Разработка урока "Аксиомы стереометрии"

муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №45

Разработка урока (на 2 ч) по теме

«Основные понятия стереометрии.

Аксиомы стереометрии и следствия из них»,

геометрия, 10 класс.

Автор: учитель математики

МАОУ СОШ №45 г. Калининграда

Гавинская Елена Вячеславовна.

г. Калининград

2015 – 2016 учебный год

Автор – Гавинская Елена Вячеславовна

Образовательное учреждение – муниципальное автономное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 45 города Калининграда

Предмет – математика (геометрия)

Класс – 10

Тема – «Основные понятия стереометрии. Аксиомы стереометрии и следствия из них».

Учебно-методическое обеспечение:

Геометрия, 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений /Л.С.Атанасян и др., - М.: Просвещение, 2012 г.

Данные о программах, в которых выполнена мультимедийная составляющая работы - Microsoft Office Power Point 2003

Цель:

познакомить учащихся с понятием стереометрии и с содержанием курса стереометрии, а также с основными фигурами в пространстве; сформулировать аксиомы стереометрии; сформулировать и доказать два следствия из аксиом стереометрии.

Задачи обучающие:

сформировать у учащихся представление о стереометрии как о разделе геометрии, изучающем свойства фигур в пространстве; познакомить с основными фигурами в пространстве, основными аксиомами стереометрии и следствиями из них;

развивающие:

способствовать развитию внимания, пространственного мышления, умению анализировать, применять знания в стандартных ситуациях,

воспитательная:

ü    воспитывать у учащихся интерес к изучению математики, развивать культуру устной и письменной математической речи,

ü    развивать у учащихся коммуникативные  компетенции (культуру общения, элементы ораторского искусства).

Обоснование выбора методов, средств и форм обучения:

оптимизировать обучение путем разумного сочетания и соотношения методов, средств и форм, направленных на получение высокого результата за время урока.

Оборудование и материалы для урока: проектор, экран (интерактивная доска), презентация для сопровождения урока, модели пространственных фигур.

Тип урока: комбинированный.

Структура урока:

№ n/n	Название этапа урока	Время
1	Организационный момент.	2 мин
2	Введение нового материала.	14 мин
3	Физкультминутка.	2 мин
4	Закрепление изученного материала.	10 мин
5	Введение нового материала.	15 мин
6	Физкультминутка.	2 мин
7	Закрепление изученного материала.	40 мин
8	Подведение итогов урока.	5 мин

Целесообразность использования медиа продукта на занятии продиктована интенсификацией учебно-воспитательного процесса:

·                   улучшением  наглядности изучаемого материала,

·                   увеличением количества предлагаемой информации,

·                   уменьшением времени подачи материала;

Обоснование выбора форм и методов работы на уроке.

      Тема «Основные понятия стереометрии. Аксиомы стереометрии и следствия из них» является первой из тем по программе по геометрии для 10 класса по авторскому планированию Л.С.Атанасяна. На её рассмотрение отводится 2 часа. Считаю целесообразным давать сразу их в паре, поскольку учащимся крайне тяжело перестроиться  на предмет стереометрии в начале 10 класса, а материал вызывает серьезные трудности при усвоении. Поэтому предлагаемые формы и методы работы по данной теме способствуют более успешной отработке введенных новых понятий, аксиом и теорем. Задания, предложенные на уроке, подбирались с учетом возрастных особенностей учащихся и способствуют развитию пространственного мышления, математической интуиции, умению анализировать, применять знания в стандартных ситуациях.

Ход урока.

1.                                         Организационный момент.

- Объявляется цель и план урока.

- Записывается домашнее задание: стр. 3 – 7 – прочитать; выучить теорию по составленному конспекту; №6 и №9 – с рисунками и полным оформлением.

2.                                         Введение нового материала.

      Мы с вами с 7 класса начали знакомиться со школьным курсом геометрии. Вопрос к учащимся: что такое геометрия? (Геометрия – наука о свойствах геометрических фигур). С 7 по 9 класс мы изучали с вами первый раздел геометрии – планиметрию.

      Вопрос к учащимся: что такое планиметрия? (Изучает свойства фигур на плоскости). Сегодня мы приступаем к изучению нового раздела геометрии – стереометрии, которая изучает свойства фигур в пространстве. Слайд 2.

Именно она формирует необходимые пространственные представления, знакомит с разнообразием пространственных форм, позволяет правильно ориентироваться в окружающем нас мире. В стереометрии изучаются красивые математические объекты. Их формы находят широкое применение в искусстве, архитектуре, строительстве. Слайды 3 - 5.

      Вопрос к учащимся: вспомните простейшие фигуры на плоскости и как они обозначаются. Слайд 6.Необходимо напомнить учащимся, что эти понятия не определяемы, они принимаются интуитивно. К простейшим фигурам на плоскости в пространстве присоединяется еще и плоскость, которая обозначается (первый способ) с помощью малых букв греческого алфавита и изображается в виде параллелограмма или замкнутой кривой линии. Слайд 7. Учащиеся воспроизводят этот теоретический материал в тетрадь.

      Представление плоскости дает гладкая поверхность стены, стола. Плоскость как геометрическую фигуру следует представлять себе простирающейся неограниченно во все стороны. Слайд 8.

      Наряду с точкой, прямой и плоскостью в стереометрии изучают и геометрические фигуры. При изучении пространственных фигур, в частности геометрических тел, пользуются их плоскими изображениями на чертеже. Изображением пространственной фигуры служит ее проекция на ту или иную плоскость. Одна и та же фигура допускает различные изображения. Слайд 9. При этом учитель показывает модели и приводит примеры из окружающей действительности.

      Замечание: в любой плоскости лежат какие-нибудь точки пространства, но не все точки пространства лежат в одной и той же плоскости. Символьные обозначения этого факта – такие же, как и на плоскости. Слайд 10. Учащиеся воспроизводят этот теоретический материал в тетрадь.

      Вопрос к  учащимся: что такое аксиома? (Это утверждение о свойствах геометрических фигур, которое принимается истинным в качестве исходных положений, на основе которых доказываются далее теоремы и вообще строится вся геометрия).

   Вопрос к  учащимся:  какие  аксиомы планиметрии вы знаете? (Учащиеся называют, например, такую: «Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну»).

      Далее учитель сообщает, что основные свойства точек, прямых и плоскостей, касающиеся их взаимного расположения, выражены в аксиомах.  

      Аксиома А1: «Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна». Слайд 11. Учащиеся воспроизводят этот теоретический материал в тетрадь. Далее с помощью слайдов 12 – 13 – иллюстрация к аксиоме А1. Заметим, что т к. согласно А1 через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна, то отсюда вытекает ещё один способ обозначения плоскости, принятый во всём мире – по именам любых трёх точек, лежащих в данной плоскости и не лежащих на одной прямой. Значит, данную плоскость  можно обозначить (МЕР), причем плоскость принято обозначать в скобках. Слайд 14. Учащиеся воспроизводят этот теоретический материал в тетрадь.

      Аксиома А2: «Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и все точки прямой принадлежат этой плоскости». Слайд 15. Учащиеся воспроизводят этот теоретический материал в тетрадь. Далее с помощью слайда 16 – иллюстрация к аксиоме А2. Замечание:  «Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что прямая и плоскость пересекаются». Слайд 17.

      Аксиома А3: «Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей». Слайд 18. Учащиеся воспроизводят этот теоретический материал в тетрадь. Далее с помощью слайда 19– иллюстрация к аксиоме А3.

3.                                         Физкультминутка.

      Один учащийся выходит к доске и предлагает простые упражнения для шеи, рук и спины.

4.                                         Закрепление изученного материала.

1.                 Учащимся предлагается прочитать ещё раз аксиомы и замечания к ним в своём конспекте. Слайд 20.

2.                 После обсуждения в паре с соседом по парте, учитель предлагает ребятам ответить на следующие вопросы:

- Что изучает стереометрия?

- Сформулируйте аксиомы стереометрии.

- Какое минимальное число точек определяет прямую; плоскость?

- Могут ли две плоскости иметь только одну общую точку; только две общие точки?

- Как расположены две плоскости, если в них содержится один и тот же треугольник?

- Сколько плоскостей можно провести через две точки?

- Сколько плоскостей проходит через одну прямую?

5.                                         Введение нового материала.

      А теперь давайте сформулируем и докажем следствия из аксиом.

      Следствие 1: «Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна». Слайд 21. Учащиеся воспроизводят этот теоретический материал в тетрадь.

      Следствие 2: «Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна». Слайд 22. Учащиеся воспроизводят этот теоретический материал в тетрадь.

     Далее учащиеся работают с учебником: ребята, сидящие на 1 варианте, разбирают самостоятельно доказательство первого следствия на стр.7, а ребята, сидящие на 2 варианте, разбирают самостоятельно доказательство второго следствия на стр.7. По необходимости обращаются за консультацией к соседу по парте или к учителю. Далее – фронтальный разбор этих доказательств у доски. Учащиеся выходят к доске по желанию, рассказывают доказательства, остальные ребята и учитель задают уточняющие вопросы, исправляют неточности и ошибки.

6.                                         Физкультминутка.

      Один учащийся выходит к доске и предлагает простые упражнения для шеи, рук и спины.

7.                                         Закрепление изученного материала.

      №1, №2 (устно, фронтально; учащиеся по желанию выходят к доске и показывают на рисунке фигуры, о которых идет речь в задании).

      №3(учащиеся, работая в паре, оформляют решение в тетрадке, затем – фронтальное обсуждение у доски).

      К №1 – слайды 24 – 29, к №2 – слайды 30 – 32, к №3 – слайды 33 – 41.

 

8.                                         Подведение итогов урока, выставление оценок.

      Ещё раз напоминается домашнее задание.

      Вопрос учащимся: что нового вы узнали сегодня на уроке? Что показалось вам наиболее сложным?

• 1 слайд

  Тема урока:
  
  «Основные понятия стереометрии.
  Аксиомы стереометрии
  и следствия из них».
  

• 2 слайд

  геометрия
  
  планиметрия стереометрия
  (в переводе с
  греческого «ςτερεος»-
  пространственный)
  
  изучает свойства фигур изучает свойства фигур
  на плоскости в пространстве
  
  
  
  
  
  
  
  

• 3 слайд

  Стереометрия широко используется в строительном деле, архитектуре, машиностроении, геодезии, во многих других областях науки и техники.
  При
  проектировании
  этой машины важно было получить такую форму, чтобы при движении сопротивление воздуха было минимально.
  

• 4 слайд

  Оперный театр в Сиднее
  

• 5 слайд

  Эйфелева башня
  Париж, Марсово поле
  Инженер Гюстав Эйфель нашел необычную форму для своего проекта.
  Эйфелева башня весьма устойчива: сильный ветер отклоняет ее вершину всего лишь на 10-12 см. В жару от неравномерного нагревания солнечными лучами она может отклониться на 18 см.
  

• 6 слайд

  2) Вспомните простейшие фигуры на плоскости!
  
  точка
  
  прямая
  
  

• 7 слайд

  
  точка М
  
  прямая а или
  А В
  плоскость (обозначается греческими
  строчными буквами)
  α или
  β
  
  
  
  Простейшие фигуры в пространстве:
  

• 8 слайд

  Плоскость как геометрическую фигуру следует представлять себе простирающейся неограниченно во все стороны.
  

• 9 слайд

  При изучении пространственных фигур, в частности геометрических тел ,пользуются их плоскими изображениями на чертеже. Изображением пространственной фигуры служит ее проекция на ту или иную плоскость. Одна и та же фигура допускает различные изображения.
  Различные изображения конуса
  

• 10 слайд

  3) Замечание:
  «В любой плоскости лежат какие-нибудь точки пространства, но не все точки пространства лежат в одной и той же плоскости».
  
  
  
  
  
  
  
  Е
  Е α
  М α
  М
  Р α
  Р
  α
  

• 11 слайд

  4) Аксиомы стереометрии
  
  А1: «Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна».
  
  
  
  
  
  
  
  
  Е
  Е α
  М α
  М
  Р α
  Р
  α
  

• 12 слайд

  Иллюстрация к аксиоме А1:
  стеклянная пластинка плотно ляжет на три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой.
  A
  B
  C
  

• 13 слайд

  Иллюстрации к аксиоме А1 из жизни.
  Табурет с тремя ножками всегда идеально встанет на пол и не будет качаться. У табурета с четырьмя ножками бывают проблемы с устойчивостью, если ножки стула не одинаковые по длине. Табурет качается, т. е. опирается на три ножки, а четвертая ножка (четвертая «точка») не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе.
  Для видеокамеры, фотосъемки и для других приборов часто используют штатив – треногу. Три ножки штатива устойчиво расположатся на любом полу в помещениях, на асфальте или прямо на газоне на улице, на песке на пляже или в траве в лесу. Три ножки штатива всегда найдут плоскость.
  

• 14 слайд

  Замечание:
  
  Т к. согласно А1 через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна, то отсюда вытекает ещё один способ обозначения плоскости, принятый во всём мире – по именам любых трёх точек, лежащих в данной плоскости и не лежащих на одной прямой.
  
  
  
  
  Значит, данную плоскость
  можно обозначить (МЕР), причем плоскость принято обозначать в скобках.
  
  
  
  
  Е
  Е α
  М α
  М
  Р α
  Р
  α
  

• 15 слайд

  Аксиомы стереометрии
  (продолжение)
  А2: «Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и все точки прямой принадлежат этой плоскости».
  
  
  
  
  
  
  
  
  Е
  Е α
  М α
  М
  Р МЕ
  Р
  α
  Говорят, что «прямая лежит в плоскости» или «плоскость проходит через прямую».
  Обозначают:
  ЕМ с α
  Р α
  

• 16 слайд

  Свойство, выраженное в аксиоме А2, используется для проверки «ровности» чертежной линейки. Линейку прикладывают краем к плоской поверхности стола. Если край линейки ровный, то он всеми своими точками прилегает к поверхности стола. Если край не ровный, то в каких-то местах между ним и поверхностью стола образуется просвет.
  IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
  IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
  

• 17 слайд

  Аксиомы стереометрии
  (продолжение)
  Замечание:
  «Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что прямая и плоскость пересекаются».
  
  
  
  
  
  
  
  
  Е
  а
  β
  Точка Е – единственная общая точка прямой а и плоскости β.
  Обозначают :
  а ∩ β = Е
  

• 18 слайд

  Аксиомы стереометрии
  (продолжение)
  А3: «Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей».
  
  
  
  
  
  
  
  
  М β
  М α
  М
  
  α
  Говорят, что «плоскости пересекаются по прямой m».
  
  α ∩β = m
  β
  m
  

• 19 слайд

  Наглядной иллюстрацией аксиомы А3
  является пересечение двух смежных стен, стены
  и потолка классной комнаты.
  

• 20 слайд

  А1.
  Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
  C
  A
  B
  А2.
  Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.
  a
  A
  B
  a
  А3.
  Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
  Итак:
  A
  

• 21 слайд

  Е
  М
  Р
  α
  6) Следствия из аксиом стереометрии:
  Следствие 1:
  «Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна».
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  Дано:
  прямая ЕМ, Р ЕМ
  Доказать:
  существование плоскости
  такой, что она проходит через
  прямую ЕМ и точку Р;
  единственность данной
  плоскости.
  
  
  

• 22 слайд

  Следствия из аксиом стереометрии
  (продолжение)
  Следствие 2:
  «Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна».
  
  
  
  
  
  
  
  Е
  
  
  α
  Дано:
  прямые а, в; а∩в=Е.
  Доказать:
  существование плоскости
  такой, что она проходит через
  прямые а и в;
  единственность данной
  плоскости.
  
  
  в
  а
  

• 23 слайд

  Домашнее задание.
  Выучить теорию по конспекту.
  №6 и №9 - с полным оформлением и рисунком.
  

• 24 слайд

  5) Закрепление
  изученного материала.
  
  №1.
  Ответь на вопросы устно:
  

• 25 слайд

  А
  А1
  В
  В1
  С
  С1
  D
  D1
  несколько точек, которые лежат в
  плоскости α.
  α
  Найдите:
  

• 26 слайд

  А
  А1
  В
  В1
  С
  С1
  D
  D1
  2) несколько точек, которые не лежат в
  плоскости α.
  α
  Найдите:
  

• 27 слайд

  А
  А1
  В
  В1
  С
  С1
  D
  D1
  3) несколько прямых, которые лежат в
  плоскости α.
  α
  Найдите:
  

• 28 слайд

  А
  А1
  В
  В1
  С
  С1
  D
  D1
  4) несколько прямых, которые не лежат в
  плоскости α.
  α
  Найдите:
  

• 29 слайд

  А
  А1
  В
  В1
  С
  С1
  D
  D1
  5) несколько прямых, которые пересекают
  прямую ВС
  α
  Найдите:
  

• 30 слайд

  А
  А1
  В
  В1
  С
  С1
  D
  D1
  5) несколько прямых, которые не пересекают
  прямую ВС.
  α
  Найдите:
  

• 31 слайд

  №2.
  Дан куб АВСDA1B1C1D1.
  Точка М лежит на
  ребре DD1
  Точка N лежит на
  ребре CC1
  Точка K лежит на
  ребре BB1
  D1
  В
  А1
  А
  D
  С1
  С
  В1
  M
  N
  K
  Назовите плоскости, в которых лежат
  точка М, точка N.
  
  M: (ADD1) и (D1DC); N: (CC1D1) и (BB1C1 )
  

• 32 слайд

  Дан куб АВСDA1B1C1D1.
  D1
  D
  С1
  С
  В1
  В
  А1
  А
  M
  Точка М лежит на
  ребре DD1
  N
  Точка N лежит на
  ребре CC1
  K
  Точка K лежит на
  ребре BB1
  2) Найдите точку F – точку пересечения
  прямых MN и DС.
  F
  Каким свойством обладает точка F?
  MN ∩ DC = F
  F MN, F DC → F (DD1C) и F (АВС)
  

• 33 слайд

  Дан куб АВСDA1B1C1D1.
  D1
  D
  С1
  С
  В1
  В
  А1
  А
  M
  Точка М лежит на
  ребре DD1
  N
  Точка N лежит на
  ребре CC1
  K
  Точка K лежит на
  ребре BB1
  Найдите точку
  пересечения прямой KN
  и плоскости (АВС).
  О
  KN ∩ (ABC) = O
  

• 34 слайд

  №3.
  Пользуясь данным рисунком, назовите:
  а1) три плоскости, содержащие прямую В1С
  C1
  C
  A1
  B1
  D1
  A
  B
  D
  

• 35 слайд

  А
  А1
  В
  В1
  С
  D1
  D
  C1
  а1)
  В1С
  ?
  

• 36 слайд

  А
  А1
  В
  В1
  С
  D1
  D
  C1
  а1)
  В1С
  ?
  

• 37 слайд

  Пользуясь данным рисунком, назовите:
  а2) три плоскости, содержащие прямую АВ1;
  C1
  C
  A1
  B1
  D1
  A
  B
  D
  

• 38 слайд

  Пользуясь данным рисунком, назовите:
  б) прямую, по которой
  пересекаются
  плоскости (B1CD) и (AA1D1 ) и
  плоскости (ADC1 ) и ( A1B1B )
  C1
  C
  A1
  B1
  D1
  A
  B
  D
  

• 39 слайд

  А
  А1
  В
  В1
  С
  D1
  D
  C1
  б)
  

• 40 слайд

  Пользуясь данным рисунком, назовите:
  в1) плоскость, не пересекающуюся
  с прямой CD1
  C
  C1
  A1
  B1
  D1
  A
  B
  D
  

• 41 слайд

  А
  А1
  В
  В1
  С
  D1
  D
  C1
  в1)
  

• 42 слайд

  Пользуясь данным рисунком, назовите:
  в2) плоскость, не пересекающуюся
  с прямой B1C
  C
  C1
  A1
  B1
  D1
  A
  B
  D