.  Финком),  связано  с  геометрическим   их   представлением   в   виде   отрезков   прямых.   Латинское   слово   tangens означает касающийся  (линия тангенсов – касательная к единичной окружности), secans – секущий (отрезок  секущей).  Термины   «котангенс»  и   «косеканс»   были образованы  в  средние  века  по  аналогии с  термином  косинус. Все три термина вырабатывались на протяжении веков и вошли во всеобщее употребление в первой половине XVII в.

Сферическая тригонометрия, непосредственно применявшаяся в астрономии, начала развиваться  раньше  плоской  из  подсобных глав астрономии  и   самостоятельно   не   существовала. Выдающийся  ученый   Насирэддин   ат-Туси   (1201–1274),   уроженец иранского города Тус, первый открыл путь к отделению тригонометрии от астрономии  и выделению ее в самостоятельную дисциплину. Его труд «Китаб аш-шакл ал-кита»  (книга о фигуре из секущих), называемый  также «Трактатом о полном четырехугольнике»,  является  первым  в  мире  сочинением,  специально посвященным тригонометрии. В нем достаточно полно изложено то, что было установлено раньше, а также отдельные исследования самого автора. Тригонометрический труд ат-Ту как полагают некоторые ученые, оказал влияние на европейских математиков, в частности на Региомонтана.

В XV в. Региомонтан сыграл в Европе примерно ту же роль, какую играл Насирэддин в странах ислама за двести лет до этого.  Труд Региомонтана «Пять книг о треугольниках всех видов» в свою очередь имел большое значение для дальнейшего развития тригонометрии. Другие работы в области тригонометрии принадлежат Копернику, Виету, Кеплеру.

Дальнейшее развитие тригонометрия получила в трудах выдающихся астрономов Николая Коперника (1473-1543) – творца гелиоцентрической системы мира, Тихо Браге (1546-1601) и Иогана Кеплера (1571-1630), а также в работах математика Франсуа Виета (1540-1603), который полностью решил задачу об определениях всех элементов плоского или сферического треугольника по трем данным.

Долгое время тригонометрия носила чисто геометрический характер, т. е. Факты, которые мы сейчас формулируем в терминах тригонометрических функций, формулировались и доказывались с помощью геометрических понятий и утверждений. Такою она была еще в средние века, хотя иногда в ней использовались и аналитические методы, особенно после появления логарифмов. Пожалуй, наибольшие стимулы к развитию тригонометрии возникали в связи с решением задач астрономии, что представляло большой практический интерес (например, для решения задач определения местонахождения судна, предсказания затемнения и т. д.). Астрономов интересовали соотношения между сторонами и углами сферических треугольников. И надо заметить, что математики древности удачно справлялись с поставленными задачами.

Начиная с XVII в., тригонометрические функции начали применять к решению уравнений, задач механики, оптики, электричества, радиотехники, для описания колебательных процессов, распространения волн, движения различных механизмов, для изучения переменного электрического тока и т. д. Поэтому тригонометрические функции всесторонне и глубоко исследовались, и приобрели важное значение для всей математики.

Аналитическая теория тригонометрических функций в основном была создана выдающимся математиком XVIII веке Леонардом Эйлером (1707-1783)  членом Петербургской Академии наук. Громадное научное наследие Эйлера включает блестящие результаты, относящиеся к математическому анализу, геометрии, теории чисел, механике и другим приложениям математики. Современный вид тригонометрия получила именно в его  трудах. Он рассматривал ее как науку о тригонометрических функциях, рассма­триваемых как отношения соответствующих тригонометрических линий к радиусу. Это позволило понимать под аргументом три­гонометрических функций как углы, дуги, так и отвлеченные числа. Эйлер установил несколько неизвестных до него формул и ввел единообразные знаки. Впервые в его трудах встречаются записи sin x, tg x и другие современные обозначения, в том числе и строчные буквы а, b, с для сторон треугольника и прописные буквы А, В, С – для противолежащих углов. После Эйлера тригонометрия приобрела форму исчисления: различные факты стали доказываться путем формального применения формул тригонометрии, доказательства стали намного компактнее, проще.

Интересно, что до середины XIX в. большинство математиков, в том числе и великий Гаусс, квадрат синуса угла обозначали так: sina². Французский математик Камбли издал ряд книг, где пользовался обозначением sin²a, которое прочно вошло в математическую литературу.

Таким образом, тригонометрия, возникшая как наука о решении треугольников, со временем развилась и в науку о тригонометрических функциях.

Позднее часть тригонометрии, которая изучает свойства тригонометрических функций и зависимости между ними, начали называть гониометрией (в переводе – наука об измерении углов). Термин гониометрия в последнее время практически не употребляется.

§ 2. Общие вопросы изучения темы в школьном курсе

В изучении  тригонометрии в школе можно выделить  три основных этапа:

-       Первоначальное знакомство с тригонометрическими функциями  углового аргумента в курсе геометрии (8-9 класс).

-       Систематизация и расширение знаний о тригонометрических функциях в курсе  алгебры и начал анализа (10-11 класс ).

-       Изучение тригонометрических уравнений и неравенств и специальных методов их решений (10-11 класс)

На первом этапе не доказывается и не уточняется, что изучаемые зависимости являются функциями. Изменение синуса и косинуса при изменении угла доказываются на основе свойств наклонной. Эти понятия достаточно абстрактны для курса геометрии, поэтому усваиваются довольно плохо. Но еще большие трудности вызывает переход к аргументу, большему 90⁰. Ведь мы определяли тригонометрические функции через отношение сторон прямоугольного треугольника, а, как известно, в прямоугольном треугольнике не может быть угла с градусной мерой, большей 90⁰. Для объяснения этого факта уже на этом этапе приходится рассматривать окружность, и это является своеобразной пропедевтической работой для введения тригонометрических функций числового аргумента  с помощью окружности  в курсе алгебры и начал анализа. 

На втором этапе происходит переход от углового аргумента к числовому. С самого начала курса мы должны рассматривать тригонометрические функции углов любой величины – значит предварительно нужно познакомить  учеников  с  углом   как  с  величиной,  способной  изменятся  от -¥ до +¥. В курсе геометрии такое понятие не фигурировало, следовательно, это необходимо восполнить  на втором этапе. Таким образом, возникает необходимость введения числовой окружности, работу с которой целесообразно провести также на втором этапе.

На третьем этапе учащиеся знакомятся с понятием обратных тригонометрических величин. Расширяется и уточняется классификация уравнений и неравенств в ШКМ, изучаются специальные методы решения тригонометрических уравнений и неравенств.

§ 3.  Анализ  изложения темы в различных школьных учебниках

В настоящее время вопросы тригонометрии изучаются в 10-11 классах в рамках 85 - часового курса "Алгебра и начала анализа". В разных вариантах тематических планов, опирающихся на учебники разных авторов, отводится от 15 до 28 часов; при этом в основном ставятся следующие цели:

-       ввести понятие синуса, косинуса, тангенса и котангенса для произвольного угла;

-       систематизировать, обобщить и расширить  уже имеющиеся у учащихся знания о тригонометрических функциях углового аргумента;

-       изучить свойства тригонометрических функций;

-       научить учащихся строить графики тригонометрических функций и выполнять некоторые преобразования этих графиков.

Проанализируем с точки зрения реализации вышеперечисленных целей те учебники, которые  наиболее распространенны в общеобразовательных школах, а именно учебники [1], [2], [3]. Данные учебники дают цельное и полное представление о школьном курсе алгебры и начала анализа, отвечают требованиям обязательного минимума содержания образования. Но каждый из них имеет свои  особенности.  Учебник [3], например,  отличается более доступным для школьников,  по сравнению с остальными учебниками, изложением теоретического материала, которое ведется очень подробно, обстоятельно и достаточно живым литературным языком, наличием большого числа примеров с подробными решениями. Построение всего курса осуществляется на основе приоритетности функционально-графической линии. Учебник [2] имеет прикладную направленность, содержание отличается большей научностью и близостью к математическому анализу, язык изложения в большей мере научен, чем доступен. Теоретический материал изложен достаточно кратко и лаконично.

Учебник [1] по сравнению с другими изобилует большим количеством цитат и шуточных математических рисунков, что, несомненно, развивает математический кругозор учащихся, но, что касается содержательной стороны этого учебника, то, по моему мнению, он больше подойдет для обучения математике в профильных (не математических) классах.

В школьном курсе математики в разные годы использовались разные варианты введения тригонометрических функций: при помощи тригонометрического круга, при помощи проекции  и некоторые другие. В современных учебных пособиях предпочтение отдается определению с помощью единичной окружности. При этом только в [3] уделено достаточное внимание работе с числовой  окружностью  как  с  самостоятельным  объектом  изучения, и  это является одним из достоинств  этого учебника.

В учебнике [3] на работу с числовой окружностью отводится 5 часов, что составляет почти  20% от 28 запланированных часов на изучение всей темы «Тригонометрические функции». Вообще говоря, здесь  рассматриваются две математические модели: «числовая окружность» и «числовая окружность на координатной плоскости». То есть учащиеся обучаются работать одновременно в двух системах координат: в прямоугольной декартовой и криволинейной. Это поможет им в  дальнейшем, когда понятия синуса и косинуса угла будут вводиться через координаты.

Здесь не только четко выделяется алгоритм построения точки на числовой окружности, но и проводится аналогия с числовой прямой,  с указанием основных сходств и различий  в построении точки на окружности и на прямой. Неплохо в учебнике [3] мотивируется и само введение числовой окружности: «В реальной жизни двигаться приходится не только по прямой, но и по окружности. Будем считать беговую дорожку стадиона окружностью…».  К тому же, уже на этапе изучения числовой окружности в неявном виде происходит подготовка к решению простейших тригонометрических уравнений и неравенств.

Например, рассматриваются задания типа: «Найти на числовой окружности точки с ординатой  у = 1/2 и записать, каким числам t они соответствуют», «Найти на числовой окружности точки с абсциссой х < 1/2 и записать, каким числам t они соответствуют». 

Итак, в учебнике [3], в отличие от остальных учебников, проводится  достаточно хорошая пропедевтическая работа для введения тригонометрических функций.

В учебнике [2] в качестве подготовительной работы для введения тригонометрических функций выступает лишь повторение следующих вопросов:

-       радианная мера угла (измерение углов в радианах, таблица значений тригонометрических функций (рассматривается исходя из геометрических соображений)),

-       основные формулы тригонометрии (основное тригонометрическое тождество, формулы суммы и разности двух аргументов, формулы приведения, формулы суммы и разности синусов и косинусов, формулы двойного и половинного аргументов).

Вообще вопросы  тригонометрии в этом учебнике  рассматриваются в следующем порядке: тригонометрические преобразования – тригонометрические функции – тригонометрические уравнения и неравенства, в отличие от учебника [3], по которому сначала изучаются функции, затем уравнения и неравенства, а только потом преобразования (как свойства функций).

Обучение же по учебнику [1] предполагает изучение тригонометрических функций не в начале 10 класса (как это представлено в учебниках [2] и [3]), а в конце него.  Авторы учебника [1] предлагают приступить к изучению тригонометрии  после изучения показательной и логарифмической функций. Причем, сначала изучаются   тригонометрические преобразования, затем - тригонометрические уравнения и только после этого – тригонометрические функции. Такое расположение темы имеет ряд особенностей:

-       изучение тригонометрических уравнений подразумевает изучение обратных тригонометрических функций. Таким образом, сначала  учащиеся детально прорабатывают понятия арксинуса, арккосинуса и арктангенса, а затем только приступают к работе с синусом, косинусом и тангенсом, хотя с точки зрения логики, целесообразнее сделать наоборот;

-       изучение тригонометрических функций после тригонометрических уравнений выкидывает из рассмотрения один из немаловажных методов решения тригонометрических уравнений – а именно графический метод (к тому времени мы ещё не умеем строить графики тригонометрических функций).

Что касается введения тригонометрических функций, то и здесь каждый из учебников имеет свои особенности. Начнем с определения синуса и косинуса. В учебнике [1] дается следующее определение: «Сos х – это абсцисса точки единичной окружности, полученной поворотом точки Р (1;0) вокруг начала координат на угол х, а sin х – ее ордината». В [3]: «Если точка М числовой окружности соответствует числу t, то абсциссу точки М называют косинусом числа t, а ординату точки М называют синусом числа t». Эти два определения, в общем-то, принципиально не различаются, за исключением только того, что в учебнике [1] тригонометрические функции определяются как функции углового аргумента, а в [3] как функции числового аргумента, да еще присутствуют различия в обозначении переменной (заметим, что  при работе с числовой окружностью лучше употреблять символы sin t, cos t, tg t, ctg t, учитывая, что знак х в сознании детей ассоциируется с абсциссой в декартовой прямоугольной системе координат, а не с длиной пройденного по числовой окружности пути).

В учебнике же [2] как таковых определений синуса и косинуса нет, а вместо них присутствует фраза «… нетрудно понять, что ордината точки Р_a  - это синус угла a, а абсцисса этой точки – косинус угла a», а затем приведено геометрическое подтверждение этого факта. Благодаря этому, у учащихся не возникает недоумения по поводу того, почему раньше синусом называли отношение длин катета и гипотенузы, а сейчас откуда–то выплыли какие–то абсциссы и ординаты. В учебнике [3] этот факт тоже довольно неплохо пояснен, но с опозданием в 3 параграфа.

Тангенс же  в учебниках [1] и[3] определяется как отношение синуса к косинусу. В учебнике же [2] опять не дается четкого определения тангенса, а приводится лишь геометрическая интерпретация «ордината точки пересечения прямой ОР_a (Р_a - точка на единичной окружности) и касательной к окружности в точке (1;0) равна тангенсу угла a».

Определения котангенса авторы дают аналогично определениям тангенса за исключением учебника [1], в котором  котангенс почему-то совсем игнорируется и не рассматривается  как функция.

Остановимся подробнее на вопросах исследования и построения графиков тригонометрических функций.

В учебнике [3] процесс построения графика  и исследования функции происходит следующим образом: уже известные ребятам факты обобщаются  и формулируются как свойства функций. Сначала рассматриваются такие свойства функции y=sin(x), как область определения, множество значений, нечетность, возрастание на отрезке [0;p/2] и убывание на отрезке [p/2; 3p/2], ограниченность сверху и снизу, наибольшее и наименьшее значение. Затем составляется таблица основных значений функции на отрезке [0;p],  строятся соответствующие точки и плавно соединяются.

Используя свойство нечетности  синуса, полученный график отображается относительно начала координат на отрезок [-p;0], используя свойство периодичности, график функции достраивается на остальных отрезках длиной 2p. С опорой  на построенный график, выделяется свойство непрерывности функции синус и область ее значений. Исследование функции  cos х и построение ее графика как и во всех остальных учебниках основывается на том факте, что  cos х = sin (х+p/2).

В учебнике [2] построение синусоиды происходит при помощи единичной окружности переносом значения синуса к соответствующим точкам оси ОХ. Все свойства функций за исключением области определения и множества значений рассматриваются в следующей теме «Основные свойства функций», а затем только переносятся на тригонометрические.

    Отметим, что  в учебниках[2] и [3]  не обоснован тот факт, что областью определения функций sin и cos является множество всех действительных чисел.  Конечно, этот факт достаточно очевиден,  но тем не менее учебник пишется не для учителя, а для учеников, а «мера очевидности», как известно, у всех разная. Поэтому не стоит забывать об обосновании даже очевидных фактов, ведь это приучает ребят к столь необходимой при изучении математики логической четкости и аккуратности мысли.

Что касается области значений тригонометрический функций, то ни в одном из учебников нет четкого  обоснования данного свойства. Все «попытки» обоснования этого свойства сводятся  к рассмотрению двойных  неравенств:  -1 £ sin х £ 1 и -1 £ соs х £ 1, которые выполняются для всех значений х. Однако, отсюда совершенно не следует то, что в область значений данных функций  входят все точки отрезка [-1;1].

При обосновании свойств четности и нечетности тригонометрических функций доказательство тождества sin(–х) =–sin(х) сводится в основном к симметричности точек х и –х, которая также четко не обоснована ни в одном из учебников.

Монотонность же тригонометрических функций во всех учебниках, за исключением [2], иллюстрируется с помощью числовой окружности. В учебнике [2] в силу того, что тригонометрические преобразования изучаются перед тригонометрическими функциями, монотонность функции у= sin(х) обоснована более доказательно, но все же некоторые недочеты имеются.

При изучении свойства периодичности авторы всех учебников  дают следующее определение периодичности: «Функция f(x) называется периодической, если существует такое число Т¹0, что для любого х из области определения данной функции выполняется равенство f(x-T)=f(x)=f(x+T).  Число Т называется периодом функции f(x)».

 Проанализируем теперь системы задач, направленные на отработку умений и навыков, которые предусмотрены программой по теме «Тригонометрические функции».

  В учебниках [1] и [2] уделяется большое внимание работе со свойствами комбинаций тригонометрических функций, присутствуют задачи теоретического плана, например, «Докажите, что если функция y=f(x) является периодической, то и y=k*f(x)+b тоже периодическая», не остаются без практической отработки и гармонические колебания. В учебнике [1] присутствует еще одна особенность: здесь подобрано большое количество  задач с ограничением на переменную х, что помогает учащимся в осознании того факта, что «не всякие свойства функции, рассматриваемой на множестве всех действительных чисел, сохраняются при наложении ограничений на область определения этой функции».

