Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Разработка системы уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике, по теме «Решение неравенств функционально-графическим способом»
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Разработка системы уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике, по теме «Решение неравенств функционально-графическим способом»

библиотека
материалов

hello_html_30e7c930.gifhello_html_m13d8d166.gifhello_html_m13d8d166.gifhello_html_36966269.gifhello_html_m58b8078b.gifhello_html_m256d404.gifhello_html_m58b8078b.gifhello_html_m58b8078b.gifhello_html_m49e0cee8.gifhello_html_m49e0cee8.gifhello_html_36966269.gifhello_html_489261e7.gifhello_html_m713c6b28.gifhello_html_m713c6b28.gifhello_html_m713c6b28.gifhello_html_m713c6b28.gifhello_html_m823a31.gifhello_html_m63f3ca10.gifhello_html_m42430180.gifhello_html_m42430180.gifhello_html_m73101669.gifhello_html_m42430180.gifhello_html_m42430180.gifhello_html_m42430180.gifhello_html_m42430180.gifРазработка системы уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ

по математике, по теме

«Решение неравенств функционально-графическим способом»

Учитель математики Хусаинова Диляра Дамировна.

  1. Примерное планирование учебного времени. Всего 11 часов.

Количество часов

Содержание

1

1

Использование области определения функции.

2

1

Использование непрерывности функции. Обобщение метода интервалов.

3

1

Использование монотонности функций.

4

1

Использование ограниченности функций. Метод оценки. Неотрицательность функций.

5

1

Применение свойств модуля.

6

1

Применение классических неравенств.

7

2

Метод рационализации.

8

1

Графический метод.

9

2

Итоговая проверочная работа.



  1. План-конспект урока.

Тема: Рационализация неравенств.

Цель урока: устранить трудности, связанные с непосредственным применением метода интервалов к трансцендентным неравенствам.

Раздаточный материал: таблица №1, ряд следствий.





Метод рационализации заключается в замене сложного выражения F(x) на более простое выражение G(x) (в конечном счете, рациональное), при которой неравенство G(x) ˅ 0 равносильно неравенству F(x) ˅ 0 на области определения выражения F(x).

Таблица №1. Замена некоторых типовых выражений:

Выражение F(x)

Выражение G(x)

1

1a

1b

hello_html_m40b027a0.gif

hello_html_1d25bf29.gif1

hello_html_1d25bf29.gif

(ahello_html_m4fb68404.gif

(ahello_html_6171a001.gif

(ahello_html_m1d92b8e3.gif


2

2a

2b

hello_html_3fdce436.gif

hello_html_m71aff397.gif

hello_html_m7aa607eb.gif

(hhello_html_m4fb68404.gif

(hhello_html_662381fe.gif

(hhello_html_m1d92b8e3.gif


3

hello_html_m547261b8.gif(g ≠1,f ≠ 1)


(f−1)(g−1)(hhello_html_722e3865.gif

4

4a

hello_html_m53ba5e3b.gif(h>0)

hello_html_2d7bbf89.gif

(h − 1)(f − g)

(h − 1)f

5

hello_html_56a3eaf0.gifhello_html_7b743c4c.gif(f>0, g>0)

(f – g)h

6

hello_html_m7bb336f4.gif

(f − g)( f+ g)



Рассмотренный метод рационализации обобщается на произведение и частное любого числа типовых выражений.

Перечислим ряд следствий (с учетом области определения неравенства):



  • hello_html_m7aa607eb.gif· hello_html_m20ef0e76.gif ˅ 0 hello_html_1e6f6dd4.gif (h−1)(f−1)(p−1)(g−1)˅0

  • hello_html_60bc14dc.gif˅ 0 hello_html_1e6f6dd4.gif (fghello_html_66168864.gif)

  • hello_html_609692a8.gif˅ 0 hello_html_1e6f6dd4.gif f – g ˅ 0

  • hello_html_7c1c2b33.gifhello_html_1e6f6dd4.gifhello_html_23be3c00.gif

  • hello_html_10336cc2.gifhello_html_1e6f6dd4.gif(a – 1)(hello_html_465332d2.gif

В указанных равносильных переходах символ « ˅ » заменяет один из знаков неравенств:

; ≤ ; hello_html_16715145.gif .

Докажем справедливость замен, представленных в таблице №1.

Доказательство:

1.Пусть
hello_html_m40b027a0.gif > 0, т.е. hello_html_m18f30b34.gif , причем аhello_html_m360d6129.gif, аhello_html_m2bc03806.gif1, f > 0, g >0. (1)

Если 0 < a <1, то по свойству убывающей логарифмической функции имеем f < g. Значит, выполняется система неравенств hello_html_4f67caf9.gif откуда следует неравенство

(ahello_html_m44217c44.gif, верное на области определения выражения F = hello_html_353ace03.gif

Если a > 1,то f > g.Следовательно, имеет место неравенство (ahello_html_m44217c44.gif.

Обратно, если выполняется неравенство (ahello_html_m44217c44.gif на области (1), то оно на этой области равносильно совокупности двух систем неравенств:

hello_html_297f18b2.gif

Из каждой системы следует неравенство hello_html_m18f30b34.gif, т.е. hello_html_m40b027a0.gif > 0. Аналогично рассматриваются неравенства вида F< 0, F≤ 0, F≥ 0.

2.Пусть некоторое число a > 0, a ≠ 1, тогда имеем
hello_html_3fdce436.gif = hello_html_m1940bc7f.gif hello_html_68e258cb.gif =hello_html_m9674e5f.gif. Знак последнего совпадает со знаком выражения hello_html_3a146aff.gif или (hhello_html_m4fb68404.gif.

3.Т.к. hello_html_238ce17c.gifhello_html_m1650e632.gif = hello_html_m2ca36e81.gif =

= hello_html_3abbac0d.gif,то используя замены 2a, 2b, получаем , что знак последнего совпадает со знаком выражения (f−1)(g−1)(hhello_html_722e3865.gif.

4.Из неравенства hello_html_m53ba5e3b.gif> 0 следует, что hello_html_596b97ff.gifПусть число a > 1, тогда

hello_html_m70450c12.gifили (fg)hello_html_m6b5559a7.gif. Отсюда с учетом замены 1b и условия a >1 получаем: (fg)(a−1)(h−1) >0, (fg)(h−1) >0.

5.Доказательство аналогично доказательству 4.

6.Доказательство замены 6 следует из равносильности неравенств

hello_html_4e9ec04c.gifи hello_html_49d117b9.gif



Выполнить упражнения: в соответствии с методом рационализации замените неравенство на равносильное ему неравенство на области допустимых значений переменной.

а) hello_html_59b8a02a.gif ,



b) hello_html_m4b0b3562.gif,

c) hello_html_7a4e8fb8.gif

d) hello_html_78c92a67.gif< 0.

Решить неравенство: 1) hello_html_m3358b7e8.gif hello_html_m3dadc7a0.gif.

Решение:

Область допустимых значений неравенства задается системой:

hello_html_m775b2370.gifИли hello_html_m551df5a7.gif



hello_html_600b700f.gifhello_html_m3dadc7a0.gif,

hello_html_m3d2402b3.gif

Далее используем метод рационализации:

(x+7hello_html_mf4e6ed1.gif

(x + 6)(x +3) (x −4) ≤ 0.
− + − +

//////////////////-6 -3 //////////////////////4 x

( − ∞; −6][−3 ;4] .hello_html_11852162.gif Учитывая О.Д.З.:



//////////////////////////// /////////////////////////////////////

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ x

-7 -6 -3 0 1 4



Ответ: (−7 ; −6)[hello_html_m68b613b5.gif.



2) hello_html_237f4ab6.gif

Решение. Область допустимых значений неравенства задается условиями:

hello_html_794c87b5.gifhello_html_472d25e8.gif





///////////////// //////////////// /////////////////////// ////////////////////////////// x

1 hello_html_m3d15adeb.gif 0 1



О.Д.З. (−∞ ; − 1)( −hello_html_m62a825e8.gif.

Далее используем метод рационализации:

(1−xhello_html_m5e3b1f56.gif +3x + 1 hello_html_m7b5dc01f.gif,

x(hello_html_m6ce47436.gif +3x + 1− 1 +2xx2) ≥ 0,

x( x2 +5x) ≤ 0,

x2( x + 5) ≤ 0.

  • + +

////////////// x

5 0

Учитывая О.Д.З. x ϵ (−∞ ; −5]

Ответ: (−∞ ; −5].



3) hello_html_m21d1a02b.gif.

Решение. Область допустимых значений неравенства задается условиями:

hello_html_m103f033d.gifhello_html_580139b2.gifx ϵ (−2; 1)∪(1 ; 2).



Далее используем метод рационализации:

(2 – x − 1)(x+2 −1)(x +3 −1)(3 – x −1) ≤ 0,

(1 – x)(x +1)(x + 2)(2 –x) ≤ 0.



+ − + − +

///////////////////// /////////////////////// x

2 −1 1 2

Учитывая О.Д.З.:

х ϵ (− 2; −1] (1; 2).



Ответ: (− 2; −1] (1; 2).





Задания для самостоятельного решения:

а) hello_html_2aac3a2b.gifhello_html_m385a40e7.gif ; Ответ:hello_html_2546484d.gif ; hello_html_m65dee59c.gif )



б) hello_html_61dd4e86.gif Ответ: (0 ; 0,5) ( 2; 3)



в) hello_html_m5c0fef4.gif; Ответ: (hello_html_m5c32e0fc.gif



г) hello_html_231005df.gif Ответ: (hello_html_300588b0.gif ]



д) hello_html_m32bfa839.gif hello_html_m13d5c711.gif; Ответ: (hello_html_63abda47.gif ; 5 ]







Проверочная работа.



  1. hello_html_780bf150.gif( −∞ ; 1) (2 ; 4 ]

  2. hello_html_315d4a6f.gif> hello_html_1d1f9226.gif ( 0; 1)

  3. hello_html_1424a859.gif(2 ; 5)

  4. hello_html_m16ca52f8.gif0 (hello_html_39f1b7ec.gif+1; 1 + hello_html_5909bbae.gif ]

  5. |x3+ 2x2 + 8x – 7 | ≤ x3 + 4x2 - 8x + 7 [- 3; 1] ∪ [7 ; +∞)

  6. hello_html_68b09ae0.gif<hello_html_m7718a721.gif (0; 2).





Автор
Дата добавления 01.10.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров166
Номер материала ДВ-023650
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх