Разработка по теме "Системы линейных уравнений с двумя переменными" в 7классе

ДОНЕЦКАЯ НАРОДНАЯ РЕСПУБЛИКА

УПРАВЛЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ АДМИНИСТРАЦИИ ГОРОДА ДОНЕЦКА

ДОНЕЦКАЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА І-ІІІ СТУПЕНЕЙ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

ДОНЕЦКОЙ НАРОДНОЙ РЕСПУБЛИКИ

Системы линейных уравнений с двумя переменными в 7классе

Подготовила Аванесова С.Р.

Учитель математики

ДОШ І-ІІІ ступеней №56

г. Донецк

Донецк -2015

Содержание работы

Рецензия

Введение

1.     Календарно тематическое планирование темы

2.     Критерии оценивания учебных достижений учащихся при изучении темы «Системы линейных уравнений с двумя переменными»

3.     Справочный материал по теме

4.     Поэлементный анализ учебных достижений учащихся по теме

Введение

Одной из основных задач развития образования Украины является развитие у детей творческих способностей, формирование навыков, самообразование личности.

Работа «Система линейных уравнений с двумя переменными в 7 классе» является актуальной и на сегодняшней день, способствует реализации принципов гуманизации, направлена на формирование мышления, повышения уровня мотивации учебной деятельности учащихся.

Понятие о системах уравнений с двумя переменными зародилось еще в глубокой древности. Разработкой методов решения систем линейных уравнений с двумя переменными занимался древнегреческий ученый Диофант, который не имел обозначений для неизвестных, прилагал немало усилий для того, чтобы свести решения системы уравнений к решению одного уравнений. Позже приемы исключения неизвестных из линейных уравнений разрабатывали известные ученые, такие как Ферма, Ньютон и другие. Немало задач, вызванных необходимостью того времени, решаются с помощью систем уравнений с двумя переменными.

В работе рассматриваются наиболее распространенные методы решения систем решения уравнений:

1.     способ подстановки;

2.     способ сложения;

3.     графический способ и другие.

Следовательно, алгоритмы решения систем уравнения, которые имеют широкое применение и могут успешно быть использованы учащимися в 10 – 11 классах в алгебре при решении систем тригонометрических уравнений, систем показательных и иррациональных уравнений.

В работе имеется подробных справочный материал, календарно – тематическое планирование, а также критерии учебных достижений учащихся, разработана таблица поэлементного анализа тематических оцениваний, где учитель имеет полную информацию об ошибках, недочётах и пробелах в знаниях и умениях учащихся и своевременно может проконсультировать и оказать необходимую помощь при изучении данного направления.

Данная разработка может быть успешно использована учителями математики при изучении темы «Системы линейных уравнений», мониторить ситуацию, вовремя устранять пробелы и способствовать тем самым повышению качества знаний учащихся.

Календарное планирование

                                         По теме “Системы линейных уравнений”

                                                        с двумя переменными

№ урока	Дата проведения	Тема урока	Цель урока	Примечание
1		Уравнения с двумя переменными. Линейные уравнения с двумя   переменными	Формирование понятий:  уравнения с двумя переменными, уравнение первой степени с двумя переменными; решение уравнений с двумя переменными.
2		График линейного уравнения с двумя переменными	Повторение и обобщение понятий, связанных с координатной плоскостью, формирование понятия графика линейного уравнения с двумя переменными, умение смотреть графики линейных уравнений с двумя переменными.
3		Системы линейных уравнений с двумя переменными.	Формирование понятий системы уравнений с двумя переменными, умение учащихся решать системы уравнений с двумя переменными; ознакомление с графическим способом решения систем уравнения.
4		Графический способ решения системы уравнений.	Формирование умений учащихся решать системы линейных уравнений графическим способом.
5		Способ подстановки. Алгоритм решения системы двух линейных уравнений способом подстановки.	Ознакомление учащихся с решением системы линейных уравнений способом подстановки; усвоение учащимися алгоритм решения систем двух системных линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки.
6		Решение линейных уравнений способом подстановки.	Формирование умений учащихся решать системы линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки.
7		Способ сложения. Алгоритмы решения систем двух линейных уравнений способом сложения.	Ознакомление учащихся со способом сложения для решения систем линейных уравнений; усвоение алгоритма решения систем двух линейных уравнений с двумя переменными способом сложения.
8		Решение систем линейных уравнений	Обобщение и систематизация знаний, умений и навыков учащихся по темам; «Системы линейных уравнений с двумя переменными»
9		Тематическое оценивание №1	Проверка знаний, умений  и навыков  учащихся по теме: «Системы линейных уравнений с двумя переменными»
10		Решение задач составлением системы уравнений.	Ознакомление учащихся с решением задач составлением системы линейных уравнений с двумя переменными.
11		Решение задач на движение составлением системных уравнений.	Формирование умений учащихся решать задачи на движение составлением системы линейных уравнений.
12		Решение задач на проценты с помощью составления системы уравнений.	Формирование умений учащихся решать задачи на проценты составлением системы  линейных уравнений с двумя переменными.
13		Решение задач геометрического смысла составлением системы уравнений.	Формирование умений учащихся решать задачи геометрического содержания составлением системы линейных уравнений двумя переменными.
14		Тематическое оценивание №2	Проверка знаний, умений и навыков учащихся по теме: «Системы линейных уравнений с двумя переменными»

Критерии оценивания учебных достижений учащихся по теме «Системы линейных уравнений с двумя переменными»

Уровни учебных достижений учащихся	Баллы	Критерии оценивания учебных достижений
Начальный	1	Имеет представление о системе уравнений с двумя переменными. С помощью учителя умеет решать простейшие системы уравнений с двумя переменными.
	2	Распознает системы линейных уравнений среди других представленных систем, имеет представление о решении системы уравнений.
	3	Формирует определение понятий: системы уравнений с двумя переменными, решение системы уравнений.
Средний	4	Выполняет по образцу задания обязательного уровня, приводит пример систем уравнений, умеет при решении задач с помощью систем ввести переменные.
	5	Умеет решать системы уравнений по известным алгоритмам с частичным объяснением, проверять является ли данная пара чисел решением системы уравнений.
	6	Иллюстрирует основные свойства уравнений при преобразовании уравнений системы и решении системы, самостоятельно решает  простейшие текстовые задачи с помощью системы уравнений с достаточным объяснением, а также делает вывод, найдя переменную, согласно условию задачи, записывает четко ответ.
Достаточный	7	Применяет алгоритмы решения системы уравнений и свойства уравнений в знакомых ситуациях, самостоятельно исправляет указанные ему ошибки, решает системы уравнений предусмотренные программой, без достаточных  объяснений.
	8	Владеет алгоритмом решения системы уравнений. Решает системы уравнений, предусмотренные программой, с частичным объяснением.
	9	Свободно владеет алгоритмом решения систем уравнений. Самостоятельно выполняет задания в знакомых ситуациях с достаточным объяснением и исправляет допущенные ошибки.
Высокий	10	Знание, умение и навыки учащихся полностью соответствуют требованиям программы. Умеет решать  непростые системы уравнений, текстовые задачи с полным объяснением и обоснованием.
	11	Свободно и правильно выражает математические суждения по использованию алгоритма, правил, свойств при решении систем уравнений и текстовых задач на составление системы уравнений. Использует эти знания в нестандартных ситуациях.
	12	Учащийся проявляет вариативность мышления и рациональность в выборе способов решения систем уравнений и задач повышенной сложности. Способен к решению нестандартных задач.

Справочный материал по теме:

«Система линейных уравнений с двумя переменными».

1.      Уравнение вида  - данные числа, называются линеным уравнением с двумя переменными . Числа α≠0, его называют уравнением первой степени с двумя переменными.

Примеры линейных уравнений:

 , ,

Пара чисел ,  удовлетворяет уравнению, так как 6∙1+2∙24,5=55, а пара чисел  этому уравнению не удовлетворяют, поскольку 6∙0+2∙30≠55.

2.      Каждая пара чисел, удовлетворяющая уравнению с двумя переменными, т.е. обращающая это уравнение в верное равенство, называются решением этого уравнения.

Решение уравнения : , на первом месте записывают , а на втором- .

3.      Что бы найти решение уравнения с двумя переменными, следует подставить в уравнение произвольное значение первой переменной и, решив полученное уравнение, найти соответствующие значение второй переменной.

Например.

Если , то  - решение уравнения

Придавая переменной  значение 2,3,5… можно найти соответствующие

значения : -8;- 6; -2…

Каждое уравнение первой степени с двумя переменными имеет бесконечно много решений.

4.      Два уравнения с двумя переменными называют равносильными, если каждое из них имеет те же решения, что и другое. Уравнение, не имеющие решений, также считаются равносильными.

             Например. 1)  и

                     2) и

      5. График каждого  уравнения первой степени с двумя переменными- прямая. И каждая прямая координатной плоскости- график некоторою линейною уравнения с двумя переменными.

      6. Что бы построить график уравнения первой степени с двумя переменными, достаточно найти два его решения, обозначить на координатной плоскости соответствующие им точки и провести через них прямую.

Например. Построить график уравнения

Выразим из уравнения  через :

Если , то

Если , то

Занесем эти значения в таблицу.

13. Системы двух уравнений с двумя переменными может иметь единственное решение, не иметь решений и иметь бесконечное множество решений.

1)Если , то одно решение имеет система

2) Если , то система не имеет решений

3) Если , то система имеет бесконечное множество решений.

14. Способ подстановки. Алгоритм решения системы двух линейных уравнений способом подстановки.

Алгоритмы решения системы двух линейных уравнений способом подстановки.

1.   Выразить из какого-нибудь ее уравнения одну переменную через другую.

2.   Подставить в другое уравнение системы вместо этой переменной полученное выражение.

3.   Решить получившиеся уравнение с одной переменной.

4.   Найти соответствующее значение второй переменной.

Пример 1.   

                                

                                 

                                       

Если , то

Ответ: (7;1)

Пример 2.

                                                                    Нет решений.

15. Способ сложения. Алгоритмы решения систем двух линейных уравнений способом сложения.

   Системы уравнений с двумя переменными, в которых коэффициенты при какой-либо переменной – противоположные числа, решают способом сложения.

Алгоритм решения систем двух линейных уравнений способом сложения.

1.     Преобразовать уравнение системы таким образом, чтобы  коэффициенты при какой-либо переменной были противоположными числам.

2.     Сложить почленно левые и правые числа уравнений.

3.     Получить уравнение с одной переменной и заменить одно из уравнений данной системой.

4.     Решить полученную систему уравнений.

Пример 1.      

        (1; -0,5)

Пример 2.

Если b=7, то

                       

                       

                       

Ответ: (16;7)

16. Решение задач соответствием системы уравнений

Многие задачи, особенно такие, в которых надо найти значение двух величин, удобно решать с помощью системы уравнений.

Решение прикладных задач предусматривает следующие три этапа:

1)     Создание математической модели данной задачи.(вводят обозначение неизвестных и составляю систему уравнений)

2)     Решение полученной математической задачи.(Решают систему уравнений)

3)     Запись ответа(возвращаются к условию задачи и интегрируют полученный результат)

Задача 1. За 6 тетрадей и 5 блокнотов заплатили 2,3грн. Сколько стоит одна тетрадь и один блокнот, если 3 тетради дороже 4 блокнотов на 0.5грн.?

Решение

Пусть грн.- цена тетради, грн- цена блокнота. По условию задачи за 6 тетрадей и 5 блокнотов заплатили 2,3грн, т.е.

Так как 3 тетради дороже 4 блокнотов на 0,5грн, то

Итак, имеем систему уравнений

Решим полученную систему

          

Если  , то

                              

                                  

Ответ: Тетрадь стоит 0.3грн=30коп, а блокнот стоит 0,1грн=10коп.

Задача 2. Спортсмен проплыл на лодке по течению реки за 1ч 12км, а против течения за 1ч. 8км. Найдите скорость течения и собственную скорость лодки.

                                                                             Решение

Примем скорость течения реки за  км/ч, а собственную скорость лодки за км/ч. Скорость по течению реки равна , а против течения- км/ч.

По условию задачи  спортсмен по течению реки за 1ч. Проплыл 12км, т.е. , а за 1 час против течения – 8км, т.е.

Итак, имеем систему уравнений

Собственная скорость лодки-10км/ч, а скорость течения реки-2км/ч.

Задача 3. Веревку длиной 22м разрезали на  2 части так, что одна из них оказалась на 20% короче другой. Найдите их длины.

                                                                                       Решение

Пусть  метров и  метров – длины частей веревки, потому .

Так как одна из частей оказалась на 20%(20%=0.2) короче другой, то . Итак, имеем систему уравнений.

Если , то

Ответ: м, .

Задача 4. Одна из сторон равнобедренного треугольника на 5см длиннее второй. Найдите эти стороны, если периметр треугольника равен 29см.

Решение

Пусть стороны равнобедренного треугольника равны  см и  см. Так как одна из сторон треугольника на 5 см длиннее другой, то

Известно, что периметр треугольника равен 29см, т.е.

Итак имеем систему уравнений

                

                

                

Если , то (см)

№ справки	Контрольные моменты	№	уровень
1	Распознает линейное уравнение с двумя переменными.	1	1 уровень                   (1б.-3б.)
1	Обозначение линейного уравнения с двумя переменными	2
2	Представление о решениях уравнения с двумя переменными	3
3	Решение Линейного уравнения с двумя переменными	4
4	Представление о равносильных уравнениях	5
9	Представление о системе линейных уравнений с двумя переменными	6
9	Распознает системы линейных уравнений среди других представленных систем.	7
10	Формирует определение понятий: системы уравнений с двумя переменными, решений системы уравнений.	8
14,15	Решение простейших систем	9
12	Выполняет по образцу задания обязательного уровня.	1	2уровень (4б.-6б.).
	Умение привести примеры методом уравнений	2
16	Умение ввести переменные при решении задач	3
14,15	Умение решать системы уравнений по известным алгоритмам с частичным объяснением.	4
10	Умеет проверять решение системы уравнений	5
6	Умеет строить график простейшего линейного уравнения с двумя переменными.	6
14	Иллюстрирует основные свойства уравнений при преобразовании уравнений системы и решении системы.	7
16	Самостоятельно решает простейшие текстовые задачи с помощью системы уравнений с достаточным объяснением и делает вывод, записывает четко ответ.	8
14,15	Применяет алгоритмы решения системы уравнений и свойства уравнений.	1	3 уровень      (7б.-9б.)
	Самостоятельно исправляет указанные ему ошибки	2
12	Решает системы уравнений, предусмотренные программой.	3
14,15	Владеет алгоритмом решения систем уравнений	4
13	Решает системы уравнений, предусмотренные программой, с частичным объяснением.	5
15	Свободно владеет алгоритмом решения систем уравнений.	6
	Самостоятельно исправляет допущенные ошибки.	7
8	Умеет решать непростые системы уравнений(графически иллюстрировать)	1	4 уровень (10б.-12б.)
16	Умеет решать текстовые задачи с полным объяснением.	2
	Решает системы уравнений, содержащих 3 неизвестные величины.	3
16	Решает задачи на составление уравнений.	4
	Решает системы уравнений повышенной сложности.	5
	Решает задачи повышенной сложности.	6

Тематическое оценивание №1 по теме

«Системы линейных уравнений с двумя переменными»

Первый вариант

Первая часть

1.Какая пара чисел (3;2),(2;3),(-1;1),(3;0) является решение системы

2. Решите графически систему уравнений

3. Решите графически систему уравнений

4.Решите способом подстановки систему уравнений:

Вторая часть

5.Решите систему уравнений способом подстановки

6.Решите способом сложения систему уравнений.

7.Решите систему уравнений.

8.При каком значении  система уравнений

Имеет бесконечное множество решений?

Третья часть

9. Найдите значение коэффициентов  уравнения , если его график проходит через точки M(5;-3) и N(8;3) через них прямую.

Например. Построить график уравнения.

                                                                       4х+2у=10

Выразим из уравнения у через х:

                                                                       2у=10-4х

Если х =0, то у=5-2*0=5

Если х= 1, то у=5-2*1=3

Занесём эти значения в таблицу.

     х           у

0       5

1       3                             5  4х+2у=10

                                                      3

 

                                                   0      1

7.   Если в уравнении ах+ву=с один из коофициэнтов  (а или в) равны 0, то график – тоже прямая.

            Например: а)0*х+2у=8 (у=4-прямая, параллельная оси х, проходящая через точку (0;4))

                                                              у

                                                              4      0х+2у=8

                                                                    (0;4)

                                                                                           

                                                             0                                      х

б) 3х+0у=6   (х=2)

График этого уравнения – прямая, параллельная оси у и проходящая через (2;0)

                                             у

                                                                  3х+0у=6

 

                                              0             2               х

в) 0х+0у=0. График построения уравнения – вся координатная плоскость.

г) 0х+0у=5. График построения уравнения – пустое множество.

8.  Взаимное расположение графиков уравнений.

а₁ х+в₁ у=с₁     и     а₂ х+в₂ у=с₂

а) Если         а₁  в₁                                     б)   а₁  в₁     с₁                            в)  а₁  в₁   с₁

                      а₂   в₂                                а₂   в₂       с₂                                    а₂   в₂     с₂

 

_{у                                                                                   у                                                                   у}

 

         0                     х                                     0                   х                                0                          х

Прямые пересекаются.                           Прямые параллельны.             Прямые совпадают.

9.  Система уравнений.

       Если требуется найти общее решение двух или нескольких уравнений, говорят, что эти уравнения образуют систему.

      Записывают систему уравнений, объединяя их фигурной скобкой:

                      3х+2у=0

                      -7х+5у=2

10. Решением  системы уравнений называют общее решение всех её уравнений.

        Для системы     х+2у=5

                                      2х-4у=-6      решением является пара чисел (1;2), так как

                                    1+2*2=5                         5=5  

                                        2*1+4*2=6                     -6=-6

11.  Решить систему уравнений – это означает найти множество всех её решений.

12.  Графический способ решения систем уравнений              х+у=6

                                                                                                                 х-у=2

                 у=6-х                                у=х-2

Если  х=1, то у=5;                          Если  х=3, то у=1;

Если  х=2, то у=4;                         Если  х=4, то у=2;

     х  у                                                   х         у

     1   5                                               3     1

     2   4                                               4     2

                                                       у       х+у=6                        х-у=2

                                                        5

        4

                                                        2                       А(4;2)

                                                        1

                                                        0     1    2    3    4           х

             Графики пересеклись в точке А (4;2) – единственное решение данной системы.

13.Система двух уравнений с двумя переменными может иметь единственное решение, не иметь решений и иметь бесконечное множество решений.

а₁ х+в₁ у=с₁

а₂ х+в₂у=с₂

1). Если     а₁  в₁                        

                   а₂   в₂              , то одно решение имеет система.

2). Если  а₁  в₁     с₁                     

                а₂   в₂       с₂   ,то система не имеет решений.

      3). Если   а₁  в₁     с₁

                 а₂   в₂       с₂   ,то система имеет бесконечное множество  решений.

14. Способ подстановки. Алгоритм решения системы двух линейных уравнений способом подстановки.

         Алгоритм решения системы двух линейных уравнений способом подстановки.

1.                                                       Выразить из какого-нибудь её уравнения одну переменную через другую.

2.                                                       Поставить в другое уравнение системы, вместо этой переменной полученное выражение.

3.                                                       Решить получившееся уравнение с одной переменной.

4.                                                       Найти, соответствующее значение второй переменной.

Пример.         х-2у=5;                 х=5+2у

                        3х+5у=26;                          3(5+2у)+5у=26

15+6у+5у=26

11у=11  у=1

Вариант 2

Первая часть

1.Какая пара чисел (2;3),(-1;2),(2;2),(3;0) является решением системы уравнений:

2. Решите графически систему уравнений:

3.Решите графически систему уравнений

4.Решите способом подстановки систему уравнений:

Вторая часть

5.Решите систему уравнений способом подстановки

6.Решите систему уравнений способом сложения

7.Решите систему уравнений:

8.При каком значении   система уравнений

не имеет решения?

Третья часть

Найдите значение коэффициентов  уравнения , если его график проходит через точки A(3;6),B(3;-6).

Тематическое оценивание №2 по теме

«Системы линейных уравнений с двумя переменными»

Вариант первый

Первая часть

1.В сарае гуси и кроли. У них 50 голов и 160 ног. Сколько гусей и сколько кроликов в сарае?

2.Найдите два числа, сумма которых 70, а разность 28.

3.За 7кг яблок и 4кг груш заплатили 26руб. Сколько стоит 1кг яблок и сколько стоит 1 кг груш, если 5кг яблок дороже 2кг груш на 4 руб?

Вторая часть

4.Лодка за 3ч движения по течению реки и 4ч против течения проходит 114км. Найдите скорость лодки по течению и ее скорость против течения, если за 6ч движения против течения она проходит такой же путь, как за 5ч движения по течению.

5.Сумма цифр двузначного числа равна 7. Если эти цифры поменять местами, то получится число больше данного на 45. Найдите данное число.

Второй вариант

Первая часть

1.Мать старше дочери на 24года, а дочь младше матери втрое. Сколько лет матери и сколько дочери?

2. Найдите два числа, сумма которых равна 86, а разность 18.

3. За 9 ручек и 4 карандаша заплатили 4руб.20коп. Сколько стоит одна ручка и сколько стоит один карандаш, если две ручки дороже трех карандашей на 35копеек?

Вторая часть

4.Лодка за 2ч. Движения по течению и 5ч. Движения против течения прошла 120км. За 7ч. Движения против течения она прошла на 52км больше, чем за 3ч движения по течению. Найдите скорость лодки по течению и ее скорость против течения.

5.Сумма цифр двузначного числа равна 11. Если эти цифры поменять местами, то получится число больше данного на 9. Найдите данное число.

Схема поэлементного анализа тематических работ №1, №2

Тематическое оценивание №1

Элементы знаний, умений	Количество учащихся	Фамилии учащихся
1)Решение систем линейных уравнений с двумя переменными -Проверить правильность решения систем -для каждого уравнения системы уметь выражать переменную. -Для каждого уравнения системы, составить таблицу значений . -Построить в одной системе координат два графика -Найти точку пересечения графиков функций.
2)Способ подстановки, способ сложения -выразить из какого-нибудь уравнения одну переменную через другую. -Подставить в другое уравнение вместо этой переменной полученное выражение. -Решить полученное уравнение с одной переменно. -Использовать все свойства уравнений. -Найти соответствующее значение второй переменной. -Уравнять модули коэффициентов при одной из переменных. -сложить или вычесть полученные уравнения. -Решить уравнение с одной переменной; -Подставить найденное значение во второе уравнение и найти значение второй переменной. -Уметь находить неизвестный коэффициент при одной из переменных в уравнении, зная, что уравнение имеет бесконечное  множество решений или не имеет.

Тематическое оценивание №2

Элементы знаний, умений	Количество учащихся	Фамилии учащихся
1)Решение задач -Введение неизвестных величин и составление системы уравнений. -Решение системы уравнений -Запись ответа -Понятие периметра, площади, геометрических фигур -Понятие «больше на», «меньше на» -Понятие процента -Понятие «Больше в», «меньше в»
2) -Зависимость между величинами(S-путь, V-скорость, t-время) -Находить собственную скорость лодки, скорость течения реки, скорость против течения. -Нахождение двузначного числа по неизвестному числу десятков и единиц

Литература

1.   Программа для общеобразовательных учебных заведений «математика»5-12 класс

2.   Федченко Л.Л., «Разноуровневые задания для тематических и итоговых контрольных робот по алгебре в 7-8 классах»: Методическое пособие.-Донецк.,2004г.-110с.

3.   Рогалин А.Н., Алгебра. 7 класс: «Разработки уроков.- Х.: Веста: Издательство «Ранок»,  2007.-336с.

4.   Г.П.Бевз, В.Г.Бевз. Алгебра: Учебник для 7 класса.- Учебник для 7 класса общеобразовательных учебных заведений. – К.: Зодиак – ЕКО,2007.-304с.

5.   Мерзляк А.Г. Сборник задач и заданий для тематического оценивания по алгебре для 7 класса.-Х., 2001.-112с