Разработка курса по выбору "Неравенства"

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Математическое образование в системе основного общего образования занимает одно из ведущих мест, что определяется безусловной практической значимостью математики, ее возможностями в развитии и формировании мышления человека, ее вкладом в создание представлений о научных методах познания действительности.

Актуальным остается вопрос дифференциации обучения математике, позволяющей, с одной стороны, обеспечить базовую математическую подготовку, а с другой – удовлетворить потребности каждого, кто проявляет интерес и способности к предмету.

Программа курса «Неравенства» предполагает изучение таких вопросов, которые не входят в школьный курс математики основной школы, но необходимы при дальнейшем ее изучении. Рассматриваемая тема позволяет сделать достаточно полный обзор не только изученных типов неравенств и их систем, а также других задач, решение которых сводится к решению неравенств и систем. Решение таких задач будет способствовать развитию логического мышления, приобретению опыта работы с заданием более высокой по сравнению с обязательным уровнем сложности, формированию математической культуры учащихся.

Ц е л я м и  д а н н о г о  к у р с а  я в л я ю т с я:

1. Создание условий для самореализации учащихся в процессе учебной деятельности.

2. Развитие математических, интеллектуальных способностей учащихся, обобщенных умственных умений.

Д л я  д о с т и ж е н и я  п о с т а в л е н н ы х   ц е л е й  в процессе обучения решаются следующие задачи:

1. Приобщить учащихся к работе с математической литературой.

2. Выделять логические приемы мышления и способствовать их осмыслению, развитию образного и ассоциативного мышления.

3. Обеспечить диалогичность процесса обучения математике.

Курс предназначен для учащихся 9 классов, рассчитан на 12 часов аудиторного времени.

Курс призван помочь ученику оценить как свой потенциал с точки зрения перспективы дальнейшего обучения в классах технологического и естественнонаучного профилей, так и повысить уровень его общей математической культуры.

ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ УСВОЕНИЯ КУРСА

В результате изучения курса учащиеся  д о л ж н ы  у м е т ь:

- Свободно оперировать аппаратом алгебры при решении задач.

- Проводить тождественные преобразования алгебраических выражений.

- Решать неравенства и системы неравенств методом интервалов

- Решать неравенства с помощью параболы.

- Решать неравенства с модулем.

- Решать системы неравенств.

Тема 1

Предполагает решение линейных неравенств.

Тема 2

Предполагает решение квадратных неравенств ax² + bx + c0 с помощью графика( параболы).

Тема 3

Решение неравенств вида  способом замены эквивалентной системой условий:

Предполагает отработку алгоритмов темы № 1, 2 на примерах продвинутого уровня.

Тема 4

Предполагает использование метода интервалов при решении неравенств вида ax² + bx + c0. Предполагает решение заданий вида: найдите область определения выражения, функции; найдите промежутки знакопостоянства функции.

Тема 5

Предполагает  решение систем неравенств.

Тема 6

Предполагает  решение неравенств с модулем.

Тема 7

Предполагает решение линейных и квадратных неравенств, содержащих параметр.

тематическое планирование

№ п/п	Тема занятия	Количество часов
1	Решение неравенств	2
2	Решение квадратных неравенств.	1
3	Решение неравенств методом интервалов	2
4	Применение метода интервалов при решении задач	1
5	Решение систем неравенств	1
6	Решение неравенств с модулем	1
7	Решение линейных и квадратных неравенств, содержащих параметр	3
8	Зачет	1

Содержание обучения

Тема 1

Предполагает решение линейных неравенств.

Тема 2

Предполагает решение квадратных неравенств ax² + bx + c0 с помощью графика( параболы).

Тема 3

Решение неравенств вида  способом замены эквивалентной системой условий:

Предполагает отработку алгоритмов темы № 1, 2 на примерах продвинутого уровня.

Тема 4

Предполагает использование метода интервалов при решении неравенств вида ax² + bx + c0. Предполагает решение заданий вида: найдите область определения выражения, функции; найдите промежутки знакопостоянства функции.

                      

Тема 5

Предполагает  Тема 6

Предполагает  решение неравенств с модулем.

Тема 7

Предполагает решение линейных и квадратных неравенств, содержащих параметр.

решение систем неравенств.

Тема 1.Решение неравенств.

Занятие 1. О понятии неравенства.

Цели: сообщить историю возникновения неравенств, привести примеры использования неравенств, сформулировать основные свойства неравенств, закрепить свойства при решении задач, рассказать о важности полученных знаний для итоговой аттестации как в основной так и средней школе.

            Методы обучения: лекция, письменные упражнения.

            Формы контроля: проверка самостоятельно решенных задач.

Ход занятия

1. Лекция.

 При исследовании корней квадратного уравнения по дискриминанту и при построении графиков мы часто применяем наряду со знаком равенства и знаки неравенства.

            В 1557г., когда Роберт Рекорд впервые ввел знак равенства. Он мотивировал свое нововведение следующим образом: никакие два предмета не могут быть между собой более равными, чем два параллельных отрезка. Знак равенства Рекорда стал, однако, общеупотребительным лишь в  18 веке, после того как им стали пользоваться Лейбниц и его последователи.

            Исходя из знака равенства Рекорда, другой английский ученый Гарриот ввел употребляемые поныне знаки неравенства, обосновывая( в «Практике аналитического искусства», вышедшей в 1631 г. Посмертно) нововведение следующим образом: если две величины не равны, то отрезки, фигурирующие в знаке равенства, уже не параллельны, а пересекаются. Пересечение может иметь место справа (>) или слева (< ). В первом случае образованный знак неравенства будет обозначать « больше», во втором - « меньше».   

            Несмотря на то, что знаки неравенства были предложены через 74 года после предложенного Рекордом знака равенства, они вошли в употребление намного раньше последнего. Одна из причин этого явления коренится в том, что типографии применяли в то время для знаков неравенства уже имевшуюся у них латинскую букву V, тогда как наборного знака равенства    ( = ) у них не было, а изготовлять его тогда было нелегко.

            Знаки неравенства ( <, >) появились впервые в 1631 г., но понятие неравенства, как и понятие равенства, возникло в глубокой древности.

            В развитии математической мысли без сравнения величин, без понятий « больше» и « меньше» нельзя было дойти до понятия равенства, тождества, уравнения. Приближенные вычисления ( в том числе и вычисления π, метод исчерпывания, современное понятие предела и др.) с>>вязаны с понятием неравенства.

            Некоторые неравенства древности.

            В 5 книге « Начал» Евклида доказывается:

            Задача 6. « Если а – наибольшее число в пропорции

                                                         ,

Где a, b, c, d, - положительные числа, то существует неравенство

                                             a+d >b+ c.

           Докажите!» 

В основном труде Папа Александрийского, названном « Математическое собрание» и написанном в 3 в., доказывается:

Задача 7. «Если  > , то ad >bc (a>0, c>0, b>0, d>0).

Докажите!»

          В теории и практических задачах встречаются знаки неравенства, соединенные со знаком равенства : не меньше и не больше. Такие неравенства называются нестрогими в отличие от неравенств, содержащих знак > или <  и называемых строгими. Символы ≤ и ≥ были введены в 1734 г. французским математиком Пьером  Буге.

           Еще более 2000 лет назад было известно следующее неравенство:

                                                     

                                                    

            Два действительных числа или два алгебраических выражения, соединенные знаком > или < ( а также знаком ≥ или ≤), образуют неравенство

                   А<B, A>B, A ≤B, A≥ B.

Свойства неравенств. Действия над неравенствами. Неравенство состоит из двух частей: левой части  А и правой части В.

Неравенства а > b, c > d называются неравенствами одинакового ( или одного и того же) смысла; неравенства a > b, c < d называются неравенствами противоположного ( или разного ) смысла.

Из определения неравенства сразу следует, что

1.      любое положительное число больше нуля;

2.      любое отрицательное число меньше нуля;

3.      любое положительное число больше любого отрицательного числа;

4.      из двух отрицательных чисел больше то, абсолютная величина которого меньше.

Неравенства обладают следующими основными свойствами.

1.      Несимметричность ( необратимость): если a > b, то  b < a, и обратно.

2.      Транзитивность: если a >b и b >c, то a > c.

3.      От прибавления к членам неравенства одного и того же числа смысл неравенства не изменяется.

4.      При умножении членов неравенства на одно и то же положительное число смысл неравенства не изменяется; при умножении членов неравенства на одно и то же отрицательное число смысл неравенства изменяется на противоположный.

5.      От неравенства a > b можно перейти к неравенству между 1/а и

           1/ b: если члены оба положительны или оба отрицательны, то  между их обратными величинами имеется неравенство     противоположного смысла 1/ a < 1/b.

Если члены неравенства имеют противоположные знаки, то                         неравенство между их обратными величинами имеет тот же смысл.

6.      Пусть члены неравенства положительны. Тогда при возведении                           его членов в одну и туже степень смысл неравенства не изменяется.

7.      При почленном сложении неравенств одного и того же смысла образуется неравенство того же смысла, что и данные.

8.      Если из одного неравенства почленно вычесть другое неравенство противоположного смысла, то образуется неравенство того же смысла, что и первое.

9.      Если b> c и a >1, то a^b > a^c; если b> c, но 0< a< 1,то a^b < a^c.

Алгебраические неравенства. Неравенства между двумя алгебраическими выражениями, такие, например, как

a² + b² > a + b,  x²-6x+4>2x-5

могут при подстановке вместо буквенных параметров, входящих в левую и правую части неравенств, переходить либо в верные, либо в неверные числовые неравенства. Так, неравенство

                                                      abc < a+b +c

удовлетворяется при a =1, b =1, c =2 и не удовлетворяется при a = 2, b=2, c=3.

     Имеются, однако, такие неравенства, которые оказываются  справедливыми для  всех допустимых значений входящих в него буквенных параметров. Таковы, например, неравенства

                                                     a² + b²≥0, x² +2x +2 >0.

     Иногда приходится проводить доказательство неравенств; при этом «доказать неравенство»- значит установить, что оно справедливо для любых допустимых значений параметров.

     Пример. Доказать. Что среднее арифметическое двух положительных чисел не меньше их среднего геометрического.

     Решение. Под средним арифметическим двух чисел a > 0, b > 0 понимают число (a + b)/2, а под их средним геометрическим- число

      Требуется доказать справедливость неравенства

                         

для всех положительных чисел  a и . Данное неравенство равносильно неравенству

                          ;

преобразуем  левую часть неравенства :

    Теперь видно, что неравенство выполняется при любых положительных и ; если , то неравенство, строгое; если же , то среднее арифметическое равно среднему геометрическому.

2. Закрепление. Решение заданий.

1)  Возвести в указанную степень следующие неравенства, изменив в случае необходимости  знак неравенства  на противоположный или на знак равенства.

а) 3 >  2 в степень 4; б) 3 < 4 в степень ; в ) -3 <  -2 в степень 3; г) – 4 > -10 в степень 2; д) 2 >-1 в степень 5; е) 2 > -1 в степень 4; ж) 2 > -3  в степень 2; з) 2 > -2 в степень 2.

2) Проверить свойство 5 на следующих неравенствах: а) 20 >10 ; б) 5< 7 ; в) -2< 3;            г) 2 > 3;  д) <; е) .

3) Доказать, что при р≥ 1 выполняется неравенство 5р² -1≥ 4р.

4)Доказать, что если а + b >  -b + c и a-b> b+c, то a> c.

5) Выполните сложение неравенств:

2<5  и -7<-3; -2>-4 и  3>-2;  -5<-3 и  -7<-4;  3a²<x+1 и  2a-a²<x²-1; 3x+y<2a+1 и   3y-2x<14-2a; 3x²+2y>4a-2  и  5y-2x²>8+3a; 2<3² и 2²<3³.

6)Выполните умножение неравенств:

2<x и 3<y; x>1и  y>5; 0,7>0,6 и  3,2>2,3; a+1>a и  a>5; b<b+2 и  3<b; 2<3²  и 2²<3²; 4²>5  и .

Занятие 2. Решение неравенств.

Цели. Познакомить учащихся с понятиями «равносильные неравенства», «линейное неравенство», закрепить умение решать линейные неравенства.

    Методы обучения: лекция, устные и письменные упражнения.                            

Ход занятия

1.Лекция. Будем рассматривать строгие или нестрогие неравенства вида

f₁(x) > f₂(x)

или

f₁(x) ≥ f₂(x)

соответственно. Всякое числовое значение х =х₀ из области допустимых значений называется решением неравенства, если при подстановке этого значения х₀ в обе части неравенства получается верное числовое неравенство. Все решения неравенства образуют множество его решений.

    В зависимости от своего конкретного вида неравенство может вообще не иметь решений ( его множество решений пусто) или иметь множество решений самого различного вида. В любом случае решить неравенство – значит указать все множество его решений.

    Из двух неравенств

f₁(x) > f₂(x)

и

g₁(x)> g₂(x)

второе называется следствием первого, если множество решений второго неравенства содержит в себе множество решений первого неравенства. Два неравенства называются равносильными, если каждое из них область допустимых значений является следствием другого. К действиям, преобразующим данное неравенство в равносильное относят: прибавление к обеим частям неравенства одинакового слагаемого и умножение обеих частей неравенства на положительное число или положительную функцию. Возможно также деление членов неравенства на положительную функцию. Следует, однако, производя эти действия, следить, чтобы не изменилась   область допустимых значений, так как иначе равносильность неравенств может быть нарушена.

  Пример. Из двух неравенств

x >1,  x² > 1

второе является следствием первого, но они не равносильны. Неравенства же x  > 1 и       x³ > 1 равносильны.

    Линейные неравенства. Линейным называется неравенство вида  ax > b  (или соответственно ax < b, ax ≥b, ax ≤b), где a ≠0, b- числа.

    Решением неравенства с одной переменной называется множество таких значений переменной, которые обращают его в верное числовое неравенство.

1.      Если  a > 0, то решение неравенства ax > b имеет вид    или

2.      Если a < b, то решение неравенства ax ≥ b имеет вид .

3.      Если а = 0, то неравенство ax > b принимает вид 0∙x > b,т.е. оно не имеет решения при b ≥ 0 и верно при любых  x, если  b < 0.

 Пример. Решить неравенство

               

Решение

Приводим к общему знаменателю:

Приведем подобные слагаемые в числителе:

Ответ.  

2.Решение заданий.

Найдите наибольшее целое решение неравенства:

a.       -2x >4; 2) -3x>-9; 3) x+2 ≥ 2,5x-1; 4)   7)      8) ; 9) 10) x(x+3)>(x+1)(x+3)

Найдите наименьшие целые числа, являющиеся решениями неравенств:

11)   12) ; 14) 3x≥- ; 15) -2x≤8;                     16) 2(x-3)-1> 3(x-2)-4(x+1); 17) x²+x<x(x+5)+5; 18)

Найдите наименьшие натуральные числа, являющиеся решениями неравенств:

19) 3x-2< 1,5x+4; 20)

Тема 2. Квадратные неравенства.

Занятие 3.Квадратные неравенства.

Цели. Ввести понятие квадратного неравенства, рассмотреть алгоритм решения квадратных неравенств, закрепить умение решать квадратные неравенства, сформировать умение решать задачи с помощью квадратных неравенств.

Методы обучения: беседа, письменные упражнения.

Ход занятия

1.Беседа.

Квадратным неравенством называется неравенство вида ax²+bx+c>0 (или ax²+bx+c<0), где a≠0.

    Пусть требуется решить неравенство ax²+bx+c>0. в зависимости от знака дискриминанта D = b²-4ac могут представиться три случая.

1)      Если D<0, то график квадратного трехчлена f(x) = ax²+bx+c не пересекает ось Ох и лежит выше этой оси при а>0 и ниже ее при a<0. в первом случае множество решений неравенства есть вся числовая прямая, а во втором оно является пустым.

                         у                                                                                 у

 

                           0                                   х                                             0                                х

2)      Если D>0, то график квадратного трехчлен пересекает ось Ох в точках  x₁ и x_{2 (}x_1< x_2), служащих корнями уравнения  ax²+bx+c=0. эти точки разбивают числовую прямую на три промежутка (-∞;x₁), (x_1; x₂), (x₂; +∞). При этом знак квадратного трехчлена совпадает со знаком коэффициента а во всех точках промежутков (-∞;x₁) и  (x₂; +∞) и противоположен знаку коэффициента а во всех точках промежутка (x_1; x₂).

                          у                                                                              у       

 

                                                                                                      х₂                             х₂

                    х₁     0     х₂                           х                                              0                          х

3)      Если D=0, то график квадратного трехчлена касается оси Ох в точке х₁, являющейся единственным корнем уравнения ax²+bx+c=0. точка х₁ разбивает числовую прямую на два промежутка (-∞;x₁) и (x₁; +∞).знак квадратного трехчлена совпадает со знаком коэффициента а при всех х≠ х₁.

                                                                                                                       у

                             у

о                                                                                                                                х₁

                                                                                                                         о                               х

                             о                                         х

 

                                              х₁

2.Решение задач.

1. решить неравенства:

1)      х²-4х>0; 2) x²+4x≥0; 3) x²-x<0; 4) x²+4x≤0; 5) x²-4x-5>0; 6) x²-4x-5≤0; 7) x²-4x+6>0; 8) x²+4x+4≤0; 9) –x²+x-2<0; 10) x-x²-2>0; 11) 3x²-6x+8≤0; 12) -2x²+4x-5≤0;                   13) 14) 15) x(x+1)<2(1-2x-x²); 16) x²+2<3x-x²; 17) x²+9<0; 18) (x-5)²>37-(x-10)²; 19) 4x²+12x+9≤0.

2. одна сторона прямоугольника на 7 м больше другой. Какой может быть эта сторона, если площадь прямоугольника меньше 60 м²?
3. длина прямоугольника на 5 м больше ширины. Какую ширину должен иметь прямоугольник, чтобы его площадь была больше 36 м²?

Тема 3. Решение неравенств методом интервалов.

Занятие4,5. Рациональные неравенства. Метод интервалов.

Цели. Сформировать умение решать неравенства методом интервалов.

    Методы обучения: лекция, устные и письменные упражнения.

Ход занятия

1.Лекция.

В основе метода интервалов лежит следующее свойство двучлена x – α: точка α делит числовую прямую на две части – справа от точки α двучлен x – α положителен, а слева от точки α – отрицателен.

Из двух чисел, изображенных точками на числовой прямой, большим является то, изображающая точка которого располагается правее.

Так, из двух чисел x₁ и x₂ (изображенных точками на числовой прямой) большим является число x₂, поскольку оно располагается на числовой прямой правее точки x_1.

Но  тогда  разность  чисел x₂ – x₁  положительна, x₂ – x₁ > 0, а разность x₁ – x₂ будет отрицательной, x₁ – x₂ < 0.

П у с т ь  т р е б у е т с я  р е ш и т ь  н е р а в е н с т в о

(x – α₁) (x – α₂) · … · (x – α _n) > 0) (1),

где α₁, α₂ …, α_m – фиксированные числа такие, что α₁ < α₂ … < < α_n.

Рассмотрим многочлен P(x) = (x – α ₁) (x – α ₂) … (x – α _n) (2).

Для любого x₀ такого, что x₀ > α _n, соответствующее числовое значение любого сомножителя в произведении (2) положительно, а значит, P(x₀) > 0.

Для любого числа x₁, взятого из интервала (α_n – 1; α_n), соответствующее числовое значение любого из множителей, кроме множителя (x – α_n), положительно, поэтому P(x₁) < 0 и т. д.

На этом рассуждении и основан метод интервалов, состоящий в следующем: на числовую прямую наносят числа α₁, α₂ …, α_n; в промежутке справа от наибольшего из них, то есть числа α_n ставят знак «+», в следующем за ним справа налево интервале ставят знак «–», затем – знак «+», затем – знак «–» и т. д.

Тогда множеством всех решений неравенства (1) будет объединение всех промежутков, в которых стоит знак «+», а множеством всех решений неравенства (x – α₁) (x – α ₂) … (x – α _n) < 0, где α₁ < α₂ < … < α_n, будет объединение всех промежутков, в которых стоит знак «–». Промежутки числовой прямой, на которых функция y = f(x) имеет постоянный знак, т. е. либо знак «+», либо знак «–», называются промежутками знакопостоянства функции.

П о я с н и м  с и т у а ц и ю  н а  п р и м е р е:

рассмотрим функцию f(x) = (x + 2) (x – 3) (x – 5).

Областью определения этой функции является множество всех действительных чисел, т. е. D(f) = (– ∞; + ∞) или D(f) = R. Функция обращается в нуль при x = –2, x = 3, x = 5. Значения аргумента, при которых функция обращается в нуль, называют нулями функции. В данном случае нулями функции являются числа –2, 3 и 5. Они разбивают область определения функции на промежутки:

(– ∞; –2), (–2; 3), (3; 5) и (5; + ∞).

Выясним, какой знак принимает функция f(x) = (x + 2) (x – 3) ´ (x – 5) в каждом из этих промежутков.

Выражение (x + 2) (x – 3) (x – 5) представляет собой произведение трех множителей. Множитель x + 2 отрицателен при x < –2 и положителен при x > –2, множитель x – 3 отрицателен при x < 3 и положителен при x > 3, множитель x – 5 отрицателен при x < 5 и положителен при x > 5.

Знаки множителей в каждом из рассматриваемых промежутков указаны в таблице.

	(– ∞; –2)	(–2; 3)	(3; 5)	(5; + ∞)
x + 2	–	+	+	+
x – 2	–	–	+	+
x – 5	–	–	–	+

Отсюда ясно, что если x < –2, т. е. если x  (– ∞; –2), то f(x) < 0. Действительно, в этом случае каждый из множителей x + 2, x – 3 и x – 5 отрицателен, а их число нечетное.

Если –2 < x < 3, то f(x) > 0 (первый из множителей положителен, а второй и третий отрицательны). Если 3 < x < 5, то f(x) < 0 (первый и второй множители положительны, а третий отрицателен). Если x > 5, то f(x) > 0 (все множители положительны).

Мы видим, что в каждом из промежутков (– ∞; –2), (–2; 3), (3; 5) и (5; + ∞) функция f(x) = (x + 2) (x – 3) (x – 5) сохраняет знак, а при переходе через точки –2, 3 и 5 ее знак изменяется.

Если функция задана формулой вида f(x) = (x – x₁) (x – x₂) … (x – x_n), где x – переменная, а x₁, x₂, …, x_n – не равные друг другу числа, то в каждом из промежутков, определяемых нулями функции, эта функция сохраняет знак, а при переходе через нуль функции ее знак изменяется.

П р и м е р 1

Решите неравенство (x + 6) (x + 1) (x – 4) < 0.

Рассуждения учителя	Запись на доске
1	2
Данное неравенство является неравенством вида (1). Для его решения можно воспользоваться рассмотренным свойством чередования знаков функции. Отметим на координатной прямой нули функции f(x) = (x + 6) (x + 1) ´ (x – 4). Найдем знаки этой функции на каждом из промежутков (–∞; –6), (–6; –1), (–1; 4), (4; + ∞). Для этого достаточно знать, какой знак имеет функция в одном из промежутков, и, пользуясь свойством чередования знаков, определить знаки во всех остальных промежутках. При этом удобно начинать с крайнего справа промежутка (4; + ∞), т. к. в нем значение данной функции заведомо положительно. Это объясняется тем, что при значениях x, взятых правее наибольшего из нулей функции, каждый из множителей x + 6, x + 1 и x – 4 положителен. Используя свойство чередования знаков, определим знаки функции в каждом из остальных промежутков, двигаясь по координатной прямой справа налево. Из рисунка видно, что множеством решения данного неравенства является объединение промежутков (– ∞; –6) и (–1; 4)	(x + 6) (x + 1) (x – 4) < 0, f(x) = (x + 6) (x + 1) (x – 4), D(f) = (– ∞; + ∞) Найдем нули функции: f(x) = при x = –6, x = –1, x = 4. f(x) < 0 при x  (– ∞; –6) (–1; 4). О т в е т: (– ∞; –6) (–1; 4).
Рассмотренный  способ  решения  неравенств	называют  методом  интервалов

П р и м е р  2

Решите неравенство (x + 3) (x – 4) (2x + 5) < 0.

Рассмотрим функцию f(x) = (x + 3) (x – 4) (2x + 5), определенную на (– ∞; + ∞).

В дальнейшем можно не акцентировать внимание на области определения функций, заданных многочленом, поскольку такие функции определены на множестве действительных чисел. Но ученики четко должны это понимать.

Найдем нули функции: f(x) = 0 при x = –3, x = 4 и x = –2,5.

И еще одно замечание: допускается, что ученик находит нули функции в таких простых случаях устно. Хотя на усмотрение учителя или ученика можно показать решение уравнения

(x + 3) (x – 4) (2x + 5) = 0:

(x + 3) (x – 4) (2x + 5) = 0;

x + 3 = 0, или	x – 4 = 0, или	2x + 5 = 0;
x = –3;	x = 4;	x = –2,5.

Отметим на координатной прямой нули функции и выясним знаки функции в каждом из получившихся промежутков: в «крайнем правом» промежутке f(x) > 0, т. е. ставим знак «+», а далее «чередуем» знаки.

f(x) < 0 при x Î (– ∞; –3) È (–2,5; 4).

Теперь еще раз об оформлении записей на доске и в тетрадях учащихся:

(x + 3) (x – 4) (2x + 5) < 0.

f(x) = (x + 3) (x – 4) (2x + 5), D(f) = (– ∞; + ∞);

f(x) = 0 при x = –3, x = 4 или x = –2,5.

f(x) < 0 при x Î (– ∞; –3) È (–2,5; 4).

Ответ: (– ∞; –3) È (–2,5; 4).

П р и м е р  3

(5x + 1) (5 – x) > 0.

Рассмотрим два способа решения данного неравенства.

1-й с п о с о б.

Приведем неравенство к виду (1):

– (5x + 1) (x – 5) > 0,

(5x + 1) (x – 5) < 0.

А теперь воспользуемся методом интервалов:

f(x) = (5x + 1) (x – 5).

f(x) = 0 при x = – , x = 5.

f(x) < 0 при x Î (–; –5).

Ответ: (–; 5).

2-й  с п о с о б:

(5x + 1) (5 – x) > 0

Рассмотрим функцию f(x) = (5x + 1) (5 – x), D(f) = (– ∞; + ∞).

Найдем нули функции: f(x) = 0 при x = –, x = 5.

Выясним знак функции в «крайнем правом» промежутке (5; + ∞). Для этого достаточно выяснить знак функции при каком-нибудь значении аргумента из этого промежутка, например, при x = 10.

f(10) = (5 · 10 + 1) (5 – 10) < 0.

А далее воспользуемся свойством чередования знаков функции.

f(x) > 0 при x Î.

П р и м е р 4

Решить неравенство (x² + 6) (4 – x) (x +) < 0.

В произведении (x² + 6) (4 – x) (x +) присутствует множитель x² + 6, положительный при любых значениях x, поэтому данное неравенство равносильно неравенству (4 – x) (x +) < 0. Решим его методом интервалов:

f(x) = (4 – x) (x +);

f(x) = 0 при x = 4, x = –.

f(x) < 0 при x Î È (4; +¥).

Ответ: È (4; +¥).

П р и м е р 5

Решите неравенство (x + 8) (x – 1)² (x – 5) < 0.

В левой части неравенства есть множитель (x – 1)², который принимает положительные значения при любых значениях x, кроме x = 1.

Поэтому при всех x ≠ 1 произведение (x + 8) (x – 1)² (x – 5) имеет тот же знак, что и произведение (x + 8) (x – 5).

Значит, данное неравенство равносильно системе

(х + 8) (х – 5) < 0,

х ¹ 1.

Решим неравенство (x + 8) (x – 5) < 0 методом интервалов:

f(x) = (x + 8) (x – 5) < 0 при x Î (–8; 5).

Чтобы найти все решения неравенства (x + 8) (x – 1)² (x – 5) < 0, нужно из промежутка (–8; 5) исключить число 1, получим (–8; 1) È (1; 5).

Ответ: (–8; 1) È (1; 5).

Итак, иногда алгебраические неравенства степеней более высоких, чем два, путем равносильных преобразований приводятся к виду

где k₁, k₂, …, k_n – целые положительные числа; α₁, α₂, …, α_n – действительные числа, такие, что α₁ < α₂ < … < α_n.

Такие неравенства могут быть решены с помощью обобщенного метода интервалов.

Обобщенный метод интервалов.

 В основе обобщенного метода интервалов  лежит следующее свойство двучлена (x – α)ⁿ: точка α  делит числовую прямую на две части, причем если n четное, то выражение (x – α)ⁿ справа и слева от точки x = α сохраняет положительный знак; если n нечетное, то выражение (x – α)ⁿ справа от точки x = α положительно, а слева – отрицательно.

Рассмотрим многочлен

P(х) =  где α₁ < α₂ < … < α_n.

Для любого x₀ такого, что x₀ > α_n, значение каждого сомножителя положительно, т. е. P(x₀) > 0.

Для любого x₁, взятого из интервала (α_{n – 1}; α_n), каждый сомножитель, кроме последнего, принимает положительное значение, а соответствующее значение последнего множителя положительно, если k_n – четное число, и отрицательно, если k_n – нечетное. Поэтому P(x₁) > 0, если k_n – четное, и P(x₁) < 0 при k_n нечетном.

На любом промежутке (α_{i – 1}; α_i) знак P(x) определяется по следующему правилу: многочлен P(x) при переходе через точку α_i меняет знак на противоположный знаку P(x) на (α_i, α_{i + 1}), если k_i – нечетное число и не меняет знака, если k_i – четное число.

На этом рассуждении и основан обобщенный метод интервалов: на числовую прямую наносят числа α₁, α₂, …, α_n; в промежутке справа от наибольшего из корней многочлена ставят знак «+», а затем, двигаясь справа налево, при переходе через очередной нуль α_i меняют знак, если k_i – нечетное число, и сохраняют знак, если k_i – четное число.

Рассмотрим пример, опираясь на обобщенный метод.

П р и м е р  6

Решите неравенство

(x + 7) (2x – 5)³ (6 – x)⁵ (3x + 10)⁴ < 0.

Для решения неравенства применим обобщенный метод интервалов. На числовой прямой отметим нули «левой части» неравенства. Выясним знак в «крайнем правом» промежутке: P(100) < 0

При переходе через точку x = 6 знак меняем, т. к. показатель степени двучлена x – 6 нечетный; аналогично при переходе через точку x =. Справа от точки x =знак «–», значит, и слева знак «–», т. к. показатель степени двучлена (3x + 10) четный; при переходе через точку x = 7 знак меняем.

Решением неравенства является совокупность промежутков, где стоит знак «–».

Ответ: (–7; ) È ; È (6; + ∞).

Обобщенный метод интервалов можно применять при решении неравенств вида  – многочлены, если заметить, что указанное неравенство равносильно неравенству P(x) ´ Q(x) > 0 на множестве всех действительных чисел.

Рассмотрим на конкретном примере.

П р и м е р 7

Решите неравенство

Это неравенство равносильно неравенству (x – 7) (x + 2) > 0.

Действительно, дробь положительна тогда и только тогда, когда числитель и знаменатель дроби одного знака, то есть двучлены x – 7 и x + 2 либо оба положительны, либо оба отрицательны. Но в таком случае и их произведение положительно.

Решим неравенство методом интервалов.

Рассмотрим функцию f(x) = (x – 7) (x + 2).

f(x) = 0 при x₁ = –2, x₂ = 7.

f(x) > 0 при x .

Ответ:

П р и м е р  8

Решите неравенство

Учитывая, что при любых действительных значениях x (x² + 1) положительно, данное неравенство равносильно неравенству

(x² – 1)² (x – 3)⁴ (x + 2)³ (2x – 3)⁵ < 0.

Отметим на числовой прямой нули функции, задаваемой левой частью неравенства; определим знак ее в «крайнем правом» промежутке, а далее будем чередовать знаки, учитывая четность-нечетность степеней сомножителей:

x  (–2; –1)  (–1; 1) (1;).

Ответ: (–2; –1)  (–1; 1) (1;).

П р и м е р 9

Решите неравенство

Решение

В отличие от случая, рассмотренного в предыдущих примерах, неравенства  и (x + 4) (x + 11) ≤ 0 не равносильны, т. к. x = 11 является решением второго неравенства, но не является решением первого неравенства (при x = 11 дробь  не имеет смысла).

Таким образом, заданное неравенство равносильно системе условий.

Далее решим по методу интервалов.

f(x) = (x + 4) (x – 11),

f(x) ≤ 0 при x  [–4; 11).

Ответ: [–4; 11).

П р и м е р  10

Решите неравенство x² – 5x + 6 ≤ 0.

В школьном курсе математики квадратные неравенства чаще всего решают с помощью «схематичного» графика соответствующей квадратичной функции.

Решим неравенство методом интервалов:

x² – 5x + 6 = 0 при x₁ = 2, x₂ = 3, то есть x² – 5x + 6 = (x – 2) (x – 3).

Мы разложили квадратный трехчлен на множители, данное неравенство равносильно неравенству (x – 2) (x – 3) ≤ 0.

f(x) = (x – 2) (x – 3) ≤ 0 при x  [2; 3].

Ответ: [2; 3].

П р и м е р 11

Решите неравенство x⁷ + 8x⁴ – x³ – 8 > 0.

Решение

Разложим на множители многочлен в левой части неравенства:

x⁷ + 8x⁴ – x³ – 8 = (x⁷ + 8x⁴) – (x³ + 8) = x⁴(x³ + 8) – (x³ + 8) = (x³ + 8) (x⁴ – 1) = (x + 2) (x² – 2x + 4) (x² + 1) (x² – 1).

Таким образом, нам необходимо решить неравенство:

(x + 2) (x² – 2x + 4) (x² + 1) (x – 1) (x + 1) > 0.

x² + 1 > 0 при любых действительных x;

x² – 2x + 4 > 0 при любых действительных x, т. к. D₁ = (–1)² – 4 = 1 – 4 = –3 < 0 и a = 1 > 0; значит, данное неравенство равносильно неравенству (x + 2) (x – 1) (x + 1) > 0.

Применим метод интервалов:

f(x) = (x + 2) (x – 1) (x + 1) > 0 при x  (–2; –1)  (1; + ∞).

Ответ: (–2; –1)  (1; + ∞).

П р и м е р  12

Решите неравенство .

Решение

Данное неравенство равносильно системе условий:

Решим неравенство (x – 2) (x – 3) (4 – x) (x + 2) (x + 1) ≤ 0 методом интервалов:

x  (–2; –1)  [2; 3]  [4; + ∞).

Ответ: (–2; –1)  [2; 3]  [4; + ∞).

Уметь решать неравенства нужно не только ради «самих неравенств». Есть задачи, решение которых сводится к умению решать неравенства тем или другим способом. Мы остановимся на применении умения решать неравенства в следующем аспекте: исследование свойств функции. Рассмотрим два свойства – область определения функции и промежутки знакопостоянства.

1. П р о м е ж у т к и  з н а к о п о с т о я н с т в а.

Определение: числовые промежутки, на которых функция сохраняет свой знак (т. е. остается положительной, f(x) > 0, или отрицательной , f(x) < 0), называются промежутками знакопостоянства.

Чаще всего задача формируется следующим образом: при каких значениях аргумента функция принимает положительные (отрицательные) значения?

П р и м е р 13

Найдите множество значений x, при которых трехчлен –x² – x + 12 принимает: а) положительные значения; б) отрицательные значения.

Решение

Задача сводится к решению неравенств:

в случае а) –x² – x + 12 > 0,

в случае б) –x² – x + 12 < 0.

Для этого достаточно использовать метод интервалов.

Рассмотрим функцию f(x) = –x² – x + 12, D(f) = (– ∞; + ∞).

Найдем нули функции:

f(x) = 0, –x² – x + 12 = 0, х² + х – 12 = 0; х₁ = –4; х₂ = 3, значит:

f(x) = – (х + 4) (х – 3)

Нули функции разбивают D(f) на промежутки, в каждом из которых функция сохраняет знак.

Таким образом, f(x) > 0 при x  (–4; 3); f(x) < 0 при x  (– ∞; – 4)  (3; + ∞).

О б л а с т ь  о п р е д е л е н и я  ф у н к ц и и.

Если функция задана формулой, то считают, что область определения функции состоит из всех значений аргумента, при которых формула имеет смысл. Целая рациональная функция определена на множестве действительных чисел, то есть D(f) = (– ∞; + ∞); дробная рациональная имеет смысл при всех тех значениях аргумента, при которых знаменатель (знаменатели) дроби отличен от нуля. Функция, содержащая радикал четной степени, определена при условии, что покоренное выражение неотрицательно.

П р и м е р 14

Найдите область определения функции а) ; б) .

Решение

.

Так  как  подкоренное   выражение  должно  быть  неотрицательным (D() = [0; + ∞), то x(x – 1,2) (x + 1,1) ≥ 0. Применим метод интервалов.

Найдем нули функции f(x) = x(x – 1,2) (x + 1,1): f(x) = 0 при x₁ = 0, x₂ = 1,2; x₃ = –1,1.

f(x) ≥ 0 при x  [–1,1; 0]  [1,2; + ∞).

Ответ: D(y) = [–1,1; 0]  [1,2; + ∞).

б) .

Так как D() = [0; + ∞), то (x² + 4) (x² – 9) ≥ 0.

(x – 3) (x + 3) ≥ 0, поскольку x² + 4 > 0 при любых действительных значениях x.

D(y) = (– ∞; –3]  [3; + ∞).

П р и м е р 15

При каких значениях x имеет смысл выражение ?

Решение

Выражение имеет смысл тогда и только тогда, когда ,  Решим неравенство методом интервалов.

 x = 0 или 1 – x = 0, x = 4.

Выясним знак выражения в «крайнем правом» промежутке, например, при x = 100:  А далее чередуем знаки.

Выражение имеет смысл при x  [0; 4].

П р и м е р  16

Найдите область определения функции .

Решение

Данная функция дробная, содержащая иррациональность в числителе дроби, значит, область определения функции обусловлена системой:

Решим неравенство 3x² – x – 14 ≥ 0 методом интервалов.

Найдем нули функции f(x) = 3x² – x – 14:

3x² – x – 14 = 0,

D = (–1)² –4 · 3 · (–14) = 169,

х_{1, 2} =  x₁ = –2; x₂ =.

3x² – x – 14 = 3(x + 2) (x –); (x + 2) (x –) ≥ 0.

f(x) ≥ 0 при x  (– ∞; –2]  [; + ∞).

Надо учесть, что 2x + 5 ≠0, x ≠ –2,5.

D(y) = [– ∞; –2,5)  (–2,5; 2]  [; + ∞).

Тема 4. Применение метода интервалов при решении задач.

Занятие 6.Решение задач.

Цели: закрепление умений решать неравенства методом интервалов.

    Методы обучения: письменные упражнения.

Ход занятия

Практикум.

Найдите наибольшие целые решения неравенств:

1)      (x-1) (x+1)≤0; 2) x(7-x)> 0; 3) x-x²+2> 0; 4) x²+x+1< 0; 5)5x-x²≥ 0; 6) x²< 16;                7)  9) x²(x-1)(x+2)≤0; 10) 3x²-7x+2<0; 11) –x²-5x+6≥0;             12) x²(3-x)(x+1)>0.

Найдите наибольшие отрицательные решения неравенств:

13) x²+3x+2> 0; 14)x²>9; 15) x³-4x<0; 16) x²>5x-6;                                                                17)

Найдите наименьшее число, входящее в область определения функции:

20) ; 21) ; 22) ; 23) ;

24) ; 25) ; 26) .

Найдите наименьшие целые решения неравенств:

27) 3x²-4x+5≤0; 28) 4x²+4x+1≤0; 29) (x-2)²<25; 30) ;

  31);          

32) ;

36)

41) x⁶+9x³+8≤0.

Найдите длины интервалов, на которых выполняются неравенства:

42)

Найдите середины интервалов, на которых выполняются неравенства:

47)

Найдите среднее арифметическое целых решений для каждого из неравенств:

52)    x⁴-10x²+9≤0; 53)

Найдите наименьшие натуральные решения неравенств:

56) x>

Тема 5. Решение систем неравенств.

Занятие 7. Системы неравенств.

Цели: сформировать умения решать системы неравенств с одной переменной

    Методы обучения: беседа, устные и письменные упражнения.

Ход занятия

          1. Беседа      Несколько неравенств с одной переменной могут образовать систему.

Решением системы неравенств с одной переменной называются значения переменной, при которых каждое из неравенств обращается в верное числовое неравенство.

    Следовательно, чтобы решить систему неравенств с одной переменной, необходимо решить каждое неравенство, а затем найти их общее решение.

Пример.  Решить систему неравенств

    х²≤9,

    х> 0.

Решение. Решаем первое неравенство х²≤ 9:

                       х²-9≤0, (х-3)(х+3)≤0.

    Его решение -3≤х≤3 ( рис. 1).

Решаем второе неравенство х>0. Его решение очевидно.

    Изобразим на числовой прямой множество чисел, удовлетворяющих первому и второму неравенствам (рис.2), откуда следует, что оба неравенства верны при 0< x≤3. Ответ. х 

 

                +                             _                                   +

Рис.1

                               -3                           3

 

Рис. 2               -3                   0                      3

 

          +                                -                                         +

                                   

                     -1                                          3

Рис.3

 

              +                                               -                                           +

                                  

Рис.4

                                            -4                                             4

 

                -4                     -1                     3              4

Рис.5

Пример. Решить систему неравенств

                        

   Решение. Решаем методом интервалов первое неравенство (рис. 3). Точки 3 и -1 «выколоты», так как знаменатель содержит множители (х-3)  и (х+1), которые не могут равняться 0. первое неравенство имеет решение х< -1 и  x>3.

    Решаем методом интервалов второе неравенство, его решение -4≤х≤4 (рис. 4).

Найдем пересечение этих множеств  (рис. 5).

Ответ. -4≤х<-1 и   3<x≤4 .

Пример. Решить двойное неравенство

                             -1<x²+x<0ю

    Решение. Решить двойное неравенство – это значит решить соответствующую ему систему неравенств.

В данном случае система неравенств выглядит так:

 

                -1<x²+x,

                 x²+x<0.

1)      Решим первое неравенство –х²-х-1<0. Многочлен, стоящий в левой части неравенства, нельзя разложить на множители, так как уравнение –х²-х-1<0 не имеет корней.

Это значит, что квадратный трехчлен при всех значениях х имеет постоянный знак, а именно отрицательный ( по знаку первого коэффициента). Таким образом, решение этого квадратного неравенства есть х.

2) решим второе неравенство х(х+1)<0   (рис.6), х.

3) Найдем пересечение полученных множеств ( рис. 7).

Ответ. (-1;0).

 

         +                                                      -                                         +

                                                                               

                                 -1                                             0

Рис.6

                                                                                                                                                   

                                               -1                 0

Рис.7.

2.Решение задач.

Решить системы неравенств и указать наименьшее целое решение для каждой из них:

 

1)      х+3>0    2)   x-4>5-2x    3)   17(3x-1)-50x+1< 2(x+4)     4)   

2x<3            3-2x<7+x           12-11x<11x+10

 

5)      6)  x²>16         7)    2x²+9x≤-7      8)  2x²-5x-7≥0    9)   x²+5x-6<0

                                  x²-16x≤0            2x+5≤0                x≥3                    x²+4x<0

10)     11) 

Решить двойные неравенства и указать наибольшее для каждого из них:

12) 2<3x-5<4; 13) -2≤4-2x≥2; 14) x<3-x≤11; 15) 6<x²+x<2; 16) -1≤ x²+x<12

Найти область определения функций и указать наименьшее целое значение х для каждой из них:

17)    y = 18) y =

21) y =

Найти наименьшие целые решения систем неравенств:

 

23)          3x-4<8x+6         24)  6x²-29x+30≤0    25)     x²+x-6≤0                                                                       

2x-1>5x-4                 5x+2>3x²                      (x+1)(x-5)<0

11x-9<15x+3                                                  

26)                   27)      .

Тема 6. Решение неравенств с модулем.

Занятие 8.Неравенства с модулем.

Цели: ввести понятие неравенства с модулем, формировать умение решать неравенства с модулем.

     Методы обучения: лекция, письменные упражнения.

Ход занятия

1.Лекция.  

     Решение неравенств, содержащих переменную под знаком модуля, находится аналогично решению уравнений подобного рода.

Рассмотрим это на конкретных примерах.

Пример. Решить неравенство |х+4|≥1.

Решение. Критическая точка находится решением уравнения х+4 = 0, откуда х = -4.

1)      рассмотрим промежуток х<-4. на нем исходное неравенство принимает вид –х-4≥1. решая это неравенство, найдем х≤-5 (рис. 1).так как х<-4 и х≤-5,то решением исходного неравенства будет промежуток х≤-5.

2)      Рассмотрим промежуток х>-4. на нем исходное неравенство имеет вид х+4≥1, откуда х≥-3

Так как х  >-4 и х≥-3, то решением исходного неравенства будет промежуток х≥-3 ( рис. 2)

3)      учитывая случаи 1) и 2), окончательно имеем х≤-5 и х≥-3 (рис.3)

рис. 1

 

                                                -5                       -4

    Рис.2 

 

                                                          -4                         -3 

Рис.3

 

                                                          -5                     3

Пример. Решить неравенство | х-3|<1

Решение. Найдем критическую точку х-3 = 0, т. Е. х = 3.

1)      рассмотрим промежуток х<3. в этом случае имеем

х<3        откуда          x<3

-x+3<1,                       x>2

Следовательно, решением исходного неравенства является промежуток (2;3)      ( рис. 4).

2)      рассмотрим промежуток х≥3. в этом случае имеем

     х≥3        или      x≥3

     х-3<1,                x<4    

Cледовательно,  решением исходного неравенства является промежуток  [3;4)      (рис. 5).

3)      рассмотрим вместе эти промежутки. Решением неравенства будет промежуток (2;4).

Ответ. 2<x<4.

Рис. 4

 

      

2                                                                     3

Рис.5

 

3                                                                     4

2. Решение задач.

Решить неравенства и указать наименьшее целое положительное решение для каждого из них:

1)      |x|<3; 2) |x|>1; 3) |x-3|<2; 4) |x+1|>1; 5) |x+2|>-2; 6) |x-3|<-1; 7) |x-7|≤0; 8)  |x-2|(x-1)>0;       9) |3x-2,5|≤2; 10 |5-2x|>1

Решить неравенства и указать наименьшие целые положительные решения для каждого из них:

11) |2x²-9x+15|≥2; 12) x²-|5x+6|>0; 13) |3+x|≥x; 14) |x-9|≤0; 15) |x²+5x|<6; 16) |x³-1|(x-9)<0; 17) |x|+|x+3|<5; 18) |x-2|+|x+2|≤4; 19) |2x-1|+|x-3|≤4;20)  

Задания для классного и домашнего тренинга

З а н я т и е 1: общие теоретические положения метода интервалов при решении рациональных неравенств, № 1–12 задачника.

З а н я т и е 2: решение методом интервалов дробно-рациональных неравенств, № 13–23.

З а н я т и я 3–4: № 1–23 задачника.

З а д а ч н и к  1

1) 2) 3) 12(x + 1,7) (x + 0,8) < 0, 4) –(x + 2,2) (x – 1,4) ≥ 0, 5) (6x + 1) (x – 14) < 0, 6) (2x – 3) (4x + 1) > 0, 7) (x2 + 8) (x + 9) (x – 4) > 0, 8) (x –2)2 (x – 6)x < 0, 9) (x2 + 4) (x2 – 4) ≤ 0, 10) (2 + 5x2) (x2 – 6) < 0, 11) (x + 4,5) (x2 – 1) ≥ 0, 12) 13) , 14) ,

15) , 16) , 17) 18) , 19) , 20) , 21) , 22) , 23) ,

З а н я т и я 5–6: необходимо показать возможность решения неравенства вида ax² + bx + c 0 методом интервалов и дополнительно решить из задачника 4 № 28–39 этим методом.

З а д а ч н и к  2

Решите неравенство:

1) x² + 2x – 15 < 0,                   4) 5x² – 36x + 7 ≥ 0,

2) 2x² – 11x – 21 > 0,               5) 2x² + 8x – 7 > 7x(x – 4),

3) 3x(2x – 1) ≤ 2x² – 10x + 2,    6) 3x² + x – 3 ≤ 0.

Решите систему неравенств:

7)                     9)

8)                     10)

З а н я т и я 7–8: дополнительно использовать задания № 40–49 из задачника 4.

З а д а ч н и к 3

Найдите область определения функции:

1) ,                        5) ,

2) ,                      6) ,

3) ,         7) ,

4) ,                      8) ,

9) .

Курс завершается зачетной работой в форме игры «Побегушки».

Есть некоторый список неравенств, записанных по одному на карточках. Карточек-заданий должно быть много, 40–50. Учащимся раздается по одной карточке случайным выбором.

Ученик, решивший задание, сдает листок с решением и карточку, берет новое задание и т. д.

Каждый ученик должен решить 5 заданий. Работы проверяются позже. Обязательно провести анализ допущенных ошибок.

З а д а ч н и к 4

Решите неравенства:

1) (x – 1,5) (x + 2) < 0, 2) (x + 1,6) (x + 3,7) > 0, 3) (x + 1,7) (x – 9) (4,2 + x) < 0, 4) x (x + 1,4) (x – 1,8) ≥ 0, 5) – (x –) (x – 0,6) > 0, 6) (5x – 1) (x + 6) ≤ 0, 7) (3x – 4) (2x – 3) ≥ 0, 8) (x2 – 1,9x) (x2 + 14) > 0, 9) (x – 0,6)2 (x2 – 0,49) ≤ 0,	10) (x2 – 8x + 16) (x2 – 11) ≥ 0, 11) (2 + 3x2) (x2 – 5) < 0, 12) (5x + 6) (–7 – 6x) ≤ 0, 13) 14) 15)
16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) (5x – 6) (3 – 2x) (8x + 1) < 0,	24) 25) 26) 27) 28) x2 + 3x + 2 > 0, 29) x2 > 9, 30) x2 – 4x ≤ 0, 31) x2 > 5x – 6, 32) 3x2 – 4x + 5 ≤ 0, 33) (x – 2)2 < 25, 34) –2x2 + x + 1 ≥ 0, 35) 0,6x2 ≤ 0,5 – 1,3.

Найдите наименьшие целые решения неравенств:

36)                38)

37)              39)

Найдите область определения функции:

40) ,             43) ,

41) ,            44) ,

42) ,             45) ,

46) ,                48) ,

47) ,     49) .

Литература

Д л я  у ч а щ и х с я:

1. Галицкий, М. Л. и др. Сборник задач по алгебре для 8–9 классов: – М.: Просвещение, 1992.

2. Симонов, А. Я. и др. Система тренировочных задач и упражнений по математике. – М.: Просвещение, 1994.

3. Крамор, В. С. Повторяем и систематизируем неполный курс алгебры и начала анализа. – М.: Просвещение: Владос, 1994.

Д л я  у ч и т е л е й:

1. Галицкий, М. Л. и др. Сборник задач по алгебре для 8–9 классов: – М.: Просвещение, 1992.

2. Симонов А. Я. и др. Система тренировочных задач и упражнений по математике. – М.: Просвещение, 1994.

3. Крамор, В. С. Повторяем и систематизируем неполный курс алгебры и начала анализа. – М.: Просвещение: Владос, 1994.

4. Задания для подготовки к письменному экзамену по математике в
9 классе: пособие для учителя / Л. И. Звавич и др. – М.: Просвещение, 1999.

5. Математика: интенсивный курс подготовки к экзамену / О. Ю. Черкасов, А. Г. Якушев. – М.: Рольф, 1997. – 384 с.: – ISBN 5-7836-0017-2.

6. Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения: справочник / Олехник С. Н., М. К. Потапов, П. И. Пасечник. – М.: Факториал, 1997. – 217 с. – ISBN 5-88688-004-6.

Краткое описание документа:

Программа курса по выбору "Неравенства" направлена на изучение тем, не входящих в школьный курс математики, но необходимых для дальнейшего изучения математики.Рассматриваемая тема позволяет сделать достаточно полный обзор не только изученных типов неравенств и их систем, а также других задач, решение которых сводится к решению неравенств и систем.

ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ УСВОЕНИЯ КУРСА

В результате изучения курса учащиеся д о л ж н ыу м е т ь:

- Свободно оперировать аппаратом алгебры при решении задач.

- Проводить тождественные преобразования алгебраических выражений.

- Решать неравенства и системы неравенств методом интервалов

- Решать неравенства с помощью параболы.

- Решать неравенства с модулем.

- Решать системы неравенств.