Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Разработка серии уроков блочно –модульным методом «Арифметическая и геометрическая прогрессии» 9 класс Конспекты уроков + презентация

Разработка серии уроков блочно –модульным методом «Арифметическая и геометрическая прогрессии» 9 класс Конспекты уроков + презентация

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов


hello_html_168cdb1c.gifhello_html_m5006750d.gifhello_html_49beaf7e.gifhello_html_m2b2552fb.gifhello_html_5e8dd98b.gifhello_html_mcec2f65.gifhello_html_m4c7575d6.gifhello_html_m6163f679.gifhello_html_6b18fdea.gifhello_html_26d946c2.gifhello_html_4edda62a.gifhello_html_4edda62a.gifhello_html_4edda62a.gifhello_html_4edda62a.gifhello_html_283729be.gifhello_html_2567c080.gif

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 4 г.Беслана»






Разработка серии уроков блочно –модульным методом

«Арифметическая и геометрическая прогрессии»










Составила Шпак Марина Николаевна

учитель математики













Г.Беслан

2013-2014г.

Пояснительная записка

Тема «арифметическая и геометрическая прогрессии» изучается в курсе алгебры 9 класса.

Эта тема не имеет связи с остальным материалом основной школы. Последовательности- тема математического анализа, и было бы логичнее начинать с нее изучение начал математического анализа в старшей школе. Однако в стандарте математического образования она представлена в рамках основной школы, и её изучение является необходимым. Уровень обязательной подготовки характеризует следующий минимум, который должны достичь все учащиеся при изучении темы “Прогрессии”: правильно употреблять буквенную символику; составлять несложные буквенные выражения и формулы; осуществлять в формулах числовые подстановки и выполнять соответствующие вычисления. Изучение программного материала дает возможность учащимся познакомиться с арифметической и геометрической прогрессиями, применять формулы n-го члена и суммы n первых членов при решении задач. Некоторые задачи уже включены в первый раздел ГИА 9 класс 2012. Но эта тема 9 класса вызывает наибольшие трудности у учащихся при её изучении.

Поэтому, чтобы привлечь интерес к этой теме и в тоже время более прочно усвоить материал, предлагаю провести подачу материала в нетрадиционной форме т.е.в форме проекта «Последовательности в нашей жизни», причем при объяснении нового материала использовать блочно-модульный метод, а при закреплении –параллельное изучении арифметической и геометрической прогрессий.

Материал данной темы чрезвычайно удобен для упражнений в творческих умозаключениях по аналогии. Предполагается, что учащиеся в ходе реализации проекта помимо освоения учебного материала темы осознают его практическую значимость через поиск информации в различных источниках, наблюдение окружающей природы и деятельности человека. Определят явления, события, которые бы описывались числовыми закономерностями. Анализируя полученные данные, сделают попытки прогнозирования результатов на основе учебного материала темы.












Планирование учебного материала изучения темы «Прогрессии» (14 часов)



урока


Тема


Литература

1

2



3-5


6,7



8



9


10


11


12


13,14






Беседа

Определение арифметической и геометрической прогрессий,

основные формулы (лекция)


Решение задач на применение формул n-го члена арифметической и геометрической прогрессий


Решение задач на применение формул суммы n первых членов арифметической и геометрической прогрессий


Решение задач на применение формулы бесконечно убывающей геометрической прогрессии


Урок обобщения и систематизации знаний по основным формулам.


Зачет «Прогрессии»


Урок по устранению недочетов и корректировки знаний.



Контрольная работа № 4


Защита презентаций



§6 (п.6.1,6.2 ), §7 (п.7.1,7.2,7.3)


§6 (п.6.1), §7(п.7.1)


§6 (п.6.2), §7 (п.7.2)



§ 7 (п.7.3)


§6 , §7



§6 , §7


§6 , §7



§6 , §7

При планировании материала предполагалось, что тема последовательности уже изучена и поэтому не включена в план.

Образовательные стандарты.

Учащиеся должны знать: определение арифметической и геометрической прогрессии. Формулы общего члена арифметической и геометрической прогрессий, суммы первых нескольких членов арифметической и геометрической прогрессий.

Должны уметь: распознавать арифметические и геометрические прогрессии ; решать задачи с применением формулы общего члена и суммы нескольких первых членов, использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для расчетов по формулам, выражающим зависимости между реальными величинами.

Дидактические цели.

-различать в числовых последовательностях арифметические и геометрические прогрессии;

-приводить примеры явлений природы, процессов, событий, подчиняющимся числовым закономерностям;

-использовать знания по теме для решения практико – ориентированных задач;

- составлять задачи практического характера на вычисление элементов числовых прогрессий;

-осуществлять поиск информации в различных источниках, анализировать и обрабатывать данные;

-по этим данным прогнозировать развитие ситуаций, процессов, явлений;

-переформулировать условия задач из учебника в условия с практическим содержанием с последующим их решением;

Этап подготовки.

В начале изучения темы обновляется стенд «Это нужно знать», вывешиваются вопросы

к зачету, примерный вариант письменного зачета и тематической контрольной работы.

За две недели до начала проекта учащиеся получают задания для размышлений:

1. Выявите и запишите (через наблюдения), в окружающей природе и в деятельности Человека явления, события изменения в которых бы описывались числовыми данными в определенных закономерностях. Подчеркните те события, в которых:

каждое последующее событие по числовому значению отличалось от предыдущего на одно и тоже число;

каждое последующее событие по числовому значению отличалось от предыдущего в одно и тоже число раз.

2. Определите способы вычисления результата выявленных событий в любой момент времени.

3. Спрогнозируйте исход события.









Этап обучения.

Первый урок (беседа)

В ходе беседы (можно сопроводить презентацией) описываются события, течение которых происходило по законам прогрессий и привело к неожиданным для людей результатам.

Как заранее можно предвидеть результаты?

Как человек может предсказать будущее? ( с точки зрения математики).

Используя наработки учащихся в подготовительном этапе, создается список событий, явлений природы, процессов:

С какими явлениями природы, процессами, событиями, подчиняющимся числовым закономерностям сталкивается Человек и как он эти закономерности может использовать?

Каждая проблема обсуждается. И в ходе обсуждения идет распределение по группам предложенных проблем.

Например:

1.Как увеличится численность населения к 2020 году?

2.На сколько лет страна обеспечена теми или иными ресурсами?

3.Как можно доказать прогноз ученых, что Человечество погибнет от нехватки питьевой воды к 2033 году?

4.Как легко накопить деньги на подарок?

5.Какое количество делений необходимо для получения 625 особей амебы?

6.Какую сумму должен вернуть заемщик в банк через 3 года? И т.д.



После первого урока вывешивается информация о графиках выполнения работ и консультаций.

Учащиеся готовят ответы на проблемные вопросы во внеурочное время, исходя из своего опыта и имеющихся знаний.







Второй урок. (Объяснения нового материала)

Цели:

  1. Одновременное ознакомление учащихся с арифметической и геометрической прогрессией, с формулой n-го члена этих прогрессий, а так же с формулами суммы n-первых членов обеих прогрессий.

  2. Развивать самостоятельность мышления, зрительную память и познавательный интерес учащихся.

  3. Воспитание настойчивости, воли для достижения конечных результатов.

Оборудование: компьютер, мультимедиапроектор

Ход урока

1. Организационный момент.

2. Постановка целей урока.

Сегодня на уроке мы одновременно познакомимся с арифметической и геометрической прогрессией, определим закономерности и различие, проведём сравнение прогрессией, выведем формулы n-го члена арифметической и геометрической прогрессий, а так же формулы для нахождения суммы n-первых членов этих прогрессий и рассмотрим задачи на применение этих формул.

3. Устная работа. (Слайд 2) С помощью проектора на доске даны последовательности чисел

1) 1, 3, 5, 7, 9, … 1) 1, 2, 4, 8, …


2) 5, 8, 11, 14, … 2) 5, 15, 45, 135, …

3) -1, -2, -3, -4, … 3) 1; 0,1; 0,001; 0,0001; …

4) -2, -4, -6, -8, … 4) 1, http://festival.1september.ru/articles/532611/f_clip_image002.gif, http://festival.1september.ru/articles/532611/f_clip_image004.gif, http://festival.1september.ru/articles/532611/f_clip_image006.gif

Учащимся предлагается найти закономерности сначала в первом столбце, затем во втором.

Вывод: 1. Каждое следующее число отличается от предыдущего на одно и тоже число.

2. Каждое следующее число отличается от предыдущего в одно и тоже число раз.

Обозначим числа, получившиеся в первом столбце буквой d, а во втором- буквой q. Получим запись: (слайд 3)

1) d=2

2) d=3

3) d=-1

4) d=-2  

1) q=2

2) q=3

3) q=0.1

4) q=http://festival.1september.ru/articles/532611/f_clip_image002_0000.gif





4. Изучение нового материала.

Определение: (слайд4)



Последовательность

а1, а2, … аn, … называется в1, в2, … вn, … называется
арифметической прогрессией геометрической прогрессией

если для всех натуральных n выполняется равенство

аn+1 = аn+d вn+1 = вnhttp://festival.1september.ru/articles/532611/f_clip_image009.gifq

Исходя из формул делается выводслайд 5)

  • d>0

арифметическая прогрессия возрастающая

  • d<0

арифметическая прогрессия убывающая


  • q > 1

геометрическая прогрессия возрастающая

  • 0 < q < 1

геометрическая прогрессия убывающая


Прочитав подряд определения арифметической и геометрической прогрессий можно обратить внимание на то, что они похожи. Надо лишь заменить сложение умножением или наоборот.

Формула n-го числа прогрессий

Решим задание (слайд 6)

а1=1 
d=2 
Как найти а
2-? 
а
21+d=1+2=3 
А как найти
а
100-?

в1=1
q=2
в
2-?
в
2=1http://festival.1september.ru/articles/532611/f_clip_image009_0000.gif2=2

в
100-?

Для этого потребуется достаточно много времени и вычислений.

Поэтому необходимо вывести формулу по которой можно было бы вычислить любой член прогрессии.

Для этого нужны исходные данные. Какие?

Пусть заданны hello_html_m282dafd7.gif и d.

Пусть заданны hello_html_m66197ce2.gif и d

а2 = а1+d
а
3 = а2+d = а1+d+d = а1+2d
а
4 = а3+d = а1+3d

в2 = в1http://festival.1september.ru/articles/532611/f_clip_image009_0001.gif
в
3 = в2http://festival.1september.ru/articles/532611/f_clip_image009_0002.gifq = в1http://festival.1september.ru/articles/532611/f_clip_image009_0003.gifqhttp://festival.1september.ru/articles/532611/f_clip_image009_0004.gifq = в1http://festival.1september.ru/articles/532611/f_clip_image009_0005.gifq2 
в
4 = в1http://festival.1september.ru/articles/532611/f_clip_image009_0006.gifq3









Замечаете ли вы закономерности?

Итак, выводим формулу



аn = а1+(n-1)http://festival.1september.ru/articles/532611/f_clip_image009_0007.gifd

в4 = вnhttp://festival.1september.ru/articles/532611/f_clip_image009_0008.gifqn-1



Формула n-го члена

арифметической прогрессии

Формула n-го члена

геометрической прогрессии

Зная формулу n-го члена арифметической прогрессии, можно получить формулу для геометрической прогрессии, если заменить сложение умножением и умножение - возведением в степень.



Формула суммы n-первых членов прогрессий

Решим задание (слайд 7)

1.Определите сумму первых 5 четных чисел.

2. Определите сумму первых 60 четных чисел.


1. hello_html_m68bccacd.gif, q=2.

Найти сумму первых трех членов геометрической прогрессии.

2.hello_html_m2acd5abf.gif, q=0,5

Найти сумму первых трех членов геометрической прогрессии.


С первым заданием справиться легко, а вот со вторым необходимы определенные формулы. Это формулы 3,4,5 из следующей таблицы.

В итоге появляется запись в тетрадях: Блок (слайд 8)

Арифметическая прогрессия Геометрическая прогрессия



hello_html_6d8e31a1.gifn-й член

hello_html_53e98762.gifсреднее арифметическое









hello_html_2ed8f8ef.gifсумма n-первых членов





hello_html_2e5b68f0.gifсумма n-первых членов














hello_html_m79161c36.gifn-й член





hello_html_m1c4f669f.gifсреднее геометрическое

предшествующего и последующего членов



3) S=nhello_html_4e4a7fd9.gif при q=1

сумма n-первых членов



4)hello_html_72db83b5.gif при qhello_html_m61fc8c02.gif

сумма n-первых членов



5) S=hello_html_m6c0432d4.gif hello_html_m18a78139.gif сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии






«Родство» прогрессий становиться еще более заметным, если обратить внимание на характеристические свойства(формулы 2)

5.Решение задач на закрепление нового материала.

По учебнику выполнить № 622 и 655, № 626 и 657

6.Итог урока

Чтение и проговаривание формул.

7. Домашнее задание: Выучить формулы1 и 2. Выполнить №623, 658.









Третий урок

«Решение задач на применение формул n-го члена арифметической и геометрической прогрессий»

Цели: Образовательные.

-расширить и углубить знания о числовых последовательностях;

-совершенствовать навыки нахождения n-го члена арифметической и

геометрической прогрессий;

-показать практическое применение понятий арифметической и

геометрической прогрессий;

Развивающие.

- развивать познавательный интерес учащихся, учить видеть связь между

математикой и окружающей жизнью.

Ход урока

I Организационный момент: Сообщение темы и целей урока

II Проверка домашнего задания.

1)Индивидуальная работа:

2 учащихся выполняют на доске № 623,658

2 работают по карточкам на переносной доске

Карточка 1



Дано:hello_html_3eb76b18.gif арифметическая прогрессия

hello_html_mbba42c5.gif

Найти: hello_html_35ca906.gif

Карточка 2



Дано: hello_html_m3f710972.gif геометрическая прогрессия

hello_html_118295e2.gif=2

Найти: hello_html_6fd9ed42.gif






2)Фронтальная работа

  1. Что называется арифметической прогрессией?

  2. Что называется геометрической прогрессией?

  3. Как вычислить знаменатель геометрической прогрессии?

  4. Как вычислить разность арифметической прогрессии?

  5. Почему прогрессия называется арифметической?

  6. Почему прогрессия называется геометрической?

  7. К каким числам принадлежит n?

  8. Как записывается формула n-го члена арифметической прогрессии?

  9. Как записывается формула n-го члена геометрической прогрессии?

  10. Как записывается формула среднего арифметического предшествующего и последующего членов?

  11. Как записывается формула среднего геометрического предшествующего и последующего членов?

  12. Приведите примеры арифметической и геометрической прогрессии из окружающей жизни.

3) Проверить и прокомментировать работу учащихся у доски

III Выработка навыков при работе с формулами по учебнику.

629 (а,б)

В арифметической прогрессии hello_html_7de58082.gifнайдите: а) hello_html_m4d14b8be.gif

б)hello_html_m263a16c2.gif

630(а,в)

В арифметической прогрессии hello_html_7de58082.gifнайдите: а)hello_html_16f4e7c4.gif, если hello_html_m5f37e5a8.gif=120

в)hello_html_3c6787af.gif hello_html_45b733d2.gif

659(а,б)

Задана геометрическая прогрессия hello_html_m3f710972.gif.Вычислите: а) hello_html_m6c97ff71.gif

б) а) hello_html_5352361b.gif

IV Развитие познавательного интереса учащихся.

Из решенных задач, выбрать две на арифметическую и геометрическую прогрессии. Переформулировать их так, чтобы показать связь между окружающей жизнью и математикой.

Например:

  1. Мяч, падающий с высоты в 1-ю секунду проходит 5м, за 3-ю секунду мяч пройдет 13м . Какое расстояние пройдет мяч за 6-ю секунду?

  2. В первый день температура воздуха была -2°. В каждый следующий день, ожидалось потепление в 3 раза. Какой будет температура на 40й день?



V Подведение итогов урока, оценки.



VI Домашнее задание: № 630(б), 631(б), 959(в,г)

Четвертый урок.

«Решение задач на применение формул n-го члена арифметической и геометрической прогрессий»

Цели: Образовательные

-Расширить знания об арифметической и геометрической прогрессиях;

-Рассмотреть практическую направленность материала;

-Закрепить навыки нахождения и использования среднего арифметического и среднего геометрического;

Развивающие

-Развивать умения преодолевать трудности при решении математических задач;

-Развивать познавательный интерес учащихся.

Ход урока

I Организационный момент : Сообщение темы и целей урока

II Устная работа

а)Фронтальная работа

  1. Что называется арифметической прогрессией?

  2. Что называется геометрической прогрессией?

  3. Как вычислить знаменатель геометрической прогрессии?

  4. Как вычислить разность арифметической прогрессии?

  5. Почему прогрессия называется арифметической?

  6. Почему прогрессия называется геометрической?

  7. К каким числам принадлежит n?

  8. Как записывается формула n-го члена арифметической прогрессии?

  9. Как записывается формула n-го члена геометрической прогрессии?

  10. Как записывается формула среднего арифметического предшествующего и последующего членов?

  11. Как записывается формула среднего геометрического предшествующего и последующего членов?

  12. Приведите примеры арифметической и геометрической прогрессии из окружающей жизни.

б) Задание классу (слайд 9 )





Вставьте в числовую последовательность число вместо ? знака.

Какая из них является прогрессией?



2004; 2008; ? ;2016…

2; 6; ? ;24..

32; ? ; 8; 4…

7; ?; 13; 16…

15; 19; ? ; 27…

5; 15; ? ;135…

Далее один из учащихся дает небольшую справку о прогрессиях

«Имея дело с прогрессиями, мы как бы даем себе установку «Понять и, быть тем первым, который увидит ход их решения», а нам сегодня на уроке надо двигаться только вперед, т.к.слово «Прогрессия» в переводе с греческого языка обозначает движение вперед.

На связь между прогрессиями первым по-видимому обратил Архимед. В 1544г. Вышла книга немецкого математика М.Штифеля «Общая арифметика». Штифель составил таблицу (рис. и слайд10)(учащимся предлагается записать в тетрадь этот интересный факт)

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

hello_html_m12cf78a7.gif

hello_html_m6e3ecaf7.gif

hello_html_685d8d49.gif

hello_html_6eec8aff.gif

1

2

4

8

16

32

64

128

В верхней строке - арифметическая прогрессия с разностью 1. В нижней строке- геометрическая прогрессия со знаменателем 2.Расположены они так, что нулю арифметической прогрессии соответствует единица геометрической прогрессии. Это очень важный факт. А теперь представим себе, что мы не умеем умножать и делить, но нам понадобилось умножить, например, hello_html_6eec8aff.gif на 128. В таблице над hello_html_6eec8aff.gif написано -1, а над 128 написано 7. Сложим эти числа. Получилось 6. Под шестеркой читаем 64. Это и есть искомое произведение.

Другой пример. Разделим 32 на 8. Поступаем аналогично. Над числом 32 стоит 5, над числом 8 стоит 3. От 5отнимаем 3, получаем 2. Под 2 стоит 4. Это и есть искомый ответ.

hello_html_742e0600.gif

hello_html_mfd2afdd.gif

hello_html_321753ee.gif

hello_html_1130e3d4.gif

hello_html_4dd87605.gif

hello_html_4c2bd5c5.gif

hello_html_m48b14914.gif

hello_html_m509ca953.gif

hello_html_m7cd4ca82.gif

hello_html_2b0f1414.gif

hello_html_1aa77756.gif

hello_html_m5331aa98.gif

Если вспомнить тождество hello_html_634fbb96.gif, то нижнюю строчку таблицы Штифеля можно переписать так:



Не трудно сообразить: -1 + 7 =6 5 - 3 = 2

hello_html_m3c34ab06.gifhello_html_49dc2231.gif=hello_html_m48b14914.gif

Вывод: «Если показатели составляют арифметическую прогрессию, то сами степени составляют геометрическую прогрессию»

III Закрепление изученного материала.(применение формул 2)

Учащиеся вспоминают формулы, проговаривают их, а затем появляется (слайд 11)

а1, а2, … аn, … 

арифметическая прогрессия



hello_html_m1372cba4.gifсреднее арифметическое





в1, в2, … вn, …

геометрическая прогрессия



hello_html_1d192747.gifсреднее геометрическое

предшествующего и последующего членов




Решить задания с применением этих формул

1 Найти hello_html_147abd79.gif если hello_html_m6a97288f.gif для арифметической прогрессии



2Доказать, что hello_html_2c88451.gif 7,11,15,19,23… является арифметической прогрессией

1 Для геометрической прогрессии (hello_html_md37f92.gif hello_html_m3ce692c1.gif hello_html_m6d1029e7.gif.Найти: hello_html_2e893c6d.gif



2В геометрической прогрессии hello_html_m7d6de95d.gif



IV Итог урока: 1)Повторить формулы 1,2 из таблицы 1-го урок 2)Выставление оценок

3)Что нового узнали на уроке?

V Домашнее задание: Повторить определения, формулы 1,2 из таблицы,

660(б), 661(а), 635(а,в)





Пятый урок.

«Решение задач на применение формул n-го члена

арифметической и геометрической прогрессий»

Цели: Образовательные

-Обобщить и систематизировать знания учащихся по формулам 1, 2 (табл.)

-развивать умения и навыки применять формулы при решении задач

Развивающие

-Прививать интерес к предмету, посредством связи с окружающей жизнью.

Ход урока

I Организационный момент : Сообщение темы и целей урока

II Проверка домашнего задания.

Разобрать у доски номер из Д/З, который вызвал наибольшее затруднение.

III Устно.

  1. Проверить знание формул. Закрыв учебники заполнить таблицу (работая в паре)



 

Арифметическая прогрессия

Геометрическая прогрессия

Примеры

 

 

Определение

 

 

Рекуррентная формула

 

 

Формула n-го члена

 

 

Характеристическое свойство

 

 

Общий вид формулы n-го члена

 

 

Формула суммы n первых членов.

 

 



IV Решение задач (слайды 12-18)

1.

Одна из двух данных последовательностей является арифметической прогрессией, другая – геометрической:

-15,-12,-9,-6,-3,0….. d=3

32,16,8,4,2,1….. q=hello_html_6eec8aff.gif

1. Продолжите каждую из этих прогрессий и назовите следующие три её члена

2.Укажите формулу n-го члена арифметической прогрессии

3.Является ли число 72 членом данной прогрессии?

hello_html_m6a3e3db8.gifhello_html_m4c5c1c30.gif4. Укажите формулу n-го члена геометрической прогрессии.

А. аn= -3n-15; А. В.

hello_html_m111dbd85.gifhello_html_3bed2588.gifВ. an= 3n-18;

hello_html_m3afae4dc.gifГ. an= -3n+18; Б. Г.

hello_html_28072b33.gif

hello_html_m3fabae2f.gif



hello_html_7499eaef.gif

hello_html_421bd513.gif



hello_html_m116877ff.gif



hello_html_7df0a311.gif



























Шестой урок

«Решение задач на применение формул суммы n первых членов

арифметической и геометрической прогрессий»


Цели:

-Рассмотреть более подробно формулы суммы n-первых членов арифметической и геометрической прогрессий


-Сформировать у учащихся умение применять данную формулу при решении задач


-Развивать навыки самостоятельной работы

Ход урока

I Организационный момент : Сообщение темы и целей урока

II Устно

-Определение арифметической прогрессии + формулы

-Определение геометрической прогрессии + формулы, с последующей записью на доске.

Самостоятельная работа

(Текст взят из дидактических материалов «Алгебра 9» М.К.Потапов, А.В.Шевкин)

С/Р №18 задания 1,2 и С/р № 19 задания 1,2

Формирование новых знаний и умений.

Рассмотрим более подробно формулы 3,4,5 из таблицы 1-го урока. Разделим тетрадь на две части:

Задание

Найти сумму S=1+2+3+…+100. Обратить внимание, что сумма членов арифметической прогрессии, равностоящих от её концов, есть величина постоянная 1+100=2+99=3+98=…

В общем виде:

hello_html_m189a7370.gif

Действительно,

hello_html_56b677db.gif

hello_html_m5ac458d6.gif

и т.д.

Сколько таких пар? (50)

S=101hello_html_79c0f69b.gif50=5050

Выведем формулу n –первых членов арифметической прогрессии

hello_html_m5ad686fe.gif

S=hello_html_m6d91ca57.gif+…+hello_html_552d7a35.gif

Сложим эти два равенства почленно

2S=hello_html_7e894421.gif+hello_html_6988aecb.gif+(hello_html_m44076a5b.gif

Сумма каждой пары равна hello_html_58d19b1f.gif, число пар n, значит:

2S=hello_html_m57196c7c.gif

hello_html_m734076d1.gif(3)

или

hello_html_6e616c58.gifследовательно



hello_html_m16f7abf5.gif(4)










Задание

Найти:hello_html_m45198cab.gif, где hello_html_m44a33df0.gifгеометрическая прогрессия



S=nhello_html_4e4a7fd9.gif при q=1 (3)

сумма n-первых членов





hello_html_72db83b5.gifпри qhello_html_m61fc8c02.gif (4)

При q=1 формула очевидна.

При qhello_html_m61fc8c02.gifСправедливы очевидные равенства:

hello_html_6d775a4d.gif



hello_html_a508244.gifи т.к. qhello_html_m618c3913.gif

hello_html_72db83b5.gifпри qhello_html_m61fc8c02.gif (4)

Эта формула удобна, если qhello_html_m547fa93c.gif.

Если же qhello_html_m1b8a79e4.gif то

hello_html_11852162.gif

hello_html_m751eb972.gifпри qhello_html_m61fc8c02.gif (5)












III Закрепление новых знаний и умений

Пример 1. В арифметической прогрессииhello_html_7de58082.gif, hello_html_m4ff449f4.gif

Пример 2. В арифметической прогрессииhello_html_7de58082.gif, hello_html_m2d628e19.gif

Пример 3. В геометрической прогрессииhello_html_m3f710972.gif, hello_html_m19069ff5.gif

Пример 4. В геометрической прогрессииhello_html_m3f710972.gif, hello_html_6dc41f9.gif

IV Итоги урока: повторить формулы

V Домашнее задание: №639(б), 640(б),665(в).



Седьмой урок

«Решение задач на применение формул суммы n первых членов

арифметической и геометрической прогрессий»


Цели:

-Продолжить формирование у учащихся умений применять формулы суммы n-первых членов арифметической и геометрической прогрессий к решению задач


-Закрепить умения решать задачи практического характера


-Развивать навыки групповой работы

Ход урока

I Организационный момент : Сообщение темы и целей урока

II Проверка домашнего задания.

3 учащихся у доски выполняют Д/З №639(б),№640(б),№665(в)

Остальные учащиеся делятся на группы. Каждая группа выполняет задание для одной из прогрессий. Вся информация записывается в таблицу, заранее записанную на доске.

название

определение

Формула n-го

члена

характеристическое

свойство

Формула суммы

n-первых членов

арифметическая





геометрическая







III Работа с карточками

Группы получают карточки с задачей, а также вопросы к ней.

Карточка 1

Вертикальные стержни фермы имеют такую длину: наименьший 5 дм, а каждый следующий на 2дм длиннее. Найдите длину семи стержней.

Задание.

Запишите последовательность в соответствии с условиями задачи.


Карточка 2

В благоприятных условиях бактерии размножаются так, что на протяжении одной минуты, одна из них делится на две.



Задание.

Запишите последовательность в соответствии с условиями задачи.




В процессе работы учащиеся следят за ответами товарищей, делают записи в тетради и готовятся ответить на предложенные задания.



IV Решение задач (работа с учебником)

Группы меняются местами.

Те кто работал с арифметической прогрессией, выполняют № 665(б,г), 667(а,б), 669(б), а те кто работал с геометрической прогрессией, выполняют № 641(б,г), 643(а,б), 648.

V Итог урока.

Решить задачи практического характера

1 Курс воздушных ванн начинается с 15минут в первый день и увеличивают время этой процедуры в каждый следующий день на 10 минут. Сколько дней следует принимать воздушные ванны в указанном режиме, чтобы достичь их максимальной продолжительности 1ч 45мин?

2 Вкладчик 1 января 2011г внес в сберегательный банк 10000руб. Какова будет сумма его вклада на 1 января 2012г, если сбербанк начисляет ежегодно 7% годовых?

VI Домашнее задание: 1) №641(а,в), 646(а,в), 666, 669(а)

2)Заполнить таблицу для другой прогрессии



















Восьмой урок

«Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия»

Цели:

-рассмотреть формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии;

-закрепить материал при решении примеров;

-проверить качество знаний учащихся пройденного материала и уровень его усвоения.

Ход урока

I Организационный момент. Сообщение темы и целей урока

II Устная работа.

1)Двое учащихся пишут формулы для арифметической и геометрической прогрессий


2)Остальные решают задачи


1.

Срочный вклад, положенный в сберегательный банк ежегодно увеличивается на 5%. Каким станет вклад через 8 лет, если вначале он был равен 1000рублей?

(1000;1050;1102,5;1157,625…)

Как получается второй член последовательности? 3-й,8-ой?

(умножением предыдущего на 1,05)

2

Бактерия за 1секунду делится на 3. Сколько бактерий будет в пробирке через 5 секунд (1;3;9;27;…)

Как получается 2-й член, 3-й, 5-й? (умножением предыдущего на 3)

3

Для геометрической прогрессии hello_html_m3f710972.gif, заданной формулой hello_html_6a556884.gif.

Найдите:hello_html_3b707d47.gif

4

В геометрической прогрессии, все члены которой положительные,hello_html_m2678933b.gif

Найдите:hello_html_ma32a5ea.gif


III Самостоятельная работа

1.

Найти сумму шести первых членов геометрической прогрессии hello_html_m3f710972.gif, если hello_html_72f01bc3.gif

hello_html_m23e21b86.gif

2 Найти сумму первых членов геометрической прогрессии 5;-2;5 (5; -3…)

3.Найти сумму четырех первых членов геометрической прогрессии hello_html_m3f710972.gif, если

hello_html_5dfe5304.gifhello_html_37dbf479.gif4 Найти первый член геометрической прогрессии, в которой q=hello_html_681d5cdb.gif

(q=hello_html_14357c20.gif)

IV Изучение нового материала.

Перед объяснением материала рассмотреть устные упражнения:

К какому числу стремиться значение дроби при неограниченном возрастании n (nhello_html_m2e28bbd1.gifN)

Т.е. при nhello_html_m4e78fe2c.gif:

1)hello_html_2e1d8409.gif: hello_html_m40038837.gif

5)hello_html_6042c6b5.gif 6)2+hello_html_2bee0e5f.gif

Объяснение нового материала построить в соответствии с учебником.

Решить примеры 1,2,3 по учебнику стр.135

V Итог урока. Значимость прогрессий в окружающей жизни.

Домашнее задание. П.7.3 № 674(а,г), 675(1-й столбик)























Девятый урок

«Обобщение и систематизация знаний»

Цели:

Образовательные

-обобщить и систематизировать теоретические и практические знания по арифметической и геометрической прогрессиям;

-совершенствовать навыки нахождения n-го члена и суммы n первых членов арифметической и геометрической прогрессий с помощью формул;

Развивающие

-развивать познавательный интерес учащихся и грамотную математическую речь;

Воспитательные

-воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов.

Ход урока

I Организационный момент (Слайд 19)

Прогрессии мы с вами изучали

И много новых формул вы узнали

Различные задачи прорешали

И вот теперь настал тот час

И вы конечно же должны узнать,

А применимы ли прогрессии в жизни сейчас?



Мы с вами знаем ребята из предыдущих уроков, что слово «прогрессио» обозначает движение вперед, поэтому мы совместными усилиями будем продвигаться вперед, преодолевая все препятствия. Сегодня у нас с вами итоговый урок по теме «Прогрессии». Мы должны будем повторить и обобщить пройденный материал, а также подготовиться к зачету, который проведем на следующем уроке.

Перед вами задача- показать , как вы знаете формулы прогрессии и умеете их применять при решении различных задач.



II Индивидуальная работа

К доске приглашаются 4 учащихся, которые желают поработать индивидуально.

Карточка 1

Карточка 2

Карточка 3

Карточка 4

Дано: а10=126,
d=4.
Найти:
а1. 

Подготовку к экзамену начинают с 15 мин. В каждый следующий день её время увеличивают на 10 мин. Сколько дней следует готовиться к экзамену в указанном режиме, чтобы достичь максимальной продолжительности подготовки, не влияющей на здоровье подростка, 1час 45минут?

Дана конечная геометрическая прогрессия hello_html_m168041c9.gif.Найдите n, если известны:

hello_html_m739e326f.gif


III Фронтальная работа

Остальные работают все вместе

Даны примеры последовательностей. Определите, какая последовательность является

« арифметической или геометрической прогрессией», ответы запишите

на листочках, найдите разность и знаменатель .(слайд 20)

  1. 2; 5; 8; 11; 14; 17…

  2. 3; 9; 27; 81; 243; …

  3. 1; 6; 11; 20; 25;…

  4. -4; -8; -16; -32;…

  5. 5; 25; 35; 45;55…

  6. -2; -4 -6;-8; -10;…

Проверим решение.(слайд)

Ответ (слайд 20)

1) 2; 5; 8; 11; 14; 17;…

арифметическая прогрессия d =3.

2) 3; 9; 27; 81; 243;…

геометрическая прогрессия q =3.

3) 1; 64 11; 20; 25;

последовательность чисел

4) -4; -8; -16; -32;…

геометрическая прогрессия q =2.

5) 5; 25; 35; 45; 55; ..

последовательность чисел.

6) -2; -4; -6; -8; -10; …

арифметическая прогрессия d = -2..

Вопросы по проверке теоретического уровня знаний.

  1. Какая последовательность называется арифметической прогрессией?

  2. какая последовательность называется геометрической прогрессией?

  3. Как вычислить разность арифметической прогрессии ?

  4. Как вычислить знаменатель геометрической прогрессии?

  5. Почему прогрессия называется арифметической?

  6. Почему прогрессия называется геометрической?

  7. Какому множеству чисел принадлежит число п ?

При ответах на вопросы использовать слайды из предыдущих уроков.

III Историческая справка. Слова учителя.

В XVIII в в английских и французских .учебниках появились обозначения арифметической и геометрической прогрессий .Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям , были известны китайским и индийским ученым. Например Ариабхатта (Vв.) знал формулы для общего члена и суммы арифметической прогрессии.

В клинописных вавилонских табличках и египетских папирусах встречаются задачи на прогрессии и указания как их решать.В древнеегипетском папирусе Ахмеса ( около 2000 лет до н.э) приводится такая задача:

«Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 людьми так, чтобы разность мер ячменя , полученного каждым человеком и его соседом , равнялось 1/8 меры»

  • Эпизод из жизни Карла Гаусса.(Слайд 21)

Однажды на уроке, чтобы занять первоклассников, пока он будет заниматься с учениками третьего класса, учитель велел сложить все числа от 1 до 100, надеясь, что это займет много времени. Но маленький Гаусс сразу сообразил, что 1+100=101, 2+99=101 и т.д. И таких чисел будет 50. Осталось 101 умножить на 50. это мальчик сделал в уме. Едва учитель закончил чтение условия, он предъявил ответ, записанный на грифельной доске. Изумленный учитель понял, что это самый способный ученик в его практике. В дальнейшем Гаусс сделал много замечательных открытий. Его даже назвали «царем математики».



Слайд 22

Выполните задания.
В восточных странах Китае, Корее, Японии и других, люди едят при помощи палочек. Часто их делают из бамбука, древесины, слоновой кости и металла. В Китае такие палочки называют «Куайцзы».
Узнайте как палочки для еды называют в Японии. Для этого выполните задания , учитывая. Что (а
п)- арифметическая прогрессии. Зачеркните в таблице буквы, соответствующие найденным ответам.
1) а
1 =20; d =4. Найдите а5 ; 2) а1 =1,7 ; в =- 0,2 ; Найдите а8.
3) -8 ; -6,5; … Найдите а
4 ; 4) а8 = -14; а10 = -9,5. Найдите d.


-3,5

3,5

36

0,3

33

-2,5

2,5

0,7

Г

Х

У

Ф

А

С

Е

И



Ответ: Хаси.

А как применимы прогрессии сейчас?

Задача №2. (Слайд 23)

Представьте себе , что ты прораб на стройке. Привезли и выгрузили большое количество труб. Нужно быстро определить , чтобы закрыть наряд шоферу, сколько труб. Как это сделать? Какое рационализаторское предложение внесешь по транспортировке и укладке труб?

Ответ к задаче №2. (Слайд23)

В данном случае нужно выбрать такую форму контейнера, или захвата для выгрузки, чтобы подсчет труб осуществлялся по простым формулам. Один из способов – использовать естественное расположение труб штабелем так, чтобы в каждом верхнем ряду количество оказывается на единицу меньше, чем в предыдущем нижнем, т.е числа труб в последовательных рядах образуют арифметическую прогрессию.







Задача №3. (Слайд 24)



Ребенок заболеет ветрянкой, если в его организме окажется не менее 27000 вирусов ветряной оспы. Если заранее не сделана прививка от ветрянки, то каждый день число попавших в организм вирусов утраивается. Если в течении 6 дней после попадания инфекции болезнь не наступает, организм начинает вырабатывать антитела, прекращающие размножение вирусов. Какое минимальное количество вирусов должно попасть в организм, чтобы ребенок, которому не сделали прививку, заболел?



Эта задача является примером геометрической прогрессии, где Sn =27000, а найти надо b1, при п =6, и

q =3; 27000= b1 (36 -1):(3-1); b1 ≈ 75.

В одном из древнегреческих папирусов приводится следующая задача:

«Имеется 7 домов, в каждом доме по 7 кошек, каждая кошка съедает по 7 мышей , каждая мышь съедает 7 колосьев, каждый из которых, если посеять зерно, дает 7 мер зерна. Нужно посчитать сумму мер зерна». Её и задачу следующего слайда вам предлагается выполнить дома.(Слайд 26)



Вкладчик 27 июля 2007 г. внес в сберегательный банк 7000 руб. Какова будет сумма его вклада на 27 июля 2014г., если сбербанк начисляет ежегодно 7 % годовых ?



Слайд 26

Все формулы мы с вами повторили.

Я думаю урок успешно завершили.

К зачету подготовились, узнали,

Зачем прогрессию так долго изучали.







Десятый урок

Урок-зачет по главе «Прогрессии»


Оборудование: карточки для письменной и устной части зачета в трех вариантах.

Форма проведения урока: индивидуальное выполнение заданий; фронтальная проверка и коррекция.


Ход урока

I этап (подготовительный)

Пожелание удачи всем учащимся при сдаче зачета;

II этап (зачет в письменной и устной формах)

Задания для письменной части зачета

1 вариант (I уровень)

1. Выпишите первые пять членов арифметической прогрессии 1; 1,5; …

2. Первый член арифметической прогрессии равен -3, а разность равна 5.

Найдите сумму первых двадцати ее членов.

3. В геометрической прогрессии (bn) b1 = 81; q = ⅓. Найдите b6.

4. Найдите сумму шести членов геометрической прогрессии (сn), если с6= 64; q = 2.

5.Найдите сумму всех натуральных нечетных чисел, не превосходящих 37.

2, 3 варианты (II уровень)



2 вариант

3 вариант

1. Найдите сумму десяти первых членов арифметической прогрессии (аn), если:

а1 = 11 и а2 = 6

а1 = -5,6 и а2 = -4,8

2. Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии (bn), если:

b1 = -0,3 и b2 = -0,6

b1 = 2 и b2 = √3

3. Является ли число 100 членом арифметической прогрессии (аn), если:

а1 = 10 и а2 =14?

а1 = 7 и а2 = 12?

4. Найдите с1 , если (сn) – арифметическая прогрессия:

с1 + с6 = 26,

с2 + с3 = 18.

с1 + с5 = 20,

с2 + с3 = 17.

6. Докажите, что последовательность (bn), заданная формулой bn = 4 3п+1 , является геометрической прогрессией.

6. Докажите, что для членов геометрической прогрессии (bn) выполняется равенство

b8 · b12 = b6 · b14



Задания и вопросы к устной части зачета

1. Что такое последовательность? Приведите пример убывающей последовательности.

2. Задайте формулой п члена бесконечную возрастающую последовательность

всех четных натуральных чисел.

3.Приведите пример последовательности, которую вы можете задать формулой

n члена и рекуррентно.

4.Назовите первые четыре члена последовательности, заданной рекуррентно:

с1 = 1, с2 = 2, сп+2 = сп+1 - сn .

5. Какая последовательность называется арифметической прогрессией?

6. Какая последовательность называется геометрической прогрессией?

7. Каждый член арифметической прогрессии увеличили на 2. Является ли

полученная таким образом последовательность арифметической прогрессией?

8. Каждый член геометрической прогрессии уменьшили в 2 раза. Является ли полученная таким образом последовательность геометрической прогрессией?

9. Запишите формулу п-го члена арифметической прогрессии.

10. Запишите формулу п-го члена Задайте формулой п-го члена.

11. Задайте формулой п-го члена арифметическую прогрессию 15; 12; …

12. Задайте формулой п-го члена геометрическую прогрессию 0,16; 0,4; …

13. Запишите формулу суммы первых п членов арифметической прогрессии.

14. Запишите формулу суммы первых п членов геометрической прогрессии.

III этап

Подведение итогов зачета, коррекционная работа по устранению недочетов в знаниях учащихся.

Домашнее задание: выполнить задания из ГИА вариант7-№6 и вариант11-№7

11-й урок

«Урок по устранению недочетов и корректировки знаний»

Цели:

-Подведение итогов зачета;

-Корректировка по устранению недочетов и пробелов в знаниях учащихся.

Ход урока

1)Группа учащихся, получивших на зачете «5» выполняют задания из ГИА

Вариант 8,№6

Вариант 9, №7

Вариант 10, №7

Вариант 12, №7

2)Остальные, математический диктант



1. Запишите формулу, по которой можно найти неизвестный 25-й член арифметической прогрессии, если известен предыдущий член и разность.

2. Вычислите 7-й член геометрической прогрессии, если известно, что 6-й член равен 50, а знаменатель 0,1.

3. Запишите формулу по которой можно вычислить 37-й член геометрической прогрессии, если вам известен первый член и знаменатель.

4. Запишите формулу, по которой можно найти неизвестный 16-й член арифметической прогрессии, если известен первый член и разность.

5. Вычислите 6-й член геометрической прогрессии, если ее первый член 3, а знаменатель равен 2.

6. Найдите первый член арифметической прогрессии, если ее десятый член равен 5, а разность 4.

7. Запишите формулу для нахождения первого члена геометрической прогрессии, если известен п-й член и знаменатель.

8. Выразите разность арифметической прогрессии из рекуррентного правила.

9. Выразите разность из формулы п-го члена арифметической прогрессии.

10. Выразите знаменатель геометрической прогрессии из рекуррентного правила.

11. Выразите знаменатель из формулы п-го члена геометрической прогрессии.

Взаимопроверка ответов в парах и выставление оценок.

Критерии оценок:

5 -6 правильно выполненных заданий выставляется отметка «3»;

7 – 8 заданий выставляется отметка «4»;

9 -11 заданий выставляется отметка «5».


Решение задач

1Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 4 и не превосходящих 120.

2Найдите сумму третьего и 13-го членов арифметической прогрессии, если её

восьмой член равен 25.

3 В геометрической прогрессии hello_html_37c5293e.gifайдите hello_html_m2e587e64.gif.

4 Вычислите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии 36;-18;…

Итог урока (формулы из таблицы 2-го урока повторить)

Домашнее задание: К/Р №5 ,вариант 3, №1,2,3. и К/Р №4, вариант 3, № 1,2,4,5.

Дидактические материалы стр.114 и 115.





























12-й урок Контрольная работа № 4

Цели: выявить степень усвоения учащимися изученного материала;

развитие навыков самостоятельной и творческой работы.

Ход урока

I Организация учащихся на выполнение работы.

II Выполнение работы по вариантам.



Вариант 1

1. Выберите арифметическую прогрессию из последовательностей:

а) 55; 44; 33; 22; 11; б) 0,3; 0,03; 0,003; в) hello_html_7df2c5.gif; hello_html_4ba3e485.gif; hello_html_5fd7ccf6.gif;hello_html_m45ef29f5.gif; hello_html_20fe156f.gif.

2.Найдите пятый член геометрической прогрессии 1; hello_html_20fe156f.gif; hello_html_5fd7ccf6.gif; …

3.Найдите сумму первых шести членов арифметической прогрессии, если её 11-ый член и разность соответственно равны 32 и 3.

4. Найдите сумму всех двузначных чисел, кратных 3.

5.В геометрической прогрессии сумма первых четырёх членов равна 60, а сумма первого и третьего членов равна 20. Найдите знаменатель данной прогрессии.

Вариант 2

1. Выберите арифметическую прогрессию из последовательностей:

а) 11; 22; 33; 44; 55 б) 0,003; 0,03; 0,3 в) hello_html_20fe156f.gif; hello_html_m45ef29f5.gif; hello_html_5fd7ccf6.gif;hello_html_4ba3e485.gif; hello_html_7df2c5.gif.

2.Найдите пятый член геометрической прогрессии 1; hello_html_m45ef29f5.gif; hello_html_m11eaee00.gif; …

3.Найдите сумму первых восьми членов арифметической прогрессии, если её 12-ый член

и разность соответственно равны 25 и 2.

4.Найдите сумму всех двузначных чисел, кратных 6.


5.В геометрической прогрессии сумма первых четырёх членов равна 40, а сумма второго и четвёртого членов равна 30. Найдите знаменатель данной прогрессии.

III Домашнее задание

Докончить работу над презентацией

13-й и 14-й уроки «Защита презентаций»

Литература



1.Учебник «Алгебра 9» С.М.Никольский М.Просвещение 2013г.

2.Программа общеобразовательных учреждений «Алгебра 7-9классы»

М. Просвещение 2013г.

3.ГИА-9 «Математика 9класс» под редакцией Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова

4.Дидактические материалы «Алгебра-9» М.К.Потапов, А.В.Шевкин

5.Газеты «Математика» и журналы «Математика в школе» 2012-2014г.











Общая информация

Номер материала: ДВ-254463

Похожие материалы