Наличие отдельного задачника к учебнику [3]   позволило дать в нем полноценную по объему систему упражнений, достаточную для работы в классе, для домашних заданий  и повторения. Все задания дифференцированы по блокам, отдельно выделены даже устные и полуустные упражнения, что дает возможность более рационального использования учебного времени. Большое внимание уделено отработке навыков и умений работы  с числовой окружностью, присутствуют задачи для работы с тригонометрическими функциями как числового, так и углового аргументов, используются функции, заданные кусочно, отрабатываются умения решать уравнения, содержащие тригонометрические функции, графическим методом.

Таким образом, наиболее удачным учебным пособием, по моему мнению, в плане изучения темы «Тригонометрические функции, уравнения и неравенства» в курсе алгебры и начала анализа является учебно-методический комплект под редакцией А.Г. Мордковича, хотя оставлять без внимания остальные учебники тоже не стоит. 

§ 4. Методика преподавания темы «Тригонометрические функции» в курсе алгебры и начал анализа

П.1. Введение понятия «Тригонометрическая функция» в математике

П.2. Логико-математический и методический анализ темы

Основными целями изучения тригонометрических функций числового аргумента являются:

1)                ознакомление учащихся с новым видом трансцендентных функций;

2)                развитие навыков вычислительной практики (работа с трансцендентными функциями зачастую требует громоздких вычислений);

3)                наглядная иллюстрация всех основных свойств функций (в особенности периодичности);

4)                установление межпредметных связей с практикой (изучение колебаний маятника, электрического тока, волновой теории света невозможны без знаний о тригонометрических функциях);

5)                развитие логического мышления (обилие формул порождает необходимость преобразований не алгебраического характера, которые носят исследовательский характер).

В изучении тригонометрических функций можно выделить следующие этапы:

               I.        Первое знакомство с тригонометрическими функциями углового аргумента в геометрии. Значение аргумента рассматривается в промежутке (0^о;90^о). На этом этапе учащиеся узнают, что  sin, сos, tg и ctg угла зависят от его градусной меры, знакомятся с табличными значениями, основным тригонометрическим тождеством и некоторыми формулами приведения.

           II.        Обобщение понятий синуса, косинуса, тангенса и котангенса для углов (0^о;180^о). На этом этапе рассматривается взаимосвязь тригонометрических функций и координат точки на плоскости, доказываются теоремы синусов и косинусов, рассматривается вопрос решения треугольников с помощью тригонометрических соотношений.

        III.        Введение понятий тригонометрических функций числового аргумента.

        IV.        Систематизация и расширение знаний  о тригонометрических функциях числа, рассмотрение графиков функций, проведение исследования, в том числе и с помощью производной.

Отметим, что изучение тригонометрических функций в школьном курсе имеет некоторые особенности. Во-первых, до изучения тригонометрических функций, рассматривались функции вида у=f(x), где х и у – некоторые действительные числа, здесь же  - углу ставится в соответствие число, что является несколько непривычным для учащихся. Кроме того, раньше все функции задавались формулами, в которых явным образом был указан порядок действий над значениями аргумента для получения значений функции. Теперь же учащиеся сталкиваются с функциями, заданными таблично.

Таким образом, изучая тригонометрические функции, учащиеся лучше начинают разбираться в сущности самого понятия функции. Они начинают осознавать, что функцией может быть зависимость между любыми множествами объектов, даже если они имеют различную природу (лишь бы каждому значению аргумента соответствовало единственное значение функции).

В качестве пропедевтической работы для изучения модели числовой окружности желательно  рассмотреть геометрические задачи на нахождение длины дуг четверти окружности данного радиуса, ее трети и половины. Обобщая полученные результаты, необходимо подвести учащихся к тому факту, что  для дальнейшей работы выгоднее выбирать окружности именно единичного, а не  произвольного радиуса.

 В процессе работы с числовой окружностью у учащихся должны быть сформированы следующие умения:

-       находить на числовой окружности точки, соответствующие заданным числам, выраженным в долях числа p  и выраженным не в долях числа  p;

-       составлять аналитические записи для дуг числовой окружности;

-       определять принадлежность точки какой-либо координатной четверти;

-       работать одновременно в двух системах координат – в криволинейной и прямоугольно-декартовой и осуществлять переход от одной системы координат к другой;

-       находить координаты точек числовой окружности и отыскивать на числовой окружности точки по заданным координатам;

Для этого целесообразно рассматривать задания следующих типов:

1)            Найти на числовой окружности точки p/2, 9p, 26p/3, -5p/4, -7p/6…..

2)            Найти на числовой окружности точки 1, 2, -7,  4.5, -31 ….

3)            Определить, каким четвертям принадлежат точки 21p/4, -37p/6, 10, -95.

4)            Отметить на числовой окружности точки t, удовлетворяющие неравенствам:

а) p/6+2pк £ t £ 2p/3+2pк, кÎZ  б) -p/3+2pк £ t £ 3p/4+2pк, кÎZ

5)            Найти декартовы координаты точек, соответствующих числам p/4, -3p/2, 23p/6, -13p/3…..

6)            Найти положительные и отрицательные числа, которым соответствуют точки с координатами (1/2;Ö3/2), (-Ö2/2; Ö2/2); (Ö3/2; -1/2), (-1,0)….

7)            Найти на числовой окружности точки с ординатами (абсциссами) равными -Ö3/2, 1/2, -Ö2/2, 0, -1,  абсциссы (ординаты) которых отрицательны, и записать, каким числам они соответствуют.

8)            Найти на числовой окружности точки с ординатой (абсциссой) > -Ö2/2 и записать, каким числам они соответствуют.

В процессе работы с числовой окружностью следует обратить внимание на следующие моменты.

В арсенале учителя должно находится как минимум два макета с числовыми окружностями. На первом из них отсчет ведется в положительном направлении с указанием расположения точек 0, p/6, p/4, p/3, p/2, 2p/3….   , на втором -  в отрицательном   с   указанием точек -0, -p/6, -p/4,    -p/3, -p/2, -2p/3….,  причем  второй  макет желательно вывесить после того, как  учащиеся ответят  или  попытаются ответить на вопрос: «Что будет, если точка будет двигаться не положительном, а в отрицательном направлении?».

   Эта мотивационная задача позволяет еще раз провести  связь между числовой окружностью и числовой прямой. Ведь на числовой прямой  можно было откладывать не только положительные, но и отрицательные значения, причем сколь угодно большие.  На числовой окружности можно делать то же самое, но следует учитывать тот факт, что на прямой соответствие между точками и числами взаимно-однозначное, а на окружности у каждой точки бесконечно много имен, отличающихся друг от друга на 2pк, где кÎZ.

Это главное отличие учащиеся должны четко понимать и осознавать.  Для этого числовую окружность можно сравнить с колесом, а числовую прямую с бесконечной нитью, на которой отмечены точки. Наматывая нитку на колесо, предварительно совместив соответствующие нулевые точки, можно заметить, что точки, отличающиеся на 2p, попадут в одно и тоже место на колесе, благодаря тому, что длина  числовой окружности единичного радиуса составляет именно 2p. 

 Больше всего проблем, связанных с неоднозначностью соответствия   между точками и числами на окружности возникает при решении задач вида:   «Найти на числовой окружности точки с ординатой (абсциссой) большей и записать, каким числам они соответствуют».

Такие неравенства, характеризующие дугу, рекомендуется  на начальном этапе составлять в два шага. На первом шаге составить так называемое «ядро» аналитической записи  p/3 < t < 2p/3, и  только на втором составить общую запись p/3+2pk < t < 2p/3+2pk, где кÎZ.

Уточнение «где к Î Z» необходимо записывать всегда. Если   при  отборе  корней   уравнения или неравенства, или при наложении определенных ограничений на функцию, параметр к сможет принимать не все а, например,  только положительные или только четные значения, то возможно возникновение следующей ошибки. Учащиеся, привыкшие писать +2pk, не задумываясь над тем, какие значения может принимать параметр к,  и в этом случае напишут +2pk, что автоматически сделает их решение неверным.

Это приведет и к недопониманию того факта, что, например, множества «4pk, где к Î Z» и «2pk, где к Î 2Z» совпадают. Это, в свою очередь, может породить затруднения при рассмотрении функций с периодом, равным  4p. А ведь таким функциям уделяется немало времени при изучении темы «Тригонометрические функции».

После работы с числовой окружностью как самостоятельным объектом, можно приступать к введению тригонометрических функций.

Не стоит забывать, что определения тригонометрических функций с помощью числовой окружности плохо укладываются в сознании ребят по одной простой причине: на первом этапе определения были даны в геометрической трактовке – как отношения сторон прямоугольного треугольника.

Из психологии известно: «если какое-нибудь важное понятие вводится в первый раз, то ассоциации, сопутствующие ему, врезаются в сознание учащегося чрезвычайно прочно. Последующие впечатления бывают слабее и не могут стереть того обличия, в котором это понятие явилось впервые». [4]

Несмотря на то, что мы уже использовали окружность для введения «новых» определений синуса и косинуса на этапе расширения множества значений, принимаемых углом необходимо еще раз провести взаимосвязь между прямоугольным треугольником и числовой окружностью.

Напомним, что в школьных учебниках этому факту почему-то не уделяется должного внимания (см. главу «Анализ изложения темы в различных школьных учебниках»), поэтому учителю стоит обратить внимание на то, чтобы при введении тригонометрических функций на этом этапе были озвучены следующие моменты.

Рассмотрим числовую окружность единичного радиуса, расположенную в прямоугольно декартовых координатах.            

                                                                                                                                                                             

Рис. 1

В положительном направлении от оси ОХ отложим угол a  такой, что 0 < a < 90⁰. Обозначим полученную на окружности точку как Р_a. Опустим из точки Р_a перпендикуляр на ось ОХ, получим точку М. Рассмотрим получившийся прямоугольный треугольник ОМР_a. Sina по определению равен отношению МР_a/ОР_a, но радиус окружности ОР_a равен единице, следовательно, Sina = МР_a. Аналогичным образом, cosa = ОМ. Заметим, что длина ОМ - это абсцисса точки Р_a в прямоугольно-декартовой системе координат, а длина МР_a - ее ордината. Таким образом, синус и косинус угла a определяются через ординату и абсциссу точки Р_a, что является более удобным при работе в прямоугольно-декартовой системе координат.

Работая с числовой окружностью, мы уже усвоили тот факт, что так как  длина дуги единичной окружности легко выражается через центральный угол, на нее опирающийся, то точку Р_a, можно построить и другим способом - откладывая дугу заданной длины. А так как длина дуги – всегда действительное число, значит,  от тригонометрических функций углового аргумента легко можно перейти к тригонометрическим функциям числового аргумента.

Сейчас вернемся к наложенным на угол a ограничениям. Угол a принадлежит промежутку от 0⁰ до 90⁰, а значит и длина дуги лежит между нулем и p/2. Используя все ту же геометрическую интерпретацию, легко показать, что эти определения можно распространить и на любые  углы и числа.

Понятия тангенса и котангенса  можно вводить двояко: как отношение синуса к косинусу (косинуса к синусу) и как ординату (абсциссу) точки пересечения касательной к окружности в точке (1;0) ((0;1)) и прямой ОР_a.

Рис. 2

Вообще говоря,  определив функции синус и косинус, мы уже не нуждаемся  в числовой окружности как средстве для введения понятий тангенса и котангенса. Но раз уж мы взялись работать с этой моделью, то неплохо бы показать, как определить функции тангенс и котангенс, используя только их геометрическое определения (заметим, что выражения «тангенс угла a  – это отношение синуса a к косинусу a»  и « котангенс угла a  – это отношение косинуса a к синусу a» не являются определениями – это уже свойства).

Использование второго подхода поможет нам не только на этапе изучения самих тригонометрических функций, но и на этапе решения тригонометрических уравнений и неравенств. Поэтому целесообразнее  использовать именно второй подход, а определение тангенса a как отношение синуса a  к косинусу a рассматривать как свойство.

Итак, мы ввели понятия всех тригонометрических функций (которые предусмотрены программой). Но перед тем, как перейти к их исследованию и построению графиков, необходимо проследить, чтобы у учащихся были отработаны следующие навыки:

-       Нахождение значений всех тригонометрических функций в «главных» точках.

Для лучшего запоминания значений тригонометрических функций можно использовать следующую вспомогательную таблицу:

a	0	p/6	p/4	p/3	p/2
sina
cosa

Здесь значения синуса и косинуса представлены в наиболее удобной для восприятия и запоминания форме.)

-       Решение простейших тригонометрических уравнений и неравенств.

-       Определение знаков тригонометрических функций в заданных точках.

-       Упрощение выражений с использованием основного тригонометрического тождества и формул приведения.

-       Нахождение по заданному значению одной из тригонометрических функций значений всех остальных тригонометрических функций.

           Приобретая вышеперечисленные навыки, учащиеся тем самым получают арсенал средств, достаточный для более основательного исследования и построения графиков тригонометрических функций.

           Работа по построению графиков и исследованию функций может проводиться двумя способами:

1)                Сначала по точкам строится график, а затем с помощью графической интерпретации исследуются все свойства функции

2)                Построение графика происходит после исследования функции, а наглядные представления о свойствах учащиеся получают, анализируя поведение функций на числовой окружности.      

             Наиболее целесообразно применять второй подход, так как при этом подходе, во-первых, все свойства тригонометрических функций иллюстрируются на обеих моделях (на числовой окружности и на графике), а, во-вторых, это является хорошей подготовительной работой для дальнейшего обучения исследованию функций и построению графиков с помощью производной.

Несмотря на то, что анализируя поведение функции на числовой окружности, мы всего лишь иллюстрируем некоторое свойство, не стоит забывать, что иногда «доказательство» с помощью окружности  является единственным доступным для школьников способом обоснования некоторых фактов. Хотя некоторые случаи все-таки  требуют более четкого обоснования формулируемых утверждений.

Остановимся подробнее на исследовании тригонометрических функций.

1)    Область определения.

«Областью определения функции действительного переменного называется множество действительных значений аргумента, при которых функция принимает действительные же значения».

Область определения функций у=sin x и у=соs x – множество всех действительных чисел. Этот факт достаточно легко обосновывается с помощью окружности: каждому действительному числу х соответствует точка на окружности Р_х. Каждой точке Р_х  соответствуют ее абсцисса и ордината, каждая из них - это действительное число. Значит, значения функций у=sin x и у=соs x для любого действительного х будут действительными числами.

У функций у=tg х и у=сtg х область определения имеет некоторые ограничения. Обосновать это свойство можно исходя из того факта, что

tg х = sin x/ соs x. Тогда областью определения функции у=tg х будут все действительные числа, за исключением нулей функции у=соs x. Этот же самый факт можно обосновать и с помощью окружности:

рис.3

любому действительному числу х соответствует точка на окружности Р_х.      Если х ¹ p/2+pк, кÎZ, то  эта  точка имеет  координаты, отличные  от  (0;1) и (0;-1), тогда через точки О и Р_х.  можно провести прямую, которая пересекает касательную к окружности, проходящую через точку  (1;0), в некоторой точке Т_х. Эта точка имеет ординату, которая является действительным числом. То есть в таких точках функция у=tg х будет принимать действительные значения. Если же  х = p/2+pк, кÎZ, то прямая ОР_х.  будет совпадать с осью ОУ, а, следовательно, будет параллельна касательной к окружности. В этом случае мы не сможем найти точку Т_х и ее ординату, а, значит, в этих точках функция у=tg х будет не определена.  Таким образом, делаем вывод , что D_{tg x}  =R/{p/2+pк }, кÎZ. Для функции  у=сtg х рассуждения аналогичны, а, значит, учащиеся вполне могут провести их самостоятельно.

Область определения как свойство функций является ко времени изучения тригонометрии уже достаточно хорошо изученным, а процесс ее нахождения  уже перешедшим из разряда умений в разряд навыков. Тем не менее при изучении тригонометрических функций стоит еще раз обратить внимание на отыскание области определения   в особенности функций  типа:  у = сtg х * tg х;  у=(sin х*соs х)/ сtg х, а также кусочно-заданных функций

          сtg (х+p/2),  х<p                                            sin х, х<-p/2

у =                                                                   у =

             1/(sin х +1), х³p                                           tg х/(х-7) ³2p

2) Область значений функции.

«Областью значений функции f называется множество, состоящее из всех чисел f(х), таких, что х принадлежит области определения функции f». Четкого обоснования того факта, что областью значений функций у=sin х и у=соs х является отрезок [-1;1] ни в одном из действующих школьных учебников не приводится, а вместо этого рассматриваются неравенства -1 £ sin х £ 1 и -1 £ соs х £ 1, которые выполняются для всех значений х. Однако, отсюда совершенно не следует то, что в область значений данных функций  входят все точки отрезка [-1;1]. На этот момент стоит обратить особое внимание, дабы разграничить в умах учащихся два совершенно различных  свойства: ограниченность и область значений.  Необходимо все-таки показать тот факт, что любое число из отрезка [-1;1] является значением функции у=sin х (у=соs х) в некоторой точке.  Показать это можно  хотя бы следующим образом.

Возьмем произвольное действительное число х₁ такое, что

-1 £ х₁ £ 1. Рассмотрим отрезок  [-1;1] принадлежащий оси ОХ и возьмем точку этого отрезка соответствующую х₁, восстановим из нее перпендикуляр к оси ОХ. Он пересечет единичную окружность в некоторой точке Р_х1 Заметим, что х₁ – это абсцисса точки Р_х1,  а, значит,  число х₁ является значением функции  у=соs х для точки Р_х1.  (Аналогично для функции у=sin х.)

рис.5

После изучения области значений целесообразно рассмотреть свойство ограниченности функций у=соs х и у=sin х и  провести взаимосвязь между этими свойствами не только для тригонометрических, но и для других классов  функций.

3)  Четность  и нечетность.

          При изучении свойств четности и нечетности тригонометрических функций необходимо четко обосновать тот  факт, что  sin(-х) = -sin(х),  a  cos(-х) = cos(х) для любых действительных значений х. Чаще всего обоснование этого факта сводится к симметричности точек окружности, соответствующих числам или углам t и – t  в зависимости от того, на каком этапе происходит обоснование. «Если числу t соответствует точка М числовой окружности, то числу –t соответствует точка Р, симметричная точке М относительно горизонтального диаметра окружности (то есть относительно оси абсцисс). У таких точек одна и та же абсцисса, а ординаты равны по модулю, но отличаются знаком. Следовательно, sin(-t) = -sin(t),  a  cos(-t) = cos(t)»  (см. [3]).

        Заметим, что факт симметричности точек t и – t не является очевидным, а значит, сам нуждается в обосновании, провести которое можно, например, рассмотрев треугольник МОР. Обозначим точку пересечения отрезка МР с осью ОХ за В. Тогда треугольник МОР равнобедренный (ОМ = ОР как радиусы одной окружности), луч ОВ является биссектрисой угла МОР, а, следовательно, и высотой и медианой треугольника МОР. Тогда точки М и Р действительно будут симметричными относительно оси ОХ по определению.  Это и позволяет сделать вывод о значениях синуса и косинуса противоположных   углов.   После этого обоснование  равенств  tg (-t) =-tg (t)  и  ctg (-t) = -ctg (t) не составит никакой трудности.

         Далее  следует еще раз обратить внимание учащихся на следующий факт. В определениях четных и нечетных функций в явном виде не указано то, что такие функции имеют область определения, симметричную относительно начала координат, но этот факт часто оказывается полезным при решении задач типа «Докажите, что функция у= sin Öx, не является ни четной, ни нечетной».       Используя вышеупомянутый факт и определив, что область определения данной функции не является симметричной относительно начала координат, сразу можно сделать вывод о том, что функция у=sinÖx, действительно, не является ни четной, ни нечетной, не рассматривая соответствующих уравнений.

           Так же полезно определять четность функций, заданных кусочно. Например, определить являются ли следующие функции четными или нечетными:

                        Sin (x), если х ³0                                               Соs(x/2), если х ³ p        

      f(x)=                                                                       f(x)=       p² + х², если -p < х < p

                        Соs(x), если х<0                                                 Соs(x/2), если х £ p    

      4) Монотонность.

           При рассмотрении свойства монотонности  тригонометрических функций  в большинстве действующих учебников (кроме [2]) не приводится четкого доказательства  возрастания функций    y=sin x и  y=соs x  на  промежутках   [-p/2;p/2] и  [-p;0] соответственно, а обоснование этих фактов проводится с опорой на числовую окружность: «При движении точки по четвертой и по первой четвертям окружности в положительном направлении ( от -p/2 до p/2 ) ее ордината постепенно увеличивается (от -1 до 1), значит функция y=sin x является возрастающей на этом промежутке» (см. [3]). Более строгое доказательство этого факта приводится с опорой на формулу разности синусов и применимо в случае, когда тригонометрические преобразования изучаются раньше тригонометрических функций, то есть когда  формула разности синусов  к моменту исследования тригонометрических функций является   уже   известной (см. [2]).  «Пусть

                                            -p/2 £ х₁ < х₂ £ p/2,

                      применяя формулу разности синусов находим

                           sin х₂ - sin х₁ = 2 соs [(х₁ +х₂)/2]*sin [(х₂ – х₁)/2].

                     Из неравенства -p/2 £ х₁ < х₂ £ p/2 следует, что

                         -p/2 < (х₁ + х₂)/2 < p/2  и  0 < (х₂ – х₁)/2< p/2,

поэтому соs(х₁+х₂)/2 > 0 и sin(х₂-х₁)/2 > 0, а следовательно,                                 sin х₂ - sin х₁> 0 то есть  sin х₂ > sin х₁»(см. [2]). При этом учителю следует обратить внимание на пояснение того, как из неравенства -p/2 £ х₁ < х₂ £ p/2 получаются неравенства  -p/2 < (х₁+х₂)/2 < p/2  и  0 < (х₂–х₁ )/2 < p/2.

           Это целесообразно проиллюстрировать, изобразив отрезок [-p/2;p/2]. Заметим, что (х₁+х₂)/2 не что иное, как среднее арифметическое чисел х₁ и х₂, а, следовательно, принадлежит отрезку [х₁;х₂], который, в свою очередь, целиком лежит в отрезке [-p/2;p/2], то есть первое неравенство имеет место.  Гораздо большую трудность вызывает обоснование второго неравенства. Заметим, что  модуль разности |х₂-х₁| - это расстояние между точками х₁ и х₂, а так как обе точки принадлежат одному отрезку [-p/2;p/2], то расстояние между ними не может превышать длины этого отрезка, то  есть p. С другой стороны модуль – функция неотрицательная, более того, в данном случае положительная, так как  х₁ и х₂ различны. Имеем 0 < |х₂-х₁| £ p,  но так как х₁ < х₂, то |х₂-х₁| = (х₂-х₁). Разделив все части неравенства на 2, получим доказываемое неравенство.

Доказательство возрастания  функции y=tg x на интервале (-p/2;p/2), целесообразнее всего проводить аналогичным образом, используя формулу разности    тангенсов  (см [2]).  В случае же, когда преподавание ведется по учебникам, в которых тригонометрические преобразования изучаются после функций, то есть формула разности тангенсов к моменту исследования функций еще не известна,  доказательство лучше проводить,  разбив интервал (-p/2;p/2) на  два  полуинтервала  [0;p/2)  и  (-p/2;0].  Обоснование возрастания функции y=tg x на полуинтервале  [0;p/2) не сложно и  приведено во всех учебниках, а доказательство монотонности на втором интервале авторы учебников [3] и [1] почему-то считают сложным и опускают вовсе. Поэтому учителю следует обратиться к учебнику [3], в котором дано довольно строгое, но вместе с тем несложное доказательство:

           Пусть  -p/2 < х₁ < х₂ £ 0, тогда 0 £ -х₂ < -х₁ < p/2. Теперь числа -х₁ и -х₂ лежат  в  первой   четверти,  в  которой  тангенс   возрастает, следовательно tg(-х₂ )< tg(-х₁). Так как y=tg x нечетная функция, то

                                 tg(-х₂ )  <  tg(-х₁)   Û -tg (х₂ )  < - tg(х₁),

а следовательно  tg(х₁) <  tg(х₂). Что и означает, что функция y=tg x возрастает на промежутке (-p/2;0], а значит и на интервале (-p/2;p/2). Доказательство монотонности функции y=сtg x целесообразно предложить в качестве задания для самостоятельного выполнения.

5) Нули функции и промежутки знакопостоянства.

         Нахождение нулей функций и промежутков знакопостоянства сводится к решению простейших тригонометрических уравнений и неравенств, которые учащиеся рассматривали при изучении числовой окружности и не вызывает затруднений.

6) Периодичность.

           Изучению этого свойства необходимо уделить особое внимание, так как учащиеся впервые сталкиваются с периодическими функциями. Для отработки понятия периодичности функции целесообразно использовать следующие упражнения.

           1. На рисунке изображена часть графика периодической функции на отрезке [-2;2], длина которого равна периоду функции. Постройте график функции на отрезках [-6;-2], [2;3].

           2. Постройте график периодической функции y=f(x), с периодом равным 2, если известно, что  f(x)=х²/2 на отрезке [-1;1].

           3. Является ли число 16p периодом функции y=sin x? А ее основным периодом?

           4.  Найти основные периоды функций y=sin(6x), y=соs(x/2), y=sin(кx).

           5. Докажите, что если функция y=f(x) является периодической, то и y=k*f(x)+b тоже периодическая.

            6. Пусть функция f периодическая, Т₁ и Т₂ – ее периоды. Докажите, что любое число вида nТ₁  +mТ2, где   n,mÎN, также является периодом функции f.

            7. Докажите, что функции f(x) = sin x² и  cos (x)*cos Öx  не являются периодическими.

            8. Докажите, что возрастающая функция не может быть периодической. И т.п.

        Следует обратить внимание учащихся на тот факт, что периодическая функция    имеет бесконечное множество периодов, среди которых стараются выделить, если это возможно, наименьший положительный период, который называют основным. 

            После этого все свойства тригонометрических функций желательно проиллюстрировать на графике и свести в одну таблицу.

Свойства	у=sin(x)	у=cos(x)	у=tg(x)	y=ctg(x)
Область определения
Область значений
Нули функции
…

         Для дальнейшей отработки навыков по исследованию тригонометрических функций и построению их графиков используют гармонические колебания, которые имеют вид y =Asin(wt+a) и y =Acos(wt+a). Основной целью введения гармонических колебаний является наглядная демонстрация того, как изменяются свойства функций в зависимости от значения коэффициентов A,w и a. При этом целесообразно использовать задания вида:

1.По графику функций определите задающую ее формулу:

Рис. 6

2. Какими свойствами обладают данные функции на отрезке  [-p/2; p/2], а какими на отрезке [0; p]?

Y=2cos(p/2-x)
Y=cos(x)
Y=cos(x/2)
Y=3cos(2x)
Y=cos(x+p/4)
Функция	Возрастает	Имеет ровно один корень	Пробегает всё множество значений	Убывает	Не меняет знак

3. Какими свойствами обладают данные функции на данных промежутках?

Функция	[-p/2; p/2]	[0; p]	[-2p;0]	[-3 p/2;- p]	[-p; p]
Y=cos(x)
Y=cos(2x)
Y=2cos(x/2)
Y=cos(x+p/2)
Y=3cos(p/4-x)

После того, как мы в достаточной мере хорошо научились оперировать свойствами тригонометрических функций, можно переходить к решению тригонометрических уравнений и к тригонометрическим преобразованиям. Но не стоит центр тяжести при изучении тригонометрических функций смещать в сторону алгебры, то есть не нужно выдвигать на первое место  умения, связанные с выполнением тригонометрических преобразований. Эти умения, безусловно, важны и развивают у учащихся комбинаторные, логические и алгоритмические навыки, однако главное в изучении тригонометрических функций уходит при этом в тень. Таким образом, не следует забывать, что основная задача учителя математики – все-таки развитие умственных способностей ребенка.

§ 5. Методика преподавания темы «Тригонометрические уравнения» в курсе алгебры и начал анализа

Возможны две точки зрения на тригонометрические уравнения.

А (широкая). Тригонометрическим уравнением называется уравнение, в котором неизвестное присутствует под знаком тригонометрических функций.

В (узкая). Тригонометрическим уравнением называется уравнение, в котором неизвестное присутствует только под знаком тригонометрических функций.

Е. С. Березанская и С. И. Новосёлов придерживаются именно этой точки зрения.

По словам Бескина (х, стр. 95) в курсе элементарной математики уравнения являются удобным поводом для закрепления знаний о функциях, с которыми приходится иметь дело. Выбор уравнений, предлагаемых в школе, ограничен тем обстоятельством, что не всякое уравнение ученики сумеют решить. Однако это обстоятельство не является поводом для того, чтобы выделять только уравнения типа В.

В самом деле, уравнение относится к типу В, а уравнение  к типу А. Но они оба не могут быть решены точно алгебраическими методами, проходимыми  школе, и требуют приближённого решения. С другой стороны, уравнение , относящееся к типу А, может быть точно решено школьными методами.

Решая тригонометрические уравнения, необходимо довести до сознания учеников точную постановку вопроса. Эта постановка может быть разная. В некоторых случаях требуется найти общий ответ, т.е. указать все значения неизвестного, удовлетворяющие данному уравнению. В других случаях требуется найти значения неизвестного, удовлетворяющие некоторым неравенствам, например, заключённые между 0 и или между 0 и , или наименьшее по абсолютной величине и т.д. Тот факт, что возможны разные постановки вопроса, не должен смазываться. Для ясного понимания этого положения необходимо предлагать задачи с разными постановками вопроса, т.е. каждый раз в самой задаче указывать, в каком смысле она задаётся. Для тренировки иногда можно предлагать и необычные постановки вопроса, например: найти все решения уравнения , удовлетворяющие неравенству . Однако в большинстве случаев следует предлагать такие постановки, которые часто встречаются на практике.

Как говорит Березанская (х, стр. ), в начале изучения тригонометрических уравнений с учениками важно уяснить, что они, в отличие от алгебрических уравнений или не имеют решений в области действительных чисел, или имеют неограниченное множество решений в силу периодичности тригонометрических функций. В последнем случае решения выражаются общей формулой. Процесс решения тригонометрического уравнения, аналогично процессу решения алгебраического уравнения, заключается в приведении данного уравнения к простейшему виду путем последовательной замены данного уравнения равносильными ему уравнениями.

Поэтому, до решения тригонометрических уравнений, следует повторить с учащимися основное свойство всех тригонометрических функций, а именно –периодичность. Для функции тангенса и котангенса наименьший положительный период равен , а для синуса и косинуса – .

В процессе изучения необходимо сформировать у учеников классификацию типов тригонометрических уравнений и способы их решения. Далее приведем данную классификацию с примерами и подбором заданий по каждому способу.

В отдельную группу выделяются простейшие тригонометрические уравнения., т.к. их необходимо уметь решать для решения различных видов тригонометрических уравнений.

Простейшими тригонометрическими уравнениями являются:

            и , где ;

         и , где

1)           Уравнение вида  sin x=a

      Уравнение   может иметь решение только при .

      Известно, что решение этого уравнения находят по обобщенной формуле:

             , где  и .                  (1)

       Примеры. Решить уравнение:

       1)   

       Решение:

 ,            ,               , .   

       Ответ:   , .

        Полезно знать, что , поэтому если , то формула (1) примет вид: , где .

       Пример.   Решить уравнение:

              

      Решение:

      ,               ,                ,

,             ,                      , .

Ответ: , .

Частные случаи:

1.                    Если , то , .

2.                    Если , то , .

3.                    Если , то , .

Подбор уравнений для решения:

 

2)           Уравнения вида cosx=a

     Уравнение  может иметь решение только при . Известно, что решение данного уравнения находят по обобщенной формуле:

        , где   и .

     Полезно знать, что .

     Примеры. Решить уравнения:

     1) 

     Решение:

 ,  ,

 ,  , .

     Ответ: , .

     2)

     Решение: ,           ,                   ,

 1. , , где                                  .

 2. ,                                                               .

      Ответ: ,  , , .

       Частные случаи:

 1. Если , то  или ,   .

 2. Если , то  или ,   .

Подбор уравнений для решения:

3)           Уравнения вида tgx=a, где  aR

     Известно, что решение заданного уравнения находят по обобщенной формуле:

    , где  .

Полезно помнить, что .

Примеры. Решить уравнение:          

        Решение:

 ,               ,                ,       

 ,                     ,               ,  .

       Ответ: ,  .

Подбор уравнений для решения:

4)           Уравнения вида ctgx=a, где  aR

      Известно, что решение данного уравнения находят по формуле                                                                                                                                                                                                                                 , где  и .

      Полезно знать, что .

      Примеры. Решить уравнение:        

      Решение:

     ,            ,                  ,

     ,                              ,                          , .

     Ответ:  , .

Подбор уравнений для решения:

5)           Уравнения, сводимые к алгебраическим

 Это уравнения, сводимые к одной и той же функции относительно одного и того же неизвестного выражения, входящего только под знак функции.

       Тригонометрические уравнения:

 

  уже сведены к алгебраическим.

       Действительно, положив в них соответственно , , , , получим алгебраические уравнения:

   

         Решив каждое из них, найдем , , , .

         Уравнения  

         

 не являются по виду алгебраическими, но их можно свести к алгебраическим:

   т.к. , получаем , аналогично

     и

      Пример. Решить уравнение:       

      Решение:

 ,            ,                    ,

                             

   1.,           ,          ,               ,

   2. ,             , .

 Ответ: , , .

      При решении подобного типа уравнений, необходимо помнить формулы:

           ;

             ;

                    

             ;            ;         ;

            ;       ;      .

 а  также формулы из п. 1 – 4.

Подбор уравнений для решения:

     

6)           Однородные уравнения

          Уравнения    и т.д. называют однородными относительно  и. Сумма показателей степеней при  иу всех членов такого уравнения одинакова. Эта сумма называется степенью однородного уравнения. Рассмотренные уравнения имеют соответственно первую, вторую и третью степень.

          Делением на , где  - степень однородного уравнения, уравнение приводится к алгебраическому относительно функции .

           Рассмотрим уравнение  …(1)

Разделим уравнение (1) на  и получим:

    …(2)

           При , уравнения (1) и (2) равносильны, т.к. .

           Если же , то из уравнения (1) видно, что и , что не возможно, т.к. теряет смысл тождество  ( и при одном и том же значении  в нуль не обращаются).

           Из уравнения  (2) определяем значения , а затем находим соответствующие значения . Очевидно, что при   значения  не существуют на множестве R, а потому уравнение (2) в этом случае, а значит и уравнение (1) решений не имеют.

          Уравнение …(3) в таком виде не является однородным, но его можно привести к однородному, умножив его правую часть на :

  

 При  уравнение (3) и (4) – равносильны.

           Из уравнения  (4) находим , а затем соответствующие значения       

   Примеры. Решить уравнение:

   1)       

   Решение:

   Разделим обе части уравнения на :

     ;         ;           ,    .

    Ответ:  ,    .

    2)            

    Решение:

    Разделим обе части уравнения на :

                          ,   .     Ответ: ,   .

    3)

     Решение:

     В условии не указано, что  , а потому делить на  - нельзя. Но можно утверждать, что  , так как в противном случае , что невозможно одновременно. Разделим обе части уравнения на , получим:

 1.       или               2.

                                  

                                                ,           где .  

     Ответ: ,    ,  .  

     4) 

     Решение:

     Умножим правую часть уравнения на , получим:

 

     Очевидно, что . Разделим на , получим:

             и           и ,  .

    Ответ: ,  ,  .

Подбор уравнений для решения:

7)           Уравнения, решаемые разложением на множители

       При решении многих тригонометрических уравнений нужно пользоваться всеми известными способами разложения на множители алгебраических выражений. Это вынесение за скобки общего множителя, группировка, применение формул сокращенного умножения, искусственные приёмы. Необходимо также помнить формулы, указанные в п.5 и формулы , , .

  Пример. Решить уравнение:     

     Решение:

   

 1)    или           2)   

 1. ,             

 2.  ,         ,     .

     Ответ: ,  ,     .

Подбор уравнений для решения:

8)Уравнения, решаемые с помощью формул сложения тригонометрических функций

         Формулы преобразований суммы тригонометрических функций в произведение:

                       

    Пример. Решить уравнение:        

    Решение:

 

                    или   

                            

                          

 ,                 , .

     Ответ: ,    .

Подбор уравнений для решения:

\

9) Уравнения, решаемые с помощью формул сложения углов и     разложения произведения тригонометрических функций в сумму

         Формулы сложения углов и разложения произведения тригонометрических функций в сумму:  

       а)         б)

                            

      Примеры. Решить уравнение:

     1)      - некоторое число.

      Решение:

 

          , тогда        

или    ,       ,       ,       ,    , .

     Ответ: , если   или , если ,  .

     2)

      Решение:

       

      ,  .               Ответ: ,  .

      3)

       Решение:

       ;   ;     ;

       ;          ;       ;

       ;                        , .

      Ответ: , .

Подбор уравнений для решения:

10) Уравнения, решаемые с помощью формул понижения степени

        Формулы понижения степени:

          и .

       Примеры. Решить уравнение:

       1)   

        Решение:

 

             ;     ;         ,            

или       ;     ;            ;              ,  .

       Ответ: , ,  .

       2)

       Решение:

             ;       ;              ,                      

или       ;         ;       , .

      Ответ:  ,  , .

       3)

        Решение:

1.                                          2.

    ,         .

       Ответ:  , .

Подбор уравнений для решения:

В классе с углубленным изучением математики можно познакомить учеников с нестандартными методами решения тригонометрических уравнений: графическим и функциональным.

Функциональный метод

Не всякое уравнение вида f(x)=g(x) в результате преобразований может быть приведено к уравнению того или иного стандартного вида, для которого подходят обычные методы решения. В таких случаях имеет смысл использовать такие свойства функций f(x) и g(x) как монотонность, ограниченность, четность, периодичность и др. Так, если одна из функций возрастает, а другая убывает на определенном промежутке, то уравнение f(x) = g(x) не может иметь более одного корня, который, в принципе, можно найти подбором. Далее, если функция f(x) ограничена сверху, а функция g(x) – снизу так, что f(x)_мах=А  g(x)_мin=A, то уравнение f(x)=g(x) равносильно системе уравнений

Также при использовании функционального метода рационально использовать некоторые теоремы, приведенные ниже. Для их доказательства и использования необходимы следующие уравнения общего вида:

 f(x)=x      (1)

       (2)

Теорема 1. Корни уравнения (1) являются корнями уравнения (2).

Теорема 2. Если f(x) – возрастающая функция на интервале a<f(x)<b, то на данном интервале уравнения (1) и (2) равносильны. Если f(x) – убывающая функция на интервале a<f(x)<b, n - нечетное, то на данном интервале уравнения (1) и (2) равносильны.

Из последней теоремы вытекают следствие, также используемое в решениях:

Следствие 1. Если f(x) возрастает  на всей своей области определения, то на данном интервале уравнения (1) и (2) равносильны. Если f(x) убывает на всей своей области определения, n - нечетное, то на данном интервале уравнения (1) и (2) равносильны.

Теорема 3. Если в уравнении f(x)=g(x) при любом допустимом х выполнются условия f(x)≥a, g(x)≤a, где а – некоторое действительное число, то дано уравнение равносильно системе

Следствие 2. Если в уравнении f(x)+g(x)=a+b при любом допустимом х f(x)≤a, g(x)≤b, то данное уравнение равносильно системе

Функциональный метод решения уравнений часто используется в комбинации с графическим, так как оба эти метода основаны на одних свойствах функций. Иногда комбинацию этих методов называют графоаналитическим методом.

Метод функциональной подстановки

Частным случаем функционального метода является метод функциональной подстановки – самый, пожалуй, распространенный метод решения сложных задач математики. Суть метода состоит в введении новой переменной y=ƒ(x), применение которой приводит к более простому выражению. Отдельным случаем функциональной подстановки является тригонометрическая подстановка.

Тригонометрическое уравнение вида

R(sinkx, cosnx, tgmx, ctglx) = 0                    (3)

где R – рациональная функция, k,n,m,lÎZ, с помощью тригонометрических формул двойного и тройного аргумента, а также формул сложения можно свести к рациональному уравнению уравнению относительно аргументов sinx, cosx, tgx, ctgx, после чего уравнение (3) может быть сведено к рациональному уравнению относительно t=tg(x/2) c помощью формул универсальной тригонометрической подстановки

                                        2tg(x/2)                              1-tg²(x/2)

                             sinx=                               cosx=

                                        1+tg²(x/2)                           1+tg²(x/2)

                                                                                                                 (4)

                                      2tg(x/2)                                 1-tg²(x/2)

                             tgx=                                 ctgx=

                                      1-tg²(x/2)                               2tg(x/2)

Следует отметить, что применение формул (4) может приводить к сужению ОДЗ исходного уравнения, поскольку tg(x/2) не определен в точках x=π+2πk, kÎZ, поэтому в таких случаях нужно проверять, являются ли углы x=π+2πk, kÎZ корнями исходного уравнения.

Практикум

sinx +√2-sin²x + sinx√2-sin²x = 3

Данное уравнение рационально решать методом функциональной подстановки.

Пусть u = sinx и v = +√2-sin²x . Так как –1≤u≤1 и v≥1, то u+v≥0.                            Кроме того, имеем u² + v² =2.

В таком случае из уравнения получаем систему уравнений

 

u + v + uv = 3

u² + v² =2

Пусть теперь r = u+v и s=uv, тогда из системы уравнений следует

 

r + s = 3

r² - 2s = 2

Отсюда с учетом того, что r≥0, получаем r = 2 и s = 1. Следовательно, имеет место

u + v = 2

uv = 1

u = v = 1

Поскольку, u = sinx и u = 1, то sinx = 1 и x = π/2+2πk, kÎZ

Ответ: x = π/2+2πk, kÎZ

cos=x²+1

Данное уравнение рационально решать функциональным методом.

cos≤1                                          x²+1≥1     =>

cos=1            

x²+1=1                                          x=0

Ответ: х=0

5sinx-5tgx

                   +4(1-cosx)=0

  sinx+tgx

Данное уравнении рационально решать методом фунциональной подстановки.

Так как tgx не определен при x = π/2+πk, kÎZ, а sinx+tgx=0 при x = πk, kÎZ, то углы x = πk/2, kÎZ не входят в ОДЗ уравнения.

Используем формулы тангенса половинного угла и обозначим t=tg(x/2), при этом по условию задачи t≠0;±1, тогда получим

 

       2t                 2t

5                  -                          

      1+t²             1-t²                     1-t²

                                       +4    1-              =0

      2t                 2t                       1+t²

                   +              

     1+t²             1-t²

Так как t≠0;±1, то данное уравнение равносильно уравнению

           8t²

-5t² +            = 0 ó-5-5t² + 8 = 0

          1+t²

откуда t = ±√3/5,. Следовательно, x = ±2arctg√3/5  +2πk, kÎZ

Ответ: x = ±2arctg√3/5  +2πk, kÎZ

tgx+ctgx+tg²x+ctg²x+tg³x+ctg³x=6

Данное уравнение рационально решать методом функциональной подстановки.

