Разработка по геометрии на тему "Решение задач для подготовки к ОГЭ" (9 класс)

Задачи для подготовки к ОГЭ. Задача №26

1.      Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении 40:1, считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой эта биссектриса проведена, равна 12.

Решение.

Рассмотрим треугольники  ∆ABL и ∆BLC.

AI - биссектриса ∆ ABL. 

По свойству биссектрисы треугольника   .

Пусть AL=x, тогда  AB=40x.

CI – биссектриса ∆LBC. 

По свойству биссектрисы треугольника .

Пусть  LC=y, тогда  CB=40y.

P = AB + CB + AC = 40x + x + y + 40y = 41(x+y)

Заметим, что AC = x+y = 12.

Следовательно, P = 41(x+y) = 41∙12 = 492

Ответ: 492

2.      В треугольнике ABC на его медиане BM отмечена точка K так, что BK:KM=4:1. Прямая AK пересекает сторону BC в точке P. Найдите отношение площади треугольника ABK к площади четырёхугольника  KPCM.

Решение.

Найдем отношение BP : PC.

Проведем прямую BD параллельно AC.

Точка D - точка пересечения прямой BD и прямой, проходящей через точки  A  и P.

Рассмотрим ∆ AKM и ∆BKD: Эти треугольники подобны по двум углам. Запишем отношения сходственных сторон: .

Пусть AM=x, тогда BD=4x.

Теперь рассмотрим  ∆ BPD и  ∆APC:  Они подобны по двум углам.

AM=MC=x - так как  BM - медиана.

Пусть S_ABC = S

AM=MC, следовательно, S_ABM = S_ABC = S .

BK:KM4=4:1, следовательно , S_ABK : S_AKM = 4:1, и  S_AМK = S_AВM =   S . 

S_ABK =  S_AВM = S

Так как S_ABP : S_APC = 2: 1, следовательно S_APC = S . 

S_KPCM = S_APC - S_{AKM =}   S =  S

Тогда  S_ABK  : S_KPCM= S : S =

Ответ: 12/7

3.      Из вершины прямого угла С треугольника АВС  проведена высота CP. Радиус окружности, вписанной в треугольник BCP, равен 8, тангенс угла BAC равен .  Найдите радиус вписанной окружности треугольника ABC

Решение.

Из прямоугольного треугольника ACP найдем

тангенс угла А

 =.

Введем обозначения: пусть АР=3х; СР=4х.

По свойству высоты прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла, СР²= АР ∙ РВ.

16х² = 3х ∙ РВ; РВ = 16х / 3.

Рассмотрим ∆СВР. По теореме Пифагора получим

СВ² = СР² + РВ², откуда СВ = =

Треугольник ABC подобен  BCP по двум углам, поэтому сходственные элементы пропорциональны.

Запишем отношения сходственных элементов

(r- радиус вписанной окружности ).

 =  = 10

Ответ: 10.

4.       Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC=7, а расстояние от точки K до стороны AB равно 4.

Решение.

Биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, пересекаются под углом  90º. Следовательно, ∆ABK - прямоугольный.

Продолжим биссектрисы  AK и BK  до пересечения с основаниями параллелограмма.

Получим прямоугольные треугольники : ∆BKL и ∆AKL,  такие что:

 ∆AKL= ∆AKB  и

 ∆BKL  = ∆AKB  по стороне и углу.

Следовательно,  высоты ∆BKL и ∆AKL , проведенные из вершины прямого угла равны высоте ∆AKB, проведенной из вершины прямого угла,

то есть равны 4.

Следовательно, высота  h параллелограмма, проведенная к стороне BC равна 8.

Отсюда S_ABCD = BC∙h = 7∙8=56

Ответ: 56.