Разработка темы "ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ"

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

Аванесова С.Р.

Учитель-методист высшей категории,

Донецкой общеобразовательной школы I-III ступеней № 56

Данная разработка является методическим пособием по изучению темы «Тригонометрические уравнения». В статье рассмотрены как теоретический материал по теме, так и практический. В работе изложены все нестандартные методы решения тригонометрических уравнений. Их основная функция – обучающая, так как они усиливают практическую направленность учащихся по пройденному материалу.

Система заданий ставит целью приобретение глубоких и прочных знаний учащимися по данному материалу.

Тригонометрические уравнения – уравнения, в которых неизвестные содержатся под знаком тригонометрических функций, решение тригонометрических уравнений с помощью различных преобразований сводится к решению простейших тригонометрических уравнений. эти уравнения имеют следующий вид.

а) sin x = a

б) cos x = a

в) tg x = a

г) ctg x = a

Рассмотрим решение простейших тригонометрических уравнений.

I. sin x = a

1). Если , то xÎØ, где Ø – пустое множество.

2). Если ½a½£1, то , где , а arcsin a – угол, заключенный в промежутке , синус которого равен а, т.е. sin(arcsin a) = a, причем arcsin(–a) = –arcsin a.

Например, .

Частные случаи.

1). .	2). .	3). .
.	.

II. cos x = a

1). Если ½a½>1, то x Î Ø.

2). Если ½a½£1, то , а arccos a – угол, в промежутке , косинус которого равен а, т.е. , причем .

Пример.

Частные случаи.

1). .	2). .	3). .
.	.

III. tg x = a

, где arctg a – угол, в интервале , тангенс которого равен а, т.е. tg(arctg a) = a, причем arctg(–a) = –arctg a.

IV. ctg x = a

, где arсctg a – угол, в интервале [0;p], котангенс которого равен а, т.е. сtg(arсctg a) = a, причем arсctg(–a) = p –arctg a.

V. sinx + cocx = a.

Разделим обе части уравнения на cosx.

tgx + 1 = 0

tgx = –1.

x = arctg(–1) + pn,

.

Методы решения тригонометрических уравнений

I. Если уравнение однородное (уравнение вида asin²x + bsinx cosx + ccos²x = 0, в таком уравнении одна и та же сумма степеней синуса и косинуса), то оно решается делением на sin²x.

Пример.

Делим обе части уравнения на cos²x:

tg²x – 3tgx + 2 = 0.

Заменим tgx = y.

D = 9 – 8 = 1 > 0.

По теореме Виста у₁ = 2, у₂ =1

tgx = 2 или tgx = 1.

x = arctg2 + pn, n Î Z или x = arctg1 + pn, n Î Z, , n Î Z.

II. Уравнение вида sinf(x) = a решается введением вспомогательного неизвестного t = f(x), которое сводится к простейшему тригонометрическому уравнению.

Пример.

sin(2x–1) = ½.

2x – 1= (-1)^k arcsin+pk, k Î Z

2x – 1= (-1)^k +pk, k Î Z

III. Если в уравнении углы при функциях одинаковы и функции могут быть приведены к одной, то используется метод замены.

Пример.

3sin²2x + 7cos2x – 7 = 0.

Используя основные тригонометрические тождества, имеем:

cos2x = y

D = 49-48 = 1 > 0

 (не удовлетворяет условию ½у½£1)

у₂ = 1

cos2x = 1

2x = 2pn,  n Î Z

x = pn,  n Î Z.

IV. Если в уравнении содержится сумма одноименных функций, то оно преобразуется в произведение.

Пример.

V. Если в уравнении содержится произведение функций, то оно преобразуется в сумму, сумма в произведение и т.д.

Пример.

cosx + cos2x – cos2x + cos4x – cosx + cos5x = 0

cos4x + cos5x = 0

VI. Если в уравнении sina, cosa стоят в четных степенях, то используют формулы понижения степени, а затем рассмотренные ранее методы.

(cos4z + cos6z) + (cos8z + cos10z) = 0

2cos5z cosz + 2cos9z cosz = 0

cosz (cos5z + cos9z) = 0

VI. Уравнение вида f(sinx) = 0 равносильно системе

Аналогично решаются уравнения вида f(сosx) = 0, f(tgx) = 0, f(ctgx) = 0.

Пример 1.

2sin²x + sinx – 1 = 0.

Введем замену sinx = t.

2t² + t – 1 = 0.

D = 1 + 8 = 9

Пример 2.

2cos²x + sinx +1 = 0.

Используя основные тригонометрические тождества, получим

cos²x = 1 – sin²x, тогда

2(1-sin²x) + sinx + 1 = 0

2 – 2 sin²x + sinx +1 = 0

-2sin²x + sinx + 3 = 0

2sin²x – sinx – 3 = 0.

Замена sinx = y, ½y½£1

2y² – y –3 = 0

D = 1 + 24 = 25.

VII. Уравнения, решаемые с помощью введения вспомогательного аргумента

acosx + bsinx = c, c ¹ 0, a² ¹ b² ¹ 0.

Разделим обе части уравнения на , получим:

.

Т.к. , то существует такой угол, что

 и уравнение можно записать в виде

;

.

Это уравнение имеет решение, если , или . Поэтому последнее тригонометрическое уравнение имеет решение:

,

, где , т.к. .

Таким образом, при решении линейного тригонометрического уравнения надо проверить, выполняется ли условие . Зафиксируем полученную формулу при решении данного уравнения.

.

Применим этот общий способ решения, в частности полученную формулу, к уравнению

sinx + cosx = 1.

a = 1, b = 1, c = 1,  a² + b² ¹ 0, c ¹ 0.

.

Разделим обе части уравнения на , получим

VIII. Метод оценки левой и правой частей уравнения.

Некоторые уравнения удается решить, используя неравенства

–1 £ sinx £ 1.

Пример.

sinx + cos4x = 2.

Так как , то равенство верно, когда

;                ;

 Þ .

Общие рекомендации по решению тригонометрических уравнений:

а) если в уравнении содержатся формулы приведения, то они применяются в первую очередь;

б) после этого пытаются привести уравнение к одной функции от одного аргумента;

в) если это нельзя сделать, то пытаются использовать рассмотренные выше методы;

г) если они неприменимы, то пытаются какими-то другими способами разложить уравнение.

IX. Метод разложения на множители.

1). Если в уравнении, приведенном к виду f(x) = 0, его левая часть разлагается на множители, то следует приравнять каждый из этих множителей к нулю.

Пример.

Решите уравнение 2sinx cosx – 1 + 2cos2x – sinx = 0.

Группируя 1-й и 3-й слагаемые и вынося за скобки общий множитель, получим

2сos2x(sinx + 1) – (sinx + 1) = 0

(sinx + 1) (2cos2x - 1) = 0.

Так как правая часть этого уравнения определена при всех х, то данное уравнение распадается на следующие уравнения:

sinx + 1 = 0                                 или 2cos2x – 1 = 0

sinx = -1                          или cos2x =

                                                  

2). Уравнения вида а) sin(ax + b) = sin(cx + d), б) cos(ax + b) = cos(cx + d), в) sin(ax + b) = cos(cx + d) решаются с помощью формул разности синусов, косинусов и формул приведения.

Пример 1.

sin7x = sin3x

sin7x – sin3x = 0

2sin2x cos5x = 0

sin2x = 0                         или cos5x = 0

2x = pk, k Î Z                

           

                                                   .

Пример 2.

sin5x = cos4x

X. Тригонометрические уравнения, содержащие радикалы f(x)=.

Пример.

Решить уравнение  на интервале [p; 3p].

Уравнение равносильно системе:

                

               

Рассмотрим два случая

1)                                      , т.к. х Î [p; 3p].

2)                                               , т.к. х Î [p; 3p].

Ответ: 2p; .

Выводы. Данный материал предназначен для обучения учащихся самостоятельной работе, поиску рациональных способов решения заданий, самостоятельному приобретению знаний по изученному материалу.

Пособие так же содержит систему заданий, которые выходят за рамки школьной программы и может быть использовано учащимися, проявляющих повышенный интерес к математике.

Данная разработка может служить пособием в помощь молодым учителям