Муниципальное образовательное казенное учреждение
Бага-Чоносовская средняя общеобразовательная школа
имени Боован Бадмы
Алгебраический
способ
решения
текстовых задач
по математике
(задания В13 по
материалам ФИПИ)
Выполнил: учитель
математики
Бальджиков Б.Б.
п.Бага-Чонос
2013
Введение
Важнейшим видом учебной деятельности, в процессе
которой усваивается система математических знаний, умений и навыков, является
решение задач. Именно задачи являются тем средством, которое в значительной
степени направляет и стимулирует учебно-познавательную активность учащихся.
В обучении математике задачи выступают как цель и
средство обучения. Этим определяется их место в процессе обучения математике.
Задачи служат также основным дидактическим целям, формируют систему знаний,
творческое мышление учащихся, способствуют развитию интеллекта и выполняют
познавательную роль в обучении.
Педагогами и методистами признано, что решение
задач является важнейшим средством формирования у школьников системы основных
математических знаний, умений и навыков, ведущей формой деятельности учащихся в
процессе изучения математики, одним из основных средств их математического
развития.
В последние годы самые сильные отрицательные эмоции
у учащихся на уроках математики вызывает задание решить задачу. Примерно
половина из них на государственной (итоговой) аттестации в форме ЕГЭ даже не
приступает к решению текстовых задач (задания В13).
Почему так происходит? Зачем надо обучать детей
решению текстовых задач и КАК это делать? Эти и другие подобные вопросы все
чаще возникают в современной школе. Именно поэтому эта проблема показалась
одной из актуальных на сегодняшний день.
Не прекращаются поиски эффективной
методики обучения решению текстовых задач в общеобразовательной школе. Решение
задач в математическом образовании занимает огромное место.
Решение задач с помощью уравнений
ставит перед учащимися много различных проблем, в том числе проблему по
отысканию той величины, которую надо обозначить переменной «х».
На первых этапах обучения у них
нет опыта, нет никаких ориентиров, что приводит к тупику в решении и потере
времени.
Каковы же знания, которые должны
быть усвоены учащимися о задачах и их решении?
Это общие представления о задачах
и процессах их возникновения из реальных и абстрактных проблемных ситуаций; о
составных частях и структуре задач; об основных видах задач в зависимости от
характера объекта и требований задачи; общие представления о сущности процесса
решения задач и конкретизация их в отношении каждого вида задач; о структуре и
этапах процесса решения задач.
Главное – сформировать такой общий
подход к решению задач, когда задача рассматривается как объект для анализа,
для исследования, а ее решение – как конструирование и изобретение способа
решения. Это осуществляется в процессе обучения математике с помощью
основополагающих принципов дидактики. Действительно, в обучении реализуются
следующие принципы:
1.
Принцип
научности отражает взаимосвязь с современным научным знанием. Этот принцип
воплощается в отборе изучаемого материала, в порядке и последовательности введения
научных понятий в учебный процесс.
Принцип научности нацеливает
учителя на вовлечение школьников в проведение анализа результатов собственных
наблюдений, в самостоятельное их (результатов) исследование.
2.
Принцип
систематичности и последовательности придает системный характер учебной
деятельности, теоретическим знаниям, практическим умениям учащегося. Этот
принцип предполагает усвоение знаний в определенном порядке, системе.
Требование систематичности и последовательности в обучении нацелено на
сохранение преемственности содержательной и процессуальной сторон обучения, при
которых каждый урок –это логическое продолжение предыдущего как по содержанию
изучаемого учебного материала, так и по характеру, способам выполняемой
учениками учебно-познавательной деятельности.
3.
Принцип связи
обучения с практикой предусматривает, чтобы процесс обучения стимулировал
учеников использовать полученные знания в решении практических задач, анализировать
и преобразовывать окружающую действительность. Для этого используется анализ
примеров и ситуаций из реальной жизни, соотнесение с жизненными ситуациями
условия задачи, анализ условия задачи.
4.
Принцип
доступности требует учета особенностей развития учащихся, анализа материала
с точки зрения их реальных возможностей и такой организации обучения, чтобы они
не испытывали интеллектуальных, моральных, физических перегрузок.
Доступность
должна заключаться в обучении учащихся новому материалу, опираясь на их знания,
опыт, особенности мышления. Например, при решении задач с помощью составления
уравнений учащиеся должны уметь решать прежде всего сами уравнения.
5.
Принцип
наглядности означает, что эффективность обучения зависит от целесообразного
привлечения органов чувств к восприятию и переработке учебного материала. В
процессе обучения используются наглядные средства: модели, рисунки, схемы и
т.п. Виды, наглядности, которые могут быть использованы при решении задач, это:
ü
экспериментальная
наглядность (опыты, эксперименты);
ü
символическая
и графическая наглядность (графики, схемы и т.п.);
ü
внутренняя
наглядность (образы, создаваемые речью учителя).
Однако
использование наглядности должно быть в той мере, в какой она способствует
формированию знаний и умений, развитию мышления. Так, при решении задачи,
ученик должен переходить от образного представления процессов, описываемых в
ней, к их записи с помощью схем, графиков и оперировать уже со знаками и
символами.
Но прежде чем перейти
к самим задачам, надо отработать с учащимися умение записывать предложения в
виде равенств.
|
№
п/п
|
Записать следующие предложения в виде равенств
|
|
1
|
А больше В на 8
|
А-В=8
В+8=А
А-8=В
|
|
2
|
А меньше В на 7
|
В-А=7
А+7=В
В-7=А
|
|
3
|
А больше В в 4 раза
|
А:В=4
А:4=В
4В=А
|
|
4
|
А меньше В в 3 раза
|
В:А=3
В:3=А
3А= В
|
|
5
|
А составляет 75% от В
|
А=0,75В
|
|
6
|
А больше В на 24%
|
А-В=0,24В
А=В+0,24В
|
|
7
|
В меньше А на 45%
|
А-В=0,45А
А=В+0,45А
|
Теперь — сами задания
В13.
Задачи на движение.
Начнем мы с задач на движение. Они часто встречаются в
вариантах ЕГЭ. Все эти задачи решаются по одной-единственной формуле:
S=vt. Из этой формулы можно выразить скорость или
время.
В качестве переменной х удобнее всего выбирать скорость. Тогда задача
точно решится!
Задача (ФИПИ-2013, вариант №4).
Два велосипедиста одновременно отправились в 153-километровый пробег.
Первый ехал с скоростью, на 8 км/ч больше, чем скорость второго, и прибыл к
финишу на 8 часов раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к
финишу первым. Ответ дайте в км/ч.
Что здесь лучше всего обозначить за х? Конечно, скорость
одного из велосипедистов. Например, скорость второго велосипедиста х км/ч, тем
более, что она меньше скорости первого участника движения. В задаче сказано,
что первый велосипедист ехал со скоростью, на 8
км/ч больше, чем скорость второго, значит, скорость первого велосипедиста
(х+8) км/ч.
Нарисуем таблицу. В нее сразу можно внести расстояние —153 км и
скорости.
|
|
v, км/ч
|
t, ч
|
S, км
|
|
1 велосипедист
|
х+8
|
|
153
|
|
2 велосипедист
|
х
|
|
153
|
Осталось заполнить графу «время». Его мы найдем по формуле: t=
.
Эти данные тоже запишем в таблицу.
|
|
v, км/ч
|
t, ч
|
S, км
|
|
1 велосипедист
|
х+8
|
|
153
|
|
2 велосипедист
|
х
|
|
153
|
Остается записать, что первый велосипедист прибыл к финишу на 8
часов раньше второго. Раньше — значит, времени он затратил меньше на 8 часов,
чем второй. Составим уравнение
-=8.
Решим это рациональное уравнение
--8=0.
Приведем дроби в левой части уравнения к одному знаменателю
.
Дробь обращается в нуль, лишь при условиях, что числитель равен нулю, а
знаменатель отличен от нуля.
153(х+8)-153х-8х(х+8)=0, х
153х+1224-153х-8х2-64х=0,
-8х2-64х+1224=0.
Разделим обе части уравнения на (-8)
х2+8х-153=0,
х1=-17, х2=9
Так как-17
9
, 9
, то х1=-17,
х2=9 являются корнями данного уравнения.
Так как скорость велосипедиста должна быть
положительна, то ответ -17 не подходит под условие задачи. Таким образом,
решением данного уравнения является только одно значение х=9.
Значит, 9 км/ч-скорость второго велосипедиста. Еще раз
читаем задачу и определяем главный вопрос -найти скорость велосипедиста,
пришедшего к финишу первым, то есть надо найти скорость первого велосипедиста.
Она будет равна 9+8=17 км/ч.
Ответ: 17.
Следующий тип задач — когда что-нибудь плавает по
речке, в которой есть течение. Например, теплоход, катер или моторная лодка.
Обычно в условии говорится о собственной скорости плавучей посудины и скорости
течения. Собственной скоростью называется скорость в неподвижной воде. При
движении по течению эти скорости складываются. Течение помогает, по течению
плыть — быстрее. Скорость при движении по течению равна сумме собственной
скорости судна и скорости течения. А если двигаться против течения? Течение
будет мешать, относить назад. Теперь скорость течения будет вычитаться из
собственной скорости судна.
Задача (ФИПИ-2013, вариант №8).
Расстояние между пристанями А и В равно 48
км. Отчалив от пристани от пристани А в 10 часов утра, теплоход проплыл по
течению реки с постоянной скоростью до пристани В. После трехчасовой стоянки у
пристани В теплоход отправился в обратный рейс и прибыл в А в тот же день в
22.00. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения
реки равна 4 км/ч.
Пусть скорость теплохода в неподвижной воде равна х
км/ч. Тогда скорость движения теплохода по течению равна (х+4) км/ч, а
скорость, с которой он движется против течения (х-4) км/ч. Расстояние и в ту, и
в другую сторону одинаково и равно 48
км.
Занесем скорости и расстояние в таблицу.
|
|
v, км/ч
|
t, ч
|
S, км
|
|
По течению реки
|
х+4
|
|
48
|
|
Против течения реки
|
х-4
|
|
48
|
Осталось
заполнить графу «время». Его мы
найдем по формуле: t=.
Эти данные тоже
запишем в таблицу.
|
|
v,
км/ч
|
t, ч
|
S, км
|
|
По течению реки
|
х+4
|
|
48
|
|
Против течения реки
|
х-4
|
|
48
|
В пункт
отправления теплоход вернулся через
12 часов после отплытия из него, при чем стоянка длилась 3 часа, следовательно,
9 часов теплоход плыл — сначала по течению, затем против. Составим уравнение
.
Решим это уравнение
.
48(х-4)+48(х+4)-9(х2-16)=0, а х
-9х2+96х+144=0,
3х2-32х-48=0,
D/4=400,
х1,2=
,
х1=12, х2= -1
.
Оба корня удовлетворяют условию х,
значит, они являются корнями данного уравнения. Но по смыслу задачи скорость
движения должна быть положительной величиной, поэтому число -1 не удовлетворяет условию задачи.
Таким образом, 12 км/ч-скорость теплохода в неподвижной воде.
Ответ: 12.
Задачи на совместную работу
Еще один тип задач В13, встречающийся в вариантах ЕГЭ по математике —
это задачи на работу.
Задачи на работу также решаются с помощью одной-единственной
формулы: V=pt. Здесь V — объем работы, t — время, а величина p, которая по
смыслу является скоростью работы, носит специальное название —
производительность. Она показывает, какой объем работы выполнен за единицу
времени. Например, продавец в супермаркете надувает воздушные шарики.
Количество шариков, которые он надует за час — это и есть его
производительность.
Правила решения задач на работу очень просты.
V=pt, то есть работа равна произведению
производительности на время. Из этой формулы легко найти t или p.
Если объем работы не важен в задаче и нет никаких
данных, позволяющих его найти — объем принимается за единицу. Построен дом
(один). Написана книга (одна). А вот если речь идет о количестве кирпичей,
страниц или построенных домов — объем работы как раз и равна этому количеству.
Если трудятся двое рабочих (два экскаватора, два завода…) — их
производительности складываются. Очень логичное правило.
В качестве переменной удобно взять именно производительность.
Рассмотрим, как все это применяется на практике.
Задача (ФИПИ-2013, вариант №6).
На изготовления 48 деталей первый рабочий тратит на 8 часов меньше, чем
второй рабочий на изготовления 96 таких же деталей. Известно, что первый
рабочий за час делает на 4 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час
делает второй рабочий?
В задаче спрашивается, сколько деталей в час делает
второй рабочий, то есть какова его производительность. Примем ее за х деталей в
час. Тогда производительность первого рабочего равна (х+4) деталей в час (он
делает на 4 деталь в час больше). По условию задачи, объем работы первого
рабочего равен 48 деталей, а второго- 96 деталей. Эти данные тоже запишем в
таблицу.
|
|
р, деталей в час
|
t, ч
|
V, кол-во деталей
|
|
1 рабочий
|
х+4
|
|
48
|
|
2 рабочий
|
х
|
|
96
|
Осталось заполнить графу «время». Его мы найдем по формуле: t=
.
|
|
р, деталей в час
|
t, ч
|
V, кол-во деталей
|
|
1 рабочий
|
х+4
|
|
48
|
|
2 рабочий
|
х
|
|
96
|
Остается записать, что первый рабочий
тратит на 8 часов меньше, чем второй
рабочий. Составим уравнение
,
,
96(х+4)-48х-8х(х+4)=0 , х≠0, х≠-4,
96х+384-48х-8х2-32х=0,
-8х2+16х+384=0,
х2-2х-48=0,
х1=8, х2= -6.
Оба корня уравнения удовлетворяют условиям х≠0, х≠-4,
но корень х=-6 не подходит по смыслу задачи.
Таким образом, второй рабочий делает 8 деталей в час.
Ответ: 8.
Решение задач на растворы, смеси и
сплавы
Еще один тип задач В13, встречающийся в вариантах ЕГЭ
по математике — это задачи на смеси, растворы, сплавы. Задачи на растворы
решаются с помощью формулы: m=cM. Здесь m — масса(объем) данного вещества, M —
общая масса(объем) смеси (сплава), а величина c— концентрация данного
вещества в смеси (сплаве). Она показывает, какую
долю полного объема смеси составляют объем компонента. Иногда говорят о
процентном содержании вещества в растворе. Эта величина вычисляется по формуле р=с·100%.
Если известно процентное содержание вещества A, то
его концентрация находится по формуле 
.
Так, например, если процентное содержание
составляет 80%, то соответствующая концентрация равна 0,8.
Как видно, переход от концентрации к процентному
содержанию и наоборот весьма прост.
Задача.
Имеется кусок сплава меди с оловом общей массы 12
кг, содержащий 45% меди. Сколько чистого олова надо добавить к этому куску
сплава, чтобы получившийся новый сплав содержал 40%меди?
Примем за х кг массу куска олова, которое надо
добавить. Переведем процентное содержание меди 45% и 40% в концентрацию.
45%=0,45 и 40%=0,4. Занесем данные задачи в таблицу.
|
|
с
|
М, кг
|
m, кг
|
|
Первоначальный
сплав
|
0,45
|
12
|
|
|
Полученный сплав
|
0,4
|
12+х
|
|
Осталось заполнить графу «Масса вещества». Её мы найдем из
формулы m=cM.
|
|
с
|
М, кг
|
m, кг
|
|
Первоначальный
сплав
|
0,45
|
12
|
12· 0,45=5,4
|
|
Полученный сплав
|
0,4
|
12+х
|
(12+х)·0,4
|
По закону сохранения массы (объема) вещества имеем
(12+х)·0,4=5,4.
Решим полученное линейное уравнение
4,8+0,4х=5,4,
0,4х=0,6,
х=1,5.
Таким образом, надо добавить 1,5
кг чистого олова.
Ответ: 1,5.
Задача. (Вариант тренировочной работы по математике,
2011г)
Смещали 8 кг 18% раствора некоторого вещества с 12
кг 8% раствора этого же вещества. Найдите концентрацию получившегося раствора.
В задаче требуется найти концентрацию получившегося
раствора. Примем за х концентрацию смеси из двух растворов.
|
|
с
|
М, кг
|
m, кг
|
|
1 раствор
|
0,18
|
8
|
|
|
2 раствор
|
0,08
|
12
|
|
|
Получившийся
раствор
|
х
|
8+12=20
|
|
Осталось заполнить графу «Масса вещества».
Её мы найдем из формулы m=cM.
|
|
с
|
М, кг
|
m, кг
|
|
1 раствор
|
0,18
|
8
|
0,18·8=1,44
|
|
2 раствор
|
0,08
|
12
|
0,08·12=0,96
|
|
Получившийся
раствор
|
х
|
8+12=20
|
х·20
|
По закону сохранения массы вещества
20х=1,44+0,96
20х=2,4
х=0,12.
Таким образом, концентрация получившегося раствора
равна 0,12.
Ответ: 0,12.
Задача.
Смешали 40%-ый раствор соляной кислоты с 20%-ым,
получили 800 г 25%-го раствора. Сколько граммов 40%-го раствора было взято?
Пусть х г 40%-го раствора соляной кислоты было взято. Переведем
процентное содержание кислоты 40%, 20% и 25% в концентрацию: 40%=0,4 и
20%=0,2, 25%=0,25. Занесем данные задачи в таблицу.
|
|
с
|
М, кг
|
m, кг
|
|
1 раствор
|
0,4
|
х
|
|
|
2 раствор
|
0,2
|
800-х
|
|
|
Получившийся
раствор
|
0,25
|
800
|
|
Осталось заполнить графу «Масса вещества». Её мы найдем из
формулы m=cM.
|
|
с
|
М, кг
|
m, кг
|
|
1 раствор
|
0,4
|
х
|
0,4х
|
|
2 раствор
|
0,2
|
800-х
|
0,2·(800-х)
|
|
Получившийся
раствор
|
0,25
|
800
|
800·0,25=200
|
По закону сохранения массы вещества (соляной кислоты)
0,4х+0,2(800-х)=200
0,4х+160-0,2х=200
0,2х=40
х=200
Значит, взяли 200
г 40% -го раствора соляной кислоты.
Ответ: 200.
Список литературы
1.
Мордкович А.Г. Алгебра. 8
класс.: учебник для общеобразовательных учреждений. - М.: Мнемозина, 2007.
2.
Алимов Ш.А., Колягин Ю.М.,
Сидоров Ю.В. Алгебра. 7 класс.: учебник для общеобразовательных учреждений. -
М.: Просвещение, 2011.
3.
ЕГЭ-2013: Математика:
самое полное издание типовых вариантов заданий/ авторы –составители И.В.Ященко,
И.Р.Высоцкий; под редакцией А.Л.Семенова, И.В.Ященко.- М.: АСТ: Астрель, 2013.
