Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Разработка урока "Арифметическая и геометрическая прогрессии"

Разработка урока "Арифметическая и геометрическая прогрессии"

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Арифметическая и геометрическая прогрессии.

9 класс.

Урок – лекция. (Метод укрупненной математической единицы).

Цель: ввести понятие арифметической и геометрической прогрессий, рассмотреть свойства прогрессий, формулы суммы, познакомить с характеристическим свойством прогрессий, доказать формулы n- го члена методом математической индукции.



ХОД УРОКА.

ПРОГРЕССИИ.

Арифметическая Геометрическая

÷ а1; а2; а3;; аn-1; аn hello_html_2d950b9c.gif b1; b2; b3;…; bn-1; bn



Определение.


Арифметической Геометрической

прогрессией называется числовую последовательность, каждый член которой начиная со второго равен предыдущему

сложенному с одним умноженному на одно

и тем же числом. и тоже число.(≠ 0)

an+1 = an + d bn+1 = bnq

d = an+1 - an q =hello_html_29013876.gif

d наз. разностью q наз. знаменателем

прогрессии прогрессии

Если dhello_html_m7c48e444.gif0,то прогрессия Если hello_html_5bcda4b5.gif0, q hello_html_m547fa93c.gif то прогрессия

является возрастающей является возрастающей

последовательностью, и последовательностью, и

hello_html_m3f9d2fa9.gif0,

hello_html_m1e12305.gif



Свойства.

  1. Формула n- го члена.


an = а1 + d( n – 1) bn = b1q n – 1 , qhello_html_51dd5ecd.gifbhello_html_29941c80.gif


  1. Характеристическое свойство.


Каждый член, начиная со второго равен

среднему арифметическому среднему геометрическому

соседних с ним членов: hello_html_mcbd7de4.gif

an = hello_html_2c82b5ce.gif hello_html_m7c48e444.gifbnhello_html_m7c48e444.gif =hello_html_m70468fdd.gif


(обратить внимание на название прогрессии и на выделенные слова этого свойcтва).

bn2 =hello_html_m57654ddd.gif,

bn – любые числа.

2; - 6; 18

-6=hello_html_m1031c224.gif

(-6)2 = 2*18



  1. Формулы суммы.


Sn = hello_html_m4dbea998.gifn Sn = hello_html_cbb8d15.gif

Sn = hello_html_16d41faf.gifn Sn =hello_html_m56b43d4d.gif, q≠1


Sб/уб.=hello_html_m6c0432d4.gif, hello_html_m2104ad13.gif hello_html_m7c48e444.gif 1

4) a1 +an = a3 + an-2


Сумма членов, равноотстоящих

от концов прогрессии, равна сумме

крайних членов. (Это свойство в

учебнике не выделено, но оно

применяется для доказательства

формулы суммы n членов, поэтому

это свойство надо доказать отдельно

перед формулой Sn).


Доказательство указанных формул можно дать также для обеих прогрессий одновременно.


Замечание: при доказательстве формулы n – го члена прогрессии используется метод математической индукции. Но в учебном пособии он не называется. Полезно дать метод математической индукции.




Метод математической индукции.


  1. Проверить. Верно ли данное высказывание при n = 0, 1, 2, ….

(Верность равенства может начинаться не с 0, и не с 1, а с 2…).

  1. Предположить, что данное высказывание верно для n = k.

  2. Доказать, утверждение верно при n = k+1.

(При этом используется математические утверждения и то, что оно верно при n = k).

  1. По аксиоме индукции, если утверждение верно при n = k+1, то по доказанному оно будет верно и для n = k+2, то есть для любого n.




Докажем методом математической индукции 1- е свойство.


an = а1 + d( n – 1) bn = b1q n – 1

Доказательство.


1). Проверим, верно ли данное высказывание при n = 1, 2


a1 = а1 + d( 1 – 1) – верно. b1 = b1q 1 – 1 – верно.

а2 = а1 + d( 2 – 1)= а1+d –верно b2 = b1q 2 – 1=b1q – верно

(по опред.) (по опред.)


2). Предположим, что данное высказывание верно при n = k, т.е.


ак= а1 + d( к– 1) – верно. bк = b1q к – 1 – верно.


3). Докажем, что утверждение верно при n = k+1, т. е.

ак+1= а1 + кd – ? bк+1 = b1q к – ?


ак+1= ак + d (по опред.), но bк+1 = bкq (по опред.), но


ак= а1 + d( к– 1), то bк = b1q к – 1, то


ак+ 1= а1 + d( к– 1) + d = bк+1 = b1q к – 1q= b1q к


= а1 + кd ( исп-ся вынесение

общего множит. за скобки)


4). По аксиоме индукции, если an ( bn) верно при n = k+1, то оно будет верно и для любого n.



Итог урока.

Домашнее задание: доказать 4 – е свойство арифметической прогрессии.








































Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Автор
Дата добавления 28.02.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров159
Номер материала ДВ-491522
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх