Разработка на тему "Действительные числа

• 1 слайд

  Действительные числа
  

• 2 слайд

  Хочу я, чтоб добро к тебе пришло
  Как свет весенний, как тепло костра:
  Пусть для тебя источником добра
  Не станет то, что для другого – зло.
  

• 3 слайд

  ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
  

• 4 слайд

  :
  Цель урока
  Сформировать умения и навыки изучения действительных чисел, являющиеся основой науки арифметики, также способствующие возникновению рациональных и иррациональных чисел.
  
  

• 5 слайд

  КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА
  
  Действительные числа.
  Приближённое вычисление.
  Вычислительные средства.
  
  

• 6 слайд

  
  
  Часто говорят, что числа управляют миром; по крайней мере нет сомнения в том, что числа показывают, как он управляется.
  И.Гёте
  (1749-1832).
  

• 7 слайд

  Задача
  В Баварии в земной коре пробурили скважину размером –9101 м. Скважина в США отличается от Баварской на -482 м. А самая глубокая скважина глубже, чем в США на 2679м. Какова глубина самой глубокой скважины в мире?
  В Баварии –
  В США -
  Самая глубокая -
  
  

• 8 слайд

  Действительное число
  Объединение множества рациональных и иррациональных чисел дает множество действительных чисел.
  

• 9 слайд

  М Н О Ж Е С Т В А Ч И С Е Л
  Натуральные числа
  используются для подсчета количества объектов
  Множество
  обозначается
  Примеры
  элементов множества
  1
  1; 2; 9; 27; и т.д.
  Используется запись вида
  
  
  N
  35
  2
  9327527
  7
  Целые числа
  используются для
  учета количества,
  а также для добавок объектов
  
  Множество
  обозначается
  Z
  Примеры
  элементов множества
  1; -2; 0; 27; и т.д.
  -351707
  29
  0
  -3
  Используется запись вида
  
  
  Рациональные числа
  обычно используются
  для более точных измерений,
  выражаются отношением
  двух целых чисел
  
  Множество
  обозначается
  Q
  ( ) - Q
  Z
  N
  Рациональное число можно всегда записать
  в виде отношения целого числа к натуральному, в виде бесконечной десятичной дроби
  = 0,(3) - Q
  3
  -1
  Примеры
  элементов множества
  1; -2; 0; -1,(3); и т.д.
  25
  Используется запись вида
  
  
  -1(3)
  0,5
  0
  0,(6)
  Используется запись вида
  
  
  Действительные числа (рациональные + иррациональные )
  отражают отношения различных измерений
  Множество
  обозначается
  R
  Примеры
  элементов множества
  √2; 0; π; -1,(3); и т.д.
  √2 =1,4142…
  √10=1,162…
  π=3,14159…
  6
  -3
  -1(6)
  Целые числа
  – это натуральные,
  им противоположные
  и ноль
  

• 10 слайд

  СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ ЧИСЛОВЫМИ МНОЖЕСТВАМИ
  1
  2; 3; 4; 5; …
  0
  -1
  -2
  -3
  -9860
  12
  243
  9467340
  -1,(36)
  25,16(0)
  π=3,1415926…
  е=2,718…
  N
  Z
  Q
  R
  N-натуральные
  Z-целые
  Q-рациональные
  R-действительные
  N
  Z
  Q
  R
  

• 11 слайд

  Образ совокупности действительных чисел
  0
  1
  1
  __
  2
  -0,5
  -1
  1
  __
  2
  

• 12 слайд

  П = 3, 1415926…
  

• 13 слайд

  Как запомнить первые цифры числа П
  Нужно только постараться
  И запомнить все как есть:
  Три, четырнадцать, пятнадцать,
  Девяносто, два и шесть
  
  

• 14 слайд

  Числовые множества.
  

• 15 слайд

  Множество натуральных чисел.
  Натуральные числа - это числа счета. N={1,2,…n,…}.
  
  Заметим, что множество натуральных чисел замкнуто относительно сложения и умножения, т.е. сложение и умножение выполняются всегда, а вычитание и деление в общем случае не выполняются
  
  

• 16 слайд

  Множество целых чисел.
  Введем в рассмотрение новые числа:
  
  1) число 0 (ноль),
  2) число (-n), противоположное натуральному n.
  При этом полагаем: n+(-n)=(-n)+n=0,
  -(-n)=n.
  Тогда множество целых чисел можно записать так:
  Z ={…,-n,…-2,-1,0,1,2,…,n,…}.
  Заметим также, что:
  Это множество замкнуто относительно сложения, вычитания и умножения, т.е.
  
  
  Из множества целых чисел выделим два подмножества:
  1) множество четных чисел
  2) множество нечетных чисел
  
  
  
  

• 17 слайд

  Деление с остатком.
  В общем случае действие деления в множестве целых чисел не выполняется, но известно, что деление с остатком можно выполнить всегда, кроме деления на 0.
  
  
  Определение деления с остатком.
  Говорят, что целое число m делится на целое число n с остатком, если найдутся два числа q и p, такие что: (*)
  
  
  
  
  Хорошо известен алгоритм деления с остатком.
  Замечание: если r=0, то будем говорить, что m делится нацело на n.
  m=nq+r, где 0≤ r<|n|
  (q – частное, r – остаток)
  

• 18 слайд

  ПРИМЕРЫ:
  Разделить с остатком m на n.
  1). m=190, n=3
  190 3
  18 6
  3
  10
  9
  1
  q=63, r=1, 1<3
  Проверка:
  190=3*63+1
  
  2). m=13, n=5
  Подберем q и формуле (*):
  13=5q+r
  =>q=2, r=3 (3<5)
  13=4*(-4)+1
  
  
  3). m=-15, n=4
  По формуле (*):
  -15=4q+r
  => q=-4, r=1
  -15=4*(-4)+1
  
  4). M=6, n=13
  По формуле(*):
  6=13q+r
  =>q=0, r=6
  6=13*0+6
  

• 19 слайд

  Множество рациональных чисел.
  Множество рациональных чисел можно представить в виде:
  
  
  
  
  
  В частности, Таким образом,
  
  
  
  Множество рациональных чисел замкнуто относительно сложения, вычитания, умножения и деления (кроме случая деления на 0).
  
  
  
  

• 20 слайд

  Но в множестве рациональных чисел нельзя, например, измерить гипотенузу прямоугольного треугольника с катетам .
  
  По теореме Пифагора гипотенуза будет равна .Но число не будет
  рациональным, так как ни для каких m и n.
  
  Нельзя решить уравнение .
  Нельзя измерить длину окружности и т.д.
  
  Заметим, что всякое рациональное число можно представить в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби.
  
  

• 21 слайд

  Множество иррациональных чисел.
  Числа, которые представляются бесконечной непериодической дробью, будем называть иррациональными.
  Множество иррациональных чисел обозначим
  
  Для иррациональных чисел нет единой формы обозначения. Отметим два иррациональных числа, которые обозначаются буквами – это числа и е.
  
  

• 22 слайд

  Число «пи»
  
  
  
  
  
  Отношение длины окружности к диаметру есть величина постоянная, равная числу
  d
  

• 23 слайд

  Число е.
  Если рассмотреть числовую последовательность:
  
  с общим членом последовательности то с
  
  ростом п значения будут возрастать, но никогда не будет больше 3.
  Это означает, что последовательность ограничена. Такая последовательность имеет предел, который равен числу е.
  
  
  

• 24 слайд

  Известно, что мощность иррациональных чисел больше мощности рациональных, т.е. Иррациональных чисел «больше», чем рациональных. Кроме того, как бы ни были близки два рациональных числа, между ними всегда есть иррациональное, т.е.
  
  
  
  Примеры иррациональных чисел:
  
  (золотое сечение) и т.д.
  

• 25 слайд

  Множество вещественных (действительных) чисел.
  Множество вещественных чисел – это объединение множества рациональных чисел.
  
  
  
  
  
  
  
  Вывод: (см. рис. 1)
  

• 26 слайд

  «Модуль действительного числа»
  

• 27 слайд

  Определение.
  

• 28 слайд

  Свойства модуля
  

• 29 слайд

  Геометрический смысл модуля
  Модуль числа — это расстояние от начала отсчета до данного числа.
  Расстояние между точками a и b
  числовой прямой:
  

• 30 слайд

• 31 слайд

  Функция y = |x|
  

• 32 слайд

• 33 слайд

  Решить уравнение |x-1| = 4
  1 способ (аналитический)
  Задание 2
  

• 34 слайд

  2 способ (графический)
  

• 35 слайд

  3 способ
  

• 36 слайд

  Определение модуля вещественного числа
  1) Пусть на числовой оси точка А имеет координату а. Расстояние от точки начала отсчета О до точки А называется модулем вещественного числа а и обозначается |a|.
  
  
  
  
  
  2) Раскрытие модуля происходит по правилу:
  |a| = |OA|
  R’
  a
  a
  A
  A
  O
  

• 37 слайд

  Например:
  
  
  Замечание. Определение модуля можно расширить:
  
  
  
  
  Пример. Раскрыть знак модуля.
  
  x
  аргумента
  функция
  x
  f
  где
  -
  )
  (
  

• 38 слайд

  Решение примеров с использованием свойств модуля
  Пример 1. Вычислить
  
  
  Пример 2. Раскрыть знак модуля
  
  
  Пример 3.
  Вычислить 1)
  
  2)
  
  3)
  
  

• 39 слайд

  Найдите соответствующие части утверждений
  Чтобы сложить два отрицательных числа, надо…
  Чтобы сложить два числа с разными знаками, надо…
  Чтобы из данного числа вычесть другое, надо…
  из большего модуля слагаемых вычесть меньший
  
  поставить перед полученным числом знак минус
  
  сложить их модули
  
  к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому
  
  поставить перед полученным числом знак того слагаемого, модуль которого больше
  

• 40 слайд

  Устный счет
  1) – 6 + (–8) = ...
  2) 9 + (–5) = ...
  3) – 7,5 + 3 = ...
  4) – 3,2 – 6,7 = …
  5) 16 – 20 = …
  6) – 5 – (-12) = …
  4
  -4,5
  -9,9
  - 4
  7
  -14
  

• 41 слайд

  Задача
  Куколки бабочек выносят температуру до -8°. Если эту температуру увеличить на -24°, а затем уменьшить на –28°, то получим температуру, которую выдерживают гусеницы бабочек. Какую температуру выдерживают гусеницы бабочек?
  

• 42 слайд

  Используя таблицу, определите курс валюты на начало 6 дня.
  
  30,29 руб.
  39,44 руб.
  30,36
  39,56
  

• 43 слайд

  Телефонная мобильная компания АСЛ предлагает
  
  Задача:
  У абонента телефонной компании, ученика 6 класса, на счету было 27 руб. 60 коп. За день его исходящие вызовы составили 40 мин, также он отправил 12 SMS и выходил в интернет на 8 мин. При этом у него образовался долг. Какой тариф у ученика?
  

• 44 слайд

  Установите закономерность, по которой получается число C из чисел A и B, и найдите недостающие числа
  12
  0
  

• 45 слайд

  Рациональные числа
  Множество натуральных чисел (N) – 1, 2, 3, 4, …
  Целые числа (N + противоположные им числа + 0). (Z)
  Дробные числа (положительные и отрицательные).
  Рациональные числа (Целые и дробные) (Q)
  

• 46 слайд

  Всякое рациональное число, как целое так и дробное, можно представить в виде дроби
  

• 47 слайд

  Представить в виде десятичной дроби:
  

• 48 слайд

  Представить в виде десятичной дроби:
  

• 49 слайд

  Представить в виде десятичной дроби:
  

• 50 слайд

  0, 216216…
  1. Бесконечная десятичная дробь
  2. Периодическая (216 - период)
  3. 0, (216) – ноль целых 216 в периоде
  

• 51 слайд

  Представить в виде десятичной дроби:
  

• 52 слайд

  Иррациональные числа
  Бесконечные десятичные непериодические дроби (ир - отрицание)
  Примеры:
  3, 010010001…
  - 5,020022000222…
  
  

• 53 слайд

  Действительные числа
  Можно складывать, вычитать, умножать и делить. При выполнении действий над действительными числами в практических задачах их заменяют приближёнными значениями.
  

• 54 слайд

• 55 слайд

  Сегодня ночью температура воздуха была три градуса мороза
  Утром температура воздуха была два градуса тепла
  Температура тела курицы сорок градусов
  Высота горы Казбек 5033 метра
  Высота самого глубокого места Тихого океана 11022 метра
  Менеджер магазина получил премию 4000 рублей
  Малыш потерял 100 рублей
  Лед на реке стал тоньше на 8 см
  XX век нашей эры
  IV век до нашей эры
  
  -3
  2
  40
  5033
  11022
  4000
  -100
  -8
  20
  -4
  
  
  

• 56 слайд

  Геометрический смысл модуля
  0
  x
  5
  -5
  |x| - расстояние от 0 до х
  |5| = 5, т.к. расстояние от 0 до 5 равно 5
  |-5| = 5, т.к. расстояние от 0 до -5 равно 5
  

• 57 слайд

  Действия с числами
  

• 58 слайд

  Уравнения
  

• 59 слайд

  Множества
  

• 60 слайд

  Множество основное понятие математики
  
  Множество – это совокупность однородных объектов
  
  Обозначение множеств: А, В, С, А1, В1,…
  Элементы множеств обозначаются: а, b, с…
  

• 61 слайд

  Конечное и бесконечное множество
  Множества чисел относят к бесконечности:
  N – множество натуральных чисел
  Z – множество целых чисел
  Q – множество рациональных чисел
  R – множество действительных чисел
  
  Конечные множества – это множество, которое состоит из конечного числа элементов. Элементы конечного множества можно перечислить
  

• 62 слайд

  Пустое множество
  Пустое множество – это множество не содержащее в себе ни одного элемента
  
  Обозначается пустое множество так: Ø
  

• 63 слайд

  Примеры
  Конечные множества:
  А = {1, 3, 5, 7, 9}
  В = {а / а є Z0, 0 ≤ а ≤ 9}
  Бесконечное множество:
  С = { а / а є Z}
  Пустое множество:
  х² = - 4
  

• 64 слайд

  Диаграммы Эйлера-Венна
  А – множество квадратов
  В – множество прямоугольник
  В
  
  2)А – множество квадратов
  В – множество прямоугольников с равными сторонами
  
  3)А – множество равнобедренных треугольников
  В – множество тупоугольных треугольников
  
  А
  А=В
  А
  В
  

• 65 слайд

  Операции над множествами
  Объединением множеств А и В называется множество А U В, которое состоит из элементов принадлежащих хотя бы одному элементу множества А или В.
  Пересечением множеств А и В, называется множество, обозначаемое А ∩ В, которое состоит из элементов, принадлежащих множеству А и В одновременно.
  Разностью множеств А и В, Называется множество элементов, которое состоит из элементов принадлежащих множеству А, и при этом не принадлежащих множеству В.
  

• 66 слайд

  Декартово произведение множеств
  Декартовым произведением множеств А и В называется множество, обозначаемое А х В, которое состоит из пар (а, b), в которых а є А, b є В.
  А = {1, 2, 3}
  В = {!, ?}
  А х В = {(1, !); (2, !); (3, !); (1, ?); (2, ?); (3, ?)}
  Также декартово произведение можно задать графически.
  

• 67 слайд

  Действительные числа
  Задания для устного счета.
  

• 68 слайд

  Правильный ответ:
  Переведите в десятичную дробь
  

• 69 слайд

  Правильный ответ:
  Переведите в десятичную дробь
  

• 70 слайд

  Правильный ответ:
  Переведите в десятичную дробь
  

• 71 слайд

  Правильный ответ:
  Переведите в обыкновенную дробь
  

• 72 слайд

  Правильный ответ:
  Переведите в обыкновенную дробь
  

• 73 слайд

  Правильный ответ:
  Переведите в обыкновенную дробь
  

• 74 слайд

  Правильный ответ:
  Найдите модуль выражения
  

• 75 слайд

  Правильный ответ:
  Найдите модуль выражения
  

• 76 слайд

  Правильный ответ:
  Найдите значение выражения
  

• 77 слайд

  Правильный ответ:
  Найдите значение выражения
  

• 78 слайд

  Правильный ответ:
  Найдите значение выражения
  

• 79 слайд

  Правильный ответ:
  Найдите значение выражения
  

• 80 слайд

  Правильный ответ:
  Выполните действия
  

• 81 слайд

  Вывод:
  Изучать действительные числа нужно, потому что они являются основой науки арифметики, также действительные числа способствовали возникновению рациональных и иррациональных чисел.
  

• 82 слайд

  Что нового и интересного вы узнали… ?
  Какие системы счисления вам запомнились… ?
  Сегодня на уроке
  
  

• 83 слайд

  Рефлексия: 1) Что нового и интересного вы узнали на уроке ? 2)Что было не понятно? 3) Ваши пожелания.
  

• 84 слайд

  Итог урока: Чем мы с вами занимались на уроке? Что нового вы узнали? Что понравилось? что не понравилось?
  Желаю вам успешно справиться с домашней работой.
  
  

• 85 слайд

  Установите закономерность, по которой получается число C из чисел A и B, и найдите недостающие числа
  12
  0
  

• 86 слайд

  Спасибо за внимание!
  Не забывайте готовиться к урокам!
  Тема следующего урока:
  «Действия над действительными числами. Десятичное приближение действительных чисел. Вычисление
  абсолютной и относительной погрешностей»
  Литература: Богомолов Н.В.
  Раздел- 1 Глава-1 п.1 стр.10-13
  http://www.myshared.ru/slide 173527 /
  Удачи!
  

• 87 слайд

  План урока
  Написать реферат, доклад о числах и их значение в жизни.
  1.Понятие действий над действительными числами
  2.Применение Десятичное приближение действительных чисел. Вычисление абсолютной и относительной погрешностей
  3.Показать на примере
   Ключевые слова
  Действительные числа
   десятичное приближение
   абсолютная погрешность
   относительная погрешность
  

• 88 слайд

  Домашнее задание:
  
  Вместо букв в таблице записать такие числа, чтобы сумма их в каждой строке, столбце и диагонали была равна одному и тому же числу.
  
  

• 89 слайд

  Приближенное значение величины равно числу 17. Точность приближения 0,5. Может ли точное значение быть равным 17,2 16,9; 17,5; 16,4; 17
  Что называется абсолютной погрешностью приближенного значения?
  Кроме абсолютной погрешности существует относительная погрешность.
  

• 90 слайд

  
  Пример  В школе 1254 учащихся.
  При округлении этого числа до 1200 абсолютная погрешность составляет Δ = |1200 – 1254| = 54, относительная погрешность равна или 4,3 %.
  При округлении до 1250: Δ = |1250 – 1254| = 4, а относительная погрешность или 0,3 %.
  

• 91 слайд

  Задача. Продавец взвешивает арбуз на чашечных весах. В наборе гирь наименьшая — 50 г. Взвешивание дало 3600 г. Найти абсолютную и относительную погрешности
  Это число – приближенное. Точный вес арбуза неизвестен. Но абсолютная погрешность не превышает 50 г.
  Относительная погрешность не превосходит
  50/3600 ≈ 1,4%.
  
  Ответ:
  

• 92 слайд

  ε=∆x/x, где
  ∆x - абсолютная погрешность измерения, зависящая от точности измерительного прибора.
  ∆x=С/2, где
  С - цена деления шкалы прибора.
  
  

• 93 слайд

  Проблемный вопрос:
  От чего зависит результат измерений?
  Варианты решения:
  От инструмента, прибора, которым проводится измерение.
  От объекта измерения, его свойств.
  От условий, в которых проводится измерение.
  От человеческого фактора.
  Оптимальный вариант:
  1 + 4 + 2 + 3
  

• 94 слайд

  Спасибо за внимание
  

Краткое описание документа:

План-конспект

Тема: « Абсолютная и относительная погрешности. Действия над приближёнными значениями чисел».

Целиурока:

Оборудование: мультимедиа, микрокалькулятор, оборудование для выполнения практического задания,2 линейки с делениями в 0,1см и 1см, термометр, весы, раздаточный материал (лист, копирка, карточки)

Ход урока:

• Сегодня у нас несколько необычный урок, интегрированный. На этом уроке вы увидите тесную связь двух точных наук математики и физики.
• Фронтальный опрос: (слайд 3)

Давайте повторим основные понятия и формулы.

• Какие числа получаютсяв результате счета или измерения?

Какие из значений величины точные и какие приближенные:

• Температура воздуха ;
• В самолете 122 пассажира;
• Масса дыни 3,5 кг;
• Станок состоит из 170 деталей;
• В школе присутствует 650 учащихся?

Что используют для оценки качества измерения? (слайд 4)

Сформулируйте определение абсолютной погрешности (формулы на плакате).

Сформулируйте определение относительной погрешности.