Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Разработка системы уроков итогового повторения в 11 классе на тему "Отбор корней в тригонометрическом уравнении"

Разработка системы уроков итогового повторения в 11 классе на тему "Отбор корней в тригонометрическом уравнении"

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Разработка системы уроков итогового повторения по теме «Отбор корней в тригонометрических уравнениях»


  1. Примерное планирование учебного времени на повторение темы «Отбор корней в тригонометрических уравнениях» 11 класс (приблизительно 8 часов)

Содержание занятий

Количество часов

Простейшие тригонометрические уравнения

2

Общие и частные случаи решения тригонометрических уравнений

1

Деление множеств корней уравнений sinx=a и cosx=a на две группы с целью упрощения дальнейшего отбора корней при решении тригонометрических уравнений.

1

Виды тригонометрических уравнений и методы их решения

2

Виды тригонометрических уравнений: однородные и неоднородные

1

Применение метода замены переменной и разложения на множители при решении тригонометрических уравнений

1

Отбор корней при решении тригонометрических уравнений

3

Отбор корней в тригонометрическом уравнении разными методами

1

Отбор корней тригонометрических уравнений с помощью решения двойного неравенства, с помощью графиков тригонометрических функций

1

Отбор корней тригонометрических уравнений с помощью единичной окружности, перебором целых значений

1

Итоговая проверочная работа по теме «Отбор корней в тригонометрических уравнениях»

1



  1. План – конспект урока по теме «Отбор корней тригонометрических уравнений разными способами»

Цели:

- повторить основные тригонометрические формулы и закрепить их знания в ходе выполнения упражнений;

-развивать вычислительные навыки, логическое мышление, навыки контроля и самоконтроля, умение работать с компьютерной презентацией;

-воспитание ответственного отношения к учебному труду, воли и настойчивости для достижения конечных результатов;

-повторить основные способы отбора корней при решении тригонометрических уравнений: 
аналитический, графический, по единичной окружности, перебором целых значений.

Девиз урока: “Сегодня – мы учимся вместе: я, ваш учитель и вы мои ученики. Но в будущем ученик должен превзойти учителя, иначе в науке не будет прогресса ”. (Сухомлинский)

План урока:

  1. Актуализация. Организационный момент.

  2. Контроль знаний учащимися тригонометрических формул.

  3. Контроль знания формул для решения простейших тригонометрических уравнений.

(Работа в парах, взаимоконтроль).

  1. Работа по теме урока. Решение задач (работа у доски, работа в группах – по рядам)

  2. Рефлексия

  3. Домашнее задание. Итог урока

Тип урока: обобщающий

Оборудоание: дидактические карточки, мультимедийная аппаратура.

Ход урока:

  1. Актуализация. Организационный момент.



Проверка готовности учащихся к уроку.

  1. Контроль знаний учащимися тригонометрических формул.


У доски 3 учащихся записывают известные тригонометрические формулы:

1 учащийся: Формулы, которые устанавливают соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же угла.

2 учащийся: Формулы сложения.

3 учащийся: Формулы суммы и разности и разности тригонометрических функций.

В это время с остальными учащимисяся провести устную разминку.

Устная разминка (задания на экране):

1.Какому выражению соответствует значение hello_html_m25078a68.gif ?

а) sin30hello_html_300166f8.gif; б) coshello_html_736c1407.gif; в) tghello_html_1af96093.gif

2.Выбрать возможный вариант.

а) sin =hello_html_1af96093.gif; б) cos = hello_html_m487b4b13.gif-2; в) sin = -3,7.

3. Какой из углов является углом II четверти?

а) hello_html_6f2439b2.gif; б) –145 ; в) hello_html_39d21ff4.gif

4.В каких четвертях sin и cos имеют разные знаки?

а) II, III и IV; б) I и III; в) I и IV.


5. Каким выражением можно заменить hello_html_m41930a84.gif?

а) cos ; б) sin ; в) - sin.

  1. Контроль знания формул для решения простейших тригонометрических уравнений.

(Работа в парах).

Задание: заполнить 3 столбец таблицы: формулы решения простейших тригонометрических уравнений. Распечатки с заполненными двумя столбцами раздаются каждому обучающемуcz/ Учащиеся заполняют 3 столбик таблицы, обмениваются листочками, выполняют взаимопроверку (если находят ошибки у соседа исправляют зеленой ручкой). Затем окончательная проверка осуществляется сразу же по слайду на экране.







Значения а

Уравнение

Формулы решения уравнений

http://festival.1september.ru/articles/561931/img-4.gif

sinx=a

http://festival.1september.ru/articles/561931/img-5.gif

http://festival.1september.ru/articles/561931/img-6.gif

sinx=a

уравнение решений не имеет

а=0

sinx=0

http://festival.1september.ru/articles/561931/img-7.gif

а=1

sinx= 1

http://festival.1september.ru/articles/561931/img-8.gif

а= -1

sinx= -1

http://festival.1september.ru/articles/561931/img-9.gif

http://festival.1september.ru/articles/561931/img-10.gif

cosx=a

http://festival.1september.ru/articles/561931/img-11.gif

http://festival.1september.ru/articles/561931/img-12.gif

cosx=a

уравнение решений не имеет

а=0

cosx=0

http://festival.1september.ru/articles/561931/img-13.gif

а=1

cosx= 1

http://festival.1september.ru/articles/561931/img-14.gif

а= -1

cosx= -1

http://festival.1september.ru/articles/561931/img-15.gif

http://festival.1september.ru/articles/561931/img-16.gif

tgx=a

http://festival.1september.ru/articles/561931/img-17.gif

http://festival.1september.ru/articles/561931/img-16.gif

ctgx=a

http://festival.1september.ru/articles/561931/img-18.gif

  1. Работа по теме урока. Решение задач.

Учащимся предлагается выполнить задание № 15 ЕГЭ по математике (1 учащийся работает у доски. Если испытывает трудности при решении учитель оказывает помощь):

а) Решите уравнение 2 cos2x + 4 hello_html_4e1b1100.gif

б) Найдите все корни данного уравнения, принадлежащие промежутку hello_html_m64c87042.gif

Примерное решение (один из способов преобразований)

2 cos2x + 4 hello_html_4e1b1100.gif

а) 1. Применим формулу приведения, получим hello_html_3a348fec.gif

  1. Применим формулу косинуса двойного угла cos2x = cos2xsin2x, получим:

2cos2x- 2sin2x – 4cosx – 1 = 0

3. Применим формулу основного тригонометрического тождества sin2x = 1 – cos2x, получим:

2cos2x-2 + 2cos2x – 2 + 2cos2x – 4cosx – 1 = 0

4. После преобразований получим квадратное уравнение:

4cos2x – 4 cosx – 3 = 0

5. Введем новую переменную: cosx = t, получим:

4t2 – 4t – 3 = 0

t1 = 1,5 hello_html_63cc17ba.gif t2 = - 0.5

  1. Вернемся обратно к cos x, получим:

cos x = - 0,5

x = hello_html_m3b2fd7f9.gif.

  1. Известно, что arcos (- 0.5) = hello_html_8a0d146.gif = hello_html_231a9024.gif, получим ответ для тригонометрического уравнения:

x = hello_html_6036f909.gif

б) найдем корни, принадлежащие промежутку hello_html_m64c87042.gif разными способами.

Работа в группах (класс делится на 3 группы). Каждая группа получает задание (отобрать корни тригонометрических выражений разными способами)

1 группа - отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций;

2 группа - отбор корней аналитически при помощи решения двойного неравенства;

3 группа - отбор корней с помощью единичной окружности.

Ответ: hello_html_693e746a.gif

Решение:

1 группа. Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций

Рисунок 1hello_html_m26beef21.png

Примерный алгоритм:

  1. Постройте график функции y = cosx

  2. Найдите и выделите цветом на графике искомый отрезок hello_html_m64c87042.gif

  3. Постройте прямцю cosx = - 0,5

  4. Найдите и отметьте точки пересечения графиков функций y = cosx и cosx = - 0,5 на промежутке hello_html_m64c87042.gif

  5. Найдите корни уравнения в данных точках (единичный отрезок на рис 1. равен hello_html_1efe9eb4.gif ):

hello_html_e434b0d.gif



hello_html_m44008cd.gif

Ответ: hello_html_693e746a.gif

2 группа. Отбор корней аналитически при помощи решения двойного неравенства



  1. Запишем решение уравнения в виде двух множеств:

    x1 = hello_html_253904f3.gif

    x2 = - hello_html_253904f3.gif

  2. Найдем решения каждого уравнения на промежутке hello_html_m64c87042.gif

    hello_html_6e4748ca.gif| hello_html_712b43ad.gif

    hello_html_m15f79912.gif

    hello_html_m19be5ff2.gif

    hello_html_m1687e05b.gif

    Так как hello_html_5d00ed99.gif, то получили, что k = -1, откуда

    x = hello_html_m6a4c0f6f.gif

    hello_html_5b594f54.gif| hello_html_712b43ad.gif

    hello_html_m4e47ffe8.gif

    hello_html_42b5bebb.gif

    hello_html_6533b69a.gif

    Так как hello_html_5d00ed99.gif, то получили, что k = -1, откуда

    x = - hello_html_m7a220ac2.gif

  3. Ответ: hello_html_693e746a.gif

3 группа. Отбор корней с помощью единичной окружности

Рисунок 2 Рисунок 3

hello_html_619d345c.pnghello_html_25f56c70.png

Алгоритм решения:

  1. Начертите тригонометрическую единичную окружность

  2. Отметьте значение cos x = - hello_html_6eec8aff.gif и соответствующие этому значению точки окружности

  3. Отметьте на окружности промежуток hello_html_m64c87042.gif (получается, что это полностью круг)

  4. Пользуясь тригонометрической окружностью найдите корни уравнения на промежуткеhello_html_m64c87042.gif (это можно сделать двумя способами: см. рис. 2,3)





  1. Каждая группа подробно рассказывает о процедуре отбора корней уравнения. Контроль со стороны учителя за правильностью следования алгоритму выполнения отбора корней в тригонометрическом уравнении.



  1. Рефлексия.

В каких случаях необходимо производить отбор корней в тригонометрических уравнениях?

Какими способами можно произвести отбор корней?

Какой способ вам показался легче и понятнее? Почему?

  1. Домашнее задание (уровневое задание)

1 уровень Выполни задание, используя один из способов отбора корней

1. а) Решите уравнение: 6 sin2x + cos x hello_html_m7ea0cb51.gif

б) найдите корни уравнения принадлежащие промежутку hello_html_m3c91684a.gif.

2. а) Решите уравнение 2cosx + 1 = sin2x + sinx

б). Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [–http://le-savchen.ucoz.ru/test/C1/Pi.pnghttp://le-savchen.ucoz.ru/test/C1/3pi_na2.png ].


2 уровень Выполни задание 1 уровня. Выполни отбор корней всеми тремя способами, которые повторили на уроке


Итог урока Предлагаю закончить урок словами Я.А.Коменского: “Считай несчастным тот день или тот час, в который ты не усвоил ничего нового и ничего не прибавил к своему образованию”


Интернет-ресурсы:

  1. http://fipi.ru/ (Открытый банк заданий ЕГЭ-2015 по математике)

  2. http://le-savchen.ucoz.ru

  3. http://festival.1september.ru

  4. http://infourok.ru























  1. Проверочная работа по теме «Отбор корней в тригонометрических уравнениях» (задача № 15 ГИА - -11 по математике)

Вариант 1

1. а) Решите уравнение: 4cos4x – 4cos2x +1 = 0.

б) Укажите его корни принадлежащие отрезкуhello_html_m5e527f8a.gif

2. а) Решите уравнение cos (hello_html_3e938cb2.gif +2x) = cosx

б) Укажите его корни принадлежащие отрезку hello_html_279f09f.gif


3. а) Решите уравнение 2cos2x+ 2sin2x = 3

б) Укажите корни данного уравнения, принадлежащие промежутку hello_html_m4447135.gif


4. а) Решите уравнение hello_html_39f1b7ec.gif sin hello_html_3929417a.gif

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку hello_html_3de02c16.gif


5. а) Решите уравнение hello_html_m771c9bdf.gif = 0

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку hello_html_m6ad4cc61.gif





Вариант 2

1. а) Решите уравнение 16cos4x – 24cos2x + 9 = 0

б) Укажите его корни принадлежащие отрезку hello_html_m6e905c03.gif


2. а) Решите уравнение sin(hello_html_3e938cb2.gif -2x) = sinx

б) Укажите его корни принадлежащие отрезку hello_html_m6b347a2d.gif


3. а) Решите уравнение 6sin2x+ sin2x = 2

б) Укажите корни данного уравнения, принадлежащие промежутку hello_html_m6b347a2d.gif


4. а) Решите уравнение hello_html_4a3e210d.gif sin hello_html_1fc658d5.gif

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку hello_html_m15604409.gif


5. а) Решите уравнение hello_html_50d59a98.gif = 0

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку hello_html_m4a75ea9a.gif



  1. Краткий анализ знаний учащихся, полученных на уроках повторения по теме «Отбор корней в тригонометрических уравнениях»


% выполнения заданий

Кол-во, выполнявших работу

25

92%

88%

84%

60%

88%

48%

60%

48%

52%

36%

Основные ошибки при выполнении заданий: применение формул сокращенного умножения; вычислительные навыки (в основном при отборе корней); применение тригонометрических формул; ошибки при решении двойного неравенства; ошибки при работе с тригонометрической окружностью (понимание промежутка , на котором необходимо находить корни).

Результаты показывают, что тема «Отбор корней в тригонометрических уравнениях» представляет сложность для многих учащихся, чем весьма оправдано включение задания на эту тему во вторую часть ГИА – 11 по математике. Несмотря на это в среднем 56% учащихся выполнявших работу верно отобрали корни, хотя это на 20% ниже, чем верное выполнение решения тригонометрического уравнения, что в конечном счете приведет к потере значимых баллов на ЕГЭ по математике. Из учащихся, которые справились с заданиями по отбору корней 35 % выбрали способ отбора корней с помощью решения неравенств, 65 % - способ отбора по единичной окружности, графический способ и способ перебора целых значений не выбрал никто.

Выводы: продолжить работу по закреплению навыков отбора корней в тригонометрических уравнениях, применяя при этом способы, которые являются предпочтительнее для обучающихся, на этапе устного счета в каждый урок включать работу с тригонометрической окружностью, решение двойных неравенств, работу с обыкновенными дробями.



Работу выполнила Бокарева Ольга Сергеевна учитель математики ГБОУ Школа № 2083 СП «Ерино» г. Москва

Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Автор
Дата добавления 27.09.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров825
Номер материала ДВ-014885
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх