Разработка на тему "Абсолютная и относительная погрешности"

План-конспект

Тема: « Абсолютная и относительная погрешности. Действия над приближёнными значениями чисел».

Цели  урока:

Оборудование: мультимедиа, микрокалькулятор, оборудование для выполнения практического задания,  2 линейки с делениями в 0,1см и 1см, термометр, весы, раздаточный материал (лист, копирка, карточки)

Ход урока:

      I.            Сегодня у нас несколько необычный урок, интегрированный. На этом уроке вы увидите тесную связь двух точных наук математики и физики.

 Давайте повторим основные понятия и формулы.

   II.            Фронтальный опрос: (слайд 3)

1.       Какие числа получаются  в результате счета или измерения?

Какие из значений величины точные и какие приближенные:

a)       Температура воздуха ;

b)      В самолете 122 пассажира;

c)       Масса дыни 3,5 кг;

d)      Станок состоит из 170 деталей;

e)       В школе присутствует 650 учащихся?

Что используют для оценки качества измерения? (слайд 4)

Сформулируйте определение абсолютной погрешности (формулы на плакате).

Сформулируйте определение относительной  погрешности.

Прочитайте запись:   а=124

Пусть =. Может ли число, а оказаться равным

2,8                                          ;                              2,599                     ;                              3,2001                 3,1999

 Нахождение абсолютной и относительной погрешностей при определении плотности твердого тела

Оборудование:

дисплейный класс;

приборы, точность измерения которых необходимо определить;

оборудование для практической работы: динамометр, штангенциркуль, брусок;

таблица “Плотности некоторых веществ”;

карточки “График линейной функции m =V”.

Ход урока

Устные упражнения

а) округлите

 36,7; 189,51; 51,3; 3,019 до единиц;

 0,1559; 7,098; 1,0036 до сотых;

 2,653 до десятых.

Найдите абсолютную погрешность приближения. Что называется относительной/ абсолютной погрешностью приближенного значения?

б) какие из перечисленных величин являются точными, а какие – приближенными:

толщина книги 25 мм;

 температура воздуха 19° C;

 в самолете 122 пассажира;

 скорость звука в воздухе 322 м/с;

 масса дыни 3.2 кг;

 стоимость ручки 3 рубля;

 угол в тетради 50° .

Определите точность, с которой может быть выполнено измерение, если использовать данный прибор:

линейка с миллиметровой шкалой;

 термометр;

 секундомер;

 транспортир;

 мензурка;

 динамометр;

 весы бытовые.

(Учащиеся дают название каждому из приборов, определяют их цену деления, отвечают на вопрос, с какой точностью может быть выполнено измерение данным прибором.)

Решите задачу:

Выполняя лабораторную работу по определению плотности железа, ученик получил результат 7,6г/см3. Вычислите абсолютную и относительную погрешность экспериментального результата (табличное значение плотности железа равно 7,8 г/см3).

Практическая работа “Определение плотности твердого тела. Нахождение абсолютной и относительной погрешностей приближенных значений”.

Учащимся сообщается порядок выполнения работы. На столах у них – оборудование для практической работы. (Работу выполняют в парах)

Порядок выполнения работы.

Найти массу бруска (использовать шкалу динамометра, проградуированную в граммах).

Найти объем бруска, для чего измерить длину, ширину, высоту. Расчетная формула:

V = abc.

Вычислить плотность бруска. Расчетная формула: r = m/V.

Учитывая, что брусок алюминиевый, сравнить полученное значение плотности с табличным.

Вычислить абсолютную и относительную погрешности экспериментального результата.

В ходе вычислений использовать компьютер.

Результаты измерений и вычислений записать в таблицу.

Название вещества: алюминий. Таблица 2.            

Результаты измерений    

Вычисления на компьютере

Длина бруска, a, см                          

Ширина бруска, b, см                      

Высота бруска, c, см                        

Масса тела, m, г                 

Объем, V, см3                   ? a*b*c

Плотность вещества, r , г/см3                       

Табличное значение плотности, r , г/см3 

Абсолютная погрешность r т – r                  

Относительная погрешность | r т – r | / |r |                                ? ABS( …)

5. Подведение итогов экспериментальных результатов и вычислений на компьютере.

6. Домашнее задание.

Используя график функции m = r V “рис. 4”, по значениям массы и объема найдите плотность. Вычислите абсолютную и относительную погрешности. Результаты запишите в таблицу.

Таблица 3.1. Масса, m, г     

2. Объем, V, см3                   

3. Плотность, r , г/см3         

4. Абсолютная погрешность            

5. Относительная погрешность       

Подведение итогов урока.

Применение приобретенных знаний по математике в существенно новых условиях способствует качественному изменению знаний, повышению уровня математической культуры учеников. А. Н. Колмогоров сказал: “Задача состоит в том, чтобы уже в школе убедительно показать, что современная математика строит математические модели реальных ситуаций, изучаемых в применениях…” Поэтому, выполняя практические задания на уроках, ребята все реже и реже задают вопрос: “Зачем мы изучаем данную тему?”

III.            Решение задач: (слайд 5)

№537

y=

x=0,8

y-?

  -?

Решение:

1.Найдем по графику y=  приближенное значение функции: если x=0,8, то y0,7

2.По формуле y=  найдем точное значение функции:

Если x=0,8,  то y=

3.Найдем относительную погрешность

IV.            Ребята, сейчас вы решали задачу, где можно было найти точное значение величины. В физике не всегда известно точное значение, поэтому используют метод оценки результатов измерения.

Но прежде чем рассматривать данный метод, давайте вспомним, какие физические величины вы знаете и на какие категории их можно разделить? (слайд 6)

Ответ: Физические величины можно разделить на две категории: величины, характеризующие свойства и состояние тел(масса, объем, плотность, давление,…) и величины, характеризующие явления и процессы, протекающие во времени (линейная скорость, сила тока, работа,…) Чтобы иметь представление о физической величине с количественной точки зрения, необходимо выразить её числом, т.е. измерить.

Что значит измерить физическую величину?

Ответ: измерить физическую величину – это значит найти опытным путем значение физической величины, используя специальные технические средства, т.е. различные измерительные приборы.

Как вы думаете, ребята,  результаты измерений физической величины являются точными или приближенными? И от чего зависит точность измерения?

Ответ: результат измерений физических величин, получаемый в научно-исследовательских лабораториях или в лабораторных работах школьниками, когда являются не абсолютно точными, а приближенными. Но степень точности при этом, конечно, различна. Точность измерения зависит от точности прибора и его чувствительности, а также от восприимчивости органов чувств экспериментатора. Точность прибора определяется наименьшим его показанием – ценой деления. Сочетая высокую восприимчивость наших органов чувств с точными чувствительными приборами новейших конструкций и со специальными способами измерений, можно значительно повысить  точность измерений физической величины.

Метод оценки результатов измерений (беседа учителя с учащимися) (слайд 7)

Пусть мы измеряем величину x, тогда относительная погрешность  - абсолютная погрешность измерения, зависящая от точности измерительного прибора.

- цена деления шкалы прибора.

Если измеряются несколько величин и эти величины складываются, умножаются или делятся, то их относительные погрешности складываются.

Задача: Найти объем бруска и оценить относительную погрешность измерений.  Оборудование: набор брусков из разных веществ, измерительная линейка (ученик у доски, остальные ребята проводят измерения на рабочих местах)

                                                             ε_v  = ε_a + ε_b + ε_c = Δa/a + Δb/b + Δc/c

   V.            В практическом задании вы будете находить на микрокалькуляторе отношения и ответ округлять до сотых (учитель математики).

Вычислите отношения и ответ округлите до сотых (устно): (слайд 8)

1)                                      ()

2)                                   ()                             

3)                                 ()

Задача: Выполняя лабораторную работу по определению плотности меди, ученик получил результат 9,1 . Вычислите относительную погрешность экспериментального результата (таблица плотности стр. 45) (слайд 9)

Как вы думаете, какие правила нужно соблюдать, чтобы измерения имели наименьшую погрешность? (вопрос учителя) (слайд 10)

Ответ: 1) правильно применять средства измерения;

                2) снимать показания с помощью средств измерений с необходимой точностью;

                3) вычислять искомую величину по результатам измерений с соблюдением правил округления и с учетом погрешностей

VI.            Выполнение практической задачи. Нахождение плотности бруска и вычисление относительной погрешности измерений (один ученик проводит измерения на демонстрационном столе, записывая результаты на доске, остальные учащиеся проводят измерения на своих рабочих местах и записывают в тетрадь)  (слайд 11)

Оборудование: весы, гири, набор брусков из различных веществ.

После выполнения практического задания, беседа учителя, подведение итогов.

 Какая получилась относительная погрешность? От чего она зависела  в данном эксперименте? Почему важна точность измерений?        Рассмотрим один из важных вопросов – приближенные вычисления. Несколько слов о его важности.

          При решении практических задач часто приходится иметь дело с приближенными значениями различных величин.

Напомню, в каких случаях получаются приближенные значения:

1)    при подсчете большого количества предметов;

2)    при измерениях с помощью приборов различных величин (длины, массы, температуры);

3)    при округлении чисел.

Обсудим вопрос: «Когда качество измерения, вычисления будет выше».

         Участниками семинара сегодня будут 3 группы: математики, физики и представители производства (практики).

        (Представляют группы «старшие», называют свою фамилию).

Оценивать работу семинара будут гости и компетентное жюри от общественности, где есть «математики», «физики» и «практики».

Оцениваться будет работа групп и отдельных участников баллами.

План работы (на доске)

                                              1. Выступления

                                              2. Самостоятельная работа

                                              3. Викторина

                                              4. Итоги

     . Выступления.

1. Мерой оценки отклонения приближенного значения от точного

 служат абсолютная и относительная погрешности. Рассмотрим их определения с точки зрения прикладной направленности.

2 Абсолютная погрешность показывает на сколько

приближенное значение отличается от точного, т.е. точность приближения. 

     Относительная погрешность оценивает качество измерения и

выражается в процентах.

     Если х ≈ α, где х – точное значение, а α – приближенное, то абсолютная погрешность будет: │х – α │, а относительная: │х – α │∕ │α│%

Примеры:

1. Найдем абсолютную и относительную погрешности приближенного значения, полученного в результате округления числа 0,437 до десятых.

     0,437 ≈ 0,4

Абсолютная погрешность:  │0,437 – 0,4 │= │0,037│= 0,037

Относительная погрешность: 0,037 : │0,4│= 0,037 : 0,4 = 0,0925 = 9,25%

Найдем по графику функции у = х²  приближенное значение функции при х = 1,6

     Если х = 1,6, то у ≈ 2,5

Найдем по формуле у = х²  точное значение у:   у = 1,6² = 2,56;

Абсолютная погрешность:   │2,56 – 2,5 │= │0,06│= 0,06;                                                   

Относительная погрешность: 0,06 : │2,5│= 0,06 : 2,5 = 0,024 = 2,4%

      Если сравнить два результата относительной погрешности 9,25% и

2,4%, то во втором случае качество вычисления будет выше, результат будет точнее.

Отчего зависит точность приближенного значения?

          Она зависит от многих причин. Если приближенное значение получено при измерении, то его точность зависит от прибора, с помощью которого выполнялось измерение. Никакое измерение не может быть выполнено совершенно точно. Даже сами меры заключают в себе погрешность. Изготовить совершенно точные метровые линейки, килограммовую гирю, литровую кружку чрезвычайно трудно и закон допускает при изготовлении некоторую погрешность.

          Например, при изготовлении метровой линейки допускается погрешность 1мм. Само измерение тоже вводит неточность, погрешность в гирях, весах. Например на линейке, которой мы пользуемся, нанесены деления через 1мм, т.е. 0,1см, значит точность измерения этой линейкой до 0,1 ( ≤ 0,1). На медицинском термометре деления через 0,1⁰ , значит точность до 0,1 ( ≤ 0,1). На весах деления нанесены через 200г, значит точность до 200 ( ≤ 200).

          Округляя десятичную дробь до десятых точность будет до 0,1 ( ≤ 0,1); до сотых – точность до 0,01 ( ≤ 0,01).

    Точнейшие в мире измерения производятся в лабораториях Института мер.

3 Всегда ли можно найти абсолютную и относительную погрешности?

Не всегда можно найти абсолютную погрешность, так как неизвестно

точное значение величины, а отсюда и относительную погрешность.

    В этом случае принято считать что абсолютная погрешность не превосходит цены деления шкалы прибора. Т.е. если например цена деления линейки 1мм = 0,1см, то абсолютная погрешность будет с точностью  до 0,1 ( ≤ 0,1) и будет определена только оценка относительной погрешности (т.е. ≤ какому числу %).

   Часто приходится с этим встречаться в физике при демонстрации опытов, при выполнении лабораторных работ.

Задача. Найдем относительную погрешность при измерении длины листа тетради линейками:  одна – с точностью до 0,1см (деления через 0,1см); вторая - с точностью до 1см (деления через 1см).

           ℓ₁ = 20,4см                                 ℓ₂ = 20,2см

0,! : 20,4 = 0,0049 = 0,49%                   1 : 20,2 = 0,0495 = 4,95%

 Говорят, относительная погрешность в первом случае до 0,49%(т.е ≤ 0,49%), во втором случае до 4,95% (т.е. ≤ 4,95%).

В первом случае точность измерения выше. Мы говорим не о величине

относительной погрешности, а ее оценке.

       На производстве при изготовлении деталей мы пользуемся

штангенциркулем (для измерения глубины; диаметра: наружного и внутреннего).

          Абсолютная погрешность при измерении этим прибором составляет точность до 0,1мм. Найдем оценку относительной погрешности при измерении штангенциркулем:

            d = 9,86см = 98,6мм

   0,1 : │98,6│= 0,1 : 98,6 = 0,001 = 0,1%

Относительная погрешность с точностью до 0,1% (т.е. ≤ 0,1%).

     Если сравнить с предыдущими двумя измерениями, то получается точность измерения выше.

Из трех практических примеров можно сделать вывод: что точных значений быть не может, производя измерения в обычных условиях.

     Но чтобы точнее выполнить измерение нужно взять измерительный прибор цена деления которого как можно меньше.

. Самостоятельная работа по вариантам, с последующей проверкой (под копирку).

Вариант 1	Вариант 2
1. Построить график функции у = х3	1. Построить график функции у = х2
Пользуясь графиком закончить запись: a)    если х = 1,5, то у ≈      если х = -0,5, то у ≈ б) у = 4 при х ≈	Пользуясь графиком закончить запись: b)    если х = 2,5, то у ≈      если х = -1,5, то у ≈ б) у = 5 при х ≈
2 Округлить число 0,356 до десятых и найти:      a) абсолютную погрешность          приближения;      б) относительную погрешность          приближения	2. Округлить число 0,188 до десятых и найти:      a) абсолютную погрешность          приближения;      б) относительную погрешность          приближения

(Жюри проверяет самостоятельные работы)

. Викторина. (За каждый правильный ответ – 1 балл)

  В каких примерах значения величин точные, а в каких приближенные?

Примеры:

 1. В классе 36 учеников

 2. В рабочем поселке 1000 жителей

 3. Железнодорожный рельс имеет длину 50 м

 4. Рабочий получил в кассе 10 тысяч рублей

 5. В самолете ЯК – 40  120 пассажирских мест

 6. Расстояние между Москвой и Санкт – Петербургом 650 км

 7. В килограмме пшеницы содержится 30000 зерен  

 8.Расстояние от Земли до Солнца 1,5 ∙ 10⁸  км

 9. Один из школьников на вопрос о том, сколько учащихся учится в школе, ответил: «1000», а другой ответил «950». Чей ответ точнее, если в школе учится 986 учащихся?

10. Буханка хлеба весит 1 кг и стоит 2500 р.

11. Тетрадь в 12 листов стоит 600 р. и имеет толщину 3 мм      

VII.            Итог урока: (слайд 12)

Чешский педагог Ян Коменский говорил: «Считай несчастным тот день или тот час, в который ты не усвоил ничего нового и ничего не прибавил к своему образованию».

Мы надеемся, что сегодня на уроке вы узнали много нового и интересного.

ЧТО НОВОГО И ПОЛЕЗНОГО ВЫ УЗНАЛИ СЕГОДНЯ?

Краткое описание документа:

План-конспект

Тема: « Абсолютная и относительная погрешности. Действия над приближёнными значениями чисел».

Целиурока:

Оборудование: мультимедиа, микрокалькулятор, оборудование для выполнения практического задания,2 линейки с делениями в 0,1см и 1см, термометр, весы, раздаточный материал (лист, копирка, карточки)

Ход урока:

• Сегодня у нас несколько необычный урок, интегрированный. На этом уроке вы увидите тесную связь двух точных наук математики и физики.
• Фронтальный опрос: (слайд 3)

Давайте повторим основные понятия и формулы.

• Какие числа получаютсяв результате счета или измерения?

Какие из значений величины точные и какие приближенные:

• Температура воздуха ;
• В самолете 122 пассажира;
• Масса дыни 3,5 кг;
• Станок состоит из 170 деталей;
• В школе присутствует 650 учащихся?

Что используют для оценки качества измерения? (слайд 4)

Сформулируйте определение абсолютной погрешности (формулы на плакате).

Сформулируйте определение относительной погрешности.