Разработка материала для олимпиад 7 - 11 класс ( школьный уровень)

7кл.        Школьная олимпиада.

1)     В комнате находятся люди, собаки и мухи всего десять особей. У всех вместе 46 ног. Как это могло случиться. Найти все возможности.

2)     Если некоторое число увеличить на 15 %, то получиться 207. На сколько % надо уменьшить это число, чтобы получилось 126.

3)     Поставьте вместо звездочек такие цифры, чтобы число 32*35717* делилось на 72.

4)     Дан отрезок АВ с отмеченной серединой С и две параллельные прямые, первая из которых проходит через точку С, а вторая через В. Д – некоторая точка первой прямой. с помощью линейки провести прямую, проходящую через точку Д и параллельно отрезку АВ.

5)   Доказать, что если дробь  несократима, то и дробь  также несократима.

8 кл.       Школьная олимпиада

1)     В треугольнике АВС угол А больше угла С на 30⁰ . Точка К лежит на стороне АС так, что АВ = ВК. Определите угол КВС.

2)     а, в, с целые числа а + в + с делится на 6. Докажите, что а⁵ + в³ + с также делится на 6.

3)     Найдите четырехзначное число, которое при делении на 151 дает в остатке 14, а при делении на 152 – остаток 1.

4)     Лев и тигр могут съесть овцу за 2 часа 24 минуты, лев и волк ту же овцу могут съесть за 3 часа, а тигр и волк – за 4 часа. За сколько часов съедят овцу лев, тигр и волк вместе?

5)     В параллелограмме АВСД проведены диагональ ВД и отрезки, соединяющие вершину А с серединами сторон ВС и СД и пересекающие диагональ ВД в точках М и К соответственно. Доказать, что ВМ = МК = КД.  

11 кл. школьная олимпиада

1)      В куче лежат А камней. Двое играют, по очереди забирая из кучи камни. Своим ходом игрок может взять из кучи число камней, равное делителю того количества камней, которое взял своим предыдущем ходом противник. Первый игрок своим первым ходом может взять любое( отличное от 0) число камней, но не все А сразу. Выигрывает тот , кто возьмет камни последним. При каком наименьшем А >1992 второй игрок имеет выигрышную стратегию?

2)     Точки Д и Е лежат на стороне ВС треугольника АВС. Известно, что ВД = СЕ и угол ВАД равен углу САЕ. Доказать, что треугольник АВС равнобедренный.

3)    Какое число больше:  +  или 2 ( нельзя использовать вычислительные приборы).

4)     Найти все пары действительных чисел х и у, удовлетворяющих системе уравнений

5)     Существует ли натуральное число, десятичная запись которого состоит только из двоек, и которое можно представить в виде суммы кубов некоторых трех последовательных натуральных чисел?

Краткое описание документа:

Олимпиадные задания разработаны для школьного этапа. Задания позволяют выявить уровень знаний учащихся. Задания составлены с учетом материала школьной программы.

Проводится олимпиада в школе для всех желающих учащихся, которые решили проверить свои математические знания. Ребятам будет очень интересно работать с различными типами заданий.