Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Разработка "Подробное доказательство теоремы об ортогональной проекции многоугольника" (10 класс)
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Разработка "Подробное доказательство теоремы об ортогональной проекции многоугольника" (10 класс)

библиотека
материалов

Подробное доказательство теоремы об ортогональной проекции многоугольника

Если — проекция плоского n-угольника на плоскость, то , где — угол между плоскостями многоугольников и . Иными словами, площадь проекции плоского многоугольника равна произведению площади проецируемого многоугольника на косинус угла между плоскостью проекции и плоскостью проецируемого многоугольника.

Доказательство. I этап. Проведём доказательство сначала для треугольника . Рассмотрим 5 случаев.

1 случай. лежат в плоскости проекции.

hello_html_133e256f.png

Пусть — проекции точек на плоскость соответственно. В нашем случае . Положим, что . Пусть — высота , тогда по теореме о трёх перпендикулярах мы можем заключить, что — высота ( — проекция наклонной , — её основание и прямая проходит через основание наклонной, причём ).

Рассмотрим . Он прямоугольный. По определению косинуса :



С другой стороны, так как и , тогда по определению — линейный угол двугранного угла, образованного полуплоскостями плоскостей и с граничной прямой , а, следовательно, его мера является также и мерой угла между плоскостями проекции треугольника и самого треугольника, то есть .

Найдём отношение площади к :





Заметим, что формула остаётся верной даже когда . В этом случае



2 случай. Тольколежит в плоскости проекции и параллельна плоскости проекции.

hello_html_5ad126ce.png

Пусть — проекции точек на плоскость соответственно. В нашем случае .

Проведём через точку прямую . В нашем случае прямая пересекает плоскость проекции, значит, по лемме, и прямая пересекает плоскость проекции. Пусть это будет в точке Так как , то точки лежат в одной плоскости, а так как параллельна плоскости проекции, то по следствию из признака параллельности прямой и плоскости следует, что . Следовательно, — параллелограмм. Рассмотрим и . Они равны по трём сторонам (— общая, , , как противолежащие стороны параллелограмма). Заметим, что четырёхугольник — прямоугольник и равен (по катету и гипотенузе), следовательно, равен по трём сторонам. Поэтому и .

Для применим 1 случай: , т. е..

3 случай. Тольколежит в плоскости проекции и не параллельна плоскости проекции.

hello_html_m65d60b3c.png

Пусть точка — точка пересечения прямой с плоскостью проекции. Заметим, что и . По 1 случаю: и . Таким образом получаем, что

4 случай. Вершины не лежат в плоскости проекции. Рассмотрим перпендикуляры . Возьмём среди этих перпендикуляров наименьший. Пусть это будет перпендикуляр . Может оказаться, что , либо только , либо только . Тогда всё равно берём .

Отложим от точки на отрезке точку , так, чтобы и от точки на отрезке точку , так, чтобы . Такое построение возможно, так как — наименьший из перпендикуляров . Заметим, что является проекцией и , по построению. Докажем, что и равны.

hello_html_m698a774b.png

Рассмотрим четырёхугольник . По условию — перпендикуляры к одной плоскости, следовательно, по теореме , поэтому . Так как по построению , тогда по признаку параллелограмма (по параллельным и равным противолежащим сторонам) мы можем заключить, что — параллелограмм. Значит, . Аналогично доказывается, что , . Следовательно, и равны по трём сторонам. Поэтому . Заметим, что и , как противолежащие стороны параллелограммов, следовательно, по признаку параллельности плоскостей, . Так как эти плоскости параллельны, то они образуют один и тот же угол с плоскостью проекции.

Для применимы предыдущие случаи:.

5 случай. Плоскость проекции пересекает стороны . Рассмотрим прямые . Они перпендикулярны к плоскости проекции, поэтому по теореме они параллельны. На сонаправленных лучах с началами в точках соответственно отложим равные отрезки , таким образом, чтобы вершины лежали вне плоскости проекции. Заметим, что является проекцией и , по построению. Покажем, что равен.

hello_html_6d16e0d7.png

Так как и , по построению, тогда . Следовательно, по признаку параллелограмма (по двум равным и параллельным сторонам), — параллелограмм. Аналогично доказывается, что и — параллелограммы. Но тогда , и (как противолежащие стороны), поэтому равен по трём сторонам. Значит, .

Кроме того, , и , поэтому , по признаку параллельности плоскостей. Так как эти плоскости параллельны, то они образуют один и тот же угол с плоскостью проекции.

Для применим 4 случай:.

II этап. Разобьем плоский многоугольник на треугольники с помощью диагоналей, проведенных из вершины : Тогда по предыдущим случаям для треугольников: .

Что и требовалось доказать.


Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Краткое описание документа:

Не в каждом учебнике по геометрии можно встретить развёрнутое доказательство теоремы об ортогональной проекции многоугольника. Представленная разработка содержит максимально детализированное, адаптированное для учащихся, доказательство. Данная работа также призвана познакомить учащихся использованием индукции в дедуктивных рассуждениях..

Автор
Дата добавления 07.11.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров109
Номер материала ДБ-329244
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх