Разработка интегрированного урока по теме "Применение интеграла в практике", 11 класс (физика+математика)

Интегрированный урок по теме

«ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕГРАЛА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ»

Предметы преподавания:   физика, математика

Класс:                                                               11

Учителя: Могилев Дмитрий Викторович, учитель физики высшей категории, стаж 30 лет

                      Антипина Галина Васильевна, учитель математики высшей категории, стаж 37 лет

Учебное заведение:                       ГУ УВК «Лицей»

Адрес учебного заведения: ул. Кирова, 90, г. Риддер, Восточно Казахстанская область

e-mail :                                                             [e-mail]

Разработка открытого интегрированного урока в 11 классе по теме
«Применение интеграла для решения практических задач»

Урок проводят учитель физики и учитель математики

Цели:

Ø  Научить составлять математическую модель конкретного процесса и разрешать проблему методами дифференциального исчисления. Показать интеграцию математики с физикой, техникой, строительством

Ø  Развить интеллектуальные способности, умение наблюдать, сравнивать, строить гипотезы и делать выводы, применять знания в комплексе, осуществлять их перенос в новые условия.

Ø  Воспитывать интерес к предметам естественно – математического цикла, содействовать профессиональной ориентации, увязывая учебные задачи с задачами, решаемыми на производстве. Формировать мировоззренческую идею об обусловленности развития науки потребностями производства

Оборудование урока:

Ø  компьютер;

Ø  проектор;

Ø  электронный учебник «Видео задачник по физике»;

Ø  презентация задач в PowerPoint;

Ø   приборы для опыта.

Тип урока:

Ø  Урок комплексного применения знаний.

Структура урока:

Учитель физики	Учитель математики	Реализуемые цели	Ученики	Техническое обеспечение	Планируемое время (мин)
	Вводная беседа	Настроить учащихся на творческую работу			1
Эксперимент. Формулировка гипотезы.		Развитие умения наблюдать, строить гипотезы	Наблюдают, высказывают предположения, формулируют свойства, используют известные законы	Приборы и материалы: мерная линейка, бутылка с отверстием малого диметра, лоток для воды, подъемный столик	4
	Построение математической модели процесса	Развитие умения выделять главное, отбрасывать второстепенное, применять нужные математические формулы	Участвуют в построении математической модели, ведут записи в тетрадях		5
Беседа о зависимости скорости струи от внешних условий, вывод соответствующей формулы		Применение ранее полученных знаний для вывода нужной формулы,	Участвуют в беседе, ведут записи в тетрадях		3

	Консультация учеников по решению полученного дифференциального уравнения, выводы	Развитие умений решать дифференциальные уравнения, развитие способностей делать выводы по полученным математическим результатам.	Самостоятельно решают полученное дифференциальное уравнение под руководством учителя, делают выводы о состоятельности высказанной гипотезы.		5
Повторное проведение эксперимента в компьютерном варианте. Подведение итогов.		Научить четко формулировать и комментировать полученные результаты по исследования.	Уточняют формулировку гипотезы, анализируют полученные результаты, делают выводы о верности гипотезы.	Проектор: опыт «Полет струи» А. И. Фишман, А. И. Скворцов, Р. В. Даминов, «Видеозадачник по физике», часть 3. Казанский государственный Университет	3

	Постановка новой проблемы	Научить самостоятельно решать практические задачи	Делают в тетрадях чертеж, соответствующие обозначения	Проектор: презентация задачи о давлении на стенку плотины.	3
Беседа о физических составляющих: давление, сила давления.		Развитие умений привлекать для решения проблемы знания из смежных областей	Вспоминают соответствующие формулы из физики		2
	Составление плана решения задачи. Консультация в ходе самостоятельной работы учеников.	Научить учащихся правильно планировать свою работу. Развитие умений самостоятельно искать пути решения задачи.	Самостоятельно составляют математическую модель и решают полученное дифференциальное уравнение		7
	Проверка полученных результатов.	Развитие умений самоконтроля. Демонстрация практической значимости теоретических знаний	Проверяют свое решение, делают соответствующие выводы.		2
Организация работы в группах. Консультация по решению выбранной проблемы.	Организация работы в группах. Консультация по решению выбранной проблемы.	Развитие интеллектуальных способностей: умения наблюдать, сравнивать, строить гипотезы. Развитие коммуникативных способностей, самостоятельности и творческой активности. Привитие интереса к исследовательской работе.	Просмотрев предложенные задачи, разбиваются на группы, в которых обсуждают свои гипотезы по решению задачи, составляют план её решения.		8
	Подведение итогов урока, домашнее задание				2

Ход урока

1.    Вводная беседа (учитель математики)

Любое научное открытие проходит несколько стадий. Начало всему – наблюдение. Это или специальный эксперимент, или наблюдение за каким-то процессом или явлением, в результате которого выявляются какие-то закономерности. Заметив эти закономерности, наблюдатель формулирует гипотезу. Затем строится математическая модель этого явления, проводятся математические исследования, и гипотеза или доказывается или опровергается.

В практической деятельности человеку для принятия правильного решения, для построения прогноза результатов его деятельности необходимы математические расчеты, то есть построение и анализ математической модели его деятельности. Недаром физики шутят, перефразируя известное изречение: «Математика – царица наук и служанка физики».

Сегодня мы с вами будем выступать в роли таких исследователей, решая конкретные задачи. Начнем с эксперимента. Попытаемся заметить некоторые закономерности, сформулировать их, а потом исследовать.

Вам понадобятся все ваши знания не только по физике, но и по математике, в полной мере пригодится ваша интуиция и умение выделить главное в наблюдаемом явлении, умение довести рассуждения до логического конца и сделать соответствующие выводы о высказанной гипотезе.

Итак, давайте проведем69 простой физический эксперимент и объясним увиденное с помощью математики .

2.    Эксперимент (учитель физики).

Вопрос 1

В высокой пластмассовой бутылке (рис. 1) возле дна просверлим отверстие небольшого диаметра. Закрыв отверстие пальцем, нальем в бутылку некоторое количество воды так, чтобы ее верхний уровень был выше проделанного отверстия, и плотно закроем сверху пробкой. Откроим боковое отверстие, дав воде возможность свободно выливаться. Вода начнет выливаться из отверстия, но через некоторое время этот процесс прекратится, хотя ее верхний уровень по-прежнему будет выше отверстия. Почему вода не выливается из бутылки, когда она была закрыта пробкой?

рис. 1

Объяснение явления:

Согласно законам механики, некоторая часть жидкости вблизи отверстия может начать двигаться, если равнодействующая всех сил, приложенных к ней, будет отлична от нуля. Силы, с которыми отдельные части неподвижной жидкости (или газа) взаимодействуют между собой, определяются величиной давления. Непосредственно после того, как бутылку заполнили водой и закрыли пробкой, давление внутри бутылки вблизи отверстия будет больше атмосферного (p) на величину гидростатического давления на глубине h, где в начальный момент находится отверстие.

Считая процесс изотермическим и учитывая, что начальное давление газа под пробкой было равно атмосферному, то есть P₀, запишем закон Бойля-Мариотта:

,

где              V₀ – начальный объем воздуха под пробкой;

                   V – конечный объем воздуха под пробкой;

                   P_i – конечное давление воздуха под пробкой.

По мере вытекания воды, объем газа под пробкой будет увеличиваться, а его давление – падать. Рано или поздно установится равенство:

При этом вытекание воды прекратится.

рис. 2

Вопрос 2

Найти зависимость дальности полета струи L от времени (рис. 2).

Объяснение явления:

Будем измерять дальность полета струи через равные промежутки времени. Заметим, что через равные промежутки времени дальность струи меняется на равные величины. Сформулируем соответствующую гипотезу.

Построение математической модели (учитель математики).

рис. 3

Рассмотрим два сечения потока жидкости. Первое, площади S, вблизи поверхности жидкости, внутри бутылки на расстоянии h от начальной поверхности жидкости, а второе площади s, непосредственно после отверстия вне бутылки. Дадим h некоторое приращение ∆h, тогда ∆V=S ∆h, где S- площадь сечения бутылки. Этот объем жидкости выльется за некоторое время ∆t из отверстия площадью s. Тогда ∆V=s u ∆t, где u – скорость вытекания воды из отверстия. Как найти эту скорость нам подскажет физика.

Определение скорости вытекания струи (учитель физики).

По мере вытекания воды из бутылки потенциальная энергия верхнего слоя, находившегося на высоте h над отверстием, превращается в кинетическую энергию струи. Запишем закон сохранения энергии:

                                          ,                                                                                     (1)

откуда получим выражение для скорости струи вблизи бокового отверстия:

                                          .                                                                                       (1а)

Составление и решение дифференциального уравнения (учитель математики).

                                                                  ,                                                                                   (2)

Знак (-) в выражении (3)ставим потому, что высота жидкости по мере ее вытекания уменьшается.

(1а)→(2)Þ                                                .                                                                           (3)

Разделив переменные, получим:

                                          ,                                                                            (3а)

проинтегрировав обе части этого уравнения и, получим:

                                          ,                                                                         (4)

откуда придем к выражению:

                                          ,                                                                         (5)

где h –начальное значение уровня воды в бутылке.

 Выявление зависимости длины полета струи от высоты жидкости в бутылке (учитель физики).

Направление скорости струи в момент вылета из бутылки горизонтально. Оценка значения скорости с использованием этого выражения дает величину около 2 метров в секунду. При таких скоростях сопротивление воздуха мало. Тогда, вне бутылки вода будет двигаться только под действием силы тяжести.

Выделим в струе небольшой объем и рассмотрим его свободное падение. Разлагая движение выделенного объема на движения вдоль горизонтальной и вертикальной осей, получим следующие выражения:

                                                                                                                                       (6)

и                                                                ,                                                                                          (7)

где t – длительность падения выделенного объема. Из уравнений (1а), (6) и (7) легко получить равенство:

                                                                  ,                                                                                (8)

из которого следует, что зависимость от времени дальности полета определяется изменением со временем величины h – уровня воды в бутылке.

(5)→(8)Þ                                                 ,                                                              (9)

Наблюдение эксперимента в компьютерном варианте:

                   

                                                    рис. 4                                                                                                         рис. 5

Формулировка выводов, полученных в результате проведенных исследований:

пренебрегая сопротивлением воздуха и внутренним трением, мы доказали, что дальность полета струи L  равномерно меняется со временем, что и наблюдалось в эксперименте.

3.    Постановка новой задачи. Демонстрация компьютерной презентации задачи, её анализ (учитель математики).

рис. 6

Найти силу давления, оказываемую водой на плотину, имеющую форму треугольника, обращенного вершиной вниз, если основание треугольника равно L, а его высота равна h.

Беседа о физических составляющих задачи (учитель физики).

∆р = l(x) x ∆x; l (x) = (h-x) l / h, ∆р = x (h-x) l ∆x / h

Консультация в ходе самостоятельного решения задачи учениками (учитель физики, учитель математики)

Проверка решения по презентации (учитель математики)

Решение

                                                                        (1)

                                                        (2)

4.    Организация работы в группах (учитель физики, учитель математики).

Мы вам продемонстрируем 3 проблемы, связанные с конкретными процессами. По окончании демонстрации вам нужно будет разделиться на группы по интересам, и каждая группа будет решать ту проблему, которая им показалась интересной. Итак, внимание на экран.

Проблема 1 (учитель математики)

рис. 7

Вода вытекает из цистерны, лежащей горизонтально, длиной L=8м и радиусом R=1м, через отверстие внизу цистерны площадью S=0,1м².Через сколько времен вся вода вытечет из полностью заполненной цистерны?

Объяснение явления:

рис. 8

Решение:

                 AO=R; AC=0,5AB; OC=|R-x|; AB=l=2AC;                 

                 ;                                 

                 ;                                                             

                 DV=8lDx;                                                                        

                                                                                 

Проблема 2 (учитель физики)

Взял больше - побежал дальше

На стеклянной поверхности расположено несколько монет. Выровняем эти монеты с помощью линейки и, придерживая один конец линейки, резко ударим вторым концом.

рис. 9

рис. 10

Монеты выстраиваются вдоль некоторой кривой. Получите уравнения кривой, вдоль которой стремятся выстроиться монеты.

Объяснение явления:

рис. 11

Поскольку в задаче не требуется объяснять, каким образом система перешла в конечное состояние, а необходимо лишь проанализировать параметры этого состояния, то для решения поставленной задачи используем законы сохранения.

Введем систему координат, как показано на рисунке. Ось 0x проходит через точки, в которых находились центры тяжести монет до того, как по ним ударили линейкой. Так как взаимодействие монет и линейки длится малое время, то можно считать, что x – координаты центров тяжести монет будут оставаться равными своим начальным значениям – x_i.В течении времени удара (пусть и очень малого) монеты будут двигаться вместе с  линейкой. Это значит, что скорости монет u_i в момент времени сразу после удара равны скоростям точек P_i в которых линейка касалась монет. Но скорости точек P_i пропорциональны расстоянию до оси вращения линейки (точка 0 на рисунке), т.е. x_i. Следовательно, u_I ~ x_i.

Сразу после удара монеты имеют кинетические энергии

                                             ,                                                                               (1)

где m – масса монеты.

В конечном состоянии, в результате работ силы трения, кинетические энергии монет будут равны нулю. При перемещении монеты на величину y_i сила трения совершает работу A_i равную

                                                                                             A_i=kmgy_i                                                                 (2)

где k – коэффициент трения монеты о стекло, g – ускорение свободного падения.

Из закона сохранения энергии

                                                                                             A_i=DK_i=0-K_i                                                           (3)

Отсюда, конечные координаты центров тяжести монет связаны соотношением

                                                                                             y_i~x_i                                                                        (4)

Это – уравнение параболы.

Очевидно, что в силу небольшого отличия в монетах и свойствах поверхности вдоль траектории движения монет, могут наблюдаться случайные отклонения от найденной закономерности, что хорошо просматривается при сравнении рисунков 11 и 12.

                              

                                                      рис. 12                                                                                                   рис. 13

Проблема 3 (учитель физики)

На двух нитях подвешена воронка (рис.11). Нити соединены прищепкой. Насыпим в воронку песок и заставим систему колебаться.

рис 14

Вы видите, что воронка нарисовала замысловатую фигуру.

рис. 15

Изменив соотношение этих длин мы получим новую фигуру.

рис. 16

Форма этих фигур зависит от соотношения длин двойной и одинарной веревок.

.

Рис. 17

Определите, при каком соотношении длин l и L получается последняя фигура, изображенная на рис. 16.

Решение предложенной задачи:

рис. 18

Нити AC, BC и CD (см. рис. 18.) находятся всегда в одной плоскости, поскольку из просмотра видеофрагмента можно заключить, что прищепка достаточно легкая.

рис. 19

Воронка имеет возможность совершать колебания в двух плоскостях: в плоскости рисунка 18 (обозначим ее через X) относительно оси C на нити длиной l и перпендикулярной ей плоскости рисунка 19 (обозначим ее через Y) вокруг оси AB на нити, общей длины L. Таким образом, движение воронки в плоскости X можно рассматривать как колебание математического маятника длины l с частотой

                 ,                                                              (1)

а в плоскости Y – как колебание математического маятника длиной L с частотой

                                                                                (2)

Если отношение частот равно отношению целых чисел m и n, т.е.

                 ,                                                                      (3)

то траектория воронки оказывается замкнутой и движение является периодическим. Действительно, воронка окажется в той же точке траектории, если за время t колебания в плоскостях X и Y изменят свои фазы на величины, кратные 2p, т.е.

                                                                                 (4)

и                                  .                                                      (5)

В этом случае за время t воронка успеет совершить в плоскости X n полных колебаний, а в плоскости Y – m колебаний. Из последних двух выражений следует соотношение (3).

Образующиеся траектории (см. рис. 20 и рис. 21) называются фигурами Лиссажу (Жуль Антуан Лиссажу (1822 – 1880), французский физик).

     

                     рис. 20                                                        рис. 21

В первом эксперименте, пока воронка двигалась от точки M к точке N и обратно к точке M (рис. 20), она успела совершить 4 полных колебания в плоскости X (n=4) и 3 – в плоскости Y (m=3).

рис. 22

Во втором эксперименте (рис. 22), очевидно, что за время движения по траектории MNM (рис. 21) воронка успеет совершить в плоскости X (n=3) и 2 в плоскости Y (m=2). Следовательно,

                        ,                                                    (6)

откуда определяется искомое отношение длин:

                        ,                                                        (7)

5.    Подведение итогов. Домашнее задание (учитель математики).

Как говорил Ж. Фурье, математика позволяет заглядывать в недоступные области космоса и глубины земного шара, делает их как бы видимыми и измеримыми. Моделирование окружающих нас явлений и изучение возникающих моделей позволяет предсказывать их развитие. В этом состоит одна из главных задач математики. Мы сегодня почувствовали себя в роли исследователей, наблюдающих и анализирующих некоторые явления. Домашним заданием будет попытка математически доказать ту гипотезу, которую Вы выдвинули, работая в группах.

6.    Оглавление

Разработка открытого интегрированного урока в 11 классе по теме  «Применение интеграла для решения практических задач».. 1

Цели:. 1

Оборудование урока:. 1

Тип урока:. 1

Структура урока:. 2

Ход урока.. 5

1.     Вводная беседа (учитель математики) 5

2.     Эксперимент (учитель физики). 6

Вопрос 1.. 6

Объяснение явления:. 6

Вопрос 2.. 7

Объяснение явления:. 7

Построение математической модели (учитель математики). 8

Определение скорости вытекания струи (учитель физики). 8

Составление и решение дифференциального уравнения (учитель математики). 8

Выявление зависимости длины полета струи от высоты жидкости в бутылке (учитель физики). 9

Наблюдение эксперимента в компьютерном варианте: 10

Формулировка выводов, полученных в результате проведенных исследований: 10

3.     Постановка новой задачи. Демонстрация компьютерной презентации задачи, её анализ (учитель математики). 11

Беседа о физических составляющих задачи (учитель физики).. 11

Консультация в ходе самостоятельного решения задачи учениками (учитель физики, учитель математики). 11

Проверка решения по презентации (учитель математики). 11

4.     Организация работы в группах (учитель физики, учитель математики). 12

Проблема 1 (учитель математики). 12

Объяснение явления:. 12

Проблема 2 (учитель физики). 13

Объяснение явления:. 13

Проблема 3 (учитель физики). 15

Решение предложенной задачи:. 16

5.     Подведение итогов. Домашнее задание (учитель математики). 17

6.     Оглавление. 18