Разработка элективных занятий по теме "Модуль"

Модули. ЕГЭ.

Автор – Прокофьева Тамара Александровна,

учитель МБОУ СОШ №12 г. Дзержинска Нижегородской обл.

Тема «Абсолютная величина» включена в список тем, проверяемых на ЕГЭ 2013.

Тему «Модули» можно углубленно изучать в средней школе:

• во время предпрофильной подготовки в 8-9 классах в рамках элективного курса    «Модуль» - 8 часов, автор Студенецкая В.Н.;
• во время изучения  элективного курса «Алгебра +», автор Земляков А.Н. учащиеся работают с темами «Уравнения с модулями. Раскрытие модулей - стандартные схемы. Метод интервалов при раскрытии модулей. Неравенства с модулями. Схемы освобождения от модулей в неравенствах. Эквивалентные замены разностей модулей в разложенных и дробных неравенствах ("правило знаков"). Задачи с модулями и параметром»;
• во время непрерывного повторения;
• на уроках итогового повторения и обобщения.

Правила решений.

Уравнения:

1)  , где            

2) 

1 способ. По определению модуля данное уравнение равносильно совокупности двух систем:

     1)        2)  «раскрытие модуля изнутри»;

2 способ. По свойству модуля данное уравнение  равносильно совокупности двух систем:

     1)      2)    «раскрытие модуля снаружи»;

3)                  

4)                .

Неравенства:

1)  ,  если , то .

2) , где    .

3)  .

1 способ. По определению модуля данное неравенство равносильно совокупности систем неравенств:   а)    б)   Это «раскрытие модуля изнутри».

2 способ. По свойству модуля   от неравенства  переходим к системе неравенств

3 способ. «Раскрытие модуля снаружи».

             .

4)            

5)           .

6)           .

Особые свойства модуля:

1)   тогда и только тогда, когда  ,

2)    тогда и только тогда, когда   и   ,

3)   тогда и только тогда, когда    .

Выражения, содержащие модули.

1) Найти целое число, равное разности .

Решение.

Сравним числа и . Возведем их в квадрат , , тогда

   и      ,  .

 =  , .

1 способ.

Преобразуем подкоренные выражения:

,

.

.

2 способ.

Возведем равенство в квадрат:

,

,

,

,     т. к. , то .

Ответ. -10

2) Упростить выражение  при .

Решение.

=.

, тогда , ,

                                ,  .

.

Ответ.10

3) Упростить выражение   при всех допустимых значениях переменной.

Решение.

Пусть =, тогда

.

Найдем нули подмодульных выражений:

            

Найденные значения разбивают числовую ось на три числовых промежутка.

Определим знаки подмодульных выражений на этих числовых промежутках:

	-	-	+
	-	+	+

   а) если   , то ,

   б) если   , то  ,

   в) если   , то .

Ответ. , если ;    , если ;   , если .

Уравнения с модулями.

1) Решите уравнение . В ответе укажите наименьший положительный корень (в градусах).

Решение.

Модуль, равный 3 имеют два числа, поэтому рассмотрим два случая:

а) ,                  б) ,

    ,                               ,

    корней нет;                             - наименьший положит. корень.

Ответ. 270

2) Решите уравнение . (Если уравнение имеет более одного корня, то в бланке ответов запишите сумму всех его корней.)

Решение.

Рассмотрим способ «раскрытия модуля снаружи». Данное уравнение равносильно совокупности двух систем:

а)                   б)

     ,                         ,                    

     ,                                     ,

     ,                                          ,

     корней нет при ;                    удовлетворяет условиям системы.

Ответ. 0

3) Решите уравнение . В ответе укажите наименьший положительный корень (в градусах).

Решение.

Раскроем модуль по определению. Этот способ называется «раскрытие модуля изнутри».

Данное уравнение равносильно совокупности двух систем:

а)            б)

     ,                  ,

     ,                                          ,

     корней нет при ;                   ,

                                                                  ;

                                                                    .

- наибольший отрицательный корень.

Ответ. -90

4) Укажите наибольшее решение уравнения .

Решение.

Область определения уравнения .

Перепишем уравнение в другом виде: .

По определению модуля:  при ,

тогда данное уравнение равносильно условию:

           ;

 - наибольшее решение уравнения.

Ответ. 25

5) Решите уравнение . (Если уравнение имеет более одного корня, то в бланке ответов запишите произведение всех его корней.)

Решение.

Данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

а) ,                б) ,

    ,                                     ,

    корней нет;                              ,    .

Ответ. 2

6) Решите уравнение .

Решение.

Область определения уравнения: .

Рассмотрим решение уравнения методом интервалов.

Найдем нули подмодульных выражений:

,             ,

,                 ,

,                            .

Полученные значения разбивают область определения уравнения на три числовых промежутка. Определим знаки подмодульных выражений на полученных промежутках:

	-	+	+
	-	-	+

1)                      ;  

2)                        решений нет;

3)                                  .

Ответ находим как объединение полученных значений   и   .

Ответ. , .

7) Решите уравнение .

Решение.

Область определения определяется условием , при .

Запишем уравнение с учетом формулы сокращенного умножения в виде:

  ,   .

Нули выражений, стоящих под знаками модулей:

,               ,

;                       .

Числовая ось разбивается полученными значениями на три числовых промежутка, на которых подмодульные выражения сохраняют знак.

	-	+	+
	-	-	+

Раскроем в уравнении знаки модулей на полученных промежутках по определению:

1)                    решений нет;

2)         решений нет;

3)                   решений нет.

Ответ. Корней нет.

8) Решите уравнение .

Решение.

Это задание относится к типу «модуль под модулем», или уравнение с «вложенными модулями», которые нужно последовательно раскрыть.

В данной задаче посмотрим способ раскрытия внешнего модуля.

Уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

а) ,                                                б) ,

    ,                                                           ,

     корней нет, т. к.   при ;          ,

                                                                              ,    .

Ответ. , .

9) Решите уравнение  

Решение.

Область определения уравнения находится из условия , ,

 получаем    и .

По свойству модулей    

Данное уравнение равносильно системе:    

,

, с учетом возрастания логарифмической функции с основанием 3 на всей области определения, получаем , , т. е.

и .

        .

Ответ. .

Неравенства с модулями.

1) Решите неравенство .

Решение.

С учетом формулы квадрата суммы, получаем равносильное неравенство

   или   .

Решим полученное неравенство с модулями методом интервалов:

,         ,          ,

;            ;              .

Полученные значения разбивают числовую ось на четыре числовых промежутка. Определим знаки подмодульных выражений на этих промежутках знакопостоянства:

	-	-	-	+
	-	-	+	+
	-	+	+	+

Раскроем знаки модулей на полученных числовых промежутках по определению модуля:

1)                     решений нет;

2)     решений нет;

3)      решений нет;

4)                     .

Ответ. .

2) Укажите наибольшее целое число, которое не входит в область определения функции .

Решение.

В область определения данной функции входит множество положительных чисел, следовательно, любое отрицательное число и ноль не входят в область определения этой функции. Составим неравенство   или . Полученное неравенство равносильно двойному неравенству ,

, . Наибольшее целое решение  неравенства – число 13.

Ответ. 13

3) Найти наименьшее и наибольшее целые числа, являющиеся решениями неравенства .

Решение.

Раскроем внешний модуль. Данное неравенство равносильно двойному неравенству  или системе неравенств:

   

решим отдельно каждое неравенство системы:

а) , используем правило «раскрытия модуля снаружи», получаем равносильное неравенство   или

                         ;

б) , используем правило «раскрытия модуля снаружи», получаем равносильную совокупность неравенств:

              ;

найдем решения полученной системы:     .

Наименьшее и наибольшее целые числа, являющиеся решениями неравенства:   и  .

Ответ.;  .

4) Решить неравенство .

Решение.

Область определения неравенства: .

Данное неравенство равносильно неравенству .

,

,

,

.

     1) не является решением неравенства;

     2) при  : а)  

                                  ,  ,   , , , тогда

                                    при   и, следовательно,

                                    -  решения неравенства;

                              б)  

                                  ,   , ,   ,

                                  , тогда ,

                                    при   и, следовательно,

                                    - решения неравенства;

          получаем, что - решения неравенства;

      3) функция   является четной, т. к. , тогда

              являются решениями неравенства.

Ответ. ,  .

5) Решить неравенство .

Решение.

Неравенство вида   можно решить по алгоритму:

1)      если  то все из области определения системы – решения неравенства;

2)      если  то .

Область определения неравенства определяется условием , т. е. .

   1) если    ,

        ,    

        если , то нет решений полученного неравенства,

        если , то обе части неравенства положительные и можно  возвести в квадрат,                                получаем    , ,

                                и    ,  т. к. , то

                              - решения неравенства;

   2) если , т. е.  , то обе части исходного неравенства можно возвести в квадрат, получаем:

,

,

,  тогда , ;

          .

Объединяя условия   и     получаем решения исх. нерав.  .

Ответ. .

Задания с параметрами.

1) При каких значениях уравнение   а) не имеет корней;

 б) корни принадлежат отрезку .

Решение.

