Разработка урока алгебры в 9 классе "Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии"

Конспект урока по алгебре в 9 класса

Учитель: Синотина Анна Юрьевна

Дата проведения: 25.01.22г.

Урок № 57

Тема: Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии

Цель урока: вывести формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии; формирование умения применять эту формулу при решении задач.

Задачи урока:

Образовательные: вывести формулу суммы п первых членов арифметической прогрессии; формирование умений учащихся находить сумму п первых членов арифметической прогрессии.

Развивающие: развивать логическое мышление, память, внимание, вычислительные навыки.

Воспитательные: воспитывать аккуратность и самостоятельность.

Оборудование урока: учебник, компьютер, проектор, презентация (Приложение 1), карточки с индивидуальными заданиями (Приложение 2).

Тип урока: изучение нового материала.     

План урока:

1.  Организационный момент (1 – 2 мин)

2.  Проверка домашнего задания (1 – 2 мин)

3.  Мотивация к учебной деятельности (1 мин)

4.  Актуализация опорных знаний (2 – 3 мин)

5.  Подготовка к активному и сознательному усвоению материала (2-3 мин)

6.  Формулирование темы, целей и задач урока (1 мин)

7.  Получение новых знаний (10 – 12 мин)

8.  Физкультминутка (2-3 мин)

9.  Закрепление новых знаний (13 -15 мин)

10.         Информация о домашнем задании (1 мин)

11.         Оценивание обучающихся. Итог урока. Рефлексия (1 – 2 мин)

Ход урока:

1. Организационный момент.

Приветствие учащихся, проверка готовности к уроку, проверка отсутствующих, создание положительного эмоционального настроя на учебную деятельность.

2. Проверка домашнего задания

3. Мотивация к учебной деятельности.

«Прогрессия»-латинское слово, означающее «Движение вперед», было введено римским автором Боэцием (6в) и понималось в более широком смысле, как бесконечная числовая последовательность.

Закончился ХХ век

Куда стремится человек?

Изучены космос и море

Строенье звезд и вся Земля.

Но математиков зовет!

Известный лозунг:

«Прогрессио – движение вперед!»

4. Актуализация опорных знаний

Вопрос 1: Дать определение арифметической прогрессии.

Ответ: Арифметической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом, разностью арифметической прогрессии d.

Вопрос 2: Приведите пример арифметической прогрессии        

Вопрос 3: как проверить, является ли последовательность арифметической прогрессией?

Ответ: Если разность между последующим и предыдущим членами последовательности есть одно и тоже число, то это арифметическая прогрессия.

Вопрос 4: Является ли последовательность арифметической прогрессией?

а) -2; -4; -6; -8; -10 … (да)               б) -13; -3; 13; 23… (нет)

Вопрос 5: В чем заключается признак (характеристическое свойство) арифметической прогрессии.

Ответ: Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов.

Вопрос 5: Формула  n – члена арифметической прогрессии.

Ответ: 

5. Подготовка к активному и сознательному усвоению материала Историческая справка

С формулой суммы п первых членов арифметической прогрессии был связан эпизод из жизни немецкого математика К.Ф.Гаусса (1777-1855). Когда ему было 9 лет, учитель, занятый проверкой работ учеников других классов, задал на уроке следующую задачу: «Сосчитать сумму натуральных чисел от 1 до 40 включительно». Каково же было удивление учителя, когда одиниз учеников (это был Гаусс) воскликнул: «Я уже решил…». Больщинство учеников после долгих подсчетов получили неверный результат. В тетради Гаусса было написано одно число и притом верное. Какова же схема рассуждений Гаусса?

-  давайте рассмотрим на примере:

                                                       1+2+3+…+98+99+100

- перед учащимися ставится проблема: каким образом мальчик так быстро нашел сумму этих чисел?

-  записывается решение:  1+2+3+…+98+99+100=(1+100)50= 5050.

Чтобы понять какое отношение эта история имеет к теме сегодняшнего урока, попробуйте сформулировать задание, используя понятие «арифметическая прогрессия»?

Теперь, я думаю, вы сможете сформулировать тему урока.

6.  Формулирование темы, целей и задач урока (1 мин)

Формулирование темы урока «Сумма первых n членов арифметической прогрессии», постановка цели урока и задач.

7. Получение новых знаний

1. Вывод формулы.

Вернёмся к нашему примеру 1+2+3+…+99+100=(1+100)50.

Учащиеся, используя терминологию урока, отвечают на вопросы:

-что стоит в левой части равенства?

-что стоит в правой части равенства?

- на доске записывается вывод:             S_n =(а₁ +а_n )п/2

2. Теперь, проверим, справедлива ли она для любой арифметической прогрессии: 

(ученик под руководством учителя выводит формулу у доски)

S_n=а₁ +а₂ +…+а_n-1 +а_n

S_n=а_n +а_n-1 +…+а₂ +а₁          

2S_n=(а₁ + а ) п  или S_n = (а₁ +а_n )п/2  

3. Устные упражнение на закрепление.   

1) Чему равна сумма 10 первых натуральных чисел  (20, 40)?

2) Какие типы задач позволяет решать эта формула?

3) Я задумала арифметическую прогрессию. Задайте мне только два вопроса, чтобы вы смогли найти сумму ста первых членов этой прогрессии?

Чаще всего арифметическая прогрессия задана первым её членом и разностью. 

В этом случае нам удобнее пользоваться формулой, представленной в другом виде.                                                              

Устно:  Найти сумму десяти первых натуральных чисел.

4. Вторая наша задача – научиться применять полученные формулы для решения задач. Задачи по теме очень разнообразные. Выделим самые основные, типичные. 

8. Физкультминутка 

Упражнение «Истинные и ложные утверждения». Если утверждение истинно, то руки поднять вверх, а если ложно, то руки в стороны.

1) 9; 9; 9; 9;…является арифметической прогрессией (нет).

(А) 9; 9; 9; 9;…  (Б) 2; 10; 18; 26;…  (В) 3; 6; 12; 24;…  (Г) 2; 5; 9; 15.

2) 2; 10; 18; 26;…является арифметической прогрессией (да).

3) Число 14 является вторым членом последовательности натуральных чисел, кратных 7 (да).

4) В арифметической прогрессии  (а_n): 11; 16; …. разность равна 4 (нет).

5) Последний член последовательности двузначных натуральных чисел равен 100 (да).

9. Закрепление новых знаний

1)  Первый член арифметической прогрессии равен 3, а двадцатый член равен 57. Найти сумму двадцати первых членов этой прогрессии.

2) Найти сумму семи первых членов арифметической прогрессии -2; 1…  

3) Найти сумму семи первых членов арифметической прогрессии, если её первый член равен 2, а разность равна -1.

4) Найти сумму натуральных чисел от 20 до 120.

5) Известно, что шестой член арифметической прогрессии равен 20, а шестнадцатый 120.  Найти сумму одиннадцати первых членов этой прогрессии.

6) Задание № 14 из сборника ОГЭ 2023, Ященко.

На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 нарисована «змейка», представляющая из себя ломаную, состоящую из чётного числа звеньев, идущих по линиям сетки. На рисунке изображён случай, когда последнее звено имеет длину 10. Найдите длину ломаной, построенной аналогичным образом, последнее звено которой имеет длину 170.

8. Информация о домашнем задании

Стр. 155 учить формулу, №605, 607

Творческое задание по желанию: составить кроссворд по теме «Арифметическая прогресси».

9. Оценивание обучающихся. Итог урока. Рефлексия

Учитель предлагает вспомнить девиз урока: «Прогрессия – движение вперед» и проверить, насколько продвинулись вперед за время урока.

Примерные вопросы, задаваемые ученикам:

– Как вы оцениваете себя?

– Чего мы должны были достичь к концу урока?

Примерный ответ учеников:

– Решать задачи, используя формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии.

Учитель просит учеников оценить степень усвоения материала с помощью техники формативного оценивания «Сигналы рукой»:

усвоил полностью, могу применить;

усвоил полностью, но затрудняюсь в применении;

не усвоил.

Выставление оценок.