Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Разработка темы "ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ"

Разработка темы "ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ"

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ


Аванесова С.Р.

Учитель-методист высшей категории,

Донецкой общеобразовательной школы I-III ступеней № 56


Данная разработка является методическим пособием по изучению темы «Тригонометрические уравнения». В статье рассмотрены как теоретический материал по теме, так и практический. В работе изложены все нестандартные методы решения тригонометрических уравнений. Их основная функция – обучающая, так как они усиливают практическую направленность учащихся по пройденному материалу.

Система заданий ставит целью приобретение глубоких и прочных знаний учащимися по данному материалу.

Тригонометрические уравнения – уравнения, в которых неизвестные содержатся под знаком тригонометрических функций, решение тригонометрических уравнений с помощью различных преобразований сводится к решению простейших тригонометрических уравнений. эти уравнения имеют следующий вид.

а) sin x = a

б) cos x = a

в) tg x = a

г) ctg x = a

Рассмотрим решение простейших тригонометрических уравнений.


I. sin x = a

1). Если hello_html_34999527.gif, то xØ, где Ø – пустое множество.

2). Если a1, то hello_html_4ad3196d.gif, где hello_html_m96ae201.gif, а arcsin a – угол, заключенный в промежутке hello_html_1aa84dd.gif, синус которого равен а, т.е. sin(arcsin a) = a, причем arcsin(–a) = –arcsin a.

Например, hello_html_38ee18fd.gif.


Частные случаи.

1). hello_html_m4014ed37.gif.

2). hello_html_m15f21456.gif.

3). hello_html_m58c1ef72.gif.

hello_html_f0c59fe.gif.

hello_html_m5e1747f6.gif.

hello_html_4b8528e2.gif



II. cos x = a

1). Если a>1, то x Ø.

2). Если a1, то hello_html_3d224537.gif, а arccos a – угол, в промежутке hello_html_m55a64ba.gif, косинус которого равен а, т.е. hello_html_mc840ece.gif, причем hello_html_m612edf7d.gif.

Пример.

hello_html_34acdeeb.gif

Частные случаи.

1). hello_html_m4344aca4.gif.

2). hello_html_m59e43e4a.gif.

3). hello_html_m58c1ef72.gif.

hello_html_m5e1747f6.gif.

hello_html_f0c59fe.gif.

hello_html_4b8528e2.gif


III. tg x = a

hello_html_3abc5c35.gif, где arctg aугол, в интервале hello_html_1aa84dd.gif, тангенс которого равен а, т.е. tg(arctg a) = a, причем arctg(–a) = –arctg a.

IV. ctg x = a

hello_html_4bb400f.gif, где arсctg aугол, в интервале [0;], котангенс которого равен а, т.е. сtg(arсctg a) = a, причем arсctg(–a) = –arctg a.

V. sinx + cocx = a.

Разделим обе части уравнения на cosx.

tgx + 1 = 0

tgx = –1.

x = arctg(–1) + n,

hello_html_2d1064b.gif.


Методы решения тригонометрических уравнений


I. Если уравнение однородное (уравнение вида asin2x + bsincosx + ccos2x = 0, в таком уравнении одна и та же сумма степеней синуса и косинуса), то оно решается делением на sin2x.

Пример.

hello_html_302a1156.gif

hello_html_m1aa42581.gif

hello_html_m6cefae72.gif

Делим обе части уравнения на cos2x:

tg2x – 3tgx + 2 = 0.

Заменим tgx = y.

hello_html_m1b9ea08e.gif

D = 9 – 8 = 1 > 0.

По теореме Виста у1 = 2, у2 =1

tgx = 2 или tgx = 1.

x = arctg2 + n, n Z или x = arctg1 + n, n Z, hello_html_5fc14604.gif, n Z.

II. Уравнение вида sinf(x) = a решается введением вспомогательного неизвестного t = f(x), которое сводится к простейшему тригонометрическому уравнению.

Пример.

sin(2x–1) = ½.

2x – 1= (-1)k arcsinhello_html_m1a94a4e6.gif+k, k Z

2x – 1= (-1)khello_html_m141713f1.gif+k, k Z

hello_html_m2e30c311.gif

hello_html_m8cacc53.gif

hello_html_m5a0b7157.gif

III. Если в уравнении углы при функциях одинаковы и функции могут быть приведены к одной, то используется метод замены.

Пример.

3sin22x + 7cos2x – 7 = 0.

Используя основные тригонометрические тождества, имеем:

hello_html_77c1ee3d.gif

hello_html_a8b7c75.gif

hello_html_m3073601c.gif

hello_html_m18133d1e.gif

cos2x = y

hello_html_10fd9b63.gif

D = 49-48 = 1 > 0

hello_html_m15d7025a.gif(не удовлетворяет условию у1)

у2 = 1

cos2x = 1

2x = 2n, n Z

x = n, n Z.

IV. Если в уравнении содержится сумма одноименных функций, то оно преобразуется в произведение.

Пример.

hello_html_450c37e4.gif

hello_html_6666903c.gif

hello_html_4d1018eb.gif

hello_html_m455f5f85.gif

hello_html_m467c53df.gif

V. Если в уравнении содержится произведение функций, то оно преобразуется в сумму, сумма в произведение и т.д.

Пример.

hello_html_m5195f351.gif

hello_html_52fae7c6.gif

hello_html_56f24162.gif

cosx + cos2xcos2x + cos4xcosx + cos5x = 0

cos4x + cos5x = 0

hello_html_5a005444.gif

hello_html_mebba8e3.gif

VI. Если в уравнении sin, cos стоят в четных степенях, то используют формулы понижения степени, а затем рассмотренные ранее методы.

hello_html_3e6cd9e3.gif

hello_html_32a26f19.gif

hello_html_47d4a4a2.gif

(cos4z + cos6z) + (cos8z + cos10z) = 0

2cos5cosz + 2cos9cosz = 0

cosz (cos5z + cos9z) = 0

hello_html_e1c7d51.gif

hello_html_me47ef1.gif

VI. Уравнение вида f(sinx) = 0 равносильно системе

hello_html_m18a40c0e.gif

Аналогично решаются уравнения вида fosx) = 0, f(tgx) = 0, f(ctgx) = 0.

Пример 1.

2sin2x + sinx – 1 = 0.

Введем замену sinx = t.

2t2 + t – 1 = 0.

D = 1 + 8 = 9

hello_html_484358a1.gif

hello_html_m751a093.gif

hello_html_148ad0a1.gif

Пример 2.

2cos2x + sinx +1 = 0.

Используя основные тригонометрические тождества, получим

cos2x = 1 – sin2x, тогда

2(1-sin2x) + sinx + 1 = 0

2 – 2 sin2x + sinx +1 = 0

-2sin2x + sinx + 3 = 0

2sin2x – sinx – 3 = 0.

Замена sinx = y, y1

2y2y –3 = 0

D = 1 + 24 = 25.

hello_html_636d68c6.gif

hello_html_m7ca68bb4.gif

hello_html_73a29ab1.gif

VII. Уравнения, решаемые с помощью введения вспомогательного аргумента

acosx + bsinx = c, c 0, a2 b2 0.

Разделим обе части уравнения на hello_html_m66afdfa3.gif, получим:

hello_html_bf36547.gif.

Т.к. hello_html_m3e5a090b.gif, то существует такой угол, что

hello_html_6a4f804d.gifи уравнение можно записать в виде

hello_html_24470cf5.gif;

hello_html_26021fa1.gif.

Это уравнение имеет решение, если hello_html_m2c491ca0.gif, или hello_html_m2cf71a44.gif. Поэтому последнее тригонометрическое уравнение имеет решение:

hello_html_1e583670.gif,

hello_html_1285acff.gif, где hello_html_m5bede7c4.gif, т.к. hello_html_762ab25a.gif.

Таким образом, при решении линейного тригонометрического уравнения надо проверить, выполняется ли условие hello_html_m2cf71a44.gif. Зафиксируем полученную формулу при решении данного уравнения.

hello_html_m21dfb4a9.gif.

Применим этот общий способ решения, в частности полученную формулу, к уравнению

sinx + cosx = 1.

a = 1, b = 1, c = 1, a2 + b2 0, c 0.

hello_html_m590fe02d.gif.

Разделим обе части уравнения на hello_html_55b48ef7.gif, получим

hello_html_m768bc448.gif

hello_html_2e5612fb.gif

hello_html_2c589435.gif

hello_html_m223bcffc.gif

hello_html_m2ff623ca.gif

VIII. Метод оценки левой и правой частей уравнения.

Некоторые уравнения удается решить, используя неравенства

1 sinx 1.

Пример.

sinx + cos4x = 2.

Так как hello_html_m2d70c7f1.gif, то равенство верно, когда

hello_html_m1c30d5c5.gif; hello_html_5ba907bd.gif;

hello_html_m2bb31388.gifhello_html_54e162a6.gif.

Общие рекомендации по решению тригонометрических уравнений:

а) если в уравнении содержатся формулы приведения, то они применяются в первую очередь;

б) после этого пытаются привести уравнение к одной функции от одного аргумента;

в) если это нельзя сделать, то пытаются использовать рассмотренные выше методы;

г) если они неприменимы, то пытаются какими-то другими способами разложить уравнение.

IX. Метод разложения на множители.

1). Если в уравнении, приведенном к виду f(x) = 0, его левая часть разлагается на множители, то следует приравнять каждый из этих множителей к нулю.

Пример.

Решите уравнение 2sinx cosx – 1 + 2cos2xsinx = 0.

Группируя 1-й и 3-й слагаемые и вынося за скобки общий множитель, получим

2сos2x(sinx + 1) – (sinx + 1) = 0

(sinx + 1) (2cos2x - 1) = 0.

Так как правая часть этого уравнения определена при всех х, то данное уравнение распадается на следующие уравнения:

sinx + 1 = 0 или 2cos2x – 1 = 0

sinx = -1 или cos2x = hello_html_m1a94a4e6.gif

hello_html_m5dce47e7.gif hello_html_45337bde.gif

hello_html_7937c70b.gif

2). Уравнения вида а) sin(ax + b) = sin(cx + d), б) cos(ax + b) = cos(cx + d), в) sin(ax + b) = cos(cx + d) решаются с помощью формул разности синусов, косинусов и формул приведения.

Пример 1.

sin7x = sin3x

sin7x – sin3x = 0

hello_html_m4a9a1493.gif

2sin2x cos5x = 0

sin2x = 0 или cos5x = 0

2x = k, k Z hello_html_m950acd0.gif

hello_html_mdcfb535.gif hello_html_406eef24.gif

hello_html_571c5afd.gif.

Пример 2.

sin5x = cos4x

hello_html_m6281e927.gif

hello_html_m158838df.gif

hello_html_512ccc06.gif

X. Тригонометрические уравнения, содержащие радикалы f(x)=hello_html_4e4318ce.gif.

Пример.

Решить уравнение hello_html_207f0a85.gif на интервале [; 3].

Уравнение равносильно системе:

hello_html_m51a4edb2.gif hello_html_692b275c.gif

hello_html_m2a79b187.gif hello_html_c8b6e74.gif

Рассмотрим два случая

1) hello_html_m773a906d.gifhello_html_f488822.gifhello_html_1189570e.gif, т.к. х [; 3].

2) hello_html_215cdd6f.gifhello_html_70950eb9.gifhello_html_263a00a8.gif, т.к. х [; 3].

Ответ: 2; hello_html_m39952a9.gif.

Выводы. Данный материал предназначен для обучения учащихся самостоятельной работе, поиску рациональных способов решения заданий, самостоятельному приобретению знаний по изученному материалу.

Пособие так же содержит систему заданий, которые выходят за рамки школьной программы и может быть использовано учащимися, проявляющих повышенный интерес к математике.

Данная разработка может служить пособием в помощь молодым учителям

Автор
Дата добавления 23.01.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров132
Номер материала ДВ-370315
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх