Инфоурок Математика КонспектыРазработка на тему "Алгебраический способ решения текстовых задач по математике"

Тема: Решение текстовых задач алгебраическим способом.

Файл будет скачан в форматах:

  • pdf
  • docx
842
11
01.12.2024

Материал разработан автором:

Разработок в маркетплейсе: 167
Покупателей: 2 333

Об авторе

Категория/ученая степень: Первая категория
Место работы: МБОУ «Ильинская средняя школа» Сакского района Республики Крым
Здравствуйте. Я рада вас приветствовать на своём сайте. Работаю в школе больше 6 лет, за время работы накопился большой опыт, которым хочу поделиться с вами. От учителя, особенно живущего в наше время перемен и новых открытий, справедливо требовать, чтобы жизнь его служила примером детям и их родителям. Я стараюсь все эти требования в своей работе соблюдать и выполнять. Ведь учитель свободен, как поэт, художник, музыкант, как любая творческая личность. Он рассказывает и учит тому, что знает и любит сам. "Если учитель имеет только любовь к делу, он будет хороший учитель. Если учитель имеет только любовь к ученику, как отец, мать, - он будет лучше того учителя, который прочел все книги, но не имеет любви ни к делу, ни к ученикам. Если учитель соединяет в себе любовь к делу и к ученикам, он - совершенный учитель". - Л. Толстой Быть может, на страничках этого сайта, вы найдёте для себя полезную и нужную информацию. Я буду рада.
Подробнее об авторе

Настоящая методическая разработка опубликована пользователем Кулик Александра Александровна. Инфоурок является информационным посредником

Тема: Решение текстовых задач алгебраическим способом. Цель урока: закрепление материала по решению текстовых задач с помощью систем уравнений второй степени. Задачи урока: · продолжить формирование умений решать задачи с помощью составления систем уравнений; · развивать логическое мышление, умение анализировать и делать выводы; · воспитывать интерес к математике и её приложениям. Методы урока: объяснительно -иллюстративный, репродуктивный, проблемный, частично -поисковый.

Краткое описание методической разработки

Тема: Решение текстовых задач алгебраическим способом.

Цель урока: закрепление материала по решению текстовых задач с помощью систем уравнений второй степени.

Задачи урока:

· продолжить формирование умений решать задачи с помощью составления систем уравнений;

· развивать логическое мышление, умение анализировать и делать выводы;

· воспитывать интерес к математике и её приложениям.

Методы урока: объяснительно -иллюстративный, репродуктивный, проблемный, частично -поисковый.

Развернуть описание

Разработка на тему "Алгебраический способ решения текстовых задач по математике"

Скачать материал

 

 

 

Муниципальное   образовательное казенное учреждение

Бага-Чоносовская средняя  общеобразовательная школа  имени Боован Бадмы

 

 

 

 

 

 

 

 

Алгебраический способ

 решения текстовых задач

по математике

(задания В13 по материалам ФИПИ)

 

 

 

Выполнил: учитель математики

Бальджиков Б.Б.

 

 

 

 

п.Бага-Чонос

2013

 

Введение

 

Важнейшим видом учебной деятельности, в процессе которой усваивается система математических знаний, умений и навыков, является решение задач. Именно задачи являются тем средством, которое в значительной степени направляет и стимулирует учебно-познавательную активность учащихся.

В обучении математике задачи выступают как цель и средство обучения. Этим определяется их место в процессе обучения математике. Задачи служат также основным дидактическим целям, формируют систему знаний, творческое мышление учащихся, способствуют развитию интеллекта и выполняют познавательную роль в обучении.

Педагогами и методистами признано, что решение задач является важнейшим средством формирования у школьников системы основных математических знаний, умений и навыков, ведущей формой деятельности учащихся в процессе изучения математики, одним из основных средств их математического развития.

В последние годы самые сильные отрицательные эмоции у учащихся на уроках математики вызывает задание решить задачу. Примерно половина из них на государственной (итоговой) аттестации в форме ЕГЭ даже не приступает к решению текстовых задач (задания В13).

Почему так происходит? Зачем надо обучать детей решению текстовых задач и КАК это делать? Эти и другие подобные вопросы все чаще возникают в современной школе. Именно поэтому эта проблема показалась одной из актуальных на сегодняшний день.

Не прекращаются поиски эффективной методики обучения решению текстовых задач в общеобразовательной школе. Решение задач в математическом образовании занимает огромное место.

Решение задач с помощью уравнений ставит перед учащимися много различных проблем, в том числе проблему по отысканию той величины, которую надо обозначить переменной «х».

На первых этапах обучения у них нет опыта, нет никаких ориентиров, что приводит к тупику в решении и потере времени.

 

 

Каковы же знания, которые должны быть усвоены учащимися о задачах и их решении?

Это общие представления о задачах и процессах их возникновения из реальных и абстрактных проблемных ситуаций; о составных частях и структуре задач; об основных видах задач в зависимости от характера объекта и требований задачи; общие представления о сущности процесса решения задач и конкретизация их в отношении каждого вида задач; о структуре и этапах процесса решения задач.

Главное – сформировать такой общий подход к решению задач, когда задача рассматривается как объект для анализа, для исследования, а ее решение – как конструирование и изобретение способа решения. Это осуществляется в процессе обучения математике с помощью основополагающих принципов дидактики. Действительно, в обучении реализуются следующие принципы:

1.                 Принцип научности отражает взаимосвязь с современным научным знанием. Этот принцип воплощается в отборе изучаемого материала, в порядке и последовательности введения научных понятий в учебный процесс.

Принцип научности нацеливает учителя на вовлечение школьников в проведение анализа результатов собственных наблюдений, в самостоятельное их (результатов) исследование.

2.                 Принцип систематичности и последовательности придает системный характер учебной деятельности, теоретическим знаниям, практическим умениям учащегося. Этот принцип предполагает усвоение знаний в определенном порядке, системе. Требование систематичности и последовательности в обучении нацелено на сохранение преемственности содержательной и процессуальной сторон обучения, при которых каждый урок –это логическое продолжение предыдущего как по содержанию изучаемого учебного материала, так и по характеру, способам выполняемой учениками учебно-познавательной деятельности.

3.                 Принцип связи обучения с практикой предусматривает, чтобы процесс обучения стимулировал учеников использовать полученные знания в решении практических задач, анализировать и преобразовывать окружающую действительность. Для этого используется анализ примеров и ситуаций из реальной жизни, соотнесение с жизненными ситуациями условия задачи, анализ условия задачи.

4.                 Принцип доступности требует учета особенностей    развития учащихся, анализа материала с точки зрения их реальных возможностей и такой организации обучения, чтобы они не испытывали интеллектуальных, моральных, физических перегрузок.

Доступность должна заключаться в обучении учащихся новому материалу, опираясь на их знания, опыт, особенности мышления. Например, при решении задач с помощью составления уравнений учащиеся должны уметь решать прежде всего сами уравнения.

5.                 Принцип наглядности означает, что эффективность обучения зависит от целесообразного привлечения органов чувств к восприятию и переработке учебного материала. В процессе обучения используются наглядные средства: модели, рисунки, схемы и т.п. Виды, наглядности, которые могут быть использованы при решении задач, это:

ü    экспериментальная наглядность (опыты, эксперименты);

ü    символическая и графическая наглядность (графики, схемы и т.п.);

ü    внутренняя наглядность (образы, создаваемые речью учителя).

Однако использование наглядности должно быть в той мере, в какой она способствует формированию знаний и умений, развитию мышления. Так, при решении задачи, ученик должен переходить от образного представления процессов, описываемых в ней, к их записи с помощью схем, графиков и оперировать уже со знаками и символами.

 

Но прежде чем перейти к самим задачам, надо отработать с учащимися умение записывать предложения в виде равенств.

 

 

п/п

Записать следующие предложения в виде равенств

1

 А больше В на 8

 

А-В=8

В+8=А

А-8=В

2

 А меньше В на 7

 

В-А=7

А+7=В

В-7=А

3

А больше В  в 4 раза

 

А:В=4

А:4=В

 4В=А

4

А меньше В в 3 раза

В:А=3

В:3=А

3А= В

5

А составляет 75% от В

А=0,75В

6

А больше В на 24%

А-В=0,24В

А=В+0,24В

7

В меньше А на 45%

А-В=0,45А

А=В+0,45А

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теперь — сами задания В13.

Задачи на движение.

 

Начнем мы с задач на движение. Они часто встречаются в вариантах ЕГЭ. Все эти задачи решаются по одной-единственной формуле: S=vt. Из этой формулы можно выразить скорость  или время.

В качестве переменной х удобнее всего выбирать скорость. Тогда задача точно решится!

 

Задача (ФИПИ-2013, вариант №4).

Два велосипедиста одновременно отправились в 153-километровый пробег. Первый ехал с скоростью, на 8 км/ч больше, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 8 часов раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым. Ответ дайте в км/ч.

 

Что здесь лучше всего обозначить за х? Конечно, скорость одного из велосипедистов. Например, скорость второго велосипедиста х км/ч, тем более, что она меньше скорости первого участника движения. В задаче сказано, что первый велосипедист ехал со скоростью, на 8 км/ч больше, чем скорость второго, значит, скорость первого велосипедиста (х+8) км/ч.

 

Нарисуем таблицу. В нее сразу можно внести расстояние —153 км и скорости.

 

v, км/ч

t, ч

S, км

1 велосипедист

х+8

 

153

2 велосипедист

х

 

153

 

 Осталось заполнить графу «время». Его мы найдем по формуле: t=.

 Эти данные тоже запишем в таблицу.

 

 

v, км/ч

t, ч

S, км

1 велосипедист

х+8

153

2 велосипедист

х

153

Остается записать, что первый  велосипедист прибыл к финишу на 8 часов раньше второго. Раньше — значит, времени он затратил меньше на 8 часов, чем второй. Составим уравнение

-=8.

Решим это рациональное уравнение

--8=0.

 

 

 

Приведем дроби в левой части уравнения к одному знаменателю

.

 

Дробь обращается в нуль, лишь при условиях, что числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

 

153(х+8)-153х-8х(х+8)=0,   х

153х+1224-153х-8х2-64х=0,

-8х2-64х+1224=0.

Разделим обе части уравнения на (-8)

х2+8х-153=0,

х1=-17, х2=9

Так как-17  9, 9, то  х1=-17, х2=9 являются корнями данного уравнения.

Так как скорость велосипедиста должна быть положительна, то ответ -17 не подходит под условие задачи. Таким образом, решением данного уравнения является только одно значение х=9.

Значит, 9 км/ч-скорость второго велосипедиста. Еще раз читаем задачу и определяем главный вопрос -найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым, то есть  надо найти скорость первого велосипедиста. Она будет равна 9+8=17 км/ч.

Ответ: 17.

 

Следующий тип задач — когда что-нибудь плавает по речке, в которой есть течение. Например, теплоход, катер или моторная лодка. Обычно в условии говорится о собственной скорости плавучей посудины и скорости течения. Собственной скоростью называется скорость в неподвижной воде. При движении по течению эти скорости складываются. Течение помогает, по течению плыть — быстрее. Скорость при движении по течению равна сумме собственной скорости судна и скорости течения. А если двигаться против течения? Течение будет мешать, относить назад. Теперь скорость течения будет вычитаться из собственной скорости судна.

 

Задача  (ФИПИ-2013, вариант №8).

Расстояние между пристанями А и В равно 48 км. Отчалив от пристани  от пристани А в 10 часов утра, теплоход проплыл по течению реки с постоянной скоростью до пристани В. После трехчасовой стоянки у пристани В теплоход отправился в обратный рейс и прибыл в А в тот же день в 22.00. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.

Пусть скорость теплохода в неподвижной воде равна х км/ч. Тогда скорость движения теплохода по течению равна (х+4) км/ч, а скорость, с которой он движется против течения (х-4) км/ч. Расстояние и в ту, и в другую сторону одинаково и равно 48 км.

Занесем скорости и расстояние в таблицу.

 

 

v, км/ч

t, ч

S, км

По течению реки

х+4

 

48

Против течения реки

х-4

 

48

Осталось заполнить графу «время». Его мы найдем по формуле: t=.

 Эти данные тоже запишем в таблицу.

 

v, км/ч

t, ч

S, км

По течению реки

х+4

48

Против течения реки

х-4

48

В пункт отправления теплоход вернулся через 12 часов после отплытия из него, при чем стоянка длилась 3 часа, следовательно, 9 часов теплоход плыл — сначала по течению, затем против. Составим уравнение

.

Решим это уравнение

.

 

48(х-4)+48(х+4)-9(х2-16)=0,   а х

-9х2+96х+144=0,

2-32х-48=0,

D/4=400,

х1,2=,

х1=12, х2=  -1.

Оба корня удовлетворяют условию х, значит, они являются корнями данного уравнения. Но по смыслу задачи скорость движения должна быть положительной величиной, поэтому число -1 не удовлетворяет условию задачи.

Таким образом, 12 км/ч-скорость теплохода в неподвижной воде.

Ответ: 12.

 

 

 

 

 

 

 

Задачи на совместную работу

 

 

Еще один тип задач В13, встречающийся в вариантах ЕГЭ по математике — это задачи на работу.

 

Задачи на работу также решаются с помощью одной-единственной формулы: V=pt.  Здесь V — объем работы, t — время, а величина p, которая по смыслу является скоростью работы, носит специальное название — производительность. Она показывает, какой объем работы выполнен за единицу времени. Например, продавец в супермаркете надувает воздушные шарики. Количество шариков, которые он надует за час — это и есть его производительность.

 

Правила решения задач на работу очень просты.

V=pt, то есть работа равна произведению производительности на  время. Из этой формулы легко найти t или p.

Если объем работы не важен в задаче и нет никаких данных, позволяющих его найти — объем принимается за единицу. Построен дом (один). Написана книга (одна). А вот если речь идет о количестве кирпичей, страниц или построенных домов — объем работы как раз и равна этому количеству.

Если трудятся двое рабочих (два экскаватора, два завода…) — их производительности складываются. Очень логичное правило.

В качестве переменной  удобно взять именно производительность.

 

Рассмотрим, как все это применяется на практике.

 

Задача (ФИПИ-2013, вариант №6).

На изготовления 48 деталей первый рабочий тратит на 8 часов меньше, чем второй рабочий на изготовления 96 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 4 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий?

 

В задаче спрашивается, сколько деталей в час делает второй рабочий, то есть какова его производительность. Примем ее за х деталей в час. Тогда производительность первого рабочего равна (х+4) деталей в час (он делает на 4 деталь в час больше). По условию задачи, объем работы первого рабочего равен 48 деталей, а второго- 96 деталей. Эти данные тоже запишем в таблицу.

 

 

р, деталей в час

t, ч

V, кол-во деталей

1 рабочий

х+4

 

48

2 рабочий

х

 

96

 

 

 

Осталось заполнить графу «время». Его мы найдем по формуле: t=.

 

р, деталей в час

t, ч

V, кол-во деталей

1 рабочий

х+4

48

2 рабочий

х

96

Остается записать, что первый рабочий тратит на 8 часов меньше, чем второй рабочий. Составим уравнение

,

,

96(х+4)-48х-8х(х+4)=0 ,      х≠0, х≠-4,

96х+384-48х-8х2-32х=0,

-8х2+16х+384=0,

х2-2х-48=0,

х1=8, х2= -6.

Оба корня уравнения удовлетворяют условиям х≠0, х≠-4,

но корень х=-6 не подходит по смыслу задачи.

Таким образом, второй рабочий делает 8 деталей в час.

Ответ: 8.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение  задач  на  растворы,  смеси  и  сплавы

 

Еще один тип задач В13, встречающийся в вариантах ЕГЭ по математике — это задачи на смеси, растворы, сплавы. Задачи на растворы решаются с помощью  формулы: m=cM.  Здесь m — масса(объем) данного вещества, M — общая масса(объем) смеси (сплава), а величина c— концентрация данного вещества в смеси (сплаве). Она показывает,  какую  долю  полного  объема  смеси  составляют  объем    компонента. Иногда говорят о процентном содержании вещества в растворе. Эта величина вычисляется по формуле р=с·100%.

Если  известно  процентное  содержание  вещества  A,  то  его  концентрация  находится  по  формуле .

Так,  например,  если  процентное  содержание  составляет  80%,  то  соответствующая  концентрация  равна  0,8.

Как видно, переход от концентрации к процентному содержанию и наоборот весьма прост.

 

Задача.

Имеется кусок сплава меди с оловом общей массы 12 кг, содержащий 45% меди. Сколько чистого олова надо добавить к этому куску сплава, чтобы получившийся новый сплав содержал 40%меди?

 

Примем за х кг массу куска олова, которое надо добавить. Переведем процентное содержание меди 45% и 40% в концентрацию. 45%=0,45 и 40%=0,4. Занесем данные задачи в таблицу.

 

с

М, кг

m, кг

Первоначальный сплав

0,45

12

 

Полученный сплав

0,4

12+х

 

Осталось заполнить графу «Масса вещества». Её мы найдем из формулы m=cM.

 

 

с

М, кг

m, кг

Первоначальный сплав

0,45

12

12· 0,45=5,4

Полученный сплав

0,4

12+х

(12+х)·0,4

 

 

По закону сохранения массы (объема) вещества имеем

(12+х)·0,4=5,4.

 

 

Решим полученное линейное  уравнение

4,8+0,4х=5,4,

0,4х=0,6,

х=1,5.

Таким образом, надо добавить 1,5 кг чистого олова.

Ответ: 1,5.

 

 

Задача. (Вариант тренировочной работы по математике, 2011г)

Смещали 8 кг 18% раствора некоторого вещества с 12 кг 8% раствора этого же вещества. Найдите концентрацию получившегося раствора.

 

В задаче требуется найти концентрацию получившегося раствора. Примем за х  концентрацию смеси из двух растворов.

 

с

М, кг

m, кг

1 раствор

0,18

8

 

2 раствор

0,08

12

 

Получившийся раствор

х

8+12=20

 

Осталось заполнить графу «Масса вещества». Её мы найдем из формулы m=cM.

 

 

с

М, кг

m, кг

1 раствор

0,18

8

0,18·8=1,44

2 раствор

0,08

12

0,08·12=0,96

Получившийся раствор

х

8+12=20

х·20

По закону сохранения массы вещества

20х=1,44+0,96

20х=2,4

х=0,12.

Таким образом,  концентрация получившегося раствора равна 0,12.

Ответ: 0,12.

 

Задача.

Смешали 40%-ый раствор соляной кислоты с 20%-ым, получили 800 г 25%-го раствора. Сколько граммов 40%-го раствора  было взято?

 

Пусть х г 40%-го раствора соляной кислоты было взято.  Переведем процентное содержание  кислоты 40%, 20% и 25% в концентрацию: 40%=0,4 и 20%=0,2, 25%=0,25. Занесем данные задачи в таблицу.

 

 

 

 

 

с

М, кг

m, кг

1 раствор

0,4

х

 

2 раствор

0,2

800-х

 

Получившийся раствор

0,25

800

 

Осталось заполнить графу «Масса вещества». Её мы найдем из формулы m=cM.

 

с

М, кг

m, кг

1 раствор

0,4

х

0,4х

2 раствор

0,2

800-х

0,2·(800-х)

Получившийся раствор

0,25

800

800·0,25=200

 

По закону сохранения массы вещества (соляной кислоты)

 0,4х+0,2(800-х)=200

0,4х+160-0,2х=200

0,2х=40

х=200

Значит, взяли 200 г 40% -го раствора соляной кислоты.

Ответ: 200.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы

 

1.                          Мордкович А.Г. Алгебра. 8 класс.: учебник для общеобразовательных учреждений. - М.: Мнемозина, 2007.

2.                          Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 7 класс.: учебник для общеобразовательных учреждений. - М.: Просвещение, 2011.

3.                          ЕГЭ-2013: Математика: самое полное издание типовых вариантов заданий/ авторы –составители И.В.Ященко, И.Р.Высоцкий; под редакцией А.Л.Семенова, И.В.Ященко.- М.: АСТ: Астрель, 2013.

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Разработка на тему "Алгебраический способ решения текстовых задач по математике""
Смотреть ещё 5 938 курсов

Методические разработки к Вашему уроку:

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

7 346 145 материалов в базе

Скачать материал

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Скачать материал
    • 24.09.2015 930
    • DOCX 170.5 кбайт
    • 22 скачивания
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Бальджиков Басан Бадминович. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    Бальджиков Басан Бадминович
    Бальджиков Басан Бадминович

    учитель математики

    • На сайте: 9 лет и 11 месяцев
    • Подписчики: 0
    • Всего просмотров: 27388
    • Всего материалов: 12

    Об авторе

    Категория/ученая степень: Первая категория
    Место работы: МОКУ "Бага-Чоносовская СОШ имени Боован Бадмы"
    Автобиография Я, Бальджиков Басан Бадминович, родился 7 августа 1982 года в поселке Балковский Целинного района Республики Калмыкия. В 1989 году пошёл в 1 класс Балковской средней школы. В 1999 году окончил 11 классов Бага-Чоносовской средней школы имени Боован Бадмы с серебряной медалью. С 1999 года – студент факультета математики и физики Калмыцкого государственного университета. Окончил КГУ в 2004 году по профессии учитель математики. С декабря 2004 года по декабрь 2005 года проходил службу в рядах Вооруженных сил. После службы в рядах Вооруженных сил работал охранником в торговом центре «Гранд» города Элисты. С мая 2006 года по август 2006 года. С октября 2006 года более двух лет работал в частных охранных предприятиях города Москвы. Начал свою педагогическую деятельность в Ялмтинской средней школе в 2009 году. С 2011 года работаю учителем математики в Бага-Чоносовской средней школе имени Боован Бадмы. В марте 2013 года принимал участие в районном конкурсе «Педагог года». Вошел в пятерку лучших учителей района. За успешную деятельность в учебно-воспитательном процессе награжден грамотой управления образования Целинного района Республики Калмыкия. Активно участвую в общественной жизни школы. Избран членом участковой избирательной комиссии поселка Бага-Чонос. Увлекаюсь различными видами спорта. Футбол, волейбол, шахматы, настольный теннис. Холост.

Оформите подписку «Инфоурок.Маркетплейс»

Вам будут доступны для скачивания все 323 175 материалов из нашего маркетплейса.

Мини-курс

Патопсихологические синдромы: причины, симптомы и пути помощи

5 ч.

699 руб.
Подать заявку О курсе
  • Этот курс уже прошли 18 человек

Мини-курс

Эволюция литературной мысли: золотой век английской словесности, романтизм и эстетизм Уайльда

4 ч.

699 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Математические задачи и развитие критического мышления

2 ч.

699 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 31 человек из 13 регионов
  • Этот курс уже прошли 33 человека
Смотреть ещё 5 938 курсов