Инфоурок / Математика / Конспекты / Разработка факультативного занятия для 8-10 классов "Теорема Менелая и её использование при решении задач"
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Педагогическая деятельность в соответствии с новым ФГОС требует от учителя наличия системы специальных знаний в области анатомии, физиологии, специальной психологии, дефектологии и социальной работы.

Только сейчас Вы можете пройти дистанционное обучение прямо на сайте "Инфоурок" со скидкой 40% по курсу повышения квалификации "Организация работы с обучающимися с ограниченными возможностями здоровья (ОВЗ)" (72 часа). По окончании курса Вы получите печатное удостоверение о повышении квалификации установленного образца (доставка удостоверения бесплатна).

Автор курса: Логинова Наталья Геннадьевна, кандидат педагогических наук, учитель высшей категории. Начало обучения новой группы: 20 сентября.

Подать заявку на этот курс    Смотреть список всех 203 курсов со скидкой 40%

Разработка факультативного занятия для 8-10 классов "Теорема Менелая и её использование при решении задач"

библиотека
материалов

15







ТЕОРЕМА МЕНЕЛАЯ ТА ЇЇ


ЗАСТОСУВАННЯ



Факультативне заняття для учнів 8-10 класів







Сімоненко Н.М.

вчитель математики

Харківської загальноосвітньої

школи І-ІІІ ступенів №59








Тема. Теорема Менелая та її застосування для розв’язання задач.

Мета: довести теорему Менелая для трикутника та розглянути її застосування для розв’язання задач; розвивати в учнів: стійкий інтерес до математики; логічне мислення; уміння систематизувати матеріал та робити висновки; навички самостійної та творчої роботи з учбовою літературою.

Очікувані результати: учні знають теорему Менелая та уміють її застосовувати при розв’язанні задач.

Структура заняття.

І. Історична довідка.

ІІ. Теоретичний матеріал.

ІІІ. Колективне розв’язання задач.

IV. Самостійне розв’язання задач.

V. Гра «Математична вікторина».

VI. Домашнє завдання.

Хід заняття

І. Історична довідка.

Геометрія починається з трикутника. Якщо взяти шкільний підручник з геометрії, то ми побачимо, що перші змістовні теореми стосуються саме трикутника. Все попереднє – лише аксіоми, означення або найпростіші з них наслідки. На початку свого виникнення планіметрія була “геометрією трикутника”. “Геометрія трикутника” може пишатися теоремами, які носять ім’я Піфагора,Фалеса, Ейлера, Торрічеллі, Лейбниця. На рубежі 19-20 століть завдяки великій кількості робіт, присвячених трикутнику, був створений цілий новий розділ планіметрії – “Нова геометрія трикутника”. Багато з цих робіт зараз виглядають малоцікавими, недосконалими; термінологія, яка використовувалась в них майже забута й зустрічається тільки в енциклопедіях. Але деякі теореми “Нової геометрії” продовжують жити й досі, це теореми Менелая та Чеви.

Теореми Чеви та Менелая можна назвати “двоїстими” теоремами: вони схоже формулюються й доводяться, вони взаємозамінюються при розвязанні задач. Теореми Чеви та Менелая корисні у випадках, коли необхідно “зясувати відношення” між точками та прямими, – наприклад, довести, що будь-які три прямі перетинаються в одній точці, три точки лежать на одній прямій та ін.

Теореми Чеви та Менелая не входять в основний курс шкільної геометрії, між тим вони прості, цікаві й застосовуються при розвязанні досить складних задач.

Сьогодні ми розглянемо теорему Менелая. Теорема Менелая дійшла до нас в арабському перекладі книги «Сферика» грецького математика та астронома Менелая Олександрійського (І-ІІ століття нашої ери). Теорема Менелая дозволяє в деяких випадках знаходити відношення відрізків, а також доводити належність трьох точок одній прямій.


ІІ. Теоретичний матеріал. Перед доведенням теореми треба повторити ознаки подібності прямокутних трикутників.

Теорема Менелая. Нехай задано трикутник hello_html_3d75aca5.gif і три точки hello_html_6019dd3e.gif на прямих hello_html_m604d00ee.gif і hello_html_1410a45f.gif відповідно. Точки hello_html_6019dd3e.gif лежать на одній прямій тоді і тільки тоді, коли

hello_html_73312e70.gif (1)

Зауваження. Іноді добуток відношень в теоремі Менелая записують так:

hello_html_m4fc55de2.gif

hello_html_3be81daf.pngРис. 1.


Доведення.

Необхідність. Нехай пряма hello_html_m34b9d7d.gif перетинає прямі hello_html_m8ee767.gif та hello_html_47988fad.gif в точках hello_html_m2e9ac37d.gif і hello_html_m418fc7f4.gif відповідно (див. рис. 1) і hello_html_2bafb401.gif – перпендикуляри, які опущено з точок hello_html_m6ab46826.gif на пряму hello_html_m34b9d7d.gif. Трикутники ААС1, ВВС1 та ССА1,ВВА1 прямокутні та мають по рівному гострому куту отже вони попарно подібні, тоді маємо відношення:

hello_html_m352988a4.gif.

Перемножимо записані відношення та одержимо:

hello_html_m24018e63.gif.

Достатність. Проведемо пряму hello_html_3e290cad.gif. Ми повинні довести, що ця пряма перетинає hello_html_3c23b8b7.gif в точці hello_html_d1da997.gif. Насамперед доведемо, що hello_html_3e290cad.gif дійсно перетинає hello_html_3c23b8b7.gif. Припустимо, що hello_html_3e290cad.gif паралельна hello_html_3c23b8b7.gif (див. рис. 2). Але тоді

hello_html_2d7686.gif

Звідси та з рівності (1) випливає hello_html_m2dd4aeba.gif, що неможливо.

Нехай hello_html_62651f28.gif – точка перетину прямих hello_html_3e290cad.gif та hello_html_3c23b8b7.gif. По вже доведеному

hello_html_m1de9d58a.gif


hello_html_be67c47.pngРис. 2.

Порівнюючи з умовою, одержуємо, що

hello_html_ad85e37.gif.

Отже, теорема Менелая повністю доведена.


ІІІ. Колективне розв’язання задач.

Теорема Менелая доведена тепер можна розглянути її використання для розв’язання задач

Задача 1. У трикутнику hello_html_m5d63c4e.gif медіана hello_html_62d34f62.gif ділить відрізок hello_html_b48a04c.gif (точка hello_html_5562df21.gif належить стороні hello_html_6fab9345.gif) у відношенні 5:3 , починаючи від вершини hello_html_dc5ac33.gif. У якому відношенні відрізок hello_html_b48a04c.gif ділить медіану hello_html_181b4fbc.gif

Розв’язання.( Треба повторити поняття колінеарних та не колінеарних векторів та додавання векторів за правилом паралелограма).

1-й спосіб. (Векторний).

Нhello_html_20ce72b5.png
ехай hello_html_m1d716b65.gif.

Введемо вектори hello_html_43dcd65b.gif.

Розкладемо вектор hello_html_5a81e72b.gif за неколінеарними векторами hello_html_218c66a6.gif і hello_html_6ff12e38.gif:

hello_html_1f1d3f7f.gif

Оскільки hello_html_5163f79f.gif, то

hello_html_m158081ca.gif,

hello_html_m7b32c05d.gif.

Виходячи з єдиності розкладу вектора hello_html_5a81e72b.gif за неколінеарними векторами hello_html_218c66a6.gif і hello_html_ma0fc96a.gif, маємо:

hello_html_m1fecca3.gif, hello_html_m133dbc73.gif

Відповідь: 3 : 1.

2-й спосіб

Запишемо теорему Менелая для трикутника hello_html_35b9daa.gif і прямої hello_html_m43775bb0.gif

hello_html_48942969.gif

Виходячи з умови, маємо :

hello_html_m31d54101.gif

Запишемо теорему Менелая для трикутника hello_html_m26830d18.gif і прямої hello_html_2d77d377.gif

hello_html_m14328be1.gif

Тоді

hello_html_9809096.gif

hello_html_m1a2be1f2.gif

Відповідь: 3 : 1.

Задача2. У трикутнику hello_html_m5d63c4e.gif відрізок hello_html_b48a04c.gif (hello_html_5562df21.gif належить стороні hello_html_6fab9345.gif) ділить медіану hello_html_62d34f62.gif у відношенні 3:4, починаючи від вершини hello_html_956f7f1.gif. У якому відношенні точка hello_html_5562df21.gif ділить сторону hello_html_6fab9345.gifhello_html_m76930f70.gif

Розвязання.(Спочатку треба повторити теорему Фалеса).

1hello_html_m107710c4.png
-й спосіб



Проведемо hello_html_m794b3fea.gif За умовою hello_html_48df6920.gif За теоремою Фалеса hello_html_1dd9fded.gif. Нехай hello_html_m5f46bd5d.gif, тоді

hello_html_m7dcf6f3a.gif

hello_html_6ab34749.gif

Відповідь: 3:8.

2-й спосіб

Запишемо теорему Менелая для трикутника hello_html_6c38a448.gif і прямої hello_html_b48a04c.gif:

hello_html_m14328be1.gifТоді hello_html_m39ca3330.gif.

Відповідь: 3 : 8 .

На прикладі розв’язання цих задач видно, що за допомогою теореми Менелая вони розв’язуються набагато простіше.

Задача 3. Висота hello_html_35a5f52f.gif рівнобедреного трикутника hello_html_m5d63c4e.gif з основою hello_html_1410a45f.gif поділена на три рівні частини. Через точку hello_html_dc5ac33.gif та точки поділу проведено прямі, які ділять бічну сторону, що дорівнює hello_html_m57f089ff.gif см, на три відрізки. Знайти ці відрізки.

Розвязання.

hello_html_b60759c.gif

Запишемо теорему Менелая для трикутника hello_html_5ea82282.gif і прямої hello_html_62d87a17.gif:

hello_html_5cf10606.gif,

hello_html_24834fea.png

hello_html_175c9fe.gif, hello_html_m1fcb4c04.gif

Звідси hello_html_m2e4c7364.gifсм , hello_html_4ecf8565.gif см.

Запишемо теорему Менелая для трикутника hello_html_5ea82282.gif і прямої hello_html_m27e6df63.gif:

hello_html_71edca51.gif

hello_html_m647c1d2.gif, hello_html_6eab997e.gif

Звідси hello_html_m262e1783.gifсм, hello_html_3e4f508f.gif(см)

Відповідь: 12 см, 18 см, 30 см.

Задача4. Через середину hello_html_m5ed780d7.gif сторони hello_html_6fab9345.gif паралелограма hello_html_6df2e6b5.gif , площа якого дорівнює 1, і вершину hello_html_dc5ac33.gif проведено пряму, яка перетинає діагональ hello_html_m7b262252.gif у точці hello_html_m1d5b97d8.gif. Знайти площу чотирикутника hello_html_6489e692.gif.

Розвязання.

Запишемо теорему Менелая для трикутника hello_html_659ec179.gif і прямої hello_html_62d87a17.gif:

hello_html_m7ee656b2.gif

hello_html_57dbbb82.gifhello_html_m455b67d2.png
, hello_html_mc60e5ba.gif



Оскільки площі трикутників з рівними висотами відносяться як основи, тоді

hello_html_m752f3fb4.gif

hello_html_2a1390d2.gif

Відповідь: hello_html_7bbc5706.gif.


IV. Самостійне розв’язання задач.

Задача1. У трикутнику hello_html_m5d63c4e.gif на стороні hello_html_1410a45f.gif взято точку hello_html_m6f8b1f47.gif , а на стороні hello_html_6fab9345.gif точки hello_html_25da1020.gif і hello_html_6205ce8b.gif так , що hello_html_m5dd5f684.gif і hello_html_36917d93.gif. У якому відношенні пряма hello_html_m7ac67ffd.gif ділить відрізок hello_html_1b695d0a.gif.

Розвязання.

За умовою hello_html_m6b82f6b9.gif .

hello_html_mab2e5a5.gif.

hello_html_m45c9fd69.png

Запишемо теорему Менелая для трикутника hello_html_4cd58da4.gif і прямої hello_html_m7ac67ffd.gif:

hello_html_6b0eef3b.gif,

hello_html_3d7a8a87.gif,

hello_html_272dc11a.gif.

Відповідь: 11 : 3.

Задача2. На сторонах hello_html_1410a45f.gif і hello_html_6fa0a630.gif трикутника hello_html_m5d63c4e.gif дано відповідно точки hello_html_m5ed780d7.gifі hello_html_a408c35.gif такі , що hello_html_m5b15cc35.gif.У якому відношенні точка hello_html_4da54091.gif перетину відрізків hello_html_m27edea18.gif і hello_html_6a65c028.gif ділить кожен з цих відрізків ?

Розв’язання.

Запишемо теорему Менелая для трикутника hello_html_m144b1451.gif і прямої hello_html_15b416a2.gif:

hello_html_m797da095.gifhello_html_42cff41b.png
.

hello_html_m470e9620.gif, hello_html_6f77494c.gif

Запишемо теорему Менелая для трикутника hello_html_3dd2a4dc.gif і прямої hello_html_6a38e9ee.gif:

hello_html_m1f4632eb.gif,

hello_html_2e69cee2.gif, hello_html_31ac2529.gif

Відповідь: hello_html_6f77494c.gif , hello_html_31ac2529.gif.

Задача3. З вершини hello_html_55622e42.gif прямого кута трикутника hello_html_1e2bae50.gif проведено висоту hello_html_5911f4dd.gif, а в трикутнику hello_html_m4174744b.gif проведено бісектрису hello_html_2e05bc76.gif. Пряма, що проходить через точку hello_html_1d679a57.gif паралельно hello_html_2e05bc76.gif, перетинає hello_html_5911f4dd.gif у точці hello_html_m10ce8f2a.gif. Довести, що пряма hello_html_mc64a8fa.gif ділить відрізок hello_html_75ae99b6.gif навпіл.

Рhello_html_m16a620a6.png
озв
язання.



Нехай hello_html_m7566a0da.gif , тоді hello_html_50142c5a.gif, hello_html_4a19c1bc.gif.

hello_html_460e3ebe.gif(hello_html_2e05bc76.gif - бісектриса).

hello_html_632fdf7d.gif

hello_html_7052c054.gif.

Тому hello_html_5951f9fc.gif - рівнобедрений, hello_html_3ccaa060.gif.

Запишемо теорему Менелая для трикутника hello_html_1c96db2a.gif і прямої hello_html_m6ee6ea3.gif:

hello_html_m7e04013b.gif

Трикутники hello_html_m77c32c35.gif і hello_html_39c94ff4.gif подібні,

hello_html_70a61210.gif.

Тоді

hello_html_m5481611b.gif

hello_html_m5b2478c8.gif

hello_html_m7b1a788f.gif

hello_html_m6113917c.gif (1)

З подібності трикутників hello_html_77b89aaa.gif і hello_html_m4174744b.gif запишемо:

hello_html_m63b17304.gif (2)

З трикутника hello_html_m231dcf7a.gif за властивістю бісектриси:

hello_html_e149b65.gif (3)

Порівнюючи співвідношення (1), (2), (3) маємо:

hello_html_38f49f52.gif

Підставимо знайдений результат у теорему Менелая :

hello_html_m7e04013b.gif, hello_html_m47ed0c7a.gif

Тобто hello_html_m795dfbe6.gif, що і треба було довести.


V. Гра « Математична вікторина»


( Учні уважно слухають питання , які задає вчитель. Відповідь дають усно).


1. Вони такі непомітні, але дуже потрібні, важливі. В геометрії без них неможливо обійтися.

(Крапка)

2. Майже всі приміщення мають таку форму. І зараз ми знаходимося всередині такого приміщення.

(Паралелепіпед)

3. Яка теорема називається „магістр математики”?

(Теорема Піфагора)

4. Якщо квадрат і ромб мають однакові сторони, то площа якої фігури більша?

(Площа квадрата більша, оскільки висота ромба менша за його сторону)

5. Вітрина, актриса, тритон. Яке число об’єднує всі ці слова?

(Три)

6. Що більше cos 40º чи sin 50º?

(cos 40º = sin (90º – 40º) = sin 50º)

7. Якому вченому належать слова:„Математику вже тому вчити треба, що вона розум до порядку приводить».

(М. В. Ломоносов)

8. Як знайти центр кола, користуючись тільки косинцем?

(Покласти вершину прямого кута в точку кола так, щоб його сторони перетинали коло. Відмітити ці точки перетину, потім з’єднати їх – дістанемо діаметр кола. Таким самим методом побудувати другий діаметр. Їх точка перетину і буде центром кола)

9. Поясніть переклад і походженння слова «геометрія».

(«Гео» - земля, «метрейн» - виміряти)

10. Кому належать слова «Математика – це політ»?

(В. Чкалов)

11. Яке велике творіння давньогрецької математики лежить в основі підручника геометрії для середньої школи в усіх країнах світу? Хто її автор?

(Лежить відоме «Начало» Евкліда, написані в IV столітті до н. е.)

12. Для перевірки того, що вирізаний кусок має форму квадрата, кравчиня перегинає його по кожній з діагоналей і переконується, що краї обох частин співпадають. Чи достатня така перевірка?

(Ні, оскільки вказані дії задовільняють також і ромб)


VІ. Домашнє завдання. Розв’язати задачі.

Задача 1. Нехай hello_html_m7b2d1725.gif – медіана трикутника hello_html_m5d63c4e.gif. На hello_html_m7b2d1725.gif взята точка hello_html_5562df21.gif так, що hello_html_m7d3592b5.gif. В якому співвідношенні пряма hello_html_b439539.gif ділить площу трикутника hello_html_m5d63c4e.gif?

Рhello_html_23257361.png
озв’яз
ання.



Відношення площ трикутників hello_html_1ee63734.gif та hello_html_m26568ac0.gif дорівнює відношенню відрізків hello_html_m3b0556c8.gif та hello_html_m379c051b.gif Застосовуючи теорему Менелая до трикутника ACD та прямої BP, маємо

hello_html_m10bb1f60.gif,

hello_html_m13123395.gif, hello_html_8d03a59.gif.

Відповідь: AP:PC=3:2.

Задача 2. В hello_html_4f0d3932.gif бісектриса hello_html_m7b2d1725.gif поділяє hello_html_6fab9345.gif в відношенні 2:1. В якому відношенні медіана hello_html_m5f5a62fd.gif поділяє цю бісектрису ?

Рhello_html_m27093602.gifозвязання.








Застосовуємо теорему Менелая до трикутника hello_html_3df49132.gif та прямої hello_html_m5f5a62fd.gif

hello_html_m1251f842.gif.

Так як hello_html_m5f5a62fd.gif – медіана, то hello_html_2882b890.gif, ВС=ВDD звідси

hello_html_m2de86346.gif

hello_html_m929b98e.gif

hello_html_1b877d26.gif.

Відповідь: hello_html_1121fd90.gif.

Общая информация

Номер материала: ДВ-306070

Похожие материалы