Пусть y=tgx+ctgx, тогда tg²x+ctg²x=y²-2, tg³x+ctg³x=y³-3y

y³+y²-2y-8=0

y=2

Так как tgx+ctgx=2, то tgx+1/ tgx=2. Отсюда следует, что tgx=1 и x = π/4+πk, kÎZ

Ответ: x = π/2+2πk, kÎZ

2cos πx=2x-1

Данное уравнение рационально решать графическим методом.

Точка пересечения графиков имеет координаты (0,5; 0). Следовательно, х=0,5

Ответ: х=0,5

3+(х-π)²=1-2cosx

Данное уравнение рационально решать функциональным методом.

(х-π)²+2=-2cosx

(х-π)²+2≥2                                                                             -2cosx≤2

    =>  x=π, при k=0

Ответ: x=π

10^|sinx|=10^|cosx|-1

Данное уравнение рационально решать графоаналитическим методом.

Т.к. 10>1, то данное уравнение равносильно следующему:

 |sinx|=|cosx|-1

Точки пересечения графиков имеют координаты ();. Следовательно, х=.

Ответ: х=

Задания:

§ 6. Методика преподавания темы «Тригонометрические неравенства» в курсе алгебры и начал анализа

Решение тригонометрических неравенств стоит в одном ряду с такими важными темами, как решение числовых неравенств и решение систем неравенств с одной переменной. Эта тема изучается после темы «Решение тригонометрических уравнений». Здесь отрабатываются последние нюансы, ученик учится оперировать сложными тригонометрическими конструкциями, но главное, именно сейчас даются основные тригонометрические тождества и производные от них. Помощь этого тригонометрического аппарата трудно переоценить. Знаниями, полученными здесь и сейчас, ученики смогут пользоваться всю оставшуюся жизнь, начинают решение тригонометрических неравенств с самых простейших:

sin x>a, sin x<a; cos x>a, cos x<a; tg x>a, tg x<a.

При решении тригонометрических неравенств вида , где  − одна из тригонометрических функций, удобно использовать тригонометрическую окружность для того, чтобы наиболее наглядно представить решения неравенства и записать ответ. Разберём на примере, как решать такие неравенства.

Решите неравенство .

Рис. Решение неравенства

Нарисуем тригонометрическую окружность и отметим на ней точки, для которых ордината превосходит  (рис. )

Для  решением данного неравенства будут . Ясно также, что если некоторое число x будет отличаться от какого-нибудь числа из указанного интервала на , то  также будет не меньше . Следовательно, к концам найденного отрезка решения нужно просто добавить . Окончательно, получаем, что решениями исходного неравенства будут все .

Ответ. . 

Для решения неравенств с тангенсом и котангенсом полезно понятие о линии тангенсов и котангенсов. Таковыми являются прямые x=1 и y=1 соответственно, касающиеся тригонометрической окружности (рис. ).

Рис.  Линии тангенсов и котангенсов

Легко заметить, что если построить луч с началом в начале координат, составляющий угол α с положительным направлением оси абсцисс, то длина отрезка от точки (1; 0) до точки пересечения этого луча с линией тангенсов в точности равна тангенсу угла, который составляет этот луч с осью абсцисс. Аналогичное наблюдение имеет место и для котангенса.

Пример 2. Решите неравенство .

Обозначим , тогда неравенство примет вид простейшего: . Рассмотрим интервал  длиной, равной наименьшему положительному периоду тангенса. На этом отрезке с помощью линии тангенсов устанавливаем, что . Вспоминаем теперь, что необходимо добавить поскольку T=π – наименьший положительный период функции . Итак, . Возвращаясь к переменной x, получаем, что

Ответ.  

В общем виде имеем следующее. Функции у=sin x , у=cos x имеют основной период T=2π , поэтому неравенства вида sin x>a (sin x<a, sin xa,
sin xa) и cos x>a (cos x<a, cos xa, cos xа) достаточно решить сначала на каком-нибудь отрезке длины 2π. Множество всех решений получим, прибавив к каждому из найденных на этом отрезке решений числа вида . Для решения неравенств вида tg x>a (tg x<a, tg xa, tg xa) и
ctg x>a (ctg x<a, ctg xa, ctg xa) достаточно решить их вначале на интервале длины π. Поскольку функции у=tg x и у = ctg x имеют период π, то прибавляя к найденным на соответствующих интервалах решениям числа вида , получим все решения исходного неравенства.

Вид неравенства	Множество решений неравенства
sin x>a (|a|<1)	x(arcsin a + 2πn, π - arcsin a + 2πn),
sin x<a (|a|<1)	x(–π – arcsin a + 2πn, arcsin a + 2πn),
cos x>a (|a|<1)	x(-arccos a + 2πn, arccos a + 2πn),
cos x<a (|a|<1)	x(arccos a + 2πn, 2π – arccos a + 2πn),
tg x>a	x(arctg a + πn, π/2 + πn),
tg x<a	x(–+ πn, arctg a + πn),
ctg x>a	x(πn, arcctg a + πn),
ctg x<a	x(arcctg a + πn, π + πn),

Затем, освоив данные неравенства, постепенно переходят к более сложным неравенствам, содержащим несколько функций одновременно, содержащим разные функции в разных степенях и к всевозможным  их комбинациям.

Для успешного решения необходимо запомнить следующее:

О косинусе можно сказать следующее:

И наконец тангенс:

 если

 если

Тангенс не существует, если

В большинстве случаев решение тригонометрических неравенств можно сводить при помощи тождественных тригонометрических преобразований и введения вспомогательных неизвестных к решению одного или нескольких неравенств.

Пример:

Решить неравенство

Решение.

Преобразуем .

Тогда .

Положив , получим .

Решение этого квадратного неравенства – интервал .

Тогда имеем . Неравенствовыполняется при любом х. Решая неравенство ,  получим .

Ответ: .

Литература:

1.                 Алимов, Ш.А.  Алгебра и начала анализа 10-11/ Ш.А. Алимов // Учебник - Москва:  Просвещение,  2001. (2)

2.                 Колмогоров, А.Н. Алгебра и начала анализа 10-11 /А.Н. Колмогоров// Учебник - Москва:  Просвещение,  1999. (11)

3.                 Мордкович, А.Г. Алгебра и начала анализа 10-11 /А.Г. Мордкович//   Учебник- Москва:  Мнемозина,  2003. (16)

4.                 Гилемханов, Р.Г.  О преподавании тригонометрии в 10 классе / Гилемханов Р.Г. //Математика в школе. 2001-№ 6 -с. 26-28.

5.                 Бескин, Н.М.  Вопросы тригонометрии и ее преподавания  / Бескин Н.М.  - Москва: Учпедгиз, 1950, 140 с.

6.                 Калинин, С.И.  Задачи и упражнения по началам математического анализа / Калинин С.И., Канин Е.С., Маянская Г.М., Ончукова Л.В., Подгорная И.И., Фалелеева С.А. -  Киров: ВГПУ, 1997.

7.                 Мишин, В.И.  Методика преподавания математики в средней школе (Частная методика) / Мишин, В.И. -  Москва: Просвещение,  1987.

8.                 Мордкович,  А.Г.  Методические проблемы изучения тригонометрии в общеобразовательной школе / Мордкович А.Г.  //Математика в школе. 2002 - № 6 –  с.32-38.

9.                 Шенфельд, Х.  Что  общего между  заходом солнца и функцией       y=sin х [Текст] /Шенфельд Х.   // Математика в школе. 1993-№2- с.75-77.

10.            В. С. Крамор, Повторяем и систематизируем школьный курс   алгебры и начал анализа, Москва, Просвещение, 1990 г.

11.              Тематическое планирование по математике: 10-11 кл.: Кн. для учителя / сост. Т.А. Бурмистрова. – М. : Просвещение, 2003.- 96 с.

12.              Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев. Математика.5-11 классы. Тематическое планирование. М.: Дрофа. -2002.-318 с.

13.              Березанская Е.С. Тригонометрические уравнения и методика их преподавания. Москва: Учпедгиз, 1935. 68 с.

14.              Бородуля И.Т. Тригонометрические уравнения и неравенства. Москва: Просвещение, 1989. 240 с.

15.              Селевко Г.К. Современные образовательные технологии: Учебное пособие. – М.: Народное образование, 1998. – 256 с.

16.              Г.И. Глейзер. История математики в школе. М., Просвещение, 1964 –376 с.

17.              История математики. ( В 2-х томах ) Рыбников К.А. М.: Изд-во Моск. Университета. т.1 - 1960, 191с.; т.2 - 1963, 336с.

18.              История математики от Декарта до середины XIX столетия. Г. Вилейтнер. М.: ГИФМЛ, 1960. - 468 с.

19.              Тригонометрия: Учебное пособие / Ю.Ю. Громов, Н.А. Земской, О.Г. Иванова и др. Тамбов: Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2003, 104 с.