Разработка многоуровневой системы задач по стохастической линии

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

 Появление стохастической линии в школе вызвано велением времени, поскольку является следствием многих социально-экономических причин. О необходимости изучения в школе элементов теории вероятностей и комбинаторики речь идёт очень давно. Каждому человеку в своей жизни приходится выполнять достаточно сложные расчеты, пользоваться общеупотребительной вычислительной техникой, находить в справочниках и применять нужные формулы, владеть практическими приемами, читать информацию, представленную в виде таблиц, диаграмм, понимать вероятностный характер случайных событий, составлять несложные алгоритмы и др. Появление в школьной программе вероятностно-статистической линии, ориентированной на знакомство учащихся с вероятностной природой большинства явлений окружающей действительности, будет способствовать усилению её общекультурного потенциала, возникновению новых, глубоко обоснованных межпредметных связей, гуманитаризации школьного математического образования. Существенность развития комбинаторных возможностей интеллекта учащихся очевидна и с общих позиций теорий развитие личности, и с точки зрения различного рода практических приложений: развитие представлений о статистических закономерностях, формирование информационной культуры, оценка возможностей наступления событий и так далее. В общем, «… эта способность нужна в жизни всякому…».

Мы должны научить детей жить в вероятностной ситуации. А это значит извлекать, анализировать и обрабатывать информацию, принимать обоснованные решения в разнообразных ситуациях со случайными исходами. Ориентация на демократические принципы мышления, на многовариантность возможного развития реальных ситуаций и событий, на формирование личности, способность жить и работать в сложном, постоянно меняющемся мире, с неизбежностью требует развития вероятностно – статистического мышления у подрастающего поколения. Эта задача может быть решена в школьном курсе математики на базе комплекса вопросов, связанных с описательной статистикой и элементами математической статистики, с формированием комбинаторного и вероятностного мышления.

Однако не только социально-экономическая ситуация диктует необходимость формирования у нового поколения вероятностного мышления. Вероятностные законы универсальны. Они стали основой описания научной картины мира. Современная физика, химия, биология, демография, социология, лингвистика, философия, весь комплекс социально-экономических наук построены и развиваются на вероятностно-статистической базе. Подросток не отделен от этого мира глухой стеной, да и в своей жизни он постоянно сталкивается с вероятностными ситуациями. Игра и азарт составляют существенную часть жизни ребенка. Круг вопросов, связанных с соотношениями понятий "вероятность" и "достоверность", проблема выбора наилучшего из нескольких вариантов решения, оценка степени риска и шансов на успех, представление о справедливости и несправедливости в играх и в реальных жизненных коллизиях – все это, несомненно, находится в сфере реальных интересов подростка.

Подборка задач по теории вероятности очень важна. Задачи скомплектованы так, что ребенок при решении их переходит от знакомых задач к задачам малознакомым, а затем уверенно может найти решение незнакомой задачи. Всё это приводит  к формированию умений применения мыслительных приёмов.

Знакомые задачи

Задача 1.

Миша, Оля, Коля, Лена бросили жребий, кому первому рассказывать стихотворение. Найдите вероятность того, что первый стихотворение будет рассказывать Коля.

Решение:
(по формуле классической вероятности)

P(А) - вероятность того, что первый стихотворение будет рассказывать Коля

А – событие «Коля первый будет рассказывать стихотворение»

m =  1 (благоприятные условия)

n = 4 (все возможные события)

Р(А) = m/n = 1/4 =0,25

Ответ: Р(А) = 0,25

Задача 2.

В сборнике заданий по математике всего 280 заданий, в 21 из них встречается вопрос по процентам. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном  на уроке задании школьнику не достанется вопрос по процентам.

Решение:

280 – 21 = 259 заданий вопрос не на проценты

P(А) - вероятность того, что в случайно выбранном  на уроке задании школьнику не достанется вопрос по процентам

А – событие «задание не на проценты»

m =  259 (благоприятные условия)

n = 280 (все возможные события)

Р(А) = m/n = 259/280

Ответ: Р(А) = 259/280

Задача 3.

В соревнованиях по прыжкам в длину участвуют 200 спортсменок:85 из России, 65 из Канады, остальные - из Украины. Порядок, в котором выступают спортсменки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что  спортсменка, выступающая первой, окажется из Украины.

Решение:

85+65= 150 спортсменок из России и Канады

200 – 150= 50 спортсменок из Украины

P(А) - вероятность того, что  спортсменка, выступающая первой, окажется из Украины.
А – событие «спортсменка из Украины»

m =  50 (благоприятные условия)

n = 200 (все возможные события)

Р(А) = m/n = 50/200 = 0,25

Ответ: Р(А) = 0,25

Задача 4.

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что  орёл выпадет ровно один раз.

Решение:
Обозначим выпадение орла буквой О, а решки — буквой Р.
Выпишем все элементарные события: ОО, ОР, РО и РР.
Всего элементарных событий четыре.
Р(А) - вероятность того, что  орёл выпадет ровно один раз
А – событие «орёл выпадет ровно один раз»
m =  2 (благоприятный исход)
n = 4 (все возможные исходы)
Р(А) = m/n = 2/4 = 0,5

Ответ: Р(А) = 0,5

Задача 5.

В чемпионате мира участвуют 20 команд. С помощью жребия их нужно разделить на пять групп по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп:  1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5.
Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда Ростовской области окажется во второй группе?

Решение:
Р(А) – вероятность того, что команда Ростовской области окажется во второй группе?
А – событие «команда во второй группе»
m =  4 (благоприятные исходы)
n = 20 (все возможные исходы)
Р(А) = m/n = 4/20 = 1/5= 0,2

Ответ: Р(А) = 0,2

Задача 6.

Игральный кубик бросают дважды. Сколько элементарных исходов опыта благоприятствуют событию А – «сумма очков равна 6»?

А – событие «сумма очков на обеих костях равна 6»

при двойном бросании игральной кости благоприятствуют только пять элементарных событий

(1;5), (2;4), (3;3),  (5;1), (4;2)

Ответ: пять элементарных исходов

 

 

Задача 7.

Перед началом первого тура чемпионата по теннису участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 76 теннисистов, среди которых 13 участников из России, в том числе Роман Исаев. Найдите вероятность того, что в первом туре Роман Исаев будет играть с каким- либо теннисистом из России?

Решение:

Р(А) – вероятность того, что в первом туре Роман Исаев будет играть с каким- либо теннисистом из России
А – событие «Роман Исаев будет играть с каким- либо теннисистом из России»
m =  12 (благоприятные исходы), т.к. против Романа 12 теннисистов из России
n = 75 (все возможные исходы), т.к. против Романа 75 теннисистов
Р(А) = m/n = 12/75 = 0,16

Ответ: Р(А) = 0,16= 16%

Малознакомые задачи

Задача 1.

Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 19 пассажиров, равна 0,26. Вероятность того, что окажется меньше 6 пассажиров, равна 0,009. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 6 до 18.

А — событие «в автобусе меньше 6 пассажиров», Р(А)= 0,009.
В — событие «в автобусе от 6 до 18 пассажиров», Р(В)-?
Теперь найдём сумму вероятностей А и В. Их сумма — это событие:
 А + В —  «в автобусе меньше 19 пассажиров».  

Действительно, события А и В независимые (несовместные), то есть, они не могут произойти одновременно. Вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В)
Тогда, используя данные, получаем:   0,26 = 0,009 + Р(В)
Таким образом, Р(В) = 0,26 – 0,009 = 0,251

Ответ: Р(В) =0,251

Задача 2.

В магазине четыре продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,3. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все четыре продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга). 

Решение:

Р - вероятность того, что в случайный момент времени все четыре продавца заняты одновременно

Р(А) – вероятность того, что занят 1 продавец

Р(В) – вероятность того, что занят 2 продавец

Р(С) – вероятность того, что занят 3 продавец

Р(D) – вероятность того, что занят 4 продавец

Так как здесь все три события независимые, то нужно найти их произведение.

Р = Р(А)*Р(В)*Р(С)*Р(D)= 0,3*0,3*0,3*0,3=0,0081

Ответ: Р=0,0081

Задача 3.

Биатлонист шесть раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,2. Найдите вероятность того, что биатлонист первые четыре раза попал в мишени, а последние два раза промахнулся. Результат округлите до тысячных.

Решение:
А1 – первый выстрел
А2 – второй выстрел
А3 – третий выстрел
А4 – четвёртый выстрел
А5- пятый выстрел
А6 – шестой выстрел
Вероятность попадания 0,2
Все исходы - 1
Вероятность промаха  1 – 0,2 = 0,8

В – событие «Попадание», тогда

Р(А1)=0,2  Р(А2)=0,2  Р(А3)=0,2   Р(А4)=0,2   , т.к. попал первые четыре

Р(А5)=0,8    Р(А6)=0,8, т.к. промахнулся

Поскольку каждое событие не зависит одно от другого (каждое наступает в любом случае), то  применим правило умножение вероятностей.

Р= Р(А1)*Р(А2)*Р(А3)*Р(А4)*Р(А5)*Р(А6)=0,2*0,2*0,2*0,2*0,8*0,8=0,00102 (округлив до тысячных приблизительно равно 0,001)

Ответ: Р=0,001

Задача 4.

Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,6. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Решение:

Первый способ:
Необходимо найти вероятность события, когда не перегорят обе лампы, либо не перегорит только первая лампа, либо не перегорит только вторая лампа.

По условию вероятность перегорания лампы 0,6. Значит, вероятность исправности лампы в течение года равна 1 – 0,6 = 0,4.

Вероятность события:

«не перегорят обе» равна 0,4∙0,4 = 0,16

«не перегорит первая, но перегорит вторая» равна 0,4∙0,6 = 0,24

«перегорит первая, но не перегорит вторая» равна 0,6∙0,4 = 0,24

Таким образом, вероятность того, что в течение года хотя бы одна не перегорит равна
Р=  0,16 + 0,24+ 0,24 = 0,64

Второй способ:

А – перегорит первая лампа
В - перегорит вторая лампа
С – перегорят обе лампы

Р(С)=Р(А)*Р(В)= 0,6∙0,6 = 0,36. (вероятность того, что перегорят обе лампы равна)
Эти события независимые, но при одновременном их совершении их вероятности перемножаются.
Вероятность того, что не перегорит хотя бы одна лампа,  равна  1 – 0,36 = 0,64. Это событие противоположное  тому событию, когда перегорят обе лампы.

Ответ: 0,64

Задача 5.

Вероятность того, что новый ноутбук в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,08. В некотором городе из 4000 проданных ноутбуков в течение года в гарантийную мастерскую поступило 408 штук. На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?

Решение:

А – количество проданных ноутбуков
n(А) – количество неисправных

Частота события «гарантийный ремонт» равна 408/4000=0,102,  а значит, искомая величина равна 0,102 – 0,08=0,022.

Ответ. 0,022.

 

 

 

 

Задача 6.

На рисунке изображён лабиринт. Жук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад жук не может, поэтому на каждом разветвлении жук выбирает один из путей, по которому ещё не полз. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный, определите, с какой вероятностью жук придёт к выходу Е.

Решение:
Путь, которым может проследовать жук один. Всего на этом пути три развилки. На каждой развилке жук с вероятностью 1 к 2 (0,5) может выбрать верное направление.
Вероятность того, что жук на всех трёх развилках выберет верное направление, равна произведению вероятностей событий, то есть:
«Жук выберет верное направление на первой развилке» вероятность 0,5.
«Жук выберет верное направление на второй развилке» вероятность 0,5.
«Жук выберет верное направление на третьей развилке» вероятность 0,5.
Т.к. события независимые, таким образом, вероятность прийти к выходу Е равна:
0,50,50,5 = 0,125.

Ответ: 0,125.

Задача 7.

Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,72, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из не пристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,16. На столе лежит 12 револьверов, из них только 3 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

Решение:

3/12 =1/4=0,25 – пристрелянные револьверы

1-0,25=0,75 – не пристрелянные револьверы
Вероятность того, что попадется пристрелянный и Джон попадет, равна 0,25*0,72=0,18

Вероятность того, что попадется не пристрелянный и Джон попадет, равна 0,75*0,16=0,12 

Вероятность попадания 0,18+0,12=0,3

Вероятность промаха 1-0,3=0,7

Незнакомые задачи

Задача 1.

Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 18% яиц из первого хозяйства- яйца высшей категории, а из второго хозяйства-23% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 22% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

Решение:
Обозначим события:
А  – «яйцо из первого  хозяйства  имеет высшую категорию»
В  – «яйцо из второго  хозяйства  имеет высшую категорию»
C   – «купленное яйцо произведено в первом хозяйстве»
D  – «купленное яйцо произведено во втором хозяйстве»
По формуле полной вероятности, вероятность того, что будет куплено яйцо высшей категории, равна:   Р(АС) + Р(ВD)

То есть, мы складываем вероятности событий:
«куплено яйцо высшей категории, произведённое в первом хозяйстве»
«куплено яйцо высшей категории, произведённое во втором хозяйстве»
Значит,  так как яйцо может быть произведено либо в первом, либо во втором хозяйстве, то событие Р(D) =  1 – P (C ).

Р(АС)+Р(ВD)=Р(А)*Р(С) +Р(В)*Р(D) = 0,18*Р(С) + 0,23*(1-Р(С)) = -0,05Р(С)+0,23

Так как  по условию вероятность того, что будет куплено яйцо высшей категории,  равна 0,22, то: 

-0,05Р(С) +0,23 = 0,22

Р(С)= (0,22-0,23)/(-0,05) = -0,01/(-0,05)=0,2
Ответ: Р(С)= 0,2

Задача 2.

Чтобы по­сту­пить в ин­сти­тут на спе­ци­аль­ность «биотехника», аби­ту­ри­ент дол­жен на­брать на ЕГЭ не менее 80 бал­лов по каж­до­му из трёх пред­ме­тов — ма­те­ма­ти­ка, рус­ский язык и химия. Чтобы по­сту­пить  на спе­ци­аль­ность «Управление», нужно на­брать не менее 80 бал­лов по каж­до­му из трёх пред­ме­тов — ма­те­ма­ти­ка, рус­ский язык и об­ще­ст­во­зна­ние.  Ве­ро­ят­ность того, что аби­ту­ри­ент З. по­лу­чит не менее 80 бал­лов по ма­те­ма­ти­ке, равна 0,3, по рус­ско­му языку — 0,4 по химия — 0,7 и по об­ще­ст­во­зна­нию — 0,6.  Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что З. смо­жет по­сту­пить на одну из двух упо­мя­ну­тых спе­ци­аль­но­стей. 

Решение:
Чтобы поступить хоть куда-то надо сдать математику, русский обязательно и химию или обществознание.
А – сдать на биотехнику
В – сдать на управление
С – сдать и на биотехнику и на управление
Р(А) = 0,3*0,4*0,7 = 0,084  - успешно сдать на биотехнику
Р(В) = 0,3*0,4*0,6 = 0,072 – успешно сдать на управление
Р(С) = 0,3*0,4*0,7*0,6 =0,0504 – успешно сдать и на биотехнику и на управление

Так как события совместные, то Р= Р(А)+Р(В)-Р(С)=0,084+0,072 – 0,0504=0,1056

Ответ: Р=0,1056

Задача 3.

На рок-фестивале выступают группы — по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из России будет выступать перед группой из Чехии и перед группой из Дании? Результат округлите до сотых.

Решение:
Перестановок может быть , т.к. n=3, то Р3=3!=6

РЧД, РДЧ, ДРЧ, ДЧР, ЧРД, ЧДР.

Вариантов, где Россия перед Чехией и Данией – 2. Значит Р= 2/6=1/3

Эти события являются несовместными, а их совокупность — полной (то есть какое-то из них обязательно наступит). Значит, сумма их вероятностей равна 1.

Поскольку жребий не отдаёт предпочтение ни одной из рок-групп, то вероятность наступления каждого из перечисленных событий одинакова и равна ≈0,33.

Ответ: Р≈0,33

Задача 4.

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в  автомате закончится кофе, равна 0,7. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0, 56. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Решение:
А – кофе закончится в первом автомате
В – кофе закончится во втором автомате
тогда А*В – кофе закончится в обоих автоматах
А+В – кофе закончится хотя бы в одном автомате
По условию Р(А)=Р(В)=0,7   Р(А*В)=0,56
События А и В совместные, вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения:
Р(А+В)= Р(А)+Р(В) – Р(А*В)= 0,7+0,7 – 0,56 = 1,4 – 0,56= 0,84
Следовательно, вероятность противоположного события, состоящего в том, что кофе останется в обоих автоматах, равна 1 – 0, 84 = 0,16

Ответ: 0,16