Разработка на тему "Алгебраический способ решения текстовых задач по математике"

Муниципальное образовательное казенное учреждение

Бага-Чоносовская средняя общеобразовательная школа имени Боован Бадмы

Алгебраический способ

решения текстовых задач

по математике

(задания В13 по материалам ФИПИ)

Выполнил: учитель математики

Бальджиков Б.Б.

п.Бага-Чонос

2013

Введение

Важнейшим видом учебной деятельности, в процессе которой усваивается система математических знаний, умений и навыков, является решение задач. Именно задачи являются тем средством, которое в значительной степени направляет и стимулирует учебно-познавательную активность учащихся.

В обучении математике задачи выступают как цель и средство обучения. Этим определяется их место в процессе обучения математике. Задачи служат также основным дидактическим целям, формируют систему знаний, творческое мышление учащихся, способствуют развитию интеллекта и выполняют познавательную роль в обучении.

Педагогами и методистами признано, что решение задач является важнейшим средством формирования у школьников системы основных математических знаний, умений и навыков, ведущей формой деятельности учащихся в процессе изучения математики, одним из основных средств их математического развития.

В последние годы самые сильные отрицательные эмоции у учащихся на уроках математики вызывает задание решить задачу. Примерно половина из них на государственной (итоговой) аттестации в форме ЕГЭ даже не приступает к решению текстовых задач (задания В13).

Почему так происходит? Зачем надо обучать детей решению текстовых задач и КАК это делать? Эти и другие подобные вопросы все чаще возникают в современной школе. Именно поэтому эта проблема показалась одной из актуальных на сегодняшний день.

Не прекращаются поиски эффективной методики обучения решению текстовых задач в общеобразовательной школе. Решение задач в математическом образовании занимает огромное место.

Решение задач с помощью уравнений ставит перед учащимися много различных проблем, в том числе проблему по отысканию той величины, которую надо обозначить переменной «х».

На первых этапах обучения у них нет опыта, нет никаких ориентиров, что приводит к тупику в решении и потере времени.

Каковы же знания, которые должны быть усвоены учащимися о задачах и их решении?

Это общие представления о задачах и процессах их возникновения из реальных и абстрактных проблемных ситуаций; о составных частях и структуре задач; об основных видах задач в зависимости от характера объекта и требований задачи; общие представления о сущности процесса решения задач и конкретизация их в отношении каждого вида задач; о структуре и этапах процесса решения задач.

Главное – сформировать такой общий подход к решению задач, когда задача рассматривается как объект для анализа, для исследования, а ее решение – как конструирование и изобретение способа решения. Это осуществляется в процессе обучения математике с помощью основополагающих принципов дидактики. Действительно, в обучении реализуются следующие принципы:

1. Принцип научности отражает взаимосвязь с современным научным знанием. Этот принцип воплощается в отборе изучаемого материала, в порядке и последовательности введения научных понятий в учебный процесс.

Принцип научности нацеливает учителя на вовлечение школьников в проведение анализа результатов собственных наблюдений, в самостоятельное их (результатов) исследование.

2. Принцип систематичности и последовательности придает системный характер учебной деятельности, теоретическим знаниям, практическим умениям учащегося. Этот принцип предполагает усвоение знаний в определенном порядке, системе. Требование систематичности и последовательности в обучении нацелено на сохранение преемственности содержательной и процессуальной сторон обучения, при которых каждый урок –это логическое продолжение предыдущего как по содержанию изучаемого учебного материала, так и по характеру, способам выполняемой учениками учебно-познавательной деятельности.

3. Принцип связи обучения с практикой предусматривает, чтобы процесс обучения стимулировал учеников использовать полученные знания в решении практических задач, анализировать и преобразовывать окружающую действительность. Для этого используется анализ примеров и ситуаций из реальной жизни, соотнесение с жизненными ситуациями условия задачи, анализ условия задачи.

4. Принцип доступности требует учета особенностей развития учащихся, анализа материала с точки зрения их реальных возможностей и такой организации обучения, чтобы они не испытывали интеллектуальных, моральных, физических перегрузок.

Доступность должна заключаться в обучении учащихся новому материалу, опираясь на их знания, опыт, особенности мышления. Например, при решении задач с помощью составления уравнений учащиеся должны уметь решать прежде всего сами уравнения.

5. Принцип наглядности означает, что эффективность обучения зависит от целесообразного привлечения органов чувств к восприятию и переработке учебного материала. В процессе обучения используются наглядные средства: модели, рисунки, схемы и т.п. Виды, наглядности, которые могут быть использованы при решении задач, это:

• экспериментальная наглядность (опыты, эксперименты);

• символическая и графическая наглядность (графики, схемы и т.п.);

• внутренняя наглядность (образы, создаваемые речью учителя).

Однако использование наглядности должно быть в той мере, в какой она способствует формированию знаний и умений, развитию мышления. Так, при решении задачи, ученик должен переходить от образного представления процессов, описываемых в ней, к их записи с помощью схем, графиков и оперировать уже со знаками и символами.

Но прежде чем перейти к самим задачам, надо отработать с учащимися умение записывать предложения в виде равенств.

№

п/п

Записать следующие предложения в виде равенств

1

А больше В на 8

А-В=8

В+8=А

А-8=В

2

А меньше В на 7

В-А=7

А+7=В

В-7=А

3

А больше В в 4 раза

А:В=4

А:4=В

4В=А

4

А меньше В в 3 раза

В:А=3

В:3=А

3А= В

5

А составляет 75% от В

А=0,75В

6

А больше В на 24%

А-В=0,24В

А=В+0,24В

7

В меньше А на 45%

А-В=0,45А

А=В+0,45А

Теперь — сами задания В13.

Задачи на движение.

Начнем мы с задач на движение. Они часто встречаются в вариантах ЕГЭ. Все эти задачи решаются по одной-единственной формуле: S=vt. Из этой формулы можно выразить скорость или время.

В качестве переменной х удобнее всего выбирать скорость. Тогда задача точно решится!

Задача (ФИПИ-2013, вариант №4).

Два велосипедиста одновременно отправились в 153-километровый пробег. Первый ехал с скоростью, на 8 км/ч больше, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 8 часов раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым. Ответ дайте в км/ч.

Что здесь лучше всего обозначить за х? Конечно, скорость одного из велосипедистов. Например, скорость второго велосипедиста х км/ч, тем более, что она меньше скорости первого участника движения. В задаче сказано, что первый велосипедист ехал со скоростью, на 8 км/ч больше, чем скорость второго, значит, скорость первого велосипедиста (х+8) км/ч.

Нарисуем таблицу. В нее сразу можно внести расстояние —153 км и скорости.

v, км/ч

t, ч

S, км

1 велосипедист

х+8

153

2 велосипедист

х

153

Осталось заполнить графу «время». Его мы найдем по формуле: t=.

Эти данные тоже запишем в таблицу.

v, км/ч

t, ч

S, км

1 велосипедист

х+8

153

2 велосипедист

х

153

Остается записать, что первый велосипедист прибыл к финишу на 8 часов раньше второго. Раньше — значит, времени он затратил меньше на 8 часов, чем второй. Составим уравнение

-=8.

Решим это рациональное уравнение

--8=0.

Приведем дроби в левой части уравнения к одному знаменателю

.

Дробь обращается в нуль, лишь при условиях, что числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

153(х+8)-153х-8х(х+8)=0, х

153х+1224-153х-8х²-64х=0,

-8х²-64х+1224=0.

Разделим обе части уравнения на (-8)

х²+8х-153=0,

х₁=-17, х₂=9

Так как-17 9, 9, то х₁=-17, х₂=9 являются корнями данного уравнения.

Так как скорость велосипедиста должна быть положительна, то ответ -17 не подходит под условие задачи. Таким образом, решением данного уравнения является только одно значение х=9.

Значит, 9 км/ч-скорость второго велосипедиста. Еще раз читаем задачу и определяем главный вопрос -найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым, то есть надо найти скорость первого велосипедиста. Она будет равна 9+8=17 км/ч.

Ответ: 17.

Следующий тип задач — когда что-нибудь плавает по речке, в которой есть течение. Например, теплоход, катер или моторная лодка. Обычно в условии говорится о собственной скорости плавучей посудины и скорости течения. Собственной скоростью называется скорость в неподвижной воде. При движении по течению эти скорости складываются. Течение помогает, по течению плыть — быстрее. Скорость при движении по течению равна сумме собственной скорости судна и скорости течения. А если двигаться против течения? Течение будет мешать, относить назад. Теперь скорость течения будет вычитаться из собственной скорости судна.

Задача (ФИПИ-2013, вариант №8).

Расстояние между пристанями А и В равно 48 км. Отчалив от пристани от пристани А в 10 часов утра, теплоход проплыл по течению реки с постоянной скоростью до пристани В. После трехчасовой стоянки у пристани В теплоход отправился в обратный рейс и прибыл в А в тот же день в 22.00. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.

Пусть скорость теплохода в неподвижной воде равна х км/ч. Тогда скорость движения теплохода по течению равна (х+4) км/ч, а скорость, с которой он движется против течения (х-4) км/ч. Расстояние и в ту, и в другую сторону одинаково и равно 48 км.

Занесем скорости и расстояние в таблицу.

v, км/ч

t, ч

S, км

По течению реки

х+4

48

Против течения реки

х-4

48

Осталось заполнить графу «время». Его мы найдем по формуле: t=.

Эти данные тоже запишем в таблицу.

v, км/ч

t, ч

S, км

По течению реки

х+4

48

Против течения реки

х-4

48

В пункт отправления теплоход вернулся через 12 часов после отплытия из него, при чем стоянка длилась 3 часа, следовательно, 9 часов теплоход плыл — сначала по течению, затем против. Составим уравнение

.

Решим это уравнение

.

48(х-4)+48(х+4)-9(х²-16)=0, а х

-9х²+96х+144=0,

3х²-32х-48=0,

D/4=400,

х_1,2=,

х₁=12, х₂= -1.

Оба корня удовлетворяют условию х, значит, они являются корнями данного уравнения. Но по смыслу задачи скорость движения должна быть положительной величиной, поэтому число -1 не удовлетворяет условию задачи.

Таким образом, 12 км/ч-скорость теплохода в неподвижной воде.

Ответ: 12.

Задачи на совместную работу

Еще один тип задач В13, встречающийся в вариантах ЕГЭ по математике — это задачи на работу.

Задачи на работу также решаются с помощью одной-единственной формулы: V=pt. Здесь V — объем работы, t — время, а величина p, которая по смыслу является скоростью работы, носит специальное название — производительность. Она показывает, какой объем работы выполнен за единицу времени. Например, продавец в супермаркете надувает воздушные шарики. Количество шариков, которые он надует за час — это и есть его производительность.

Правила решения задач на работу очень просты.

V=pt, то есть работа равна произведению производительности на время. Из этой формулы легко найти t или p.

Если объем работы не важен в задаче и нет никаких данных, позволяющих его найти — объем принимается за единицу. Построен дом (один). Написана книга (одна). А вот если речь идет о количестве кирпичей, страниц или построенных домов — объем работы как раз и равна этому количеству.

Если трудятся двое рабочих (два экскаватора, два завода…) — их производительности складываются. Очень логичное правило.

В качестве переменной удобно взять именно производительность.

Рассмотрим, как все это применяется на практике.

Задача (ФИПИ-2013, вариант №6).

На изготовления 48 деталей первый рабочий тратит на 8 часов меньше, чем второй рабочий на изготовления 96 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 4 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий?

В задаче спрашивается, сколько деталей в час делает второй рабочий, то есть какова его производительность. Примем ее за х деталей в час. Тогда производительность первого рабочего равна (х+4) деталей в час (он делает на 4 деталь в час больше). По условию задачи, объем работы первого рабочего равен 48 деталей, а второго- 96 деталей. Эти данные тоже запишем в таблицу.

р, деталей в час

t, ч

V, кол-во деталей

1 рабочий

х+4

48

2 рабочий

х

96

Осталось заполнить графу «время». Его мы найдем по формуле: t=.

р, деталей в час

t, ч

V, кол-во деталей

1 рабочий

х+4

48

2 рабочий

х

96

Остается записать, что первый рабочий тратит на 8 часов меньше, чем второй рабочий. Составим уравнение

,

,

96(х+4)-48х-8х(х+4)=0 , х≠0, х≠-4,

96х+384-48х-8х²-32х=0,

-8х²+16х+384=0,

х²-2х-48=0,

х₁=8, х₂= -6.

Оба корня уравнения удовлетворяют условиям х≠0, х≠-4,

но корень х=-6 не подходит по смыслу задачи.

Таким образом, второй рабочий делает 8 деталей в час.

Ответ: 8.

Решение задач на растворы, смеси и сплавы

Еще один тип задач В13, встречающийся в вариантах ЕГЭ по математике — это задачи на смеси, растворы, сплавы. Задачи на растворы решаются с помощью формулы: m=cM. Здесь m — масса(объем) данного вещества, M — общая масса(объем) смеси (сплава), а величина c— концентрация данного вещества в смеси (сплаве). Она показывает, какую долю полного объема смеси составляют объем компонента. Иногда говорят о процентном содержании вещества в растворе. Эта величина вычисляется по формуле р=с·100%.

Если известно процентное содержание вещества A, то его концентрация находится по формуле .

Так, например, если процентное содержание составляет 80%, то соответствующая концентрация равна 0,8.

Как видно, переход от концентрации к процентному содержанию и наоборот весьма прост.

Задача.

Имеется кусок сплава меди с оловом общей массы 12 кг, содержащий 45% меди. Сколько чистого олова надо добавить к этому куску сплава, чтобы получившийся новый сплав содержал 40%меди?

Примем за х кг массу куска олова, которое надо добавить. Переведем процентное содержание меди 45% и 40% в концентрацию. 45%=0,45 и 40%=0,4. Занесем данные задачи в таблицу.

с

М, кг

m, кг

Первоначальный сплав

0,45

12

Полученный сплав

0,4

12+х

Осталось заполнить графу «Масса вещества». Её мы найдем из формулы m=cM.

с

М, кг

m, кг

Первоначальный сплав

0,45

12

12· 0,45=5,4

Полученный сплав

0,4

12+х

(12+х)·0,4

По закону сохранения массы (объема) вещества имеем

(12+х)·0,4=5,4.

Решим полученное линейное уравнение

4,8+0,4х=5,4,

0,4х=0,6,

х=1,5.

Таким образом, надо добавить 1,5 кг чистого олова.

Ответ: 1,5.

Задача. (Вариант тренировочной работы по математике, 2011г)

Смещали 8 кг 18% раствора некоторого вещества с 12 кг 8% раствора этого же вещества. Найдите концентрацию получившегося раствора.

В задаче требуется найти концентрацию получившегося раствора. Примем за х концентрацию смеси из двух растворов.

с

М, кг

m, кг

1 раствор

0,18

8

2 раствор

0,08

12

Получившийся раствор

х

8+12=20

Осталось заполнить графу «Масса вещества». Её мы найдем из формулы m=cM.

с

М, кг

m, кг

1 раствор

0,18

8

0,18·8=1,44

2 раствор

0,08

12

0,08·12=0,96

Получившийся раствор

х

8+12=20

х·20

По закону сохранения массы вещества

20х=1,44+0,96

20х=2,4

х=0,12.

Таким образом, концентрация получившегося раствора равна 0,12.

Ответ: 0,12.

Задача.

Смешали 40%-ый раствор соляной кислоты с 20%-ым, получили 800 г 25%-го раствора. Сколько граммов 40%-го раствора было взято?

Пусть х г 40%-го раствора соляной кислоты было взято. Переведем процентное содержание кислоты 40%, 20% и 25% в концентрацию: 40%=0,4 и 20%=0,2, 25%=0,25. Занесем данные задачи в таблицу.

с

М, кг

m, кг

1 раствор

0,4

х

2 раствор

0,2

800-х

Получившийся раствор

0,25

800

Осталось заполнить графу «Масса вещества». Её мы найдем из формулы m=cM.

с

М, кг

m, кг

1 раствор

0,4

х

0,4х

2 раствор

0,2

800-х

0,2·(800-х)

Получившийся раствор

0,25

800

800·0,25=200

По закону сохранения массы вещества (соляной кислоты)

0,4х+0,2(800-х)=200

0,4х+160-0,2х=200

0,2х=40

х=200

Значит, взяли 200 г 40% -го раствора соляной кислоты.

Ответ: 200.

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра. 8 класс.: учебник для общеобразовательных учреждений. - М.: Мнемозина, 2007.

2. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 7 класс.: учебник для общеобразовательных учреждений. - М.: Просвещение, 2011.

3. ЕГЭ-2013: Математика: самое полное издание типовых вариантов заданий/ авторы –составители И.В.Ященко, И.Р.Высоцкий; под редакцией А.Л.Семенова, И.В.Ященко.- М.: АСТ: Астрель, 2013.