Пусть . Найдем нуль подмодульного выражения

,   .

   если , то , , угловой         коэффициент полученной прямой отрицательный, тогда функция убывает до ;

   если , то,, угловой коэффициент полученной прямой положительный, тогда функция возрастает от .

а) чтобы данное уравнение не имело корней, необходимо и достаточно, чтобы наименьшее значение функции было положительным, т. е. .

, это условие выполняется  при   и .

б) чтобы существовали корни, достаточно требовать ,   и.

      .

Ответ. а) , ; б) .

2) Найти все значения , при каждом из которых неравенство   выполняется для любого .

Решение.

Рассмотрим функцию , нужно найти все значения , при которых .

Найдем нули подмодуульных выражений:

    

   1) Если   и  , то функция ,

           убывает и принимает наименьшее значение при  или ;

   2) если находится на отрезке с концами   и , то функция монотонно возрастает;

   3) если   и  , то функция ,    возрастает и принимает наименьшее значение при  или .

Тогда функция  принимает наименьшее значение при  или .

Чтобы выполнялось при всех условие , нужно, чтобы наименьшее значение этой функции было положительным, т. е.     .

Ответ.                                                                                                                                                                                             3) Найти все значения , при каждом из которых функция  имеет ровно три нуля функции.

Решение.

Составим уравнение , запишем его в виде  и решим графическим способом.

Пусть  и  . Необходимо найти условие пересечения графиков в трех точках. Тогда у уравнения будет три корня и у функции  ровно три нуля.

    При  уравнение имеет единственный корень.

Из семейства параллельных прямых нас интересуют только те, которые пересекают построенный график в трех точках. Очевидно, что таких прямых только две. Они и построены на рисунке.

Для прямой I имеем , тогда .

Для прямой II имеем , тогда

Ответ. , .

Литература.

1. Виленкин Н. Я. Алгебра и математический анализ. 10 класс. Учебник для углубленного изучения математики в общеобр. учрежд. – М.: Мнемозина, 2005 – 335 с.
2. Глазков Ю. А. Математика. ЕГЭ: сборник заданий и методических рекомендаций.- М.: Экзамен, 2010.-333 с.
3. Горнштейн П.И. и др. Задачи с параметрами. М.: Илекса, 1999.- 336 с.
4. Григорьева Т. П. и др. Пособие по элементарной математике: методы решения задач. Часть 2. – Н. Новгород: НГПУ, 2001.- 101 с.
5. Жафяров А. Ж. Математика. ЕГЭ. Решение задач уровня С1. Учебное пособие.- Новосибирск: Сиб. унив. изд-во, 2009.-181 с.
6. Жафяров А.Ж. Математика. ЕГЭ 2010. Экспресс-консультация.-Новосибирск: Сиб. унив. изд-во, 2010.-218 с.
7. Кочагин В. В. ЕГЭ 2010. Математика: Сборник заданий. – М.: Эксмо, 2009. – 208 с.
8. Макарычев Ю. Н. и др. Алгебра. 9 кл.: Учебник для школ и классов с углубленным изучением математики.- М.: Мнемозина, 2004. – 439 с.
9. Макарычев Ю. Н. и др. Алгебра: Дополнительные главы к школьному учебнику 9 кл. – М.: Просвещение, 2000. – 224 с.
10. Математика. 8-9 классы: сборник элективных курсов. Вып.1/ авт.-сост.В. Н. Студенецкая, Л. С. Сагателова.- Волгоград: Учитель, 2007.-205 с.
11. Мерзляк А. Г. и др. Алгебраический тренажер: Пособие для школьников и абитуриентов. М.: Илекса, 2005. – 320 с.
12. Олехник С. Н. и др. Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения. 10-11 классы: Учебно-метод пособие.- М.: Дрофа, 2001. – 192 с.
13. Олехник С. Н. и др. Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения. 10-11 классы: Учебно- метод. пособие. М.: Дрофа, 2001.- 192 с.
14. Садовничий Ю. В. Алгебра. Конкурсные задачи с решениями: учебное пособие. – М.: Экзамен, 2007. – 445 с.
15. Черкасов О. Ю., Якушев А. Г. Математика: Справочник для старшеклассников и поступающих в вузы. М.: АСТ-ПРЕСС ШКОЛА, 2004.- 640с.

Краткое описание документа:

Цели курса: Повторить, обобщить, расширить знания учащихся по теме "Модуль".

Дать общие сведения, определение, геометрический смысл модуля.

Научить преобразовывать выражения с модулями.

Познакомить и научить решать различные типы уравнений и неравенств, содержащие модули, строить графики функций с модулями.