Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Конспекты / Разработка факультативного занятия для 11 класса "Доказательство неравенств с помощью производной"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Разработка факультативного занятия для 11 класса "Доказательство неравенств с помощью производной"

библиотека
материалов



ПРИМЕНЕНИЕ

производной к

доказательству

неравенств


Факультативное занятие по математике для 11 класса




hello_html_5486203c.png

Симоненко Н.М.

учитель математики

Харьковской общеобразовательной школы І-ІІІ ступеней №59









Тема. Применение производной к доказательству неравенств.

Цель: рассмотреть связь между убыванием, возрастанием функций и доказательством неравенств; развивать: логическое мышление; стойкий интерес к математике; умение обобщать и делать выводы; навыки самостоятельной

работы с научной литературой.

Ожидаемые результаты: учащиеся знают как с помощью производной исследовать функцию на возрастание и убывание и умеют применять эти знания к доказательству неравенств.

Структура занятия: І. Теоретические основы.

ІІ. Коллективное решение упражнений на

доказательство неравенств.

III. Самостоятельное решение упражнений.

IV. Математическая викторина.

V. Домашнее задание.


І.Теоретические основы.


Одно из простейших применений производной к доказательству неравенств связано с возрастанием и убыванием функции на промежутке и знаком ее производной.

С помощью теоремы Лагранжа доказана теорема:

Теорема 1. Если функция hello_html_278687bc.gifна некотором интервале hello_html_maaa5890.gifимеет производную hello_html_172bb0dc.gifвсюду на hello_html_maaa5890.gif, то hello_html_278687bc.gifна hello_html_maaa5890.gifмонотонно возрастает; если же hello_html_31d396dc.gif всюду на hello_html_maaa5890.gif, то hello_html_278687bc.gif на hello_html_maaa5890.gifмонотонно убывает.

Очевидным следствием (и обобщением) этой теоремы является следующая:

Теорема 2. Если на промежутке hello_html_maaa5890.gif выполняется неравенство hello_html_1575742.gif, функция hello_html_m7f97fea9.gifиhello_html_m58cda75b.gif непрерывны в точке hello_html_m734afb91.gif и hello_html_424c5c55.gif, то на hello_html_maaa5890.gif выполняется неравенство hello_html_16865faa.gif.

Для выяснения истинности неравенств иногда удобно воспользоваться следующим утверждением, которое непосредственно вытекает из теоремы 1:

Теорема 3: Пусть функция hello_html_m13386cc1.gif непрерывна на hello_html_maaa5890.gifи пусть имеется такая точка с из hello_html_maaa5890.gif, что hello_html_m7d017bf1.gifна hello_html_d28b29.gif и hello_html_172bb0dc.gifна hello_html_1538f239.gif. Тогда при любом х из hello_html_maaa5890.gif справедливо неравенство hello_html_6f52f73c.gif причем равенство имеет место лишь при hello_html_323c261c.gif.


ІІ. Коллективное решение упражнений на доказательство неравенств.

Предлагаю несколько упражнений на доказательство неравенств с использованием теорем указанных выше. Умение доказывать неравенства – это искусство, которое требует четкости логического мышления, научной строгости доказанного, утонченности выводов, уникальности дальнейшего применения. Доказательство неравенств не подлежит алгоритмизации. Каждое неравенство имеет свою специфику доказательства. В этой работе будет рассмотрена только небольшая часть неравенств, для доказательства которых


применяется производная. Приведенные задачи одиннадцатиклассники

могут решать при изучении темы “ Применение производной”.

Задача 1. Пусть hello_html_207c9b26.gif.Докажите истинность неравенства hello_html_m60fc320f.gif. (1)hello_html_m53d4ecad.gif

Решение: Рассмотрим на hello_html_53bf827a.gif функцию hello_html_47d82ec4.gif. Найдем ее производную: hello_html_39f53d0.gif. Видим, что hello_html_m7d017bf1.gifпри hello_html_m135a601.gif. Следовательно, hello_html_m13386cc1.gif на hello_html_m4d2be3eb.gif убывает так, что при hello_html_m3fe446e4.gifhello_html_3d5980a8.gif. Но hello_html_779f73ea.gifhello_html_m1ee49fcd.gif Следовательно неравенство (1) hello_html_m60fc320f.gif верно.


Задача 2. Доказать неравенство: hello_html_7d57010.gif при hello_html_23ace2a3.gif (3)

Решение: Воспользуемся теоремой 2. hello_html_m1b5d2003.gif и hello_html_m5dc9272e.gif, верно неравенство hello_html_m3f19b125.gif: hello_html_130b0749.gif на промежутке hello_html_m5cfdc43f.gifи выполнимо условие hello_html_3e1671e0.gif где hello_html_m734afb91.gif, в данном случае равно 0. Следовательно неравенство (3) верно.

Задача 3. Доказать неравенство: hello_html_5602e8bb.gifhello_html_m64870a39.gif (4).

Решение: hello_html_75455d6d.gif, hello_html_5bf7a77a.gif; hello_html_m6be759a8.gif

Неравенство hello_html_77dfe7ec.gif при любых hello_html_m5547f17b.gif верно. Значит неравенство (4) верно.



Задача 4. Выясним, что больше при hello_html_6448df16.gif: hello_html_m5da91aad.gif или hello_html_87add05.gif.

Решение: Предстоит сравнить с числом 1 дробь hello_html_m52240a64.gif.

Рассмотрим на hello_html_21d13c8c.gif вспомогательную функцию hello_html_1cf3f1d6.gif.

Выясним, будет ли она монотонна на отрезке hello_html_21d13c8c.gif. Для этого найдем ее производную (по правилу дифференцирования дроби):

hello_html_5cae9450.gif

hello_html_11f38363.gifпри hello_html_m3806af8.gif.

В силу теоремы 1 функция hello_html_m13386cc1.gif вырастает на отрезке hello_html_21d13c8c.gif. Поэтому, при hello_html_6448df16.gifhello_html_7bfda539.gif т.е. hello_html_m44ab9775.gif

hello_html_m48052c73.gifпри hello_html_6448df16.gif.


При решении задачи (6) встретился полезный методический прием, если нужно доказать неравенство, в котором участвует несколько букв, то часто целесообразно одну из букв (в данном примере это была буква hello_html_2489d00d.gif) считать переменной, чтобы подчеркнуть это обстоятельство, мы ее заменяли буквой hello_html_m5547f17b.gif, а значение остальных букв (в данном случае значение буквы hello_html_m1fdb6466.gif) считать фиксированными. Иногда приходится при решении одной задачи применить указанный прием несколько раз.


ІІІ.Самостоятельное решение упражнений.

Задача 1. Проверить, справедливо ли при любых положительных hello_html_m724c5496.gif неравенство: hello_html_m478536e2.gif (6).

Решение: Пусть hello_html_m254f045f.gif Рассмотрим функцию

hello_html_1704afb4.gif.

При hello_html_3f38eff.gif имеем hello_html_m1789e73c.gif.

Отсюда видно (теорема 1), что hello_html_m13386cc1.gif убывает на hello_html_m6c76904f.gif Поэтому при hello_html_m3a026aff.gifимеем hello_html_m2c265069.gif т.е. мы получили неравенство:

hello_html_m14d86c65.gif(7).

Теперь рассмотрим другую вспомогательную функцию hello_html_m2a491b4e.gif. При hello_html_251b3f57.gif имеем: hello_html_m6e9d2c5d.gif

Следовательно, hello_html_m8f76b03.gifубывает на hello_html_m3d0446a4.gif, т.е. hello_html_3759b635.gif при hello_html_75b8b8a2.gif значит, hello_html_5e2c50f4.gif (8),

Из неравенств (7) и (8) следует неравенство (6).


Задача 2. Проверьте, справедливо ли для всех действительных х следующее неравенство: hello_html_3c76dd02.gifhello_html_m4f9fa3c3.gif

Решение: Выясним, где функция возрастает, а где убывает. Для этого найдем производную:

Видно, что hello_html_m7d017bf1.gif на hello_html_1c3e6fa4.gif и hello_html_172bb0dc.gif на hello_html_1f5f09f8.gif. Следовательно, в силу теоремы 3 т.е. неравенство (9) справедливо, причем равенство имеет место лишь при hello_html_210b6de.gif.



ІV. Математическая викторина. Учитель задаёт вопросы. Ученики

письменно отвечают.


1. Направленный отрезок. Вектор.

2. Что больше: (cos1800)2 или (сos1800)3? (cos1800)2

3. Отношение прилежащего катета к гипотенузе. Косинус.

4. Самая большая хорда в круге. Диаметр.

5. Решите неравенство: х2 < 2. (-hello_html_a435d1.gif < х < hello_html_a435d1.gif)

6. График обратной пропорциональности. Гипербола.

7. Часть окружности. Дуга.

8. Точка пересечения диаметров окружности. Центр.

9. Наглядное изображение функциональной зависимости. График.

10.Подкоренное выражение в формуле корней квадратного

уравнения.

Дискриминант

11. Правило, схема выполнения действий. Алгоритм.
12. Третья степень числа. Куб.

14. Независимая переменная. Аргумент.

15. Решите неравенство: х2 >3 х<-hello_html_m26550c76.gif или х>hello_html_m26550c76.gif

16. Сотая часть числа. Процент.

17. Другое название двучлена. Бином.

19. Точка пересечения осей координат. Начало координат.



V. Домашнее задание. Доказать неравенства.

Задача 1. Доказать, что если hello_html_23ace2a3.gif, то hello_html_m53724346.gif (1).

Решение: Пусть hello_html_m55af605f.gif Тогда

hello_html_3fa92909.gif

Чтобы найти, при каких значениях hello_html_m5547f17b.gif функция hello_html_m58cda75b.gifположительная, исследуем ее производную hello_html_m3c1a2abc.gif. Так как при hello_html_139594ad.gifhello_html_3ddd3724.gif то hello_html_4ff1a120.gif

Следовательно, функция hello_html_m58cda75b.gifвозрастает при hello_html_139594ad.gif. Учитывая, что hello_html_m2027c026.gif и hello_html_m58cda75b.gif непрерывна, получаем hello_html_da39313.gif, при hello_html_139594ad.gif.

Поэтому hello_html_m7f97fea9.gif возрастает на рассматриваемом интервале. Поскольку hello_html_m7f97fea9.gif непрерывна и hello_html_m429f156d.gif то hello_html_5b154482.gif при hello_html_139594ad.gif. Неравенство (1) верно.


Задача 2. Пусть hello_html_2489d00d.gif и hello_html_m1fdb6466.gifположительные числа, hello_html_ma2215a.gif Тогда очевидно, что hello_html_m69f17a15.gif, hello_html_m4fdb4e23.gif. Можно ли гарантировать, что неравенство hello_html_4410b445.gif (2)

верно а) при hello_html_m3ff3a88c.gif; б) при hello_html_m5d5dc001.gif?

Решение: а) Рассмотрим функцию hello_html_163d7760.gif. Имеем: hello_html_7397eecc.gif

Отсюда видно, что при hello_html_m31c70a02.gifфункция hello_html_m13386cc1.gifвозрастает. В частности, она возрастает на интервале hello_html_m3903cc1e.gif Поэтому при hello_html_36cb1ac8.gif неравенство (2) справедливо.

б) на интервале hello_html_m344ded80.gifhello_html_m7d017bf1.gif, т.е. hello_html_m13386cc1.gif убывает. Поэтому при любых hello_html_2489d00d.gif и hello_html_m1fdb6466.gif, для которых hello_html_m7e09592e.gif, неравенство (2) неверно, а верно неравенство противоположного смысла: hello_html_14c7cead.gif

hello_html_m63939da5.gif

hello_html_2e28ff68.gif

Рис.5

Рис.2 (а)

+

50

Е’

E

hello_html_52c034f2.gif

hello_html_2489d00d.gif

+

1

E’

E



Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 01.01.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров442
Номер материала ДВ-300394
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх