Тема:
«Логарифмические уравнения»
Методы
решения логарифмических уравнений:
При
решении логарифмических уравнений применяются все свойства логарифмов.
Образцы
решения логарифмических уравнений:
ü
Решение уравнения по определению логарифма
1.
Решите уравнение = 2
7 – 2х = 62
7 – 2х = 36
– 2х = 36 – 7
– 2х = 29
х = 29 : (-2)
х = - 14,5
Проверка: =
Ответ: - 14,5
2. Решите уравнение: + = 1
По свойству логарифмов: = 1
По определению
логарифма: (х + 1)(х + 3) = 31
х2 + 3х + 1х + 3 = 3
х2 + 4х = 3 – 3
х2 + 4х = 0
х(х + 4) = 0
х1 = 0 и х + 4 = 0
х2 = - 4
Проверка:
при х1 = 0 +
= +
= 0 + 1 = 1, верное
равенство;
при х2 = - 4 + = + , выражение не имеет
смысла, т.к. под знаком логарифма не может быть отрицательного числа.
Ответ: 0
ü
Решение уравнения методом потенцирования
1.
Метод
потенцирования применим тогда, когда логарифмы имеют равные основания.
5х + 4 = 7 –х
5х + х = 7 – 4
6х = 3
х = 3
: 6
х = 0,5
Проверка:
, данное выражение имеет
смысл.
Ответ: 0,5
2. Решите уравнение:
Решение: по свойствам логарифма получим: =
по свойству запишем: =
Потенцируем уравнение: = 1
= 12
= 1
= 0, а = 1, b = 1,
с = -6
По т.
Виета запишем: х1 + х2 = - b ; х1
= - 3 и х2 = 2
х1 ∙ х2 = с
Проверка: при х = -3 в правой части уравнения одно из выражений не имеет смысла. Значит, -3
не является корнем уравнения
При х
= 2 → → = , данное равенство верно.
Значит, 2 является корнем уравнения.
Ответ: 2
ü
Метод логарифмирования. Решите уравнение
Решение: прологарифмируем обе части уравнения =
по свойству
логарифма № 3а получим: = 1
получили
квадратное логарифмическое уравнение: = 1
его
решение: и
по определению:
х = 101 и х = 10-1
х = 10 и х =
Вместо проверки можно находить область
определения данного уравнения. По определению под знаком логарифма
может быть только положительное значение, значит х > 0.
Область определения: х > 0, 10 >0 и
>0, верные неравенства.
Ответ: , 10
ü
Метод замены.
Решите уравнение - 3 + 2 = 0
Решение: введём
переменную у, у = у2 – 3у + 2 =
0, а = 1, b = - 3, с = 2
По т. Виета
запишем: Получим: у1
= 2, у2 = 1
Произведём
замену = 2 и
По определению логарифма: х = 102
и х = 101
х1 = 100 и х2 = 10
область определения:
х > 0, 100 > 0, 10 > 0, верные неравенства.
Ответ: 10,100
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.