1200972
столько раз учителя, ученики и родители
посетили сайт «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
+Добавить материал
и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
Дистанционные курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации для педагогов

Дистанционные курсы для педагогов - курсы профессиональной переподготовки от 5.520 руб.;
- курсы повышения квалификации от 1.200 руб.
Престижные документы для аттестации

ВЫБРАТЬ КУРС СО СКИДКОЙ ДО 70%

ВНИМАНИЕ: Скидка действует ТОЛЬКО сейчас!

(Лицензия на осуществление образовательной деятельности № 5201 выдана ООО "Инфоурок")

ИнфоурокМатематикаДругие методич. материалыРазработка "Подробное доказательство теоремы об ортогональной проекции многоугольника" (10 класс)

Разработка "Подробное доказательство теоремы об ортогональной проекции многоугольника" (10 класс)

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов
Скачать материал целиком можно бесплатно по ссылке внизу страницы.

Подробное доказательство теоремы об ортогональной проекции многоугольника

Если — проекция плоского n-угольника на плоскость, то , где — угол между плоскостями многоугольников и . Иными словами, площадь проекции плоского многоугольника равна произведению площади проецируемого многоугольника на косинус угла между плоскостью проекции и плоскостью проецируемого многоугольника.

Доказательство. I этап. Проведём доказательство сначала для треугольника . Рассмотрим 5 случаев.

1 случай. лежат в плоскости проекции.

hello_html_133e256f.png

Пусть — проекции точек на плоскость соответственно. В нашем случае . Положим, что . Пусть — высота , тогда по теореме о трёх перпендикулярах мы можем заключить, что — высота ( — проекция наклонной , — её основание и прямая проходит через основание наклонной, причём ).

Рассмотрим . Он прямоугольный. По определению косинуса :



С другой стороны, так как и , тогда по определению — линейный угол двугранного угла, образованного полуплоскостями плоскостей и с граничной прямой , а, следовательно, его мера является также и мерой угла между плоскостями проекции треугольника и самого треугольника, то есть .

Найдём отношение площади к :





Заметим, что формула остаётся верной даже когда . В этом случае



2 случай. Тольколежит в плоскости проекции и параллельна плоскости проекции.

hello_html_5ad126ce.png

Пусть — проекции точек на плоскость соответственно. В нашем случае .

Проведём через точку прямую . В нашем случае прямая пересекает плоскость проекции, значит, по лемме, и прямая пересекает плоскость проекции. Пусть это будет в точке Так как , то точки лежат в одной плоскости, а так как параллельна плоскости проекции, то по следствию из признака параллельности прямой и плоскости следует, что . Следовательно, — параллелограмм. Рассмотрим и . Они равны по трём сторонам (— общая, , , как противолежащие стороны параллелограмма). Заметим, что четырёхугольник — прямоугольник и равен (по катету и гипотенузе), следовательно, равен по трём сторонам. Поэтому и .

Для применим 1 случай: , т. е..

3 случай. Тольколежит в плоскости проекции и не параллельна плоскости проекции.

hello_html_m65d60b3c.png

Пусть точка — точка пересечения прямой с плоскостью проекции. Заметим, что и . По 1 случаю: и . Таким образом получаем, что

4 случай. Вершины не лежат в плоскости проекции. Рассмотрим перпендикуляры . Возьмём среди этих перпендикуляров наименьший. Пусть это будет перпендикуляр . Может оказаться, что , либо только , либо только . Тогда всё равно берём .

Отложим от точки на отрезке точку , так, чтобы и от точки на отрезке точку , так, чтобы . Такое построение возможно, так как — наименьший из перпендикуляров . Заметим, что является проекцией и , по построению. Докажем, что и равны.

hello_html_m698a774b.png

Рассмотрим четырёхугольник . По условию — перпендикуляры к одной плоскости, следовательно, по теореме , поэтому . Так как по построению , тогда по признаку параллелограмма (по параллельным и равным противолежащим сторонам) мы можем заключить, что — параллелограмм. Значит, . Аналогично доказывается, что , . Следовательно, и равны по трём сторонам. Поэтому . Заметим, что и , как противолежащие стороны параллелограммов, следовательно, по признаку параллельности плоскостей, . Так как эти плоскости параллельны, то они образуют один и тот же угол с плоскостью проекции.

Для применимы предыдущие случаи:.

5 случай. Плоскость проекции пересекает стороны . Рассмотрим прямые . Они перпендикулярны к плоскости проекции, поэтому по теореме они параллельны. На сонаправленных лучах с началами в точках соответственно отложим равные отрезки , таким образом, чтобы вершины лежали вне плоскости проекции. Заметим, что является проекцией и , по построению. Покажем, что равен.

hello_html_6d16e0d7.png

Так как и , по построению, тогда . Следовательно, по признаку параллелограмма (по двум равным и параллельным сторонам), — параллелограмм. Аналогично доказывается, что и — параллелограммы. Но тогда , и (как противолежащие стороны), поэтому равен по трём сторонам. Значит, .

Кроме того, , и , поэтому , по признаку параллельности плоскостей. Так как эти плоскости параллельны, то они образуют один и тот же угол с плоскостью проекции.

Для применим 4 случай:.

II этап. Разобьем плоский многоугольник на треугольники с помощью диагоналей, проведенных из вершины : Тогда по предыдущим случаям для треугольников: .

Что и требовалось доказать.

Краткое описание документа:

Не в каждом учебнике по геометрии можно встретить развёрнутое доказательство теоремы об ортогональной проекции многоугольника. Представленная разработка содержит максимально детализированное, адаптированное для учащихся, доказательство. Данная работа также призвана познакомить учащихся использованием индукции в дедуктивных рассуждениях..

Общая информация

Номер материала: ДБ-329244

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»

Благодарность за вклад в развитие крупнейшей онлайн-библиотеки методических разработок для учителей

Опубликуйте минимум 3 материала, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную благодарность

Сертификат о создании сайта

Добавьте минимум пять материалов, чтобы получить сертификат о создании сайта

Грамота за использование ИКТ в работе педагога

Опубликуйте минимум 10 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Свидетельство о представлении обобщённого педагогического опыта на Всероссийском уровне

Опубликуйте минимум 15 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данное cвидетельство

Грамота за высокий профессионализм, проявленный в процессе создания и развития собственного учительского сайта в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 20 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Грамота за активное участие в работе над повышением качества образования совместно с проектом "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 25 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Почётная грамота за научно-просветительскую и образовательную деятельность в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 40 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную почётную грамоту

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.