Разработка по геометрии на тему "Решение задач 26 для подготовки к ОГЭ" (9 класс)

26. В-89. Точки M и N являются серединами боковых сторон AC и CB равнобедренного треугольника ABC. Точка L расположена на медиане BM так, что BL : BM=4 : 9.

Окружность с центром в точке L касается прямой MN и пересекает прямую AB в точках Q и T. Найдите периметр треугольника MNC, если QT=2, AB=8.

Решение. 

 

Точки M и N являются серединами боковых сторон AC и CB равнобедренного треугольника ABC, то MN – средняя линия треугольника ABC и MN=4, т.к. АВ=8.

AC=BC и AM=CM, CN=BN, то AM=BN и AMNB – равнобедренная трапеция. Из точки М опустим перпендикуляр, то .

Пусть радиус окружности равен R, тогда KL=QL=TL=R.

Пусть К – точка касания окружности и , тогда  и .  Получаем, что

. Треугольник QLT – равнобедренный(QL=TL=R), то  - медиана и QE=TE=1. Из прямоугольного треугольника LQE: .

Т.к. BL : BM=4 : 9, то пусть  BL=4x, BM=9x, ML=5x. 

 по двум углам(- вертикальные, ), тогда

.

. Значит , MD=KE=3. 

Из прямоугольного треугольника AMD: .

.

Ответ. .

26. В треугольнике АВС углы А и В соответственно равны 45⁰ и 15⁰. На продолжении стороны АС за точку С взята точка М так, что СМ=2АС. Найдите угол АМВ. 

Пусть  AC=x, тогда MC=2x.  Из , тогда

. Из точки М опустим перпендикуляр на сторону ВС и точку М

соединим с точкой В. 

  прямоугольный, где , тогда CD=x ( катет, лежащий против  

равен половине гипотенузы),    

 - равнобедренный и    

 – равнобедренный, т.к.

 

 – прямоугольный равнобедренный.

.

Ответ. 75. 

26. Внутри ромба ABCD находится точка М такая, что  и отрезки MB и  MC  не пересекают диагонали ромба. Найдите .

                                                                D

Точку М продолжим до пересечения диагоналей  ВО и СО в точках Е и Р соответственно.

Т.к. по условию задачи

 – равнобедренныйMP=PC. Так же .

. Т.к. AD=DC – стороны ромба, то DM=AD.

Аналогично доказываем равенство AM=AB. Т.к. AB=AD, то AM=AD.

 (Т.к. по условию задачи

 – равнобедренныйBE=EM. Так же .

.

Доказали, что DM=AD и AM=AD, то DM=AD= AM   – равносторонний  и  

.

Ответ. .

26. В окружность с центром O вписана трапеция ABCD, в которой сторона  AB параллельна  стороне CD,  AB=8, CD=3, . Точка K лежит на отрезке  AB, причем  AK=2. Прямая CK пересекает окружность в точке F , отличной C. Найдите площадь треугольника  OFC.

Из  точек С и   D опустим перпендикуляры на АВ, то . Пусть

.  

Из прямоугольного треугольника  CKE, где , 

.

AD и CF – хорды.  По свойству пересекающихся хорд:  

.

Из прямоугольного треугольника  ACE, где , 

AC. 

.

Т.к   - вписанный в окружность, то.

Найдем высоту OL   равнобедренного треугольника OFC по теореме Пифагора: 

.

Ответ. .

26. В треугольник АВС вписана окружность радиуса 5см, касающаяся стороны АС в точке D , стороны АВ – в точке М, стороны ВС- в точке N. Отрезок АD равен радиусу окружности, а отрезок  CD=15см. Найдите площадь треугольника  BMN.

Решение. Т.к. отрезок АD=r , то треугольник АВС – прямоугольный. 

                                                                        5      D             15

По свойству касательных к окружности, проведенных из одной точки плоскости:

BM=BN=x,     CD=CN=15,     AD=AM=5.

Тогда 𝐀𝐂=𝟐𝟎,𝐀𝐁=𝐱+𝟓,𝐁𝐂=𝐱+𝟏𝟓.

∆𝑨𝑩𝑪:        𝑩𝑪^𝟐=𝑨𝑪^𝟐+𝑨𝑩^𝟐 . 

Подставим:  (𝒙+𝟏𝟓)^𝟐=𝟐𝟎^𝟐+(𝒙+𝟓)^𝟐;

𝟑𝟎𝒙+𝟐𝟐𝟓=𝟒𝟎𝟎+𝟏𝟎𝒙+𝟐𝟓;

𝟐𝟎𝒙=𝟐𝟎𝟎;    𝒙=𝟏𝟎.  Поэтому     𝑪𝑩=𝟐𝟓;𝑨𝑩=𝟏𝟓.

Из .

.

Ответ. 40. 

26. Около треугольника АВС  описана окружность с центром в точке О. 

Касательная к окружности в точке С  пересекается с прямой,  делящей пополам угол В,  в точке К, причем угол ВКС равен половине разности утроенного угла А и угла С  треугольника. Сумма сторон АС и АВ равна , а сумма расстояний от точки О до сторон АС и АВ равна 2. Найдите радиус окружности.

Решение. 

 По условию задачи . С другой стороны . 

Левые стороны равны, поэтому приравняем и правые стороны: 

,  с другой

стороны 

 . Значит, -

прямоугольный.  

 

                                         Т.к. – прямоугольный, то AB – диаметр, расстояние от точки О до прямой АВ равно 0 и OE=2.

По условию задачи .

 Из :  ;     ;

 ;

 ;

 .

 

Ответ. .

26. Через точку М, расположенную на диаметре окружности радиуса 4 см, проведена хорда АВ, образующая с диаметром угол 30⁰. Через точку В проведена хорда ВС, перпендикулярная диаметру. Найдите площадь треугольника АВС, если АМ:МВ=2:3.

Решение. 

Т.к. =2:3, то пусть .

Проведем ВС. КМ – лежит на диаметре, поэтому делит хорду пополам, т.е. ВК=СК

. КМ – высота, медиана и биссектриса

- равносторонний

 

;

.

 

По теореме косинусов: ;

.

.

Ответ. .