Решение неравенств второй степени с одной переменной

Решение неравенств второй степени с одной переменной.

Цели урока:

образовательные: формирование у учащихся умения решать неравенства второй степени с одной переменной.

развивающие: развитие логического мышления; развитие устной и письменной речи; формирование навыков владения математическими терминами, т. е. умения читать математическую, а, следовательно, и техническую литературу;

воспитательные: формирование личностных качеств: точность и ясность словесного выражения мысли; сосредоточенность и внимание; настойчивость и ответственность.

Задача: обеспечить прочное и сознательное овладение учащимися навыками решения неравенств второй степени с одной переменной.

Тип урока: урок объяснения нового материала.

Оборудование:

Ход урока

1. Организационный момент.

Сегодня на уроке мы познакомимся с неравенствами второй степени с одной переменной и научимся их решать. Для этого нужно вспомнить, что является решением неравенства, как оно записывается, а также повторить этапы исследования свойств функции по графику. Все это поможет нам в успешном усвоении темы.

2. Актуализация знаний

- презентация (устная работа по свойствам функции)

< Слайд 1>

Назовите нули функции, и промежутки, где функция принимает положительные и отрицательные значения

< Слайд 2>

Нули функции х₁= -7, x₂= -5, x₃= -2, x₄=5

Функция принимает положительные значения (-7;-5) (-2;5)

Функция принимает отрицательные значения (-∞;-7) (-5;-2) (5;+∞)

< Слайд 3>

Нуль функции х₁= 1,5

Функция принимает положительные значения (1,5;+∞)

Функция принимает отрицательные значения (-∞;1,5)

< Слайд 4>

Нуль функции х₁= 3

Функция принимает положительные значения (-∞;3) (3;+∞)

Функция не принимает отрицательных значений

< Слайд 5>

Нули функции х₁= -2, x₂= 1,5,

Функция принимает положительные значения (-2; 1,5)

Функция принимает отрицательные значения (-∞;-2) (1,5;+∞)

< Слайд 6>

Нули функции х₁= 1, x₂= 6

Функция принимает положительные значения (-∞;1) (6; +∞)

Функция принимает отрицательные значения (1;6)

< Слайд 7>

Нулей функции нет

Функция всегда принимает положительные значения (-∞;+∞)

< Слайд 8>

Нулей функции нет

Функция всегда принимает отрицательные значения (-∞;+∞)

< Слайд 9>

1. (-3;+∞)

б ) (- ∞;7)

в) (5;15]

г) [-2;6)

Вопросы к учащимся:

1 Как по графику определить нули функции?

2 Как по графику определить, где функция принимает положительные или отрицательные значения?

3 Что является решением неравенства?

3. Изучение новой темы

Неравенства вида ax²+bx+c>0 и ax²+bx+c<0 где х – переменная , a,b,c – некоторые числа, причем а не равно 0 называются неравенствами второй степени с одной переменной.

Решение такого неравенства можно рассматривать, как нахождение промежутков, на которых соответствующая квадратичная функция принимает положительные или отрицательные значения.

Пример 1 Решить неравенство

5х²+9х-2<0

Рассмотрим функцию у=5х²+9х-2

Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем нули функции, решив квадратное уравнение

5х²+9х-2=0

D=121 x₁= -2 x₂=0,2

Покажем схематически, как располагается парабола в координатной плоскости

y

-2 0 0,2 х

Ниже Ох парабола располагается на интервале (-2;0,2)

Ответ (-2;0,2)

Пример 2 Решить неравенство

3х²-11х-4>0

Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдите самостоятельно нули функции

у

- 0 х

Ответ (-∞;- ) (4; +∞)

Пример 3 Решить неравенство

х² +2х-4<0

у

0 4 х

Пример 4 Решить неравенство

1. x²-3x+4>0 б) x²-3x+4<0

Решим квадратное уравнение x²-3x+4=0

D=-7<0

Нулей функции нет, ветви параболы направлены вверх

у

1. х

Ответ

1. (-∞;+∞) б) решений нет

Предлагаю повторить основные пункты решения неравенств второй степени и создать опорный алгоритм.

1. Найти дискриминант квадратного трёхчлена и выяснить имеет ли он корни

2. Если трехчлен имеет корни, то отметить их на оси абсцисс и схематически провести параболу. Если а>0 ,ветви параболы направляют вверх, если а<0 ветви направляют вниз. Если трехчлен не имеет корней при а>0 чертим параболу в верхней полуплоскости, при а<0 в нижней полуплоскости.

3. Найти на оси абсцисс промежутки, удовлетворяющие условиям неравенства и записать ответ.

4. Первичное закрепление

Сейчас перед вами несколько неравенств. Сложность их повышается к концу списка. Я предлагаю вам решить любые два на выбор.

1. 2х²-7х+6>0

< Слайд 14>

2. х²+2х-48>0

< Слайд 15 >

3. -5х²+11х-6>0

< Слайд 16>

4. -2х²+7<0

< Слайд 17 >

5. 2x²+5x>-3

6. < Слайд 18 >

< Слайд 19 >

Задача:

Жили два соседа. И была у них земля под огородами. У одного участок большой, а у другого маленький - всего 20м на 4м и неудобно расположенный. И попросил однажды сосед соседа: « Добавь мне немного земли». На что второй сосед сказал: « Хорошо. Я согласен. Но твой участок все равно не должен быть больше 128 м кв. И еще условие – на сколько увеличится ширина, на столько же пусть уменьшится длина». Так и сделали. Каким же стал участок первого соседа?

Составим неравенство

(20-х)(4+х)≤128

Раскроем скобки и приведем подобные

-х²+16-48≤0

х₁ =4 х₂ = 12

у

0 4 12 х

Итак, на сколько можно изменить ширину участка?

Какое изменение будет наиболее выгодным: на 4м, на 12 м?

Почему нельзя взять число из промежутка (4;12)?

5. Итоги урока.

Что является решением неравенства второй степени с одной переменной?

Какие шаги нужно выполнить для того, чтобы решить неравенство второй степени?

Выставление оценок.

Домашнее задание:

1 группа §4 п.8, №116, №129(а,б)

2 группа §4 п.8, №116 , №120(а,б)

Спасибо за работу на уроке.