Разработка семинара по математике по теме "Показательные и логарифмические уравнения и неравенства"

ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

КАЛУЖСКОЙ ОБЛАСТИ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«КАЛУЖСКИЙ БАЗОВЫЙ МЕДИЦИНСКИЙ КОЛЛЕДЖ»

Методическая разработка

семинарского  занятия по математике для преподавателя

Тема:

«Показательные и логарифмические уравнения и неравенства»

Подготовил преподаватель

Е.В. Бучикова

Калуга, 2015

Вид занятия:   Семинар (обобщающий и контролирующий)

Цели занятия:

Образовательные:  систематизировать знания, определить прочность знаний, умений и навыков, полученных на предыдущих занятиях по теме.

Развивающие:   развивать интерес к математике; умения и навыки решать задачи; логическое мышление, умение анализировать, оперировать полученными знаниями и навыками, выделять главное, обобщать.

Воспитательные:   воспитывать познавательную активность, вычислительную культуру при решении заданий, внимательность,  аккуратность и трудолюбие, формирование навыков самостоятельной и групповой работы.

Формируемые общие компетенции:

ОК 1.  Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК 2.  Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их выполнение и качество.

ОК 3.  Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 6.  Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.

ОК 7.  Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), за результат выполнения заданий.

Место проведения занятия:   колледж.

Оборудование занятия: Раздаточный материал (карточки, лист ответов, лист самооценки), доска, мультимедийный проектор, экран, презентация.

Внутридисциплинарные связи:  Раздел 2. Корни степени и логарифмы; раздел 5. Степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции; раздел 6. Уравнения и неравенства.

Междисциплинарные связи: физика, астрономия, химия, биология, анатомия, микробиология, психология.

Структура занятия:

1.            Организационный момент                                                        2 мин

2.            Мотивация                                                                                5 мин

3.           Актуализация опорных знаний, проверка

домашнего задания                                                                 13 мин

4.           Обобщение и систематизация знаний (работа в группах)      45 мин

5.            Контроль усвоения темы (самостоятельная работа)              10 мин

6.            Домашнее задание                                                                    3 мин

7.            Итог занятия, рефлексия                                                          2 мин

 ХОД ЗАНЯТИЯ

1. Организационный момент.

(Принять раппорт дежурного. Отметить отсутствующих. Обратить внимание на внешний вид студентов и на состояние аудитории.)

Преподаватель: Здравствуйте ребята! Все ли готовы к занятию? Доска чистая? Мел есть? Присаживайтесь. Дежурный, сдавайте раппорт.

Дежурный: Группа 03011 подгруппа 1 к занятию готова, аудитория подготовлена, отсутствующих нет.

Преподаватель: По какой теме вы готовились к сегодняшнему семинарскому занятию?

Студенты: Показательные и логарифмические уравнения и неравенства.

2. Мотивация учебной деятельности.

Дорогие ребята! Я надеюсь, что это  занятие пройдет интересно, с большой пользой для всех. Очень хочу, чтобы те, кто еще равнодушен к царице всех наук, с нашего урока ушел с глубоким убеждением:  Математика – интересный и очень нужный предмет. Вы знаете, чтобы хорошо усвоить математику, надо решать много задач, уравнений, неравенств. Занятие  я хочу начать со слов “Усердие все превозмогает”. И т.к. сегодня семинарское занятие, то по аналогии с предыдущими семинарскими занятиями, определите цели и задачи сегодняшнего семинара.

Студенты:  Мы должны вспомнить и показать применение  знаний, умений и навыков при решении показательных и логарифмических уравнений, неравенств.

Показательные и логарифмические уравнения и неравенства входят в экзамен, в ЕГЭ (для тех, кто планирует поступать в высшие уч.заведения после колледжа) и связаны с другими предметами и  областями нашей жизни.

Во многих областях науки при изучении различных явлений и процессов обнаруживается одна общая функциональная зависимость между двумя переменными величинами, участвовавшими в данном процессе. Например: 
1. Барометрическая формула - При постоянной температуре давление воздуха изменяется с изменением высоты над уровнем моря
2. Рост народонаселения - Изменение числа людей в стране на наибольшем отрезке времени
3. Формула разрядки конденсатора

Во всех этих примерах - основание const, а показатель изменяется, т. е. приведены примеры показательной функции.

Логарифмические таблицы помогали астрономам и инженерам сократить время на вычисления и тем самым продлить им жизнь. Логарифмическая  линейка позволяла быстро получить ответ с точностью в три значащиеся цифры. 
Логарифмическая функция широко используется в различных отраслях жизни человека. Например, ступени темперированной хроматической гаммы(12 звуковой) частот звуковых колебаний представляют собой логарифмы с основанием 2. Громкость звука и яркость звезд оценивается по логарифмической шкале. “Величина” звезды представляет собой логарифм её физической яркости. Короче говоря, оценивая яркость звезд, астроном оперирует таблицей логарифмов, составленной по основанию 2,5. 
Логарифм вторгается и в область психологии. Опыты показали, что организм как бы “логарифмирует” полученные им раздражения, т.е. величина ощущения приблизительно пропорциональна десятичному логарифму величины раздражения. 
Прибыль, начисляемая на банковский счет, определяется с помощью логарифмов.

Развитие взрослой особи происходит при сохранении общих очертаний формы. Но при этом рост происходит в одном направлении, то есть закручивается по спирали.

Математическая спираль является символом жизни. Развитие раковин, завитки рогов архаров, расположение семечек в подсолнухе все это развитие по логарифмической спирали. Один из наиболее распространенных пауков эпейра, сплетая паутину, закручивает нити вокруг центра логарифмической спирали. По логарифмическим спиралям закручены и многие галактики, в частности Галактика, которой принадлежит Солнечная система.

Т.о., многие объекты окружающей нас действительности описываются с помощью показательных и логарифмических функций, уравнений, неравенств. Успешное усвоение данной темы поможет вам при исследовании биологических и медицинских проблем, позволит решать задачи в области профессиональной деятельности и при изучении дисциплин специального цикла.

Т.к. занятие носит обобщающий и контролирующий характер, то давайте определим что мы должны сделать в течении занятия.

Студенты: проверить домашнюю работу; повторить знания по этой теме; закрепить умения и навыки по решению типовых уравнений и неравенств; написать работу, которая определит уровень освоения данной темы; получить задание на дом, подвести итог занятия.

Верно, занятие построим следующим образом:

·               проверим домашнюю работу,

·               проведем актуализацию знаний,

·               проведем групповую работу по решению типовых заданий,

·               напишем самостоятельную работу,

·               получим задание на дом,

·               подведем итог занятия.

Выставление оценок за занятие осуществляется с учетом всех видов работы на занятии, согласно критерия оценки за занятие.

На столах у вас лежит ОЦЕНОЧНЫЙ ЛИСТ. Подпишите эти листы Ф.И.О.

ОЦЕНОЧНЫЙ ЛИСТ
Ф.И.О
Вид оценки (диапазон баллов)	Пояснения к выставлению баллов	Количество баллов
Оценка за выполнение домашней работы ( 0-2 б )	Задания №1 оцениваются по 0,2 б. Итого за задание №1 – 0,8 б. Задания №2 и №3 оцениваются по 0,4б. Итого за задание №2 – 0,8 б., за задание №3 – 0,4б. Правильное решение всех заданий –2б. Если в задании допущены ошибки, то решение не засчитывается. При отсутствии  д/з  - 0 баллов.
Оценка за участие во фронтальном опросе ( 0–0,8 б )	Один  правильный  ответ– 0,4 б, 2 ответа и более - 0,8 б. При отсутствии ответов - 0 баллов.
Оценка за работу в группах по карточкам   ( 0 - 4,2 б)	Каждый номер оценивается в 0,6б. Итого за карточку можно набрать 4,2б. Если в задании допущены ошибки, то решение не засчитывается. При отсутствии ответов - 0 баллов.
Оценка за самостоятельную работу ( 0 - 3 б )	Правильное решение каждого задания – 1б. Итого за самостоятельную работу можно набрать 3б. Если в задании допущены ошибки, то решение не засчитывается. При отсутствии ответов - 0 баллов.
Суммируйте     все       ваши     баллы
Максимально возможное количество баллов		10
Если  ВЫ набрали ( 9 - 10) баллов,  поставьте оценку		5
Если  ВЫ набрали (7 – 8 )  баллов,   поставьте оценку		4
Если  ВЫ набрали ( 5 – 6 ) баллов,   поставьте оценку		3
Если  ВЫ набрали  ( 0 - 4) баллов,   поставьте  оценку		2
Ваша  оценка

3. Актуализация опорных знаний, проверка домашнего задания.

Для проверки домашней работы к доске выходят 4 студентов (по желанию). В это время с остальными студентами проводится фронтальный опрос. Студенты, работающие у доски, после написания заданий, включаются в фронтальный опрос. (Вопросы и правильные ответы последовательно высвечиваются на экране в виде слайдов)

- Что называется логарифмом числа b по основанию а?

Ответ:  Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число b.

- Что называется основным логарифмическим тождеством?

Ответ:  Формулу (где b > 0, а>0 и а1) называют основным логарифмическим тождеством.

- Перечислите основные свойства логарифмов.

Ответ: При любом а> 0 (а  1) и любых положительных х и у выполнены равенства:

1.           log_a 1=0.

2.            log_aa=1.

3.           log_a ху = log_a х + log_a у.

4.           log_a  = log_a х -log_a у.

5.            log_a х^Р=р log_a х для любого действительного р

- Что называется показательной функцией?

Ответ: Функция, заданная формулой у = а^х, где называется показательной функцией с основанием а.

- Что будет являться графиком показательной функции?

Ответ:

                                                                         

                     1                                                                                   1

                                                                                   

- Одни графики показательной функции возрастают, а другие убывают. От чего это зависит?

Ответ:    или   .

- Что называется логарифмической функцией?

Ответ: Функцию, заданную формулой у = log_а x, называют логарифмической функцией с основанием а.

- Перечислите основные свойства логарифмической функции.

Ответ:

1.           Область определения логарифмической функции - множество всех положительных чисел R₊, т. е. D (1og_a)=R₊.

2.           Область значений логарифмической функции - множество всех действительных чисел.

3.           Логарифмическая функция на всей области определения возрастает (при а> 1) или убывает (при 0<а<1).

- Что будет являться графиком логарифмической функции?

Ответ:

- Одни графики логарифмической функции возрастают, а другие убывают. От чего это зависит?

Ответ:    или   .

- Что можно сказать про графики логарифмической и показательной функции?

Ответ:  Графики показательной и логарифмической функций, имеющих одинаковое основание, симметричны относительно прямой у = х.

- Какое уравнение называется показательным?

Ответ: Показательным называется уравнение, содержащее переменную в показателе степени.

- Какое показательное уравнение называется простейшим?

Ответ: простейшее показательное уравнение имеет вид а^х =b, где а> 0 и а1

- Если показательное уравнение имеет вид , то что из этого следует?

Ответ: Что х₁ = х₂, т.е. показательная функция у = а^х принимает каждое свое значение только один раз при одном значении аргумента.

- Имеет ли корни уравнение  при ?

Ответ: Уравнение  при корней не имеет, т.к. область значений показательной функции – множество положительных чисел.

- Если показательная функция возрастает, т.е.  , и известно, что . Что можно сказать о х₁  и  х₂ ?

Ответ: Что х₁ >  х₂.

- Если показательная  функция убывает, т.е.  , и известно, что . Что можно сказать о х₁  и  х₂ ?

Ответ: Что х₁   х₂.

- Какое логарифмическое уравнение называется простейшим?

Ответ:  простейшее логарифмическое уравнение имеет вид log_aх=b.

- Что является решением простейшего логарифмического уравнения?

Ответ: а^b является таким решением.

- Что нужно помнить при решении показательных и логарифмических неравенств?

Ответ:  Если основание , то функция возрастает, и следовательно неравенство решается с тем же знаком, а если основание , то знак меняем на противоположный, т.к. функция убывает.

Слово предоставляем студентам у доски. Выступают студенты с домашними примерами, проверяются их решения, демонстрируются правильные решение на экране, каждый сравнивает своё решение с решением на экране и вносит соответствующее количество баллов в оценочный лист.

1.       Вычислите:

1)       ⁺²⁺²=3³=27

2)       ^-=2⁰=1

3)       =

4)      

2.       Найти число х:

1)       log₃х = -1       х = 3^-1; х =

2)       log_х = 2        х² = ; х = ; х =

3.       Найти область значений функции у = + 2.

РЕШЕНИЕ:

 

                                            2                   

1                                                                                                (2; + ∞)

4.   Найти область определения функции   у = log₈ (4-5х).

РЕШЕНИЕ.

Область определения: R₊          4-5х ›0;   х ‹ 0,8

Ответ: (-∞; 0,8 )

4.  Обобщение и систематизация знаний.

Приступаем к решению уравнений и неравенств.

Студенты делятся на группы по 4 – 5 человек в каждой. Каждая группа получает карточку с заданиями и лист для ответов. На работу отводится 45 минут. Решая каждое уравнение, необходимо вспомнить общий вид каждого типа уравнений и алгоритм решения. В лист для ответов вносится ответ на каждое задание и общий вид соответствующих уравнений и неравенств. Для проверки работ на правильность группы обмениваются листами ответов, а через проектор выводятся правильные ответы. Данная работа выполняется всеми членами группы совместно и, следовательно, количество баллов на которое карточку оценила другая группа, получает каждый член группы в оценочный лист.

Карточка 1.

Решить уравнения:

1.            3^4х-7 = 1.

2.            .

3.            3^2х-1 – 3^2х + 3^2х+3 = 237.

4.            .

5.            .

6.            2^х = 3-х.

7.            Решить  неравенство 

Карточка 2

Решить уравнения:

1.            9^х = 0,7.

2.            2^2х – 5*2^х+1 + 16 = 0.

3.           

4.            2^х-2 = 3^х-2.

5.            .

6.            .

7.            Решить  неравенство  0,2^2х+15.

Лист ответов должен быть заполнен следующим образом:

ЛИСТ ОТВЕТОВ             Карточка № 1
№ задания	Ответ	Общий вид	Количество баллов
1	х = .
2	х=25
3	х=1
4	х = ; х =
5	;
6	х=1
7
Общее количество баллов

ЛИСТ ОТВЕТОВ             Карточка № 2
№ задания	Ответ	Общий вид	Количество баллов
1	х = log 9 0,7
2	х=1; х=3
3	х=45
4	х = 2
5
6	х=0; х = 2
7	х  -1
Общее количество баллов

5. Контроль усвоения темы. (Самостоятельная работа.)

Ребята, вы сейчас работали в группах и получили оценки за совместную работу. Для того, чтобы оценить степень усвоения данной темы каждым студентом индивидуально, напишем самостоятельную работу  по вариантам. Самостоятельная работа рассчитана на 10 мин. (Преподаватель определяет для студентов кто какой вариант пишет). Для проверки ответов ребята обмениваются работами с соседом, правильные ответы проецируются на экран, затем студенты вносят набранное количество баллов в оценочный лист.

Вариант 1.

1.  Решите логарифмическое неравенство:  

2.  Решите уравнение: 3^х+2 + 3 ^х+1+ 3^х =39

3.  Найдите число целых решений неравенства:  log₂ ² х - log₂ x   <   6.

Вариант 2.

1.    Решите показательное неравенство:

2.    Решите уравнение: 5 ^2х  - 4∙5^х  -5 = 0

3.    Найдите число целых решений неравенства:

ОТВЕТЫ:

Вариант 1.

1.           

2.            х=1

3.        n=7

Вариант 2.

1.           

2.            х=1

3.            n=4

6. Домашнее задание.

Запишите домашнее задание (задания выводятся на экран через проектор) 

Решить уравнения:

1)      3^-х = -

2)      2*3^х+1 – 3^х = 15

3)      2^2х – 5*2^х*2 + 16 = 0

4)      2^х-2 = 3^х-2

5)      log(2х-4)= - 2

6)      log₅(х²+8)- log₅(х+1)=3 log₅2

Решить неравенства:

1)     

2)     

3)     

4)     

7. Итог занятия, рефлексия.

Итак, ребята, наше занятие подошло к концу. Спасибо всем за работу. Давайте обратимся к вашим оценочным листам и выставим каждый себе оценку за занятие исходя из набранного количества баллов. Критерий есть в оценочных листах (ребята выставляют оценки).

Исходя из полученных оценок мы можем сделать вывод о степени усвоения данной темы каждым из вас.

Ответьте на следующие вопросы:

Какие цели ставили?

Достигли ли вы своей цели? Почему?

В чем испытывали затруднение?

Над чем стоит еще поработать?

Довольны ли вы оценкой?

Что на сегодняшнем занятии вам больше всего понравилось?

Какие изменения вы внесли бы в данное занятие?

Какой момент занятия вам показался менее удачным, чем остальные?

Список используемой литературы:

1.            Алгебра и начала анализа. 10 – 11 кл.: учебник / [А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др.]; под ред. А.Н. Колмогорова. – 21-е изд. – М.: Просвещение, 2009. – 384 с. ил.

2.            Пехлецкий, И.Д. Математика: учебник. – 2-е изд., стер. – М.: Академия, 2009. – 304 с.

3.            Богомолов Н.В. Сборник задач по математике для студентов СПО.-М.:Дрофа, 2009.

4.            Никольский, С.М. Алгебра и начала математического анализа. 10 кл.: учебник:  базовый и профил. уровни. / [С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников,  Л.Б. Шевкин. – 8-е изд. – М.: Просвещение, 2009. – 430 с.

5.            Башмаков, М.И. Алгебра и начала анализа. 10 – 11 кл.: учебник: базовый уровень – 4-е изд., стер. – М.: Дрофа, 2010.– 400 с

6.            Алгебра и начала анализа. 10 – 11 кл.: учебник / [Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др.]  - 12-е изд. – М.: Просвещение, 2009. - 384 с. ил.

7.            Алгебра и начала математического анализа. 10 кл.: учебник: базовый и профил. уровни /  [Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова, М.И. Шабунин]; под ред. А.Б. Жижченко. – 4-е изд. – М.: Просвещение, 2009 – 368 с. ил.

8.            Башмаков, М.И. Математика 10 кл.: сб. задач: учеб. пособие. – М.: Академия, 2004.

Периодические издания: учебно-методическая газета «Математика» издательский дом «Первое сентября»

Интернет-ресурсы: lineyka.inf.ua; school-collection.edu.ru; slovari.yandex.ru; wikiboks.org; revolution.allbest.ru; trizland.